Application of differential equations Questions in Hindi

(C) मान लीजिए $P(t)$ समय $t$ पर जनसंख्या है। परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = kP$ द्वारा दी गई है,जो $P(t) = P_0 e^{kt}$ की ओर ले जाती है।
मान लीजिए $t=0$ वर्ष $1984$ के अनुरूप है। तब $P_A(0) = 20,000$ और $P_B(0) = 20,000$ है।
नगर $A$ के लिए $t=5$ (वर्ष $1989$) पर,$P_A(5) = 20,000 e^{5k_A} = 25,000$,इसलिए $e^{5k_A} = 1.25$ है।
नगर $B$ के लिए $t=5$ (वर्ष $1989$) पर,$P_B(5) = 20,000 e^{5k_B} = 28,000$,इसलिए $e^{5k_B} = 1.4$ है।
$t=10$ (वर्ष $1994$) पर:
$P_A(10) = 20,000 (e^{5k_A})^2 = 20,000 (1.25)^2 = 20,000 \times 1.5625 = 31,250$ है।
$P_B(10) = 20,000 (e^{5k_B})^2 = 20,000 (1.4)^2 = 20,000 \times 1.96 = 39,200$ है।
अंतर $|39,200 - 31,250| = 7,950$ है।

(B) माना किसी समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है।
न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,$\frac{d \theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,जहाँ $k > 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln(\theta - 20) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$ है।
अतः,$\ln(\theta - 20) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -kt$ है।
$t = 15$ मिनट पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -15k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -15k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{15}$ है।
$t = 1$ घंटा $= 60$ मिनट के लिए,हमारे पास $\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -60 \times \frac{\ln(2)}{15} = -4 \ln(2) = \ln\left(\frac{1}{16}\right)$ है।
इसलिए,$\frac{\theta - 20}{80} = \frac{1}{16} \Rightarrow \theta - 20 = 5 \Rightarrow \theta = 25^{\circ} C$ है।

(B) पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 64$ ग्राम है।
अर्ध-आयु काल $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल व्यतीत समय $t = 15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे पदार्थ की मात्रा का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
मान रखने पर: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ ग्राम।
अतः,$15$ वर्ष बाद शेष बची मात्रा $8$ ग्राम है।

(B) माना समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है।
यह दिया गया है कि क्षय की दर उपस्थित मात्रा के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dm}{dt} = -km$, जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dm}{m} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\ln m = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $m = 60$, इसलिए $\ln 60 = c$।
अतः, $\ln m = -kt + \ln 60$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600 \text{ years}$ दी गई है, इसलिए $t = 1600$ पर, $m = \frac{60}{2} = 30$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln 30 = -1600k + \ln 60$, जिससे $1600k = \ln 60 - \ln 30 = \ln 2$ प्राप्त होता है।
अतः, $k = \frac{\ln 2}{1600}$।
अब, $t = 3200$ के लिए, मात्रा $m$ इस प्रकार है: $\ln m = -\left(\frac{\ln 2}{1600}\right)(3200) + \ln 60$।
$\ln m = -2 \ln 2 + \ln 60 = -\ln 4 + \ln 60 = \ln \left(\frac{60}{4}\right) = \ln 15$।
इसलिए, $m = 15 \text{ grams}$।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या $x$ है।
वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = kx$ है।
चरों को अलग करके और समाकलन करने पर,हमें $\ln x = kt + c$ प्राप्त होता है,या $x = e^{kt+c} = Ae^{kt}$,जहाँ $A = e^c$ समय $t=0$ पर बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है।
$t=3$ पर,$x = 10^4$,इसलिए $10^4 = Ae^{3k}$ ... $(i)$
$t=5$ पर,$x = 4 \cdot 10^4$,इसलिए $4 \cdot 10^4 = Ae^{5k}$ ... (ii)
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{4 \cdot 10^4}{10^4} = \frac{Ae^{5k}}{Ae^{3k}} \Rightarrow 4 = e^{2k} \Rightarrow e^k = 2$ प्राप्त होता है।
$e^k = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $10^4 = A(e^k)^3 = A(2)^3 = 8A$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \frac{10^4}{8}$।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है:
$\frac{dm}{dt} = -km$,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dm}{m} = -k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln m = -kt + C$
$t = 0$ पर,$m = m_0$,इसलिए $C = \ln m_0$।
अतः,$\ln \left(\frac{m}{m_0}\right) = -kt$।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$m = \frac{m_0}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln \left(\frac{m_0/2}{m_0}\right) = -kh$
$\ln \left(\frac{1}{2}\right) = -kh$
$-\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dm}{dt}$ का मान है:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{t=0} = -k m_0 = -\left(\frac{\ln 2}{h}\right) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$।

