Application of differential equations Questions in Hindi

(A) माना $t$ समय पर बैक्टीरिया की संख्या $B(t)$ है। वृद्धि की दर $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ द्वारा दी गई है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ प्राप्त होता है,जहाँ $B_0 = 1000$ है।
दिया गया है कि $t = 2$ पर,$B(2) = 1000 + 1000$ का $20\% = 1200$ है।
अतः,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$ है।
हमें दिया गया है कि $B(T) = 2000$ जहाँ $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ है।
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ का उपयोग करते हुए,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$ है।
$\lambda$ और $T$ का मान रखने पर: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$ है।
इस प्रकार,$k = 2 \log_{e} 2$ है।
अंत में,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$ है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ दी गई है।
अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{4x} - 6e^x + 9e^{2x}}{2e^{2x} + 9} = e^{2x} - \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int e^{2x} dx - \int \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9} dx$.
माना $u = \sqrt{2}e^x$,तो $du = \sqrt{2}e^x dx$,अतः $e^x dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$.
$y = \frac{1}{2}e^{2x} - \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^x}{3}) + C$.
बिंदु $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ का उपयोग करने पर:
$C = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
बिंदु $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3}) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3} = \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$.
अतः,$e^{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{2}} \left(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\right)$.

(A) दिया गया है कि एक सतत फलन $f:[0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है।
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2x f(x)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 2x dx$।
$\ln |f(x)| = x^2 + C$।
$f(x) = K e^{x^2}$,जहाँ $K = e^C$ है।
$K$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=0$ रखने पर:
$f(0) = 2 \int_0^0 t f(t) dt + 1 = 0 + 1 = 1$।
$f(x) = K e^{x^2}$ में $x=0$ रखने पर,हमें $f(0) = K e^0 = K$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = 1$,जिससे हमें $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f(1) = e^{(1)^2} = e^1 = e$।

(D) दिया गया समीकरण $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ है।
यदि $p = 0$ है,तो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\int_0^x f(t) dt = 0$ होगा। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f(x) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$p = 0$ के लिए कोई गैर-शून्य फलन $f$ मौजूद नहीं है।
यदि $p \neq 0$ है,तो कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) = p f'(x) \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{p}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = \frac{x}{p} + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी स्थिरांक $A$ के लिए $f(x) = A e^{x/p}$ है।
इस मान को मूल समाकल समीकरण में $x = 0$ पर रखने पर:
$\int_0^0 f(t) dt = p f(0) \implies 0 = p A e^0 \implies p A = 0$.
चूंकि $p \neq 0$,इसलिए $A = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$ है।
अतः,किसी भी $p \in \mathbb{R}$ के लिए,दिए गए समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई गैर-शून्य निरंतर फलन $f$ मौजूद नहीं है।
इसलिए,$S = \mathbb{R}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2 \sqrt{y}$ है,जिसमें प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ है।
स्थिति $I$: शून्य फलन $y(x) = 0$,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,समीकरण और प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है।
स्थिति $II$: किसी भी स्थिरांक $a \geq 0$ के लिए,हम फलनों का एक परिवार परिभाषित कर सकते हैं:
$y(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ (x-a)^2 & x \geq a \end{cases}$
आइए $x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बाएँ पक्ष का अवकलज: $\lim_{h \to 0^-} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
दाएँ पक्ष का अवकलज: $\lim_{h \to 0^+} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(a+h-a)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = 0$.
चूँकि बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज समान हैं,फलन $x = a$ पर अवकलनीय है।
$x > a$ के लिए,$y'(x) = 2(x-a) = 2\sqrt{(x-a)^2} = 2\sqrt{y(x)}$.
यहाँ $a$ कोई भी ऋणेतर वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या अनंत है।

(D) दिया गया है कि $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$।
$x=0$ पर,$f(0) + 0 = e$,अतः $f(0) = e$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$।
मान लीजिए $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$।
मान लीजिए $\ln y = t$,तब $\frac{1}{y} dy = dt$।
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$।
$\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$।
चूंकि $f(0) = e$,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$।
इसलिए,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,जो $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ देता है।
यह $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ में सरल हो जाता है। चूंकि क्षेत्रफल $4\pi$ है,त्रिज्या $r = 2$ है,इसलिए $2k = 4$,जिसका अर्थ है $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$।
$y(1) = 0$ का उपयोग करते हुए,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,इसलिए $(1+a)^2 = 0$,जो $a = -1$ देता है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ रखें: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$।
अतः $P = (0, 2+\sqrt{3})$ और $Q = (0, 2-\sqrt{3})$ है।
वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है। $P$ तक त्रिज्या की ढाल $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल त्रिज्या की ढाल के समान होती है,जो $-\sqrt{3}$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ है।
$R$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$।
इसी प्रकार,$Q$ के लिए,त्रिज्या की ढाल $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ है।
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ है।
$S$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$।
लंबाई $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$।

