Basic Concepts of ITF Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
અહીં દલીલ $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ઋણ હોવાથી,આપણે ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે અને $\cos^{-1} x$ માટે $[0, \pi]$ છે.
પ્રથમ,$\tan^{-1}(\tan \frac{5\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:
$\tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{\pi}{6})) = \tan^{-1}(-\tan \frac{\pi}{6}) = \tan^{-1}(\tan(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$.
ત્યારબાદ,$\cos^{-1}(\cos \frac{13\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:
$\cos^{-1}(\cos(2\pi + \frac{\pi}{6})) = \cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
પ્રથમ,$\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$ ની કિંમત મેળવો:
કારણ કે $\sin(\frac{-\pi}{6}) = \frac{-1}{2}$,તેથી $\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{-\pi}{6}$ મળે.
ત્યારબાદ,$\sin ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$ ની કિંમત મેળવો:
કારણ કે $\sin(\frac{-\pi}{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{-\pi}{3}$ મળે.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{-\pi}{6} + (\frac{-\pi}{3}) = \frac{-\pi - 2\pi}{6} = \frac{-3\pi}{6} = \frac{-\pi}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ (અથવા $120^{\circ}$).
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.

(D) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
તેથી,$\sin y = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ના મુખ્ય મૂલ્યની શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ થાય.
આમ,મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{6}$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$. $\sin ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ હોવાથી,$\sin \alpha = -\frac{1}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$,તેથી $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ મળે.
ધારો કે $\beta = \cos ^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$\cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$,તેથી $\beta = \frac{5\pi}{6}$ મળે.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,$\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ એ $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણને પદાવલિ $\cos ^{-1}\left(\cot \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\cos ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,અંદરના ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમત શોધો:
$\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ અને $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \csc x)$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{2 \theta}{1 - \theta^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x} \right) = \tan^{-1} (2 \csc x)$.
કારણ કે $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
ધારો કે $\sin x \neq 0$,તો આપણે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1 \Rightarrow \cot x = 1$.
આમ,$x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$\sin x + \cos x$ ની કિંમત શોધો:
$\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \times \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan ^{-1} x$.
સમીકરણમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)=\frac{1}{2} \theta$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right)=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}-\theta=\frac{1}{2} \theta$
$\frac{\pi}{4}=\frac{3 \theta}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{6}$
કારણ કે $x = \tan \theta$,તેથી $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
સમીકરણને આ રીતે લખતા: $4(\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $4(\frac{\pi}{2}) + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
સાદુરૂપ આપતા: $2 \pi + 2 \cos ^{-1} x = 3 \pi$
બંને બાજુથી $2 \pi$ બાદ કરતા: $2 \cos ^{-1} x = \pi$
$2$ વડે ભાગતા: $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $x = \cos(\frac{\pi}{2})$
તેથી: $x = 0$

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \left[ \sqrt{\frac{1 + \cos(x/2)}{1 - \cos(x/2)}} \right]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ અને $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2(x/4)}{2 \sin^2(x/4)}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2(x/4)}$
$y = \tan^{-1} (\cot(x/4))$
કારણ કે $\cot \theta = \tan(\pi/2 - \theta)$,તેથી:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4} \right) \right]$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{4} \right) = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
આપેલ પદ $\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right)\right)$ છે.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6} > \pi$,આપણે સીધું $\cos ^{-1}(\cos \theta) = \theta$ લખી શકતા નથી.
આપણે ગુણધર્મ $\cos(2 \pi - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{5 \pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
હવે,$\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right) = \frac{5 \pi}{6}$,જે અંતરાલ $[0, \pi]$ માં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi]$ છે.
આપેલ પદ $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{8 \pi}{3}\right)$ છે.
અહીં $\frac{8 \pi}{3} = 2 \pi + \frac{2 \pi}{3}$ હોવાથી,$\cos \frac{8 \pi}{3} = \cos \left(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}\right) = \cos \frac{2 \pi}{3}$ થાય.
કારણ કે $\frac{2 \pi}{3} \in [0, \pi]$,તેથી $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}\right) = \frac{2 \pi}{3}$ મળે.
આમ,સાચો જવાબ $\frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
ધારો કે $\theta_1 = \cot ^{-1}(x+1)$. તેથી $\cot \theta_1 = x+1$. નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2+2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
ધારો કે $\theta_2 = \tan ^{-1} x$. તેથી $\tan \theta_2 = x$. નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+2x+2 = 1+x^2$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $2x+2 = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = -1$,જે આપે છે $x = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
નિત્યસમ $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1} x + \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$
તેથી,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6}$ આ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે પદને સરળ બનાવીએ:
$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan (\pi + \frac{\pi}{6})\right)$
નિત્યસમ $\tan (\pi + \theta) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,તેથી પદનું મૂલ્ય:
$= \frac{\pi}{6}$