(B) आयतन $V$ के परिवर्तन की दर इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ के समानुपाती है।
$dV/dt = -kS$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $S = 4 \pi r^2$,इसलिए $dV/dt = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4 \pi r^2)$।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -k$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$r(t) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3 \ mm$,इसलिए $3 = -k(0) + C \Rightarrow C = 3$।
अतः,$r(t) = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$r = 2 \ mm$,इसलिए $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$।
इसलिए,किसी भी समय $t$ पर त्रिज्या $r(t) = 3 - t$ होगी।

(A) माना $t$ घंटों पर बैक्टीरिया की संख्या $B(t)$ है।
दिया गया है कि वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए अवकल समीकरण: $\frac{dB}{dt} = kB$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर,$B(t) = B_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $B_0$ प्रारंभिक संख्या $N$ है।
$t = 8$ पर,$B(8) = 2N$,इसलिए $2N = N e^{8k}$,जिसका अर्थ है $e^{8k} = 2$।
हमें $t = 24$ घंटों पर बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात करनी है।
$B(24) = N e^{24k} = N (e^{8k})^3$।
$e^{8k} = 2$ रखने पर,हमें $B(24) = N (2)^3 = 8N$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर बर्फ की मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -cx$,जहाँ $c > 0$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $x(t) = x_0 e^{-ct}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $15 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 15$ पर,$x(15) = \frac{1}{2} x_0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} x_0 = x_0 e^{-15c}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-15c} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $30 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा ज्ञात करनी है,जो $x(30) = x_0 e^{-30c}$ है।
$x(30) = x_0 (e^{-15c})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} x_0$ है।
इसे $k x_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $M$ है। क्षय की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{dM}{dt} = -kM$,जहाँ $k > 0$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln M = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$M = m_0$,इसलिए $\ln m_0 = c$ है।
अतः,$\ln M = -kt + \ln m_0$,जिसे $\ln(\frac{M}{m_0}) = -kt$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$M = \frac{m_0}{2}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln(\frac{1}{2}) = -kh \Rightarrow -\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dM}{dt}$ का मान है।
$\frac{dM}{dt} = -k m_0 = -(\frac{\ln 2}{h}) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$।

(B) वाष्पीकरण की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi R^2$ के समानुपाती है। चूँकि आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है,आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -k(4\pi R^2)$,इसलिए $4\pi R^2 \frac{dR}{dt} = -k(4\pi R^2)$,जो सरल होकर $\frac{dR}{dt} = -k$ हो जाता है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $R(t) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$R = 3$,इसलिए $C = 3$। अतः $R(t) = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$R = 2$,इसलिए $2 = -k(1) + 3$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R(t) = 3 - t$।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि शर्तें $R(0)=3$ और $R(1)=2$ विकल्प $(B)$ $R(t + 2) = 6$ द्वारा संतुष्ट होती हैं,क्योंकि $t=0$ पर $R=3$ और $t=1$ पर $R=2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.5 P - 450 = \frac{1}{2}(P - 900)$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2 dP}{P - 900} = dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2 \int \frac{dP}{P - 900} = \int dt \Rightarrow 2 \ln |P - 900| = t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $P(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $2 \ln |850 - 900| = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln 50$.
अतः,समीकरण $2 \ln |P - 900| = t + 2 \ln 50$ है।
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब जनसंख्या $P=0$ हो जाती है:
$2 \ln |0 - 900| = t + 2 \ln 50$
$2 \ln 900 = t + 2 \ln 50$
$t = 2 \ln 900 - 2 \ln 50 = 2 \ln \left( \frac{900}{50} \right) = 2 \ln 18$.