(C) $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y - f(b) = f'(b)(x - b)$
चूंकि यह स्पर्श रेखा $S(0, c)$ से होकर गुजरती है,इसलिए:
$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$
$c - f(b) = -b f'(b)$
दिया गया है $bc = 3$,इसलिए $c = \frac{3}{b}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{b} - f(b) = -b f'(b)$
$b f'(b) - f(b) = -\frac{3}{b}$
दोनों पक्षों को $b^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{b f'(b) - f(b)}{b^2} = -\frac{3}{b^3}$
यह $\frac{f(b)}{b}$ का $b$ के सापेक्ष अवकलन है:
$\frac{d}{db} \left( \frac{f(b)}{b} \right) = -\frac{3}{b^3}$
दोनों पक्षों का $b$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(b)}{b} = \int -3b^{-3} db = \frac{3}{2b^2} + \lambda$
$f(b) = \frac{3}{2b} + \lambda b$
चूंकि वक्र $P(1, 3/2)$ से होकर गुजरता है:
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2(1)} + \lambda(1) \Rightarrow \lambda = 0$
अतः,$f(x) = \frac{3}{2x}$.
चूंकि वक्र $Q(a, 1/2)$ से होकर गुजरता है:
$f(a) = \frac{3}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$
अतः,$Q$ बिंदु $(3, 1/2)$ है।
दूरी $PQ$ का वर्ग है:
$PQ^2 = (3 - 1)^2 + (1/2 - 3/2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dT}{dt} = -K(T-80)$.
चरों को अलग करके समाकलन करने पर: $\int_{160}^{T} \frac{dT}{T-80} = \int_{0}^{t} -K dt$.
इससे प्राप्त होता है: $[ln |T-80|]_{160}^{T} = -Kt$.
$\ln |T-80| - \ln 80 = -Kt$.
$\ln \left| \frac{T-80}{80} \right| = -Kt$,जिसका अर्थ है $T-80 = 80e^{-Kt}$,या $T(t) = 80 + 80e^{-Kt}$.
दिया गया है $T(15) = 120$,इसलिए $120 = 80 + 80e^{-15K}$.
$40 = 80e^{-15K} \implies e^{-15K} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
हमें $T(45) = 80 + 80e^{-45K}$ ज्ञात करना है।
$T(45) = 80 + 80(e^{-15K})^3$.
$e^{-15K} = \frac{1}{2}$ रखने पर: $T(45) = 80 + 80 \times (\frac{1}{2})^3$.
$T(45) = 80 + 80 \times \frac{1}{8} = 80 + 10 = 90^{\circ} F$.

(A) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1-\left(y^{\prime}(x)\right)^2} = y(x)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1-y^2$.
वर्गमूल लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1-y^2}$.
चूंकि $y(0)=0$ और $y \geq 0$ है,हम धनात्मक मूल चुनते हैं:
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(y) = x + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=0$ का उपयोग करने पर,हमें $C=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin^{-1}(y) = x$,जिसका अर्थ है $y = \sin(x)$.
अब,अवकलज ज्ञात करते हैं:
$y^{\prime} = \cos(x)$ और $y^{\prime \prime} = -\sin(x)$.
इन मानों को $y^{\prime \prime} + y + 1$ में रखने पर:
$-\sin(x) + \sin(x) + 1 = 1$.
अतः,$x=2$ पर,मान $1$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$.
मान लीजिए $u = 1-y^2$,तो $du = -2y dy$,जिसका अर्थ है $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन इस प्रकार है: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$.
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C \Rightarrow -\sqrt{1-y^2} = x + C$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x+C)^2 + y^2 = 1$.
यह $1$ की निश्चित त्रिज्या और $(-C, 0)$ पर केंद्रों वाले वृत्तों के परिवार को दर्शाता है,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

