Application of differential equations Questions in Hindi

(A) माना वक्र $y = f(x)$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ और बिंदु $P(x, y)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{y}{x}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु और $P$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
अतः,$\frac{y}{x} \times \frac{dy}{dx} = -1$।
इसका अर्थ है $y \, dy = -x \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = -\int x \, dx$,जिससे $\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 = 2C$ में सरल हो जाता है,जो मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) $Simple \ Harmonic \ Motion$ (सरल आवर्त गति) का सामान्य समीकरण $x = A \cos(nt + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\phi$ कला स्थिरांक है।
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -An \sin(nt + \phi)$
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos(nt + \phi)$
चूंकि $x = A \cos(nt + \phi)$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2x = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 1}{x - 1}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 1} = \frac{dx}{x - 1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 1} = \int \frac{dx}{x - 1}$।
इससे $\ln|y + 1| = \ln|x - 1| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $y + 1 = k(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हमें प्रारंभिक स्थिति $y(1) = 2$ दी गई है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर,हमें $y + 1 = k(1 - 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = -1$।
हालाँकि,स्थिति $y(1) = 2$ निर्दिष्ट करती है,जो $y = -1$ के साथ विरोधाभास पैदा करती है।
चूँकि अवकल समीकरण $x = 1$ पर अपरिभाषित है और प्रारंभिक स्थिति विरोधाभास की ओर ले जाती है,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y\frac{dy}{dx} + x = a$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = (a - x) \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int (a - x) \, dx$।
$\frac{y^2}{2} = ax - \frac{x^2}{2} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 2ax - x^2 + 2C$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - 2ax + y^2 = 2C$।
दोनों पक्षों में $a^2$ जोड़ने पर,$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = a^2 + 2C$।
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 + 2C$।
मान लीजिए $k = a^2 + 2C$,तो $(x - a)^2 + y^2 = k$।
यह उन वृत्तों के समूह का समीकरण है जिनका केंद्र $(a, 0)$ पर है,जो $x$-अक्ष पर स्थित है।

(B) दिया गया है कि वक्र की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx = x + \frac{1}{x} + c$.
चूंकि वक्र बिंदु $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ से गुजरता है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + c$.
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + c \implies c = 1$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = x + \frac{1}{x} + 1$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $xy = x^2 + 1 + x$ प्राप्त होता है,जो कि $xy = x^2 + x + 1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + c_1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$,इसलिए $0 = \log(1) + c_1$,जिसका अर्थ है कि $c_1 = 0$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \log x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int \log x dx = x \log x - x + c_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x = 1$ पर $y = 1$,इसलिए $1 = 1 \log(1) - 1 + c_2$,जिसका अर्थ है कि $1 = 0 - 1 + c_2$,अतः $c_2 = 2$ है।
$c_1$ और $c_2$ के मान रखने पर,अभीष्ट हल $y = x \log x - x + 2$ है।

(A) वक्र के लिए अभिलंब की लंबाई $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई त्रिज्या सदिश $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ के बराबर है,इसलिए:
$|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$y^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2) = x^2 + y^2$
$y^2 + y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2 + y^2$
$y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y \frac{dy}{dx} = \pm x$
चरों को अलग करने पर:
$y \, dy = \pm x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \pm \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \pm \frac{x^2}{2} + C$
$y^2 = \pm x^2 + 2C$
माना $2C = k$,तो समीकरण ${y^2} \mp {x^2} = k$ प्राप्त होता है,जो ${y^2} \pm {x^2} = k$ के समतुल्य है।