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर मौजूद बैक्टीरिया की संख्या $x$ है।
वृद्धि की दर बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = kx$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{x} = k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log x = kt + c$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $t = 3$ पर,$x = 10,000$,इसलिए $\log(10,000) = 3k + c$ ... $(ii)$ है।
दिया गया है कि $t = 5$ पर,$x = 40,000$,इसलिए $\log(40,000) = 5k + c$ ... $(iii)$ है।
$(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$\log(40,000) - \log(10,000) = 2k$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\log(4) = 2k$ हो जाता है,इसलिए $k = \log(2)$ है।
$k = \log(2)$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$\log(10,000) = 3\log(2) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \log(10,000) - \log(8) = \log(\frac{10,000}{8}) = \log(1250)$ है।
शुरुआत में,$t = 0$ पर,$\log x = k(0) + c$,इसलिए $\log x = \log(1250)$ है।
अतः,शुरुआत में बैक्टीरिया की संख्या $x = 1250$ है।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर संपत्ति $x$ है। दिया गया है $\frac{dx}{dt} = k \sqrt{x}$।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int x^{-1/2} dx = \int k dt$,जिससे $2 \sqrt{x} = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = 9$,इसलिए $2 \sqrt{9} = k(0) + C \Rightarrow C = 6$।
अतः,$2 \sqrt{x} = kt + 6$।
$t = 2$ पर,$x = 16$,इसलिए $2 \sqrt{16} = k(2) + 6 \Rightarrow 8 = 2k + 6 \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1$।
समीकरण $2 \sqrt{x} = t + 6$ बन जाता है।
$5$ और वर्षों के बाद,$t = 2 + 5 = 7$।
$t = 7$ रखने पर,$2 \sqrt{x} = 7 + 6 = 13$।
$\sqrt{x} = 6.5$।
$x = (6.5)^2 = 42.25$ करोड़।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 10^{\circ} C$ परिवेश का तापमान है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-Kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 110^{\circ} C$ और $T_s = 10^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $T(t) = 10 + 100e^{-Kt}$ बन जाता है।
$t = 1 \text{ घंटा}$ पर,$T = 60^{\circ} C$:
$60 = 10 + 100e^{-K(1)} \Rightarrow 50 = 100e^{-K} \Rightarrow e^{-K} = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \log 2$.
अब,$T = 30^{\circ} C$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक कुल समय $t$ ज्ञात करते हैं:
$30 = 10 + 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow 20 = 100e^{-(\log 2)t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-(\log 2)t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\log 5 = -(\log 2)t \Rightarrow t = \frac{\log 5}{\log 2}$.
आवश्यक अतिरिक्त समय $t - 1 = \frac{\log 5}{\log 2} - 1 \text{ घंटे}$ है।

(C) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर बर्फ की मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -kx$ (जहाँ $k > 0$ है)।
इसका समाकलन करने पर,हमें $x(t) = x_0 e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $20 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 20$ पर,$x(20) = \frac{x_0}{2}$ है।
अतः,$\frac{x_0}{2} = x_0 e^{-20k}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-20k} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $40 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा ज्ञात करनी है,जो $x(40) = x_0 e^{-40k}$ है।
$x(40) = x_0 (e^{-20k})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{x_0}{4}$ है।
चूंकि बची हुई मात्रा $Kx_0$ है,इसलिए $Kx_0 = \frac{x_0}{4}$,जिससे $K = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है। दिया गया है $\frac{dP}{dt} = kP$।
समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P = 20$ लाख,इसलिए $P_0 = 20$।
$t = 30$ पर,$P = 40$ लाख,इसलिए $40 = 20 e^{30k} \Rightarrow e^{30k} = 2 \Rightarrow e^{15k} = \sqrt{2}$।
हमें अगले $15$ वर्षों के बाद,यानी $t = 30 + 15 = 45$ वर्षों पर जनसंख्या ज्ञात करनी है।
$P(45) = 20 e^{45k} = 20 (e^{15k})^3 = 20 (\sqrt{2})^3 = 20 (2 \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2}$ लाख।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 30^{\circ} F$ परिवेश का तापमान है।
$\frac{dT}{dt} = -K(T - 30) \Rightarrow \int \frac{dT}{T - 30} = \int -K dt$
$\ln |T - 30| = -Kt + C \Rightarrow T - 30 = Ae^{-Kt}$,जहाँ $A = e^C$ है।
$t = 10$ के लिए: $0 - 30 = Ae^{-10K} \Rightarrow -30 = Ae^{-10K} \quad (1)$
$t = 20$ के लिए: $15 - 30 = Ae^{-20K} \Rightarrow -15 = Ae^{-20K} \quad (2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{-15}{-30} = \frac{Ae^{-20K}}{Ae^{-10K}} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-10K} \Rightarrow e^{-10K} = 0.5$।
इस प्रकार,$K = 0.0693$ और $A = -60$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = 30 - 60e^{-0.0693t}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T = -60e^{-0.03010t} + 30$ सही उत्तर है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
समाकलन करने पर,$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta_0 = 25^{\circ} C$ है। $t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(55)$।
$t = 30$ पर,$\theta = 50^{\circ} C$,इसलिए $\ln(25) = -30k + \ln(55)$,जिसका अर्थ है $-30k = \ln(\frac{25}{55}) = \ln(\frac{5}{11})$।
$t = 60 \text{ मिनट}$ के लिए,$\ln(\theta - 25) = -k(60) + \ln(55) = 2 \ln(\frac{5}{11}) + \ln(55) = \ln(\frac{25}{121} \times 55) = \ln(\frac{125}{11})$।
$\theta - 25 = \frac{125}{11} \approx 11.36$।
अतः,$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$।