(B) वक्र $\Gamma$ के बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$X=0$ रखें: $Y_p = y - xy^{\prime}$.
बिंदु $Y_p$ निर्देशांक $(0, y-xy^{\prime})$ है। $PY_p$ की दूरी $1$ दी गई है,इसलिए $(x, y)$ और $(0, y-xy^{\prime})$ के बीच की दूरी $1$ है।
$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (y-xy^{\prime}))^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + (xy^{\prime})^2} = 1 \Rightarrow x^2 + x^2(y^{\prime})^2 = 1$
$(y^{\prime})^2 = \frac{1-x^2}{x^2} \Rightarrow y^{\prime} = \pm \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और $(1,0)$ से गुजरता है,ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए। अतः,$y^{\prime} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
यह अवकल समीकरण $xy^{\prime} + \sqrt{1-x^2} = 0$ देता है,जो विकल्प $(2)$ से मेल खाता है।
$dy = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx$ का समाकलन करने पर:
$x = \sin\theta$ रखें,तो $dx = \cos\theta d\theta$.
$y = -\int \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} d\theta = \int \sin\theta d\theta - \int \csc\theta d\theta$
$y = -\cos\theta - \ln|\csc\theta - \cot\theta| + C = -\sqrt{1-x^2} - \ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right| + C$
$y(1)=0$ का उपयोग करने पर,$C=0$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$y = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $(1)$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$। लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $F'(x) = f'(x)$,इसलिए $f'(x) = 2x f(x)$ है।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x^2 + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(1) = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$\ln(f(x)) = x^2$,जिससे $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$F(x) = \int_0^{x^2} e^{(\sqrt{t})^2} dt = \int_0^{x^2} e^t dt = [e^t]_0^{x^2} = e^{x^2} - e^0 = e^{x^2} - 1$।
इसलिए,$F(2) = e^{2^2} - 1 = e^4 - 1$।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ है।
$X$-अक्ष पर $Y=0$ रखने पर,$Q$ के निर्देशांक $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ प्राप्त होते हैं।
लंबाई $PQ^2 = (y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = k^2$ है।
अतः $y^2 ((\frac{dy}{dx})^2 + 1) = k^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$\int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int dx \implies -\sqrt{k^2 - y^2} = x + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, k)$ के लिए $C=0$ प्राप्त होता है,अतः अभीष्ट वक्र $x^2 + y^2 = k^2$ है।

(C) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $S = 4 \pi r^2$ होता है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = kS$ द्वारा दी गई है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = (4 \pi r^2) \frac{dr}{dt}$,इसलिए हमारे पास $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^2)$ है।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = k$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $r(t) = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $C = 3$ है।
$t = 2$ पर,$r = 9$,इसलिए $9 = k(2) + 3$,जिससे $2k = 6$,या $k = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या का फलन $r(t) = 3t + 3$ है।
$t = 4 \ \text{मिनट}$ के बाद,$r(4) = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15 \ cm$ होगा।

(D) माना किसी समय $t$ पर गेंद का तापमान $\theta$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,जहाँ $k > 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|\theta - 20| = -kt + C$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(80 - 20) = \ln(60)$।
अतः,$\ln|\theta - 20| = -kt + \ln(60) \dots (i)$।
जब $t = 5$,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln(60 - 20) = -5k + \ln(60)$।
$5k = \ln(60) - \ln(40) = \ln(\frac{60}{40}) = \ln(\frac{3}{2})$।
अतः,$k = \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2})$।
$t = 20$ के लिए,समीकरण $(i)$ में $k$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln|\theta - 20| = -20 \times \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60)$।
$\ln|\theta - 20| = \ln((\frac{2}{3})^4) + \ln(60) = \ln(\frac{16}{81} \times 60) = \ln(\frac{320}{27}) \approx \ln(11.85)$।
$\theta - 20 = 11.85 \implies \theta = 31.85^{\circ} C$।

(C) माना किसी समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर वस्तु के तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है।
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 30)$
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln(\theta - 30) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $\ln(80 - 30) = C \Rightarrow C = \ln(50)$।
अतः,$\ln(\theta - 30) = -kt + \ln(50) \dots (i)$।
$t = 30 \text{ min}$ पर,$\theta = 60^{\circ} C$:
$\ln(60 - 30) = -k(30) + \ln(50) \Rightarrow \ln(30) - \ln(50) = -30k \Rightarrow \ln(3/5) = -30k$।
इसलिए,$k = -\frac{1}{30} \ln(3/5) = \frac{1}{30} \ln(5/3)$।
अब,$t = 60 \text{ min}$ (एक घंटा) के लिए:
$\ln(\theta - 30) = -\left(\frac{1}{30} \ln(5/3)\right)(60) + \ln(50)$
$\ln(\theta - 30) = -2 \ln(5/3) + \ln(50) = \ln((3/5)^2 \times 50)$
$\ln(\theta - 30) = \ln(9/25 \times 50) = \ln(18)$
$\theta - 30 = 18 \Rightarrow \theta = 48^{\circ} C$।

(A) मान लीजिए समय $t$ पर नमी की मात्रा $y$ है।
नमी के परिवर्तन की दर नमी की मात्रा के समानुपाती है:
$\frac{dy}{dt} = -ky$ (जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है)।
चरों को अलग करके समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = -\int k dt \Rightarrow \ln y = -kt + C$.
$t = 0$ पर,मान लीजिए प्रारंभिक नमी $y_0 = 1$ ($100 \%$ दर्शाती है) है।
अतः $\ln(1) = -k(0) + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\ln y = -kt$.
दिया गया है कि $t = 1$ घंटे पर,कपड़ा अपनी आधी नमी खो देता है,इसलिए $y = 0.5$ (या $1/2$):
$\ln(0.5) = -k(1) \Rightarrow k = -\ln(0.5) = \ln(2)$.
अब,हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $99 \%$ नमी खो जाती है,जिसका अर्थ है कि $1 \%$ शेष बचती है:
$y = 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
समीकरण $\ln y = -kt$ में मान रखने पर:
$\ln(10^{-2}) = -(\ln 2)t$.
$-2 \ln(10) = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\ln 2} = \frac{2 \log 10}{\log 2}$.