(C) माना $P_0$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $P$ समय $t$ पर जनसंख्या है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dP}{dt} = kP$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_0$,इसलिए $\ln P_0 = C$ है।
अतः,$\ln P = kt + \ln P_0$,जो $\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = kt$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि जनसंख्या $5$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $t = 5$ पर,$P = 2P_0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\ln \left( \frac{2P_0}{P_0} \right) = 5k$,इसलिए $k = \frac{\ln 2}{5}$ है।
अब,हमें $t = 25$ घंटे पर जनसंख्या ज्ञात करनी है।
$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = \left( \frac{\ln 2}{5} \right) \times 25 = 5 \ln 2 = \ln(2^5) = \ln 32$ है।
इसलिए,$\frac{P}{P_0} = 32$,जिसका अर्थ है कि $P = 32 P_0$ है।
बैक्टीरिया की संख्या मूल संख्या की $32$ गुनी होगी।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \ln x$ और $dv = x^{-2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\ln x + 1}{x} + C_1$ है।
$x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = -1$ दिया गया है:
$-1 = -\frac{\ln(1) + 1}{1} + C_1 \Rightarrow -1 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x + 1}{x}$ है।
पुनः समाकलन करने पर:
$y = -\int \frac{\ln x + 1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
$t = \ln x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$:
$y = -\int (t + 1) dt = -(\frac{t^2}{2} + t) + C_2 = -\frac{(\ln x)^2}{2} - \ln x + C_2$ है।
$x = 1$ पर $y = 0$ दिया गया है:
$0 = -\frac{(\ln 1)^2}{2} - \ln(1) + C_2 \Rightarrow 0 = 0 - 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$ है।
अतः,हल $y = -\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है,अर्थात $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{surrounding})$।
जैसे-जैसे तापमान $T$ घटता है,शीतलन की दर $-\frac{dT}{dt}$ भी कम होती जाती है।
इसका अर्थ है कि तापमान-समय ग्राफ का ढलान शुरू में अधिक होना चाहिए और जैसे-जैसे तापमान कमरे के तापमान के करीब आता है,यह कम होता जाना चाहिए।
वक्र $A$ इस व्यवहार को दर्शाता है,जहाँ परिवर्तन की दर शुरू में अधिक होती है और समय के साथ घटती जाती है।
इसलिए,ग्राफ $A$ सही निरूपण है।

(C) यहाँ वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = x^2 - 2x$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$.
चूँकि वक्र बिंदु $(2, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 2$ और $y = 0$ समीकरण में रखने पर:
$0 = \frac{2^3}{3} - 2^2 + C$
$0 = \frac{8}{3} - 4 + C$
$0 = \frac{8 - 12}{3} + C$
$0 = -\frac{4}{3} + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{4}{3}$ है।
$x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$y(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
इसलिए,बिंदु $(0, 4/3)$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x + 5$ दी गई है।
वक्र का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$y = \int (3x^2 + 2x + 5) dx$
$y = x^3 + x^2 + 5x + C$
चूंकि वक्र बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = (0)^3 + (0)^2 + 5(0) + C$
$C = 1$
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x^3 + x^2 + 5x + 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dV}{dt} = -k(T - t)$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$V(t) = \int -k(T - t) dt = k \int (T - t) d(T - t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + C$.
जब $t = 0$ है,तो उपकरण का मूल्य उसका क्रय मूल्य $I$ है,इसलिए $V(0) = I$:
$I = \frac{k(T - 0)^2}{2} + C \implies I = \frac{kT^2}{2} + C \implies C = I - \frac{kT^2}{2}$.
$C$ का मान $V(t)$ के समीकरण में रखने पर:
$V(t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2}$.
स्क्रैप मूल्य $V(T)$ वह मूल्य है जो $t = T$ पर होता है:
$V(T) = \frac{k(T - T)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2} = 0 + I - \frac{kT^2}{2} = I - \frac{kT^2}{2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
अतः,समीकरण है: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
जब $p(t) = 0$ हो,तब $t$ ज्ञात करने के लिए: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp(t)}{dt} = \frac{1}{2}p(t) - 200 = \frac{p(t) - 400}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 400} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |p(t) - 400| = \frac{t}{2} + C$.
इसका अर्थ है $|p(t) - 400| = e^{C} \cdot e^{t/2}$,या $p(t) - 400 = Ke^{t/2}$ जहाँ $K = \pm e^C$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 100$ का उपयोग करने पर: $100 - 400 = Ke^0 \implies K = -300$.
$K$ का मान समीकरण में रखने पर: $p(t) - 400 = -300e^{t/2}$.
अतः,$p(t) = 400 - 300e^{t/2}$.