(C) माना रेडियम की प्रारंभिक मात्रा $x_0$ है।
चूंकि विघटन की दर मौजूद मात्रा के समानुपाती है,इसलिए शेष मात्रा घातीय क्षय मॉडल का पालन करती है।
$1$ वर्ष के बाद,$P \%$ मात्रा गायब हो जाती है,इसलिए शेष मात्रा $x_1 = x_0 - \frac{P}{100}x_0 = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)$ है।
माना $k = \left(1-\frac{P}{100}\right)$ प्रत्येक वर्ष के बाद बचा हुआ अंश है।
$2$ वर्ष के बाद,शेष मात्रा $x_2 = x_1 \times k = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right) \times \left(1-\frac{P}{100}\right) = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)^2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.05 P$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dP}{P} = 0.05 dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P} = \int 0.05 dt$.
यह प्राप्त होता है: $\ln P = 0.05 t + C$.
जब $t = 0$ है,तो प्रारंभिक जनसंख्या $P_0$ मान लें,इसलिए $\ln P_0 = C$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\ln P = 0.05 t + \ln P_0$,जो $\ln(\frac{P}{P_0}) = 0.05 t$ में सरल हो जाता है।
हमें $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या दोगुनी हो जाए,अर्थात $P = 2P_0$.
यह मान रखने पर: $\ln(\frac{2P_0}{P_0}) = 0.05 t$.
$\ln 2 = 0.05 t$.
चूंकि $0.05 = \frac{1}{20}$,इसलिए $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
अतः,$t = 20 \ln 2$ वर्ष।

(C) वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
$\frac{dN}{dt} = kN \Rightarrow \frac{dN}{N} = k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln N = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$N = 1000$,इसलिए $C = \ln 1000$.
अतः,$\ln N = kt + \ln 1000 \Rightarrow \ln(\frac{N}{1000}) = kt \Rightarrow N = 1000 e^{kt}$.
दिया है कि $t = 1$ पर,$N = 2000$,इसलिए $2000 = 1000 e^k$,जिसका अर्थ है $e^k = 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,$N = 1000 \times (e^k)^t = 1000 \times 2^t$.
$t = 2 \frac{1}{2} = 2.5$ घंटे के लिए:
$N = 1000 \times 2^{2.5} = 1000 \times 2^2 \times 2^{0.5} = 1000 \times 4 \times \sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2} = 1.414$ दिया गया है,इसलिए $N = 1000 \times 4 \times 1.414 = 5656$.