(C) मान लीजिए $t$ वर्षों में जनसंख्या $p$ है।
दिया गया है कि जनसंख्या के परिवर्तन की दर जनसंख्या के समानुपाती है:
$\frac{dp}{dt} = kp$
$\Rightarrow \frac{dp}{p} = k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log p = kt + c$
जब $t = 0$,$p = 40,000$:
$\log 40,000 = k(0) + c \Rightarrow c = \log 40,000$
अतः,$\log p = kt + \log 40,000 \Rightarrow \log \left(\frac{p}{40,000}\right) = kt$
जब $t = 40$ वर्ष,$p = 80,000$:
$\log \left(\frac{80,000}{40,000}\right) = 40k \Rightarrow \log 2 = 40k \Rightarrow k = \frac{\log 2}{40}$
हमें अगले $40$ वर्षों के बाद,यानी $t = 80$ वर्षों पर जनसंख्या ज्ञात करनी है:
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = \left(\frac{\log 2}{40}\right) \times 80$
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = 2 \log 2 = \log 2^2 = \log 4$
$\frac{p}{40,000} = 4$
$p = 4 \times 40,000 = 160,000$

(B) माना समय $t$ पर पानी की गहराई $x$ है। दिया गया है कि प्रवाह की दर गहराई के वर्गमूल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है (ऋणात्मक चिह्न गहराई में कमी को दर्शाता है)।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int x^{-1/2} dx = \int -k dt$,जिससे $2\sqrt{x} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक गहराई $x = 16 \ m$ है। इन मानों को रखने पर,$2\sqrt{16} = -k(0) + C \Rightarrow C = 8$.
अतः,समीकरण $2\sqrt{x} = -kt + 8$ बन जाता है।
$t = 2 \ \text{घंटे}$ पर,गहराई $x = 4 \ m$ है। इन मानों को रखने पर,$2\sqrt{4} = -k(2) + 8 \Rightarrow 4 = -2k + 8 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$.
इस प्रकार,समीकरण $2\sqrt{x} = -2t + 8$ या $\sqrt{x} = 4 - t$ है।
$t = 3.5 \ \text{घंटे}$ के लिए,$\sqrt{x} = 4 - 3.5 = 0.5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x = (0.5)^2 = 0.25 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है। दिया गया है कि $\frac{dP}{dt} \propto P$,इसलिए $\frac{dP}{dt} = kP$।
समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = 20$,इसलिए $C = \ln 20$।
अतः,$\ln P = kt + \ln 20$।
$t = 30$ पर,$P = 40$,इसलिए $\ln 40 = 30k + \ln 20$,जिससे $30k = \ln 2$ प्राप्त होता है,या $k = \frac{\ln 2}{30}$।
हमें $t = 30 + 15 = 45$ वर्षों पर $P$ ज्ञात करना है।
$\ln P = \left(\frac{\ln 2}{30}\right) \times 45 + \ln 20 = 1.5 \ln 2 + \ln 20 = \ln(2^{1.5} \times 20)$।
$P = 20 \times 2^{1.5} = 20 \times 2 \times \sqrt{2} = 40 \times 1.41 = 56.4$ लाख।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 20^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 80^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T(t) = 20 + 60e^{-kt}$।
$t = 5$ मिनट के लिए,$T = 70^{\circ} C$:
$70 = 20 + 60e^{-5k} \Rightarrow 50 = 60e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \frac{5}{6}$।
$t = 15$ मिनट के लिए:
$T(15) = 20 + 60e^{-15k} = 20 + 60(e^{-5k})^3$।
$e^{-5k} = \frac{5}{6}$ रखने पर:
$T(15) = 20 + 60 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 20 + 60 \times \frac{125}{216} = 20 + 34.722 = 54.722^{\circ} C$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,तापमान $54.7^{\circ} C$ होगा।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर रेडियोधर्मी तत्व का द्रव्यमान $m$ है। प्रश्न के अनुसार,विघटन की दर उसके द्रव्यमान के समानुपाती है:
$\frac{dm}{dt} = -km$ (जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है)।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dm}{m} = -k \, dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dm}{m} = -\int k \, dt \implies \ln(m) = -kt + C$.
$t = 0$ पर,प्रारंभिक द्रव्यमान $m = 6 \text{ gm}$ है,इसलिए $\ln(6) = C$.
अतः,$\ln(m) = -kt + \ln(6) \implies \ln(\frac{m}{6}) = -kt$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब द्रव्यमान $m = 3 \text{ gm}$ हो जाए:
$\ln(\frac{3}{6}) = -kt
\implies \ln(\frac{1}{2}) = -kt
\implies -\ln(2) = -kt
\implies t = \frac{\ln(2)}{k}$.
अतः,समय $t$,$\log 2$ के समानुपाती है।

