Basic Concepts of ITF Questions in Gujarati

(B) આપેલ અસમતા: $\tan^{-1} \frac{x}{\pi} < \frac{\pi}{3}$.
વિધેય $f(t) = \tan(t)$ એ $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\tan(\tan^{-1} \frac{x}{\pi}) < \tan(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{\pi} < \sqrt{3}$
$x < \sqrt{3} \times \pi$
અંદાજિત કિંમતો $\sqrt{3} \approx 1.732$ અને $\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$x < 1.732 \times 3.14159 \approx 5.441$
અહીં $x \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ) હોવાથી,$x < 5.441$ નું પાલન કરતો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $x = 5$ છે.
તેથી,$x$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

(C) ધારો કે $\cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \alpha$.
તેથી $\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
આપણે $\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)$ શોધવાનું છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$.
$\cos \alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{5}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}}} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(3 - \sqrt{5})$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})^2}{9 - 5}} = \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

(C) $\sin^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{7\pi}{6}$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે પદને સરળ બનાવીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
તેથી,$\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = \sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6}))$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી જવાબ $-\frac{\pi}{6}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1} |x| + \cos ^{-1} |2x| = \pi$.
$\cos ^{-1} y$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,સરવાળો $\pi$ થવા માટે,આપણે પ્રદેશ તપાસીએ: $|x| \leq 1$ અને $|2x| \leq 1$,જેનો અર્થ છે $|x| \leq 1/2$.
કિસ્સો $1$: $x = 0$.
$x = 0$ મૂકતા: $\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}(0) = \pi/2 + \pi/2 = \pi$. આમ,$x = 0$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $x \neq 0$.
ધારો કે $\cos ^{-1} |x| = \alpha$ અને $\cos ^{-1} |2x| = \beta$. તો $\alpha + \beta = \pi$,જેનો અર્થ છે $\beta = \pi - \alpha$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
કિંમત મૂકતા: $|2x| = -|x|$.
કારણ કે $|2x| \geq 0$ અને $-|x| \leq 0$,આ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો $|2x| = 0$ અને $|x| = 0$,જે ફરીથી $x = 0$ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે. વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપણને સમીકરણ $\sin^{-1} \theta = \sin^{-1}(\sin 5)$ આપેલું છે.
વ્યસ્ત સાઈન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin^{-1}(\sin x) = x$ ત્યારે જ થાય જો $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોય.
અહીં,$x = 5$ રેડિયન છે. $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$2\pi \approx 6.28$ થાય. તેથી,$5$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$ અંતરાલમાં નથી.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનું આવર્તમાન $2\pi$ છે,તેથી $\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$.
અહીં $5 - 2\pi \approx 5 - 6.28 = -1.28$,જે $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,$\sin^{-1}(\sin 5) = \sin^{-1}(\sin(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi$.
આમ,$\theta = \sin(5 - 2\pi)$.

(C) આપણે $\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,કોટિજેન્ટ વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટને સરળ બનાવો:
$\frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4}$.
કારણ કે $\cot(n\pi + \theta) = \cot \theta$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણી પાસે છે:
$\cot \left( \frac{43\pi}{4} \right) = \cot \left( 10\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cot \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $\cot \theta$ ને $\tan$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$\cot \frac{3\pi}{4} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{2\pi - 3\pi}{4} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.
આમ,$\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4}$ એ $\tan^{-1}x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં આવેલું છે,તેથી જવાબ $-\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \cos(\tan^{-1}x)$.
ધારો કે $\theta = \cot^{-1}(1 + x)$,તેથી $\cot \theta = 1 + x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$,તેથી $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}}$.
ધારો કે $\phi = \tan^{-1}x$,તેથી $\tan \phi = x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}}$,તેથી $\cos(\tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 + (1 + x)^2 = 1 + x^2$.
$1 + 1 + 2x + x^2 = 1 + x^2$.
$2 + 2x = 1$.
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\tan^{-1} (\sin \theta) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ બને છે.
કારણ કે $\tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = y$.
તેથી,$\sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $\cot ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = y$. તેથી,$\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cot y = -\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
ગુણધર્મ $\cot(\pi - \theta) = -\cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cot y = \cot \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cot \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
$\cot^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
કારણ કે $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
તેથી,$\sin y = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
આમ,$\sin y = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
$\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{6}$ છે.