(B) माना समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है। परिवेश का तापमान $\theta_s = 20^{\circ} C$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - \theta_s)$.
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 20) = -Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -Kt$.
$t = 20 \text{ मिनट}$ पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -K(20) \Rightarrow \ln(0.5) = -20K \Rightarrow K = \frac{-\ln(0.5)}{20}$.
हमें $t = 60 \text{ मिनट}$ (एक घंटा) पर $\theta$ ज्ञात करना है।
$\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -\left(\frac{-\ln(0.5)}{20}\right)(60) = 3 \ln(0.5) = \ln(0.5^3) = \ln(0.125)$.
$\frac{\theta - 20}{80} = 0.125 = \frac{1}{8}$.
$\theta - 20 = 10 \Rightarrow \theta = 30^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए $b$ बैक्टीरिया की संख्या है।
हमारे पास $\frac{db}{dt} \propto b \Rightarrow \int \frac{db}{b} = \int K dt$ है।
$\therefore \log b = Kt + c$ ...$(1)$
मान लीजिए $b_{0}$ बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है। $t = 0$ पर,$b = b_{0}$।
$\log b_{0} = K(0) + c \Rightarrow c = \log b_{0}$।
$\therefore \log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = Kt$ ...$(2)$
जब $t = 3, b = 2b_{0}$।
$\therefore \log \left(\frac{2b_{0}}{b_{0}}\right) = 3K \Rightarrow K = \frac{1}{3}(\log 2)$।
अतः,$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)t$।
जब $t = 6$:
$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)(6) = 2 \log 2 = \log 4$।
$\therefore \frac{b}{b_{0}} = 4 \Rightarrow b = 4b_{0}$।
इसलिए,बैक्टीरिया की संख्या मूल संख्या का $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) मान लीजिए कि $t \text{ मिनट}$ पर पानी का तापमान $\theta^{\circ} C$ है। कमरे का तापमान $T_s = 25^{\circ} C$ है।
न्यूटन के शीतलन (cooling) नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - T_s)$।
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(75) = C$।
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -Kt$।
$t = 15$ पर,$\theta = 75^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{75 - 25}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{50}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{3}\right) = -15K$।
इसलिए,$K = -\frac{1}{15} \ln\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)$।
अब,$t = 30 \text{ मिनट}$ के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -30 \times \left(\frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)\right) = -2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right) = \ln\left(\frac{4}{9}\right)$।
अतः,$\frac{\theta - 25}{75} = \frac{4}{9} \Rightarrow \theta - 25 = \frac{4 \times 75}{9} = \frac{300}{9} = \frac{100}{3}$।
$\theta = 25 + \frac{100}{3} = \frac{75 + 100}{3} = \frac{175}{3}^{\circ} C$।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $x$ है। वृद्धि की दर $\frac{dx}{dt}$ है,जो $x$ के समानुपाती है।
$\frac{dx}{dt} = Kx \Rightarrow \frac{dx}{x} = Kdt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln x = Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,मान लीजिए $x = x_0$,इसलिए $C = \ln x_0$.
अतः,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = Kt$.
दिया गया है कि संख्या $4$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $t = 4$ पर,$x = 2x_0$.
$\ln(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\ln 2}{4}$.
$K$ का मान वापस रखने पर,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{t}{4} \ln 2$.
$t = 12$ के लिए,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{12}{4} \ln 2 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$.
इसलिए,$\frac{x}{x_0} = 8$,जिसका अर्थ है कि बैक्टीरिया $8$ गुना बढ़ जाते हैं।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 1000 \text{ mg}$,$t = 50 \text{ दिन}$,और $T_{1/2} = 10 \text{ दिन}$।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{50}{10} = 5$ है।
शेष द्रव्यमान $N(t) = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$ होगा।
$N(t) = 1000 \times \frac{1}{32} = \frac{1000}{32} \text{ mg}$।
अंश और हर को $8$ से विभाजित करने पर,हमें $N(t) = \frac{125}{4} \text{ mg}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है और प्रारंभिक जनसंख्या $P_{0}$ है।
दिया गया है $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$.
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln P = \frac{t}{20} + C$.
जब $t = 0$,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = \frac{t}{20} + \ln P_{0}$,जो $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ में बदल जाता है।
जनसंख्या को दोगुना करने के लिए,$P = 2P_{0}$,इसलिए $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
दिए गए मान $\log 2 = 0.6912$ का उपयोग करने पर,$t = 20 \times 0.6912 = 13.824$ वर्ष।

(D) माना $t$ समय पर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या $N$ है। माना प्रारंभिक संख्या $N_{0}$ है। यहाँ $\frac{dN}{dt} \propto N \Rightarrow \frac{dN}{dt}=KN \Rightarrow \frac{dN}{N}=K dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dN}{N} = \int K dt \Rightarrow \log N = Kt + C$.
जब $t=0$,$N=N_{0}$,इसलिए $\log N_{0} = C$.
अतः,$\log N - \log N_{0} = Kt \Rightarrow \log \left(\frac{N}{N_{0}}\right) = Kt$.
जब $t=4$ घंटे,$N=2N_{0}$,इसलिए $\log(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\log 2}{4}$.
अब,हमें $t$ ज्ञात करना है जब $N=4N_{0}$.
मान रखने पर: $\log \left(\frac{4N_{0}}{N_{0}}\right) = \left(\frac{\log 2}{4}\right)t$.
$\log 4 = \frac{t}{4} \log 2 \Rightarrow 2 \log 2 = \frac{t}{4} \log 2$.
$\log 2$ से भाग देने पर,$2 = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 8$ घंटे.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि बैक्टीरिया की संख्या हर $4$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $4$ घंटे बाद यह $2N$ हो जाती है,और अगले $4$ घंटे बाद (कुल $8$ घंटे),यह $2 \times (2N) = 4N$ हो जाती है।

(A) माना $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $t$ वर्षों के बाद जनसंख्या $P$ है। वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln P = 0.08 t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = 0.08 t + \ln P_{0}$,जिसे सरल करने पर $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0.08 t$ प्राप्त होता है।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2 P_{0}$,इसलिए $\ln 2 = 0.08 t$.
दिया गया है कि $\log 2 = 0.6912$,इसलिए $t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64$ वर्ष।

(D) मान लीजिए समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है।
क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dm}{m} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log m = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$m = m_{0}$,इसलिए $\log m_{0} = -k(0) + C$,जिससे $C = \log m_{0}$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\log m = -kt + \log m_{0}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\log m - \log m_{0} = -kt$,या $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -kt$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = -\frac{1}{k} \log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m}\right)$।
जब $m = m_{1}$ हो,तो समय $t = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$ होगा।