(C) माना $V$ आयतन है और $S$ गोलाकार वर्षा की बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। हमें दिया गया है कि वाष्पीकरण की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -kS$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $V = \frac{4}{3}\pi r^3$,हमारे पास $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
इन मानों को दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4\pi r^2)$।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -k$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $r = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $3 = -k(0) + c \Rightarrow c = 3$।
अतः,$r = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$r = 2$,इसलिए $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$।
$k=1$ और $c=3$ को $r$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = -t + 3$ या $r = 3 - t$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t$ समय पर संपत्ति $x$ है।
$\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{x} = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$x = 10,00,000$,इसलिए $2\sqrt{10,00,000} = c \implies c = 2000$।
अतः,$2\sqrt{x} = -kt + 2000$।
$t = 3$ पर,$x = 10,000$,इसलिए $2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$।
दिवालिया होने के लिए,$x = 0$।
$0 = -600T + 2000 \implies 600T = 2000 \implies T = \frac{2000}{600} = \frac{10}{3}$ वर्ष।

(C) माना $x$ समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान है।
क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ द्वारा दी जाती है।
समाकलन करने पर,$\ln(x) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t=0$ पर,$x=27$,इसलिए $C = \ln(27)$।
अतः,$\ln(x) = -kt + \ln(27)$।
$t=3$ पर,$x=8$,इसलिए $\ln(8) = -3k + \ln(27)$,जिससे $3k = \ln(\frac{27}{8})$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \ln(\frac{3}{2})$।
हमें एक और घंटे बाद,यानी $t=4$ पर द्रव्यमान ज्ञात करना है।
$\ln(x) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(27) = \ln(\frac{16}{81} \times 27) = \ln(\frac{16}{3})$।
अतः,$x = \frac{16}{3} \text{ ग्राम}$।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta_0 = 25^{\circ} C$ है।
समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(55)$।
अतः,$\ln(\theta - 25) = -kt + \ln(55)$,या $\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -kt$।
$t = 30$ मिनट पर,$\theta = 50^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{50 - 25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{5}{11}\right) = -30k$।
$t = 60$ मिनट के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -60k = 2(-30k) = 2 \ln\left(\frac{5}{11}\right)$।
इसलिए,$\frac{\theta - 25}{55} = \left(\frac{5}{11}\right)^2 = \frac{25}{121}$।
$\theta - 25 = 55 \times \frac{25}{121} = 5 \times \frac{25}{11} = \frac{125}{11} \approx 11.36$।
$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$।

(A) माना $t \text{ मिनट}$ पर वस्तु का तापमान $\theta^{\circ} C$ है। कमरे का तापमान $T_s = 25^{\circ} C$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - T_s)$.
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 135^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(135 - 25) = \ln(110)$.
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -kt$.
$t = 60 \text{ मिनट}$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{80 - 25}{110}\right) = -60k \Rightarrow \ln(0.5) = -60k \Rightarrow k = -\frac{1}{60}\ln(0.5)$.
$t = 120 \text{ मिनट}$ $(2 \text{ घंटे})$ के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -120 \times \left(-\frac{1}{60}\ln(0.5)\right) = 2\ln(0.5) = \ln(0.5^2) = \ln(0.25)$.
इसलिए,$\frac{\theta - 25}{110} = 0.25 \Rightarrow \theta - 25 = 110 \times 0.25 = 27.5$.
$\theta = 27.5 + 25 = 52.5^{\circ} C$.