(D) ધારો કે $y = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
તેથી,$\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$,તેથી $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $cosec^{-1}(2) = y$.
તેથી,$cosec(y) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $cosec(\frac{\pi}{6}) = 2$.
$cosec^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{0\}$ છે,અને $\frac{\pi}{6}$ આ અંતરાલમાં આવેલું છે.
તેથી,$cosec^{-1}(2)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) = y$.
તેથી,$\tan y = -\sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$,તેથી $\tan y = -\tan \frac{\pi}{3} = \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
$\tan ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $-\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y$.
તેથી,$\cos y = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos y = -\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
નિત્યસમ $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos y = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$.
$\cos ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
કારણ કે $\frac{2 \pi}{3} \in [0, \pi]$,તેથી $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) ધારો કે $\tan ^{-1}(-1) = y$.
તેથી,$\tan y = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,તેથી $\tan y = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$.
$\tan ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $\tan ^{-1}(-1)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = y$.
તેથી,$\sec y = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$\sec ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$,તેથી $\sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = y$.
તેથી,$\cot y = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.
$\cot ^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$,તેથી $\cot ^{-1}(\sqrt{3})$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(C) ધારો કે $y = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
તેથી $\cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos y = -\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
નિત્યસમ $\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos y = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$.
$\cos ^{-1}$ ના મુખ્ય મૂલ્યની શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
કારણ કે $\frac{3 \pi}{4} \in [0, \pi]$,તેથી $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{3 \pi}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $cosec^{-1}(-\sqrt{2}) = y$.
તેથી,$cosec\; y = -\sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $cosec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$,તેથી $cosec\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$.
$cosec^{-1}$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$ છે.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}$,તેથી $cosec^{-1}(-\sqrt{2})$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $-\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $\tan ^{-1}(1)=x$. તો,$\tan x=1=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)$. તેથી,$\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=y$. તો,$\cos y=-\frac{1}{2}=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$. તેથી,$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$.
ધારો કે $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=z$. તો,$\sin z=-\frac{1}{2}=-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$. તેથી,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}$.
છેદ $4, 3, 6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ લેતા:
$= \frac{3 \pi + 8 \pi - 2 \pi}{12} = \frac{9 \pi}{12} = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=x$.
તેથી,$\cos x=\frac{1}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$.
ધારો કે $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=y$.
તેથી,$\sin y=\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}+2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x=y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવિધેય $\sin ^{-1}$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર (range) $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
તેથી,કોઈપણ $x$ માટે જે પ્રદેશ $[-1, 1]$ માં હોય,$y$ ની કિંમત આ વિસ્તારમાં હોવી જોઈએ.
આમ,$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે $\tan ^{-1} \sqrt{3} = x$.
તેથી,$\tan x = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ છે.
તેથી,$\tan ^{-1} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
ધારો કે $\sec ^{-1}(-2) = y$.
તેથી,$\sec y = -2 = -\sec \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sec \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sec \frac{2 \pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^{-1}$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi] - \left\{ \frac{\pi}{2} \right\}$ છે.
તેથી,$\sec ^{-1}(-2) = \frac{2 \pi}{3}$.
આમ,$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \sec ^{-1}(-2) = \frac{\pi}{3} - \frac{2 \pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $x = \sec \theta$. કારણ કે $x > 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,$\sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\sec^{2} \theta - 1} = \sqrt{\tan^{2} \theta} = \tan \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ થાય.
$\theta = \sec ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને સાદું સ્વરૂપ $\sec ^{-1} x$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\left| \tan \frac{x}{2} \right|\right)$
અહીં $x < \pi$ હોવાથી,$\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ થાય. જો $x > 0$ લઈએ,તો $\tan \frac{x}{2}$ ધન છે,તેથી $\left| \tan \frac{x}{2} \right| = \tan \frac{x}{2}$.
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)$
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \frac{\pi}{4}$ અને $B = x$ છે:
$= \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)$
$= \frac{\pi}{4}-x$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$
ધારો કે $x = a \sin \theta$. તેથી $\frac{x}{a} = \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$.
$x = a \sin \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2} - a^{2} \sin ^{2} \theta}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin ^{2} \theta)}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{a \sin \theta}{a \cos \theta}\right)$
$= \tan ^{-1} (\tan \theta)$
$= \theta = \sin ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$

(B) ધારો કે $\sin ^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = x$.
તેથી,$\sin x = \frac{1}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} \left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right] = \tan ^{-1} \left[2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}\right)\right]$.
$= \tan ^{-1} \left[2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$= \tan ^{-1} \left[2 \times \frac{1}{2}\right] = \tan ^{-1} (1)$.
કારણ કે $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,તેથી જવાબ $\frac{\pi}{4}$ છે.