(D) माना प्रारंभिक जनसंख्या $P_{0}$ है और $t$ समय पर जनसंख्या $P$ है।
वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$ दी गई है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln P = \frac{t}{20} + C$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$ है,तो $P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$।
मान रखने पर,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।
जनसंख्या को दोगुना करने के लिए $P = 2P_{0}$ रखने पर,$\ln 2 = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $\log 2 = 0.6912$ का उपयोग करने पर,$t = 20 \times 0.6912 = 13.8240$ वर्ष।

(C) दिया गया है कि क्षय की दर द्रव्यमान के समानुपाती है: $\frac{dm}{dt} = -Km$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dm}{m} = \int -K dt$.
इससे $\log m = -Kt + c$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$,तब $m = m_{0}$,इसलिए $\log m_{0} = c$.
$c$ का मान वापस रखने पर: $\log m = -Kt + \log m_{0}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log m - \log m_{0} = -Kt$,जिसका अर्थ है $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -Kt$.
जब $m = m_{1}$ हो,तो हमें $\log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = -Kt$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = -\frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = \frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP(t)}{dt} = 0.5 P(t) - 450$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dP(t)}{dt} = \frac{1}{2} P(t) - 450 = \frac{P(t) - 900}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dP(t)}{P(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |P(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 \log |P(t) - 900| = t + C'$.
चूंकि $P(0) = 850$ दिया गया है,मान रखने पर: $2 \log |850 - 900| = 0 + C' \Rightarrow C' = 2 \log 50$.
अतः,समीकरण है: $2 \log |P(t) - 900| = t + 2 \log 50$.
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब जनसंख्या शून्य हो जाती है,$P(t) = 0$ रखें:
$2 \log |0 - 900| = t + 2 \log 50$.
$t = 2 \log 900 - 2 \log 50 = 2 \log \left( \frac{900}{50} \right) = 2 \log 18$.

(B) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है।
दिया गया है कि वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = \lambda P$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P} = \int \lambda dt \Rightarrow \ln P = \lambda t + C$.
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = \lambda t + \ln P_{0} \Rightarrow \ln \left(\frac{P}{P_{0}}\right) = \lambda t$.
दिया गया है कि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है: $\ln \left(\frac{2P_{0}}{P_{0}}\right) = 50\lambda \Rightarrow \ln 2 = 50\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{50}$.
अब,हमें $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या तीन गुनी $(P = 3P_{0})$ हो जाती है:
$\ln \left(\frac{3P_{0}}{P_{0}}\right) = \lambda t \Rightarrow \ln 3 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right) t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = 50 \left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right) \text{ वर्ष}$.

(D) माना कि $t$ समय पर उपस्थित रेडियम की मात्रा $R$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dR}{dt} = kR$.
चरों को अलग करके समाकलन करने पर,हमें $\ln R = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$R = R_0$,इसलिए $C = \ln R_0$.
अतः,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = kt$.
दिया गया है कि $t = 1600$ पर,$R = \frac{1}{2}R_0$,इसलिए $\ln \left( \frac{1}{2} \right) = 1600k$.
$k = \frac{-\ln 2}{1600} = \frac{-0.6931}{1600} \approx -0.000433$.
$t = 100$ के लिए,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = (-0.000433) \times 100 = -0.0433$.
इसलिए,$\frac{R}{R_0} = e^{-0.0433} = 0.9576$.
इसका अर्थ है कि $R = 0.9576 R_0$.
प्रतिशत हानि $\frac{R_0 - R}{R_0} \times 100 = \frac{R_0 - 0.9576 R_0}{R_0} \times 100 = 0.0424 \times 100 = 4.24 \%$ है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ की शेष मात्रा $x$ है। क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है।
अवकल समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int -k dt \implies \ln x = -kt + C$।
$t = 0$ पर,$x = 27$,इसलिए $C = \ln 27$। अतः,$\ln x = -kt + \ln 27$,या $\ln(\frac{x}{27}) = -kt$।
$t = 3$ पर,$x = 8$,इसलिए $\ln(\frac{8}{27}) = -3k$।
चूँकि $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$,हमें प्राप्त होता है $\ln((\frac{2}{3})^3) = -3k \implies 3 \ln(\frac{2}{3}) = -3k \implies k = -\ln(\frac{2}{3}) = \ln(\frac{3}{2})$।
$k$ का मान वापस रखने पर: $\ln(\frac{x}{27}) = -t \ln(\frac{3}{2}) = t \ln(\frac{2}{3})$।
$t = 4$ के लिए,$\ln(\frac{x}{27}) = 4 \ln(\frac{2}{3}) = \ln((\frac{2}{3})^4) = \ln(\frac{16}{81})$।
अतः,$\frac{x}{27} = \frac{16}{81} \implies x = 27 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{3} \text{ gms}$।