(C) दिया गया है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \int (\sin x + e^{x}) dx = -\cos x + e^{x} + c_{1}$.
दिया गया है कि $x=0$ पर $\frac{d y}{d x} = 4$:
$4 = -\cos(0) + e^{0} + c_{1} \implies 4 = -1 + 1 + c_{1} \implies c_{1} = 4$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \cos x + 4$.
पुनः $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$y = \int (e^{x} - \cos x + 4) dx = e^{x} - \sin x + 4x + c_{2}$.
दिया गया है $y(0) = 3$:
$3 = e^{0} - \sin(0) + 4(0) + c_{2} \implies 3 = 1 - 0 + 0 + c_{2} \implies c_{2} = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = e^{x} - \sin x + 4x + 2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
मान लीजिए $u = 1-y^2$,तब $du = -2y dy$,अर्थात $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन में यह मान रखने पर: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
यह वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(-C, 0)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
चूँकि $C$ एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए केंद्र $(-C, 0)$ $X$-अक्ष पर बदलता रहता है,जबकि त्रिज्या $1$ इकाई स्थिर रहती है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 25^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 100^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T(t) = 25 + 75e^{-kt}$।
$t = 10 \text{ मिनट}$ पर,$T = 80^{\circ} C$:
$80 = 25 + 75e^{-10k} \Rightarrow 55 = 75e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{55}{75} = \frac{11}{15}$।
$t = 20 \text{ मिनट}$ पर,$T = 25 + 75e^{-20k} = 25 + 75(e^{-10k})^2$।
मान रखने पर: $T = 25 + 75 \times (\frac{11}{15})^2 = 25 + 75 \times \frac{121}{225} = 25 + \frac{121}{3} = 25 + 40.33 = 65.33^{\circ} C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$.
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{1}{x}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + C_1$.
दिया है कि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$: $0 = \log(1) + C_1 \implies C_1 = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \log x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int \log x dx = x \log x - x + C_2$.
दिया है कि $x = 1$ पर $y = 1$: $1 = 1 \log(1) - 1 + C_2 \implies 1 = 0 - 1 + C_2 \implies C_2 = 2$.
अतः,हल $y = x \log x - x + 2$ है।

(B) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र $\left(2, \frac{9}{2}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 2$ और $y = \frac{9}{2}$ रखने पर:
$\frac{9}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{9}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$
अतः,समीकरण $y = x + \frac{1}{x} + 2$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $xy = x^2 + 1 + 2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $xy = x^2 + 2x + 1$ मिलता है।

(C) मान लीजिए $M(t)$ समय $t$ पर नमी की मात्रा है। परिवर्तन की दर $\frac{dM}{dt} = -kM$ द्वारा दी गई है,जहाँ $k > 0$ है।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $M(t) = M_0 e^{-kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $M_0$ प्रारंभिक नमी है।
दिया गया है कि $t = 1$ घंटे पर,$50 \%$ नमी खो जाती है,इसलिए $M(1) = 0.5 M_0$ है।
$0.5 M_0 = M_0 e^{-k} \implies e^{-k} = 0.5 = \frac{1}{2}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $k = \ln 2$ है।
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जिस पर $90 \%$ नमी खो जाए,जिसका अर्थ है कि $10 \%$ शेष रहे।
$M(t) = 0.1 M_0 = M_0 e^{-kt}$।
$0.1 = e^{-kt} \implies \ln(0.1) = -kt$।
$-\ln 10 = -(\ln 2)t$।
$t = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10$ घंटे।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = 2y$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|x^2| + C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = e^{\ln|x^2| + C} = e^C \cdot x^2$।
माना $e^C = k$,जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,$y = kx^2$।
यह समीकरण मूलबिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp}{dt} = \frac{p - 200}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dp}{p - 200} = \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dp}{p - 200} = \int \frac{1}{2} dt$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|p - 200| = \frac{t}{2} + C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $p - 200 = e^{t/2 + C} = Ae^{t/2}$,जहाँ $A = \pm e^C$.
अतः,$p = 200 + Ae^{t/2}$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 100$ दी गई है:
$100 = 200 + Ae^0 \implies 100 = 200 + A \implies A = -100$.
$A$ का मान समीकरण में रखने पर: $p = 200 - 100 e^{t/2}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
माना $u = 1-y^2$,तब $du = -2y dy$,इसलिए $y dy = -\frac{1}{2} du$.
समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} (2u^{1/2}) = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
यह वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ $h = -C$,$k = 0$,और $r = 1$ है।
अतः,त्रिज्या $1$ इकाई स्थिर है और केंद्र $(-C, 0)$ $X$-अक्ष पर चर है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,किसी पिंड के तापमान में परिवर्तन की दर,पिंड के तापमान $T$ और आसपास के माध्यम के तापमान $T_s$ के अंतर के समानुपाती होती है।
यहाँ,$T_s = 32^{\circ} F$ है।
चूंकि पिंड गर्म है,इसलिए समय $t$ बढ़ने के साथ इसका तापमान $T$ घटता है,अतः $\frac{dT}{dt} < 0$ होगा।
इस प्रकार,$\frac{dT}{dt} \propto -(T - 32)$।
समानुपातिकता का एक धनात्मक स्थिरांक $k$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dT}{dt} = -k(T - 32)$।