(A) माना $V$ गोलाकार वर्षा की बूंद का आयतन है और $r$ उसकी त्रिज्या है। आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ है।
प्रश्न के अनुसार,वाष्पीकरण की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ के समानुपाती है। चूंकि बूंद वाष्पित हो रही है,इसलिए आयतन के परिवर्तन की दर ऋणात्मक होगी: $\frac{dV}{dt} = -K(4\pi r^2)$,जहाँ $K > 0$ है।
$\frac{dV}{dt}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -K(4\pi r^2)$.
दोनों पक्षों को $4\pi r^2$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{dr}{dt} = -K$,जिसे $\frac{dr}{dt} + K = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ है।
$y = e^{mx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Dy = me^{mx}$,$D^2y = m^2e^{mx}$,और $D^3y = m^3e^{mx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $m^3e^{mx} - 3m^2e^{mx} - 4me^{mx} + 12e^{mx} = 0$।
चूंकि $e^{mx} \neq 0$,हमें अभिलक्षणिक समीकरण प्राप्त होता है: $m^3 - 3m^2 - 4m + 12 = 0$।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $m^2(m - 3) - 4(m - 3) = 0 \Rightarrow (m^2 - 4)(m - 3) = 0$।
इससे $(m - 2)(m + 2)(m - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $m = 2, m = -2, m = 3$ हैं।
चूंकि $m \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) है,हम केवल $m = 2$ और $m = 3$ पर विचार करते हैं।
अतः,ऐसे $2$ मान हैं।

(B) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow x^{-1/3} + y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
लंबकोणीय प्रक्षेप के लिए,$\frac{dy}{dx}$ को $-\frac{dx}{dy}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{dx}{dy} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$
$\Rightarrow x^{1/3} dx = y^{1/3} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int x^{1/3} dx = \int y^{1/3} dy$
$\Rightarrow \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{y^{4/3}}{4/3} + C$
$\Rightarrow x^{4/3} - y^{4/3} = C'$ (जहाँ $C' = \frac{4}{3}C$ एक अचर है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना वक्र $y = f(x)$ है। निर्देशांक अक्षों,वक्र और बिंदु $(x, y)$ पर कोटि द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^x y \, dx = y^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \frac{d}{dx}(y^3)$
$y = 3y^2 \frac{dy}{dx}$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) y = 0$ (जो एक सामान्य हल है,x-अक्ष)।
$2) 1 = 3y \frac{dy}{dx} \Rightarrow 3y \, dy = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int 3y \, dy = \int dx$
$\frac{3y^2}{2} = x + C$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y^2 = \frac{2}{3}(x + C)$
यह परवलय $y^2 = 4a(x - h)$ का मानक रूप है।

(B) माना सरल रेखा का समीकरण $y = kx + c$ है,जहाँ $k$ और $c$ स्थिरांक हैं।
तब,$\frac{dy}{dx} = k$.
इसे दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k + xk^2 - (kx + c) = 0$
$k + xk^2 - kx - c = 0$
$(k^2 - k)x + (k - c) = 0$
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य हो,इसके लिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$k^2 - k = 0 \Rightarrow k(k - 1) = 0 \Rightarrow k = 0$ या $k = 1$.
यदि $k = 0$ है,तो $k - c = 0 \Rightarrow c = 0$. रेखा $y = 0$ है।
यदि $k = 1$ है,तो $k - c = 0 \Rightarrow c = 1$. रेखा $y = x + 1$ है।
अतः,ऐसी $2$ सरल रेखाएँ हैं।

(D) दिया गया है कि $y = e^{4x} + 2e^{-x}$.
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x} - 2e^{-x}$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 16e^{4x} + 2e^{-x}$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 64e^{4x} - 2e^{-x}$.
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (64e^{4x} - 2e^{-x}) - 13(4e^{4x} - 2e^{-x})$
$= 64e^{4x} - 2e^{-x} - 52e^{4x} + 26e^{-x}$
$= 12e^{4x} + 24e^{-x}$
$= 12(e^{4x} + 2e^{-x})$
$= 12y$.
अतः,$\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = \frac{12y}{y} = 12$.
इस प्रकार,$K = 12$.

(A) माना $P(x, y)$ वक्र पर एक बिंदु है। माना $PM$ कोटि है,जहाँ $M$ $x$-अक्ष पर है। माना $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $T$ पर मिलता है। माना $\theta$ वह कोण है जो स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ बनाती है। तब अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\pi - \theta$ कोण बनाता है। कोटि $PM$ का अभिलंब $PT$ पर प्रक्षेप $PN$ है। समकोण त्रिभुज $\triangle PMN$ में,कोण $\angle PMN = \theta$ है। अतः,$PN = PM \cos \theta = y \cos \theta$। दिया गया है कि $PN = a$,इसलिए $y \cos \theta = a$। चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ और $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = y_1$,हमें $y \frac{1}{\sqrt{1 + y_1^2}} = a$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = a^2(1 + y_1^2)$,जिससे $y_1^2 = \frac{y^2 - a^2}{a^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a}$। चरों को अलग करने पर,$\int \frac{a \, dy}{\sqrt{y^2 - a^2}} = \int dx$। समाकलन करने पर,हमें $a \ln |y + \sqrt{y^2 - a^2}| = x + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y = ax^2$ है ... $(1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 2ax$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ से,$a = \frac{y}{x^2}$ है। इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2 \left(\frac{y}{x^2}\right) x = \frac{2y}{x}$ प्राप्त होता है।
लंबकोणीय प्रक्षेप पथ का अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ को $-\frac{dx}{dy}$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$-\frac{dx}{dy} = \frac{2y}{x}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x dx = -2y dy$,या $x dx + 2y dy = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int x dx + \int 2y dy = C$,जिससे $\frac{x^2}{2} + y^2 = C$ प्राप्त होता है।