(C) આપણે $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
અહીં $\frac{2 \pi}{3} \approx 120^\circ$ છે,જે $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે $\sin(\pi - x) = \sin x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3}$ થાય.
હવે,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)$.
કારણ કે $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$ મળે.
આમ,સાચો જવાબ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપણે $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
અહીં $\frac{3 \pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,આપણે $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$.
હવે,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $\tan ^{-1}\left(\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x \in [0, \pi]$ હોય,તો $\cos ^{-1}(\cos x) = x$ થાય,જે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા છે.
અહીં,$\frac{7 \pi}{6} \notin [0, \pi]$.
ખૂણાને મુખ્ય શ્રેણીમાં લાવવા માટે આપણે $\cos(2\pi - \theta) = \cos \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{7 \pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\frac{5 \pi}{6} \in [0, \pi]$,તેથી:
$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$.

(C) ધારો કે $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = x$.
તેથી,$\sin x = -\frac{1}{2}$.
$\sin ^{-1}$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ હોવાથી,આપણને $\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \left(\frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$.
$= \sin \left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
$\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
કારણ કે $\frac{3 \pi}{5} \notin [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી આપણે સીધું $\sin ^{-1}(\sin x) = x$ લખી શકતા નથી.
આપણે ગુણધર્મ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,$\sin(\frac{3 \pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3 \pi}{5}) = \sin(\frac{2 \pi}{5})$.
કારણ કે $\frac{2 \pi}{5} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી $\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5}) = \frac{2 \pi}{5}$ મળે છે.
તેથી,$\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5}) = \frac{2 \pi}{5}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1} 2 x+\tan ^{-1} 3 x=\frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1-6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5x}{1-6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
આમ,$x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
જો $x = -1$ લઈએ,તો $\tan ^{-1}(-2) + \tan ^{-1}(-3) = -(\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3)$ થાય,જે ઋણ છે અને $\frac{\pi}{4}$ ની બરાબર નથી.
તેથી,માત્ર $x = \frac{1}{6}$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x \in [0, \pi]$ હોય,તો $\cos ^{-1}(\cos x) = x$ થાય,જે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા છે.
અહીં,$\frac{13 \pi}{6} \notin [0, \pi]$.
હવે,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{6}\right)\right]$.
કારણ કે $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,તેથી:
$\cos ^{-1}\left[\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{6}\right)\right] = \cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right]$.
અહીં $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\cos ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}(\tan x) = x$ માત્ર ત્યારે જ થાય જો $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ હોય,જે $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમત શાખા છે.
અહીં,આપેલી કિંમત $\frac{7 \pi}{6}$ છે,અને $\frac{7 \pi}{6} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
આપણે ટેન્જન્ટ વિધેયના આવર્તનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ: $\tan \left(\pi + \theta\right) = \tan \theta$.
તેથી,$\tan \left(\frac{7 \pi}{6}\right) = \tan \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(C) ધારો કે $\tan^{-1} x = y$. તો $\tan y = x$.
કારણ કે $\tan y = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{x}{1}$,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ છીએ જ્યાં સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થશે.
તેથી,$\sin y = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,$\sin(\tan^{-1} x) = \sin y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

(D) $x = 0$ ની નજીક $\sin^{-1} x$ અને $\tan^{-1} x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3})}{3x^3}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3}}{3x^3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{1+2}{6}}{3} = \frac{3/6}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
$L = 1/6$ આપેલ હોવાથી,$6L + 1$ ની ગણતરી કરતા:
$6(1/6) + 1 = 1 + 1 = 2$

(B) આપેલ પદ: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right)-1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)$
કારણ કે $\frac{15 \pi}{4} = 4 \pi - \frac{\pi}{4}$,તેથી $\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right) = \cos \left(4 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1}\right) = \tan ^{-1}(1-\sqrt{2})$.
નિત્યસમ $\tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2}-1$.
તેથી,$\tan \left(-\frac{\pi}{8}\right) = -(\sqrt{2}-1) = 1-\sqrt{2}$.
આમ,$\tan ^{-1}(1-\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{8}$.