(A) माना वक्र पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अभिलंब की ढाल उसकी कोटि $y$ के बराबर है,इसलिए $-\frac{dx}{dy} = y$ है।
इसका अर्थ है $dx = -y \, dy$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $x = -\frac{y^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, -1)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $1 = -\frac{(-1)^2}{2} + C$,जिससे $1 = -\frac{1}{2} + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = \frac{3}{2}$ है।
इस प्रकार,समीकरण $x = -\frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}$ है,जिसे सरल करने पर $2x = -y^2 + 3$ या $2x = 1(3 - y^2)$ प्राप्त होता है।
इसे $2x = k(3 - y^2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t$ समय पर मूलधन $P$ है। दिया गया है कि मूलधन $x \%$ की दर से निरंतर बढ़ता है,इसलिए अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = \frac{x}{100} P$ है।
इसका समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{x}{100} dt$,जिससे $\ln P = \frac{x}{100} t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_0 = 100$ है,अतः $C = \ln 100$।
अतः,$\ln P = \frac{x}{100} t + \ln 100$,या $\ln(\frac{P}{100}) = \frac{x}{100} t$।
दिया गया है कि $10$ वर्षों में मूलधन दोगुना हो जाता है,यानी $t = 10$ पर $P = 200$।
इन मानों को रखने पर: $\ln(\frac{200}{100}) = \frac{x}{100} \times 10$।
$\ln 2 = \frac{x}{10}$।
यहाँ $\ln 2 \approx 0.6931$ लेने पर,$0.6931 = \frac{x}{10} \implies x = 6.931 \% \approx 6.93 \%$।

(B) माना किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है।
दिया गया है कि मूलधन $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है,अतः अवकल समीकरण है:
$\frac{dP}{dt} = 0.10 P$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dP}{P} = 0.10 dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.10 dt$
$\ln(P) = 0.10 t + C$
$P(t) = e^{0.10 t + C} = Ae^{0.10 t}$
$t = 0$ पर,$P = 2000$ है। इन मानों को रखने पर:
$2000 = Ae^{0.10(0)} \implies A = 2000$
अतः,मूलधन के लिए समीकरण $P(t) = 2000 e^{0.10 t}$ है।
$t = 5$ वर्ष बाद:
$P(5) = 2000 e^{0.10(5)} = 2000 e^{0.5}$
दिया गया है $e^{0.5} = 1.648$:
$P(5) = 2000 \times 1.648 = 3296$
इस प्रकार,$5$ वर्ष बाद राशि $3296$ रुपये हो जाएगी।

(C) माना $t$ समय पर संपत्ति $A(t)$ है। घटने की दर संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dA}{dt} = -k \sqrt{A}$, जहाँ $k > 0$.
चरों को अलग करने पर, $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int A^{-1/2} dA = \int -k dt$, जिससे $2\sqrt{A} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $A = 25$, इसलिए $2\sqrt{25} = C \implies C = 10$.
अतः, $2\sqrt{A} = -kt + 10$.
$t = 2$ पर, $A = 6.25$, इसलिए $2\sqrt{6.25} = -k(2) + 10$.
$2(2.5) = -2k + 10 \implies 5 = -2k + 10 \implies 2k = 5 \implies k = 2.5$.
समीकरण $2\sqrt{A} = -2.5t + 10$ बन जाता है।
दिवालिया होने के लिए, $A = 0$, इसलिए $0 = -2.5t + 10$.
$2.5t = 10 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ वर्ष}$.

(B) मान लीजिए $t$ समय पर संपत्ति $A(t)$ है। कमी की दर संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $A^{-1/2} dA = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{A} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$A = 10,00,000$ है। अतः,$2\sqrt{10,00,000} = C \implies C = 2 \times 1000 = 2000$ है।
इस प्रकार,$2\sqrt{A} = -kt + 2000$ है।
$t = 3$ पर,$A = 10,000$ है। अतः,$2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$ है।
समीकरण $2\sqrt{A} = -600t + 2000$ है।
दिवालिया होने के लिए,$A = 0$ होना चाहिए,इसलिए $0 = -600t + 2000$ है।
$600t = 2000 \implies t = \frac{2000}{600} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ वर्ष।

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $N$ है। दिया गया है कि वृद्धि की दर मौजूद संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = kN$.
समाकलन करने पर,$\ln N = kt + C$,या $N(t) = N_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है।
शुरू में,$t = 0$ पर,$N_0 = 1,00,000$ है।
$2$ घंटे बाद,संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $N(2) = 1,00,000 + 0.10 \times 1,00,000 = 1,10,000$ है।
इन मानों को रखने पर: $1,10,000 = 1,00,000 e^{2k} \implies e^{2k} = 1.1 \implies 2k = \ln(1.1) \implies k = \frac{\ln(1.1)}{2}$।
हमें $t$ ज्ञात करना है ताकि $N(t) = 2,00,000$ हो जाए।
$2,00,000 = 1,00,000 e^{kt} \implies 2 = e^{kt} \implies \ln 2 = kt$।
$k$ का मान रखने पर: $\ln 2 = \left(\frac{\ln(1.1)}{2}\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \ln 2}{\ln(1.1)} = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$।