(D) माना वक्र $y = f(x)$ है। वक्र,$x$-अक्ष और $x$ पर ऑर्डिनेट द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_0^x y \, dx$ है।
वक्र की चाप की लंबाई $s = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ है।
प्रश्न के अनुसार $A = s$,इसलिए $\int_0^x y \, dx = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y = \sqrt{1 + (y')^2}$ प्राप्त होता है।
वर्ग करने पर,$y^2 = 1 + (y')^2$,अर्थात $(y')^2 = y^2 - 1$।
अतः,$y' = \pm \sqrt{y^2 - 1}$।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{\sqrt{y^2 - 1}} = \pm dx$।
समाकलन करने पर,$\ln|y + \sqrt{y^2 - 1}| = \pm x + C$।
बिंदु $(0, 1)$ के लिए,$x=0$ पर $y=1$ रखने पर,$C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y + \sqrt{y^2 - 1} = e^x$ या $e^{-x}$।
हल करने पर $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$y=1$ भी एक हल है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + y dx = 0$ है,जिसे $d(xy) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $xy = c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(2, 8)$ से गुजरता है,इसलिए $2 \times 8 = c$,अर्थात $c = 16$ है।
शांकव का समीकरण $xy = 16$ है,जो एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
$xy = 16$ के लिए,अतिपरवलय का मानक रूप $X^2 - Y^2 = a^2$ में बदलने पर $a^2 = 32$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 4\sqrt{2}$ है।
आयताकार अतिपरवलय $xy = c$ के लिए नाभिलंब की लंबाई $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ होती है।

(C) जल स्तर $y$ के परिवर्तन की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{\sqrt{y}} = -k \, dt$.
समय अंतराल $t = 0$ से $t = T$ के लिए प्रारंभिक गहराई $y = 4$ से अंतिम गहराई $y = 0$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{4}^{0} y^{-1/2} \, dy = \int_{0}^{T} -k \, dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$[2\sqrt{y}]_{4}^{0} = -k[t]_{0}^{T}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\sqrt{0} - \sqrt{4}) = -k(T - 0)$.
$2(0 - 2) = -kT$.
$-4 = -kT$.
$T = \frac{4}{k}$.
दिया गया है कि $k = \frac{1}{15}$,इसलिए:
$T = \frac{4}{1/15} = 4 \times 15 = 60 \text{ min}$.