(C) આપણે પ્રતિવિધેયોની મુખ્ય કિંમતો જાણીએ છીએ:
$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi - \frac{\pi}{3}$
$= \pi - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$
$= \pi - \left(\frac{4\pi + 4\pi + 3\pi}{12}\right)$
$= \pi - \frac{11\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} 6x = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(v) = \tan^{-1}\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{x + 6x}{1 - (x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 6x^2}\right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{7x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$7x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 7x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(6)(-1)}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 24}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{12}$
શરત $x \geq 0$ હોવાથી,આપણે ઋણ ઉકેલને અવગણીશું:
$x = \frac{-7 + \sqrt{73}}{12}$
આમ,$x$ માટે માત્ર એક જ માન્ય કિંમત હોવાથી,ગણ $A$ એ એકાકી ગણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right)$.
$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
જો $\sin x \neq 0$ હોય,તો આપણે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cot x = 1$.
આમ,$x = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) = x$.
તેથી,$\cos x = -\frac{3}{5}$.
$\cos ^{-1}$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી અને $\cos x$ ઋણ હોવાથી,$x$ બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
હવે,આપણે $\sin(2x)$ શોધવાનું છે.
દ્વિગુણિત ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin(2x) = 2 \times \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right) = \tan \left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\tan \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) = \cos ^{-1}(-1)$.
કારણ કે $\cos (\pi) = -1$,તેથી $\cos ^{-1}(-1) = \pi$.

(B) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યો જાણીએ છીએ:
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ પદ $\sin ^{-1}(\sin \frac{23 \pi}{6})$ છે.
સૌ પ્રથમ,ખૂણા $\frac{23 \pi}{6}$ ને સરળ બનાવો:
$\frac{23 \pi}{6} = \frac{24 \pi - \pi}{6} = 4 \pi - \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\sin(4 \pi - \theta) = -\sin \theta$,તેથી:
$\sin(\frac{23 \pi}{6}) = \sin(4 \pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
હવે,$\sin ^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$,જે અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની મુખ્ય કિંમતની શાખાઓ જાણીએ છીએ:
$1$. $\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$,તેથી $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $\sec ^{-1}(-x) = \pi - \sec ^{-1}(x)$,તેથી $\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$3$. $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદોને જોડતા:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{5+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 \cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$ ત્યારે થાય જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{3}$ હોય.
તેથી,$2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$.
$2$ વડે ભાગતા,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi]$ છે અને $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
પ્રથમ,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\frac{13 \pi}{6} = 2 \pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\cos \frac{13 \pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\tan \frac{7 \pi}{6} = \tan \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x = \sec \theta$. કારણ કે $x > 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ મળે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ થાય.
$\theta = \sec ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને સાદું સ્વરૂપ $\sec ^{-1} x$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
કર્ણ $\sqrt{(\text{સામેની બાજુ})^2 + (\text{પાસેની બાજુ})^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થાય.
હવે,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$\sin (\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે અને $\sec^{-1} x$ માટે $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ છે.
પ્રથમ,$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો:
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,તેથી $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ થાય.
આમ,$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
ત્યારબાદ,$\sec^{-1}(-2)$ ની કિંમત શોધો:
કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,તેથી $\sec(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$ થાય.
આમ,$\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$.
છેલ્લે,પદાવલિની ગણતરી કરો:
$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થશે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,$\cos(\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
આપેલ પદ $\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6})$ છે.
પ્રથમ,ખૂણા $\frac{31 \pi}{6}$ ને સરળ બનાવો:
$\frac{31 \pi}{6} = \frac{30 \pi + \pi}{6} = 5 \pi + \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$,તેથી $\tan(5 \pi + \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{6}$ થાય.
તેથી,$\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6}) = \tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{6})$.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,તેથી કિંમત $\frac{\pi}{6}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$ થાય છે.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. તેથી,$\cos(-680^{\circ}) = \cos(680^{\circ})$.
આપણે $680^{\circ}$ ને $720^{\circ} - 40^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ,જે $4\pi - 40^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos(2n\pi - \theta) = \cos(\theta)$,તેથી $\cos(680^{\circ}) = \cos(40^{\circ})$.
$\cos^{-1}(x)$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા $[0, \pi]$ છે.
આમ,$\cos^{-1}[\cos(40^{\circ})] = 40^{\circ}$.
$40^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $40 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $y = \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$.
તેથી $\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
કારણ કે $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cot\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
અહીં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થાય.
હવે,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$\cos (\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમત શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
આપેલ પદ $\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right)$ છે.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6}$ એ અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં નથી,તેથી આપણે પદનું સાદું રૂપ આપીશું.
$\sin \frac{7 \pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
હવે,$\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી કિંમત $-\frac{\pi}{6}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sin^{-1} \left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ છે,તેથી પદાવલિ $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \tan^{-1} x$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેનો વિસ્તાર વિવૃત અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$ થાય છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \frac{\pi}{2}$ અને જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to -\frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આલેખ સતત વધતું વિધેય છે અને $y = \frac{\pi}{2}$ તથા $y = -\frac{\pi}{2}$ પર સમક્ષિતિજ અનંતસ્પર્શકો ધરાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો આલેખ $f(x) = \tan^{-1} x$ વિધેયને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ પદ $\sin^{-1}\left(\sin \frac{5\pi}{3}\right)$ છે.
પ્રથમ,સાઈન વિધેયની અંદરના ખૂણાને સરળ બનાવો:
$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta)$,તેથી:
$\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
હવે,આ કિંમતને પદમાં પાછી મૂકો:
$\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી કિંમત $-\frac{\pi}{3}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right)$.
ધારો કે $2^x = \tan \theta$,તો $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log 2 = \frac{2^{x+1} \log 2}{1 + 4^x}$.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+1} \log 2}{f(x)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 1 + 4^x$ મળે છે.
તેથી,$f(0) = 1 + 4^0 = 1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left[\cot ^{-1}(-\sqrt{3})+\frac{\pi}{6}\right]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$.
તેથી,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$,તેથી $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left[\pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right]$
$= \cos [\pi]$
$= -1$.