(C) ધારો કે $\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) = \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
આપેલ પદાવલિને $E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \cos \theta + \frac{2}{5} \sin \theta\right)$ ધારો.
$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{5}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{8}{25}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{16}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{3}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $x = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)$.
દલીલનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$x = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
ધારો કે $y = \sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)$.
દલીલનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{\frac{4(2+\sqrt{3})}{3(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$y = \sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x + y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ વિધેય $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ છે.
વિધેય અયુગ્મ કે યુગ્મ છે તે તપાસવા માટે,આપણે $g(-u)$ ની કિંમત શોધીએ:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
આ કિંમત $g(-u)$ માં મૂકતા:
$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -g(u)$.
તેથી,$g(-u) = -g(u)$ હોવાથી,વિધેય અયુગ્મ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,આપણે વિકલન $g'(u)$ શોધીએ:
$g'(u) = \frac{d}{du} (2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
બધા $u \in (-\infty, \infty)$ માટે $e^u > 0$ હોવાથી,$g'(u) > 0$ થાય છે.
તેથી,$g$ એ $(-\infty, \infty)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)$.
નિત્યસમ $\sec A \sec B = \frac{\sin(B-A)}{\cos A \cos B \sin(B-A)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $B-A = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sec A \sec B = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos A \cos B \sin(\pi/2)} = \frac{\tan B - \tan A}{\sin(\pi/2)} = \tan B - \tan A$.
અહીં,$A = \frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}$ અને $B = \frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} (\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}))$ બને છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $\tan(\frac{7 \pi}{12} + \frac{11 \pi}{2}) - \tan(\frac{7 \pi}{12})$.
કારણ કે $\tan(\theta + \frac{11 \pi}{2}) = \tan(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cot \theta$,સરવાળો $-\cot(\frac{7 \pi}{12}) - \tan(\frac{7 \pi}{12}) = -(\frac{\cos(7 \pi / 12)}{\sin(7 \pi / 12)} + \frac{\sin(7 \pi / 12)}{\cos(7 \pi / 12)}) = -\frac{1}{\sin(7 \pi / 12) \cos(7 \pi / 12)} = -\frac{2}{\sin(7 \pi / 6)} = -\frac{2}{-1/2} = 4$ થાય.
પદાવલિ $\sec^{-1}(\frac{1}{4} \times 4) = \sec^{-1}(1) = 0$ છે.

(A) આપણને પદાવલિ $\cot ^{-1}\left(2 \cos \left(2 \operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})\right)\right)$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})$ ની કિંમત શોધો.
કારણ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$,તેથી $\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$ થાય.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી પદાવલિ $2 \times 0 = 0$ બને છે.
અંતે,આપણે $\cot ^{-1}(0)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી $\cot ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $\cot ^{-1} x = t$.
તેથી,$x = \cot t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $1 + \cot^2 t = \operatorname{cosec}^2 t$ થાય.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $1 + x^2 = \operatorname{cosec}^2 t$ મળે છે.
તેથી,$\operatorname{cosec} t = \sqrt{1 + x^2}$.
કારણ કે $\sin t = \frac{1}{\operatorname{cosec} t}$,તેથી $\sin t = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
આમ,$\sin (\cot ^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{3 \pi}{4}$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે પદને સાદું રૂપ આપીશું:
$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{4}\right) = \sin ^{-1}\left[\sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\right]$
નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)$
કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી પદનું સાદું રૂપ:
$= \frac{\pi}{4}$

(C) ધારો કે $\theta = \sin ^{-1} 0.8$. તેથી $\sin \theta = 0.8$ થાય.
આપણે $\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પહેલા આપણે $\cos \theta$ શોધીએ.
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sin(2\theta) = 2 \times 0.8 \times 0.6 = 0.96$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(x)$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{2 \pi}{3}$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right) = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$= \frac{\pi}{3}$