(A) माना स्पर्श बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
$P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$x-$अंतःखंड के लिए $Y = 0$ रखने पर: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X - x = -y \frac{dx}{dy} \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
प्रश्न के अनुसार,$x-$अंतःखंड कोटि $y$ के बराबर है,इसलिए $x - y \frac{dx}{dy} = y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x - y = y \frac{dx}{dy} \Rightarrow (x - y) dy = y dx \Rightarrow x dy - y dy = y dx$.
इसे $x dy - y dx = y dy$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{x dy - y dx}{y^2} = \frac{y dy}{y^2} = \frac{dy}{y}$.
यह भागफल नियम का अवकलन है: $d(\frac{x}{y}) = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \ln|y| + C$.
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है,$x=1, y=1$ रखने पर: $\frac{1}{1} = \ln(1) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,समीकरण $\frac{x}{y} = \ln y + 1$ है,जो $y e = e^{x/y}$ में परिवर्तित होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{ax + b}{cy + d}$.
चरों को अलग करने पर: $(cy + d) dy = (ax + b) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (cy + d) dy = \int (ax + b) dx$.
परिणाम प्राप्त होता है: $\frac{c y^2}{2} + dy = \frac{a x^2}{2} + bx + K$,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $c y^2 - a x^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$.
इस समीकरण के परवलय होने के लिए,$x^2$ या $y^2$ में से कोई एक पद होना चाहिए,लेकिन दोनों नहीं (यदि दोनों होते हैं तो यह वृत्त या दीर्घवृत्त को दर्शाता है)।
यदि $c = 0$ और $a \neq 0$ है,तो समीकरण $-a x^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$ बनता है,जो $x$-अक्ष पर एक परवलय है।
यदि $a = 0$ और $c \neq 0$ है,तो समीकरण $c y^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$ बनता है,जो $y$-अक्ष पर एक परवलय है।
अतः,शर्त $a = 0, c \neq 0$ या $c = 0, a \neq 0$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$.
चरों को अलग करने पर: $2y \, dy = (1+x) \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 2y \, dy = \int (1+x) \, dx$.
$y^2 = x + \frac{x^2}{2} + C$.
चूंकि शांकव बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर: $1^2 = 1 + \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow 1 = 1.5 + C \Rightarrow C = -0.5$.
अतः,$y^2 = x + \frac{x^2}{2} - 0.5$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x^2}{2} + x - y^2 = 0.5$.
$2$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2x - 2y^2 = 1$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 2x + 1) - 2y^2 = 1 + 1$.
$(x+1)^2 - 2y^2 = 2$.
$2$ से भाग देने पर: $\frac{(x+1)^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$.
यह $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(9 - x^2)(\frac{dy}{dx})^2 = 9 - y^2$
$\Rightarrow (\frac{dy}{dx})^2 = \frac{9 - y^2}{9 - x^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm \frac{\sqrt{9 - y^2}}{\sqrt{9 - x^2}}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{\sqrt{9 - y^2}} = \pm \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{\sqrt{3^2 - y^2}} = \pm \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - x^2}}$
$\sin^{-1}(\frac{y}{3}) = \pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) + C$
चूंकि वक्र $(3, 0)$ से गुजरता है:
$\sin^{-1}(0) = \pm \sin^{-1}(\frac{3}{3}) + C$
$0 = \pm \frac{\pi}{2} + C \Rightarrow C = \mp \frac{\pi}{2}$
$C$ का मान वापस रखने पर:
$\sin^{-1}(\frac{y}{3}) = \pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \mp \frac{\pi}{2}$
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$\frac{y}{3} = \sin(\pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \mp \frac{\pi}{2}) = \mp \cos(\sin^{-1}(\frac{x}{3})) = \mp \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{9} \Rightarrow x^2 + y^2 = 9$
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $3$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(A) सबनॉर्मल की लंबाई $y \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि सबनॉर्मल की लंबाई ऑर्डिनेट के वर्ग $(y^2)$ से एक अधिक है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$y \frac{dy}{dx} = y^2 + 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y}{y^2 + 1} dy = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{y}{y^2 + 1} dy = \int dx$
$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x + C$
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = 0 + C \implies C = 0$
अतः,$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x$
$\ln(y^2 + 1) = 2x$
$y^2 + 1 = e^{2x}$
$y^2 = e^{2x} - 1$
$y = \sqrt{e^{2x} - 1}$
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2xy \, dy = (x^2 + y^2 + 1) dx$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy \, dy - y^2 dx = (x^2 + 1) dx$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{2xy \, dy - y^2 dx}{x^2} = \frac{(x^2 + 1) dx}{x^2}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y^2}{x}\right) = (1 + x^{-2}) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y^2}{x} = x - \frac{1}{x} + C$
$x$ से गुणा करने पर: $y^2 = x^2 - 1 + Cx$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - Cx - y^2 = 1$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - \frac{C}{2})^2 - y^2 = 1 + \frac{C^2}{4}$
यह समीकरण $(\frac{C}{2}, 0)$ पर केंद्र वाले आयताकार अतिपरवलयों का एक परिवार दर्शाता है,जो $x$-अक्ष पर स्थित है।