(D) આપેલ પદ: $\sin^{-1}\left(\cos \frac{53\pi}{5}\right)$
આપણે $\frac{53\pi}{5}$ ને $10\pi + \frac{3\pi}{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos\left(10\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
હવે,$\sin^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{5}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{5\pi - 6\pi}{10}\right)\right)$
$= \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{10}$.

(C) ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
આપણે $\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,$\sin(2\theta) = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$\sin \left(2 \sin ^{-1} 0.8\right)$.
ધારો કે $\sin ^{-1} 0.8 = \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 0.8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2\theta = 2 \times 0.8 \times 0.6$.
$\sin 2\theta = 1.6 \times 0.6 = 0.96$.
આમ,તેની કિંમત $0.96$ છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{3x+1}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+3)$ વડે ગુણતા:
$3x+1 = A(x+3) + B(x-1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x+1 = (A+B)x + (3A-B)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 3$ $(i)$
$3A-B = 1$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(A+B) + (3A-B) = 3+1$
$4A = 4 \Rightarrow A = 1$
સમીકરણ $(i)$ માં $A=1$ મૂકતા:
$1+B = 3 \Rightarrow B = 2$
હવે,$\sin^{-1} \frac{A}{B}$ ની કિંમત શોધો:
$\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{\operatorname{Cos}^{-1} x}}{\sqrt{2(1-x)}}$.
$t = \operatorname{Cos}^{-1} x$ લેતા,$x = \cos t$. જ્યારે $x \rightarrow 1^{-}$,ત્યારે $t \rightarrow 0^{+}$.
$1 - x = 1 - \cos t = 2 \sin^2(t/2)$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2(2 \sin^2(t/2))}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2 \sin(t/2)}$.
નાના $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(t/2) \approx t/2$.
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2(t/2)} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{t}} = \infty$.

(C) આપેલ છે કે,$a=3, b=4$ અને $A=\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
આપેલ માહિતી પરથી,$\sin A = \frac{3}{4}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{3/4} = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow 4 = \frac{4}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
તેથી,$B = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.