$(A)$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_m)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_m = 290 \ K$ परिवेश का तापमान है।
समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \frac{dT}{T - 290} = \int -k \ dt \Rightarrow \ln(T - 290) = -kt + C$.
$t = 0$ पर,$T = 370 \ K$: $\ln(370 - 290) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
अतः,$\ln(T - 290) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{T - 290}{80}\right) = -kt$.
$t = 10 \ \text{मिनट}$ पर,$T = 330 \ K$: $\ln\left(\frac{330 - 290}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{40}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -10k \Rightarrow -\ln(2) = -10k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{10}$.
अब,$T = 295 \ K$ के लिए: $\ln\left(\frac{295 - 290}{80}\right) = -kt \Rightarrow \ln\left(\frac{5}{80}\right) = -\left(\frac{\ln(2)}{10}\right)t$.
$\ln\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow -\ln(16) = -\frac{\ln(2)}{10}t$.
$-4 \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow t = 40 \ \text{मिनट}$.

(B) मान लीजिए सूक्ष्मजीवों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
दिया गया है कि सूक्ष्मजीव हर $3$ घंटे में दोगुने हो जाते हैं।
यह वृद्धि प्रक्रिया अवकल समीकरण $\frac{dN}{dt} = kN$ द्वारा नियंत्रित होती है।
इसका हल $N(t) = N_0 e^{kt}$ है।
$t = 3$ पर,$N(3) = 2N_0$,इसलिए $2N_0 = N_0 e^{3k}$,जिसका अर्थ है $e^{3k} = 2$।
हमें यह ज्ञात करना है कि $18$ घंटे में जनसंख्या कितने गुना बढ़ जाएगी,जो $\frac{N(18)}{N_0}$ है।
$N(18) = N_0 e^{18k} = N_0 (e^{3k})^6$।
$e^{3k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(18) = N_0 (2)^6$ प्राप्त होता है।
$N(18) = 64 N_0$।
अतः,यह $64$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta_0 = 10^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\theta(t) = \theta_0 + Ce^{-kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 110^{\circ} C$,इसलिए $110 = 10 + C \Rightarrow C = 100$।
अतः,$\theta(t) = 10 + 100e^{-kt}$।
$t = 1$ घंटे पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $60 = 10 + 100e^{-k} \Rightarrow 50 = 100e^{-k} \Rightarrow e^{-k} = \frac{1}{2}$।
लघुगणक लेने पर,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $k = \ln 2$।
अब,हम कुल समय $t$ ज्ञात करते हैं जब $\theta = 30^{\circ} C$ हो:
$30 = 10 + 100e^{-kt} \Rightarrow 20 = 100e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = \frac{1}{5}$।
लघुगणक लेने पर,$-kt = \ln(1/5) = -\ln 5$,इसलिए $kt = \ln 5$।
चूंकि $k = \ln 2$,इसलिए $t = \frac{\ln 5}{\ln 2}$ घंटे।
आवश्यक अतिरिक्त समय $t - 1 = \frac{\ln 5}{\ln 2} - 1$ घंटे है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $N(t)$ है। वृद्धि की दर बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = kN$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $N(t) = N_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $N_0$ बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है।
यह दिया गया है कि संख्या $4$ घंटों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $N(4) = 2N_0$।
अतः,$2N_0 = N_0 e^{4k}$,जिसका अर्थ है $e^{4k} = 2$।
हमें $12$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात करनी है,जो $N(12) = N_0 e^{12k}$ है।
$N(12) = N_0 (e^{4k})^3$।
$e^{4k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(12) = N_0 (2)^3 = 8N_0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$12$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की संख्या $8N$ होगी।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर रेडियोधर्मी तत्व का द्रव्यमान $m$ है।
विघटन की दर $\frac{dm}{dt}$ है,जो $m$ के समानुपाती है।
$\frac{dm}{dt} = -km$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dm}{m} = -k \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{m} \, dm = -k \int dt + C$,जिससे $\log m = -kt + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,$m = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$\log \left(\frac{3}{2}\right) = -k(0) + C$,जिसका अर्थ है $C = \log \left(\frac{3}{2}\right)$।
समीकरण $\log m = -kt + \log \left(\frac{3}{2}\right)$ बन जाता है,या $\log \left(\frac{m}{3/2}\right) = -kt$,जो सरल होकर $\log \left(\frac{2m}{3}\right) = -kt$ हो जाता है।
जब $m = 0.5 = \frac{1}{2}$ हो,तो $\log \left(\frac{2 \times (1/2)}{3}\right) = -kt$।
$\log \left(\frac{1}{3}\right) = -kt$।
$-\log 3 = -kt$,इसलिए $t = \frac{1}{k} \log 3$।
इस प्रकार,आवश्यक समय $\log 3$ के समानुपाती है।