(C) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = f'(x)(X - x)$ है।
$A$ के लिए $(Y=0)$,$X = x - \frac{y}{f'(x)}$. अतः $A = \left( x - \frac{y}{f'(x)}, 0 \right)$.
$B$ के लिए $(X=0)$,$Y = y - x f'(x)$. अतः $B = (0, y - x f'(x))$.
दिया है $AP : BP = 1 : 3$,विभाजन सूत्र के अनुसार $P(x, y)$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot (x - y/f'(x))}{1 + 3} \implies 4x = 3x - \frac{3y}{f'(x)} \implies x = -\frac{3y}{f'(x)}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3y}{x}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -3 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -3 \ln|x| + C \implies y = \frac{k}{x^3}$.
चूंकि $f(1) = 1$,हमें $1 = \frac{k}{1^3} \implies k = 1$ प्राप्त होता है। अतः $y = \frac{1}{x^3}$.
विकल्पों की जांच करने पर,$x=2$ के लिए,$y = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
अतः,वक्र $\left( 2, \frac{1}{8} \right)$ बिंदु से होकर गुजरता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ है।
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,जो सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$।
दिया गया व्यापक हल $y \ln |cx| = x$ को $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$।
दोनों पक्षों का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$।
हमारे पिछले समीकरण $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ से,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$।
इस मान को अवकलज के परिणाम में रखने पर: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,जो दर्शाता है कि $\phi(1/v) = -v^2$।
हमें $\phi(2)$ ज्ञात करना है। माना $\frac{1}{v} = 2$,अतः $v = \frac{1}{2}$।
इसलिए $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x)f(y)$ है,जहाँ $x, y \in [0, 1].$
$y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है.
चूँकि $f(0) \ne 0,$ हम $f(0)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $f(x) = 1$ प्राप्त होता है,सभी $x \in [0, 1]$ के लिए.
अब,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x) = 1$ है.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = x + c$ प्राप्त होता है.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 0 + c,$ अतः $c = 1.$
इस प्रकार,फलन $y(x) = x + 1$ है.
हमें $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ का मान ज्ञात करना है.
$y\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$
$y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}.$
अतः,$y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$

(A) दिया गया फलन: $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{a^{2} - x^{2}})$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(a^{2} - x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का मान दिए गए अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ में रखने पर:
$L.H.S = x + y \left( \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \right)$
चूँकि $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,इसलिए यह मान समीकरण में रखने पर:
$L.H.S = x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \right)$
$L.H.S = x - x = 0$
$L.H.S = R.H.S$
अतः,दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है। दी गई समस्या के अनुसार,वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = \frac{P}{20}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = \frac{dt}{20}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{dt}{20}$,जिससे $\log_e P = \frac{t}{20} + C_1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $P = e^{\frac{t}{20} + C_1} = C e^{\frac{t}{20}}$,जहाँ $C = e^{C_1}$ है।
$t = 0$ पर,$P = 1000$ है। इन मानों को रखने पर,$1000 = C e^0$,अतः $C = 1000$ है।
इस प्रकार,समीकरण $P = 1000 e^{\frac{t}{20}}$ है।
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब मूलधन दोगुना हो जाता है,हम $P = 2000$ रखते हैं:
$2000 = 1000 e^{\frac{t}{20}}$
$2 = e^{\frac{t}{20}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e 2 = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 20 \log_e 2$ वर्ष।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime} = e^{x} \sin x$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = e^{x} \sin x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y = \int e^{x} \sin x \, dx + C$ ...........$(1)$
$I = \int e^{x} \sin x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:
$I = \sin x \cdot e^{x} - \int \cos x \cdot e^{x} \, dx$
$I = e^{x} \sin x - [\cos x \cdot e^{x} - \int(-\sin x) \cdot e^{x} \, dx]$
$I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$
$2I = e^{x}(\sin x - \cos x)$
$I = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2}$
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$ ...........$(2)$
चूंकि वक्र $(0,0)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=0$ रखते हैं:
$0 = \frac{e^{0}(\sin 0 - \cos 0)}{2} + C$
$0 = \frac{1(0 - 1)}{2} + C$
$0 = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
$C = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + \frac{1}{2}$
$2y = e^{x}(\sin x - \cos x) + 1$
$2y - 1 = e^{x}(\sin x - \cos x)$.