(C) मान लीजिए कि $t$ समय पर जनसंख्या $P(t)$ है। परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = kP$ द्वारा दी गई है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P(0) = 40,000$ है। अतः,$P_0 = 40,000$ है।
$t = 20$ पर,$P(20) = 80,000$ है। इस प्रकार,$80,000 = 40,000 e^{20k}$,जिसका अर्थ है $e^{20k} = 2$।
हमें अगले $40$ वर्षों के बाद की जनसंख्या ज्ञात करनी है,जो $t = 20 + 40 = 60$ वर्ष पर होगी।
$P(60) = 40,000 e^{60k} = 40,000 (e^{20k})^3$।
$e^{20k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(60) = 40,000 \times (2)^3 = 40,000 \times 8 = 320,000$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$,जहाँ $T_a = 290 \ K$ है।
समाकलन करने पर,हमें $\ln(T - 290) = -kt + C$,या $T - 290 = Ce^{-kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$T = 370$,इसलिए $370 - 290 = C$,जिससे $C = 80$ मिलता है।
अतः,$T - 290 = 80e^{-kt}$।
$t = 10 \ \text{मिनट}$ पर,$T = 330$,इसलिए $330 - 290 = 80e^{-10k}$,जिसका अर्थ है $40 = 80e^{-10k}$,इसलिए $e^{-10k} = 0.5$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-10k = \ln(0.5) = -\ln(2)$,इसलिए $k = \frac{\ln(2)}{10}$।
हमें $t$ ज्ञात करना है जब $T = 295$ हो।
$295 - 290 = 80e^{-kt} \implies 5 = 80e^{-kt} \implies e^{-kt} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$।
चूँकि $e^{-10k} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $e^{-kt} = (e^{-10k})^4 = e^{-40k}$ है।
इसलिए,$kt = 40k$,जिससे $t = 40 \ \text{मिनट}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $t$ समय पर जनसंख्या $P(t)$ है। प्रश्न के अनुसार,जनसंख्या बढ़ने की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = kP$।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P(0) = 4$ लाख,इसलिए $P_0 = 4$।
$t = 20$ पर,$P(20) = 6$ लाख। अतः,$6 = 4 e^{20k}$,जिससे $e^{20k} = \frac{6}{4} = 1.5$ प्राप्त होता है।
हमें अगले $20$ वर्षों के बाद,यानी $t = 40$ पर जनसंख्या ज्ञात करनी है।
$P(40) = P_0 e^{40k} = 4 (e^{20k})^2$।
$e^{20k} = 1.5$ रखने पर,हमें $P(40) = 4 \times (1.5)^2 = 4 \times 2.25 = 9$ लाख प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर जनसंख्या $P(t)$ है। समस्या के अनुसार,$\frac{dP}{dt} \propto P$,जिसका अर्थ है $\frac{dP}{dt} = kP$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $P(t) = Ce^{kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,जनसंख्या $30,000$ है,इसलिए $P(0) = C = 30,000$।
अतः,$P(t) = 30,000 e^{kt}$।
$t = 40$ पर,जनसंख्या $40,000$ है,इसलिए $40,000 = 30,000 e^{40k}$।
इसे सरल करने पर $e^{40k} = \frac{40,000}{30,000} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $P(t)$ के समीकरण में रखने पर,हमें $P(t) = 30,000 (e^{40k})^{\frac{t}{40}} = 30,000 (\frac{4}{3})^{\frac{t}{40}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 30,000$ और $b = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) निरंतर चक्रवृद्धि के लिए,समय $t$ पर राशि $A$ सूत्र $A(t) = P e^{rt}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ मूलधन है,$r$ ब्याज की दर है और $t$ वर्षों में समय है।
दिया गया है $P = 400$ और $A(6) = 800$,इसलिए $800 = 400 e^{6r}$।
$400$ से विभाजित करने पर,हमें $2 = e^{6r}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(2) = 6r$,इसलिए $r = \frac{\ln(2)}{6}$।
हमें $t = 30$ वर्षों पर राशि ज्ञात करनी है: $A(30) = 400 e^{30r}$।
$r = \frac{\ln(2)}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(30) = 400 e^{30 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400 e^{5 \ln(2)}$ प्राप्त होता है।
$e^{a \ln(b)} = b^a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $A(30) = 400 \times 2^5$ प्राप्त होता है।
$A(30) = 400 \times 32 = 12800$।
अतः,$30$ वर्षों के अंत में राशि ₹ $12800$ हो जाएगी।