(C) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $t$ वर्षों के बाद जनसंख्या $P$ है। वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{8P}{100} = 0 \cdot 08P$ है।
अवकल समीकरण $\frac{dP}{P} = 0 \cdot 08 dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\ln P = 0 \cdot 08t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$ है,इसलिए $C = \ln P_{0}$ है।
अतः,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0 \cdot 08t$।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2P_{0}$ रखने पर,$\ln 2 = 0 \cdot 08t$ प्राप्त होता है।
दिए गए $\log 2 = 0 \cdot 6912$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{0 \cdot 6912}{0 \cdot 08} = \frac{69 \cdot 12}{8} = 8 \cdot 64$ वर्ष।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $p$ है। दिया गया है कि जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है:
$\frac{dp}{dt} = kp$
चरों को अलग करके समाकलन करने पर:
$\int \frac{dp}{p} = \int k dt \Rightarrow \ln p = kt + c$
$t = 0$ पर,मान लीजिए $p = p_0$ है। तब $c = \ln p_0$।
अतः,$\ln \left(\frac{p}{p_0}\right) = kt$।
दिया गया है कि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है $(t = 50, p = 2p_0)$:
$\ln 2 = 50k \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{50}$।
अब,हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या $4p_0$ हो जाए:
$\ln \left(\frac{4p_0}{p_0}\right) = kt
\ln 4 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
2 \ln 2 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
t = 2 \times 50 = 100 \text{ वर्ष}$।

(B) हमारे पास $\frac{dP}{dt} \propto P$ है,जिसका अर्थ है $\frac{dP}{dt} = kP$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int k dt$,अतः $\log P = kt + \log c$।
जब $t = 0$,$P = 20,000$,तो $\log 20,000 = \log c$।
जब $t = 10$,$P = 40,000$,तो $\log 40,000 = 10k + \log 20,000$।
इससे $\log \left(\frac{40,000}{20,000}\right) = 10k$ प्राप्त होता है,अतः $10k = \log 2$,या $k = \frac{1}{10} \log 2$।
सामान्य समीकरण $\log P = \left(\frac{1}{10} \log 2\right) t + \log 20,000$ है।
हमें अगले $20$ वर्षों के बाद जनसंख्या चाहिए,जिसका अर्थ है $t = 10 + 20 = 30$ वर्ष पर।
$t = 30$ रखने पर: $\log P = \frac{30}{10} \log 2 + \log 20,000 = 3 \log 2 + \log 20,000 = \log (8 \times 20,000) = \log 1,60,000$।
अतः,$P = 1,60,000$।

(C) मान लीजिए $P_0$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $P$ समय $t$ पर जनसंख्या है।
दिया गया है $\frac{dP}{dt} = kP$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करके समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_0$,इसलिए $C = \ln P_0$ है।
अतः,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = kt$ है।
दिया गया है कि $t = 6$ पर,$P = 2P_0$,इसलिए $\ln(2) = 6k$,जिससे $k = \frac{\ln 2}{6}$ प्राप्त होता है।
$t = 18$ पर,$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = \left( \frac{\ln 2}{6} \right) \times 18 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$ है।
इसलिए,$\frac{P}{P_0} = 8$,जिसका अर्थ है कि बैक्टीरिया की संख्या प्रारंभिक संख्या की $8$ गुना हो जाती है।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।
$\frac{dm}{m} = -k dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\log m = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$m = m_0$,इसलिए $c = \log m_0$ है।
अतः,$\log m = -kt + \log m_0$,जिसका अर्थ है $\log(\frac{m}{m_0}) = -kt$।
अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$m = \frac{m_0}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\log(\frac{1}{2}) = -kh$,जो $-\log 2 = -kh$ या $k = \frac{\log 2}{h}$ देता है।
प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dm}{dt}$ का मान है।
$\frac{dm}{dt} = -km_0 = -(\frac{\log 2}{h})m_0 = -\frac{m_0}{h} \log 2$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = k$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y \frac{dy}{dx} = k - x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int (k - x) \, dx$.
इससे $\frac{y^2}{2} = kx - \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = 2kx - x^2 + 2C$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2kx + y^2 = 2C$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2kx + k^2) + y^2 = 2C + k^2$.
$(x - k)^2 + y^2 = 2C + k^2$.
यह $(x - h)^2 + (y - k_0)^2 = r^2$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ केंद्र $(k, 0)$ है और त्रिज्या $\sqrt{2C + k^2}$ है।
अतः,यह हल एक वृत्त को दर्शाता है।