(A) मान लीजिए $(x, y)$ वक्र पर कोई बिंदु है।
$(x, y)$ और $(-4, -3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $(m_1)$,$m_1 = \frac{y - (-3)}{x - (-4)} = \frac{y+3}{x+4}$ द्वारा दी जाती है।
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $(m_2)$,$\frac{dy}{dx}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$m_2 = 2m_1$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y+3}{x+4} \right)$.
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y+3} = \frac{2 dx}{x+4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+3} = 2 \int \frac{dx}{x+4}$.
इससे $\ln|y+3| = 2 \ln|x+4| + C_1$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln|y+3| = \ln|x+4|^2 + \ln C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$y+3 = C(x+4)^2$.
चूंकि वक्र $(-2, 1)$ से होकर गुजरता है,हम $x = -2$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1+3 = C(-2+4)^2 \Rightarrow 4 = C(2)^2 \Rightarrow 4 = 4C \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ को सामान्य समीकरण में रखने पर,हमें $y+3 = (x+4)^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर स्थिर है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $V = kt + C$ प्राप्त होता है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{4}{3} \pi r^3 = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$ है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi (3)^3 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$।
$t = 3$ पर,$r = 6$ है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi (6)^3 = k(3) + 36 \pi$।
$288 \pi = 3k + 36 \pi \Rightarrow 3k = 252 \pi \Rightarrow k = 84 \pi$।
$k$ और $C$ के मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 84 \pi t + 36 \pi$।
$\frac{4}{3} \pi$ से भाग देने पर,$r^3 = 63t + 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = (63t + 27)^{\frac{1}{3}}$।

(A) माना $P$ समय $t$ पर मूलधन है। यह दिया गया है कि मूलधन $r \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है।
$\frac{dP}{dt} = \left(\frac{r}{100}\right) P$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dP}{P} = \frac{r}{100} dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{r}{100} dt$
$\log_{e} P = \frac{rt}{100} + C$
$t = 0$ पर,$P = 100$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_{e} 100 = \frac{r(0)}{100} + C \Rightarrow C = \log_{e} 100$
अतः,$\log_{e} P = \frac{rt}{100} + \log_{e} 100$
$\log_{e} P - \log_{e} 100 = \frac{rt}{100}$
$\log_{e} \left(\frac{P}{100}\right) = \frac{rt}{100}$
यह दिया गया है कि मूलधन $10$ वर्षों में दोगुना हो जाता है,इसलिए $t = 10$ पर,$P = 200$:
$\log_{e} \left(\frac{200}{100}\right) = \frac{r(10)}{100}$
$\log_{e} 2 = \frac{r}{10}$
दिया गया है कि $\log_{e} 2 = 0.6931$:
$0.6931 = \frac{r}{10}$
$r = 6.931 \%$
अतः,$r$ का मान $6.931 \%$ है।

(A) माना कि समय $t$ पर मूलधन $P$ है।
दिया गया है कि मूलधन $5 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = 0.05 P$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dP}{P} = 0.05 dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.05 dt$
$\ln P = 0.05 t + C$
$P = e^{0.05 t + C} = e^C \cdot e^{0.05 t}$
माना कि $t = 0$ पर प्रारंभिक मूलधन $P_0 = e^C$ है। दिया है $P_0 = 1000$,इसलिए $P = 1000 e^{0.05 t}$।
$t = 10$ वर्षों के लिए:
$P = 1000 e^{0.05 \times 10} = 1000 e^{0.5}$
दिए गए मान $e^{0.5} = 1.648$ का उपयोग करने पर:
$P = 1000 \times 1.648 = 1648$
अतः,$10$ वर्षों के बाद राशि $Rs. 1648$ होगी।

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $y$ है।
यह दिया गया है कि वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = ky$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चरों को अलग करके समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int k dt$,जिससे $\log y = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,मान लीजिए $y = y_0 = 1,00,000$ है। अतः,$C = \log y_0$।
इस प्रकार,$\log y = kt + \log y_0$,या $\log \left(\frac{y}{y_0}\right) = kt$।
यह दिया गया है कि $2$ घंटों में संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $t = 2$ पर,$y = y_0 + 0.1 y_0 = 1.1 y_0$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\log(1.1) = k(2) \Rightarrow k = \frac{1}{2} \log(1.1)$।
हमें $t$ ज्ञात करना है जब $y = 2,00,000 = 2 y_0$ हो।
$y = 2 y_0$ और $k = \frac{1}{2} \log(1.1)$ को $\log \left(\frac{y}{y_0}\right) = kt$ में रखने पर:
$\log(2) = \left(\frac{1}{2} \log(1.1)\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$ घंटे प्राप्त होते हैं।

दिया गया फलन $y=e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$ है .........$(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[-b c_{1} \sin b x+b c_{2} \cos b x\right]+\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right]$ .........$(2)$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right)(-b \sin b x)+\left(a c_{2}-b c_{1}\right)(b \cos b x)\right]+\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$L.H.S. = e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right] - 2 a e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] + \left(a^{2}+b^{2}\right) e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}-2 a^{2} c_{2}+2 a b c_{1}+a^{2} c_{2}+b^{2} c_{2}\right) \sin b x + \left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}-2 a b c_{2}-2 a^{2} c_{1}+a^{2} c_{1}+b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
$=e^{a x}[0 \cdot \sin b x + 0 \cdot \cos b x] = 0 = R.H.S.$
अतः,दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया फलन: $y = x \sin 3x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin 3x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin 3x + x \cdot (\cos 3x \cdot 3) = \sin 3x + 3x \cos 3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(x \cos 3x)$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 [1 \cdot \cos 3x + x \cdot (-\sin 3x \cdot 3)]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 \cos 3x - 9x \sin 3x = 6 \cos 3x - 9x \sin 3x$
अब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ और $y$ का मान अवकल समीकरण के $L.H.S.$ में रखने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y - 6 \cos 3x$
$= (6 \cos 3x - 9x \sin 3x) + 9(x \sin 3x) - 6 \cos 3x$
$= 6 \cos 3x - 6 \cos 3x - 9x \sin 3x + 9x \sin 3x$
$= 0 = R.H.S.$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का एक हल है।

(A) मान लीजिए किसी समय $t$ पर जनसंख्या $y$ है।
यह दिया गया है कि जनसंख्या वृद्धि की दर किसी भी समय निवासियों की संख्या के समानुपाती है।
$\frac{dy}{dt} = ky$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)
$\frac{dy}{y} = k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\ln y = kt + C$ ............$(1)$
वर्ष $1999$ में,$t = 0$ और $y = 20,000$ लें।
$\ln(20,000) = k(0) + C \Rightarrow C = \ln(20,000)$.
वर्ष $2004$ में,$t = 5$ और $y = 25,000$ है।
$\ln(25,000) = 5k + \ln(20,000)$
$5k = \ln\left(\frac{25,000}{20,000}\right) = \ln\left(\frac{5}{4}\right)$
$k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right)$.
वर्ष $2009$ में,$t = 10$ है।
समीकरण $(1)$ में $t = 10, k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right)$,और $C = \ln(20,000)$ का मान रखने पर:
$\ln y = 10 \times \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right) + \ln(20,000)$
$\ln y = 2 \ln\left(\frac{5}{4}\right) + \ln(20,000)$
$\ln y = \ln\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2 \times 20,000\right)$
$y = 20,000 \times \frac{25}{16} = 1,250 \times 25 = 31,250$.
अतः,$2009$ में जनसंख्या $31,250$ होगी।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.
मान लीजिए $K = 1 + C$,तो $y(x) = (x + 1)^2 + C$.
यह वक्र ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $(-1, C)$ है। वक्र को $x-$अक्ष के साथ क्षेत्रफल परिबद्ध करने के लिए,इसे $x-$अक्ष के नीचे होना चाहिए,इसलिए $C < 0$। मान लीजिए $C = -k^2$ जहाँ $k > 0$ है।
$y(x) = 0$ के मूल $(x + 1)^2 = -C$ हैं,इसलिए $x = -1 \pm \sqrt{-C}$।
वक्र और $x-$अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.
$u = x + 1$ लेने पर,$du = dx$। सीमाएँ $-\sqrt{-C}$ से $\sqrt{-C}$ में बदल जाएंगी।
$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.
$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.
दिया गया है कि $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
अतः,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.
इस प्रकार,$-C = 2$,जिसका अर्थ है $C = -2$।
फलन $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ है।
इसलिए,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
यह सरल होकर बनता है: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y = x \sin(\ln x)$.
क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.
मान लीजिए $x = e^t$,तो $dx = e^t dt$. जब $x=1, t=0$; जब $x=e^{\pi}, t=\pi$.
$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.
सूत्र $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.
$\alpha e^{2\pi} + \beta$ से तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450 = 0.5(P - 900)$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dP}{P - 900} = 0.5 dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P - 900} = \int 0.5 dt$.
यह प्राप्त होता है: $\ln|P - 900| = 0.5t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $P(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $\ln|850 - 900| = 0.5(0) + C \Rightarrow C = \ln(50)$.
अतः,समीकरण बनता है: $\ln|P(t) - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
जब $P(t) = 0$ हो,तब $t$ ज्ञात करने के लिए: $\ln|0 - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
$\ln(900) - \ln(50) = 0.5t$.
$\ln\left(\frac{900}{50}\right) = 0.5t$.
$\ln(18) = 0.5t$.
$t = 2 \ln(18)$.