Application of differential equations Questions in Hindi

(A) समय $t$ के सापेक्ष जनसंख्या $p$ के परिवर्तन की दर जनसंख्या के समानुपाती होती है,जिसे अवकल समीकरण $\frac{dp}{dt} = \frac{3}{100} p$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dp}{p} = \frac{3}{100} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{3}{100} dt$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln(p) = \frac{3t}{100} + K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$p = e^{\frac{3t}{100} + K} = e^K \cdot e^{\frac{3t}{100}}$ प्राप्त होता है।
$C = e^K$ रखने पर,हमें समीकरण $p = C e^{\frac{3t}{100}}$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\ln|y| = \ln|x^2| + C$,या $y = kx^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $k = e^C$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(3, -4)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $-4 = k(3)^2$,जिसका अर्थ है $-4 = 9k$,इसलिए $k = -\frac{4}{9}$ है।
अतः,वक्र का समीकरण $y = -\frac{4}{9}x^2$ है,जिसे $4x^2 + 9y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना प्रारंभिक जनसंख्या $P$ है और वृद्धि दर $r = 10 \% = 0.1$ है।
सतत वृद्धि मानते हुए,समय $t$ पर जनसंख्या $P(t) = P_0 e^{rt}$ द्वारा दी जाती है।
जनसंख्या के दोगुना होने के लिए,$P(t) = 2P_0$.
$2P_0 = P_0 e^{0.1t} \Rightarrow 2 = e^{0.1t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 2 = 0.1t$.
$t = \frac{\ln 2}{0.1} = 10 \ln 2 \text{ वर्ष}$.
यदि वृद्धि वार्षिक चक्रवृद्धि है,तो $2P = P(1 + 0.1)^n \Rightarrow 2 = (1.1)^n$.
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर: $\log 2 = n \log 1.1$.
$n = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.27 \text{ वर्ष}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x-1}$.
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{y+1} dy = \frac{1}{x-1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = \int \frac{1}{x-1} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y+1| = \ln|x-1| + \ln|C|$,जिसे सरल करने पर $y+1 = C(x-1)$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 2$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण में $x=1$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2+1 = C(1-1) \Rightarrow 3 = C(0)$.
यह दर्शाता है कि $3 = 0$,जो एक विरोधाभास है।
चूंकि प्रारंभिक शर्त $y(1) = 2$ उस बिंदु पर दी गई है जहाँ अवकलज $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है (जहाँ $x=1$),इसलिए हल का अस्तित्व नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) माना वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है,जहाँ $(X, Y)$ स्पर्श रेखा पर कोई बिंदु है।
$x$-अंतःखंड $Y = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
$y$-अंतःखंड $X = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
प्रश्न के अनुसार,$x$-अंतःखंड $2x$ है और $y$-अंतःखंड $2y$ है।
अतः,$x - y \frac{dx}{dy} = 2x \Rightarrow -y \frac{dx}{dy} = x \Rightarrow -\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} \Rightarrow -\ln|x| = \ln|y| + \ln|C|$.
इसे सरल करने पर $\ln|y| + \ln|x| = \ln|C|$ प्राप्त होता है,जो $xy = C$ देता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = c$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = (c - x) \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int (c - x) \, dx$।
इससे $\frac{y^2}{2} = cx - \frac{x^2}{2} + k$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 2cx - x^2 + 2k$,जो $x^2 - 2cx + y^2 = 2k$ में सरल हो जाता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2 - 2cx + c^2) + y^2 = 2k + c^2$।
अतः,$(x - c)^2 + y^2 = R^2$,जहाँ $R^2 = 2k + c^2$ है।
यह उन वृत्तों के परिवार का समीकरण है जिनके केंद्र $(c, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

(D) किसी वक्र पर बिंदु $(x, y)$ पर उप-स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र है: $\text{उप-स्पर्शरेखा की लंबाई} = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
प्रश्न के अनुसार,उप-स्पर्शरेखा की लंबाई भुज $x$ के समानुपाती है। मान लीजिए समानुपाती स्थिरांक $k$ है,जिससे $\frac{y}{dy/dx} = kx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{dy/dx} = kx$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \int \frac{dx}{x}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \frac{1}{k} \ln|x| + \ln|C|$.
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|x^{1/k}| + \ln|C| = \ln|C x^{1/k}|$.
इसलिए,वक्र का समीकरण $y = C x^{1/k}$ है।

(A) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2-x^2}{2xy}$ है।
बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t$:
$m_t = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}{2(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\sqrt{3}$ होगी।
बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{2})$
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3}x + y = \sqrt{3}$.

(C) वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = xy$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(\sqrt{2}, e)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \sqrt{2}e$ है।
इस बिंदु पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\sqrt{2}e}$ है।
बिंदु $(\sqrt{2}, e)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - e) = m'(x - \sqrt{2})$ है।
$m'$ का मान रखने पर,हमें $y - e = -\frac{1}{\sqrt{2}e}(x - \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2}e$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{2}ey - \sqrt{2}e^2 = -x + \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x + \sqrt{2}ey = \sqrt{2} + \sqrt{2}e^2$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2}(1 + e^2)$ से भाग देने पर,$\frac{x}{\sqrt{2}(1 + e^2)} + \frac{\sqrt{2}ey}{\sqrt{2}(1 + e^2)} = 1$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax + by = 1$ से करने पर,$a = \frac{1}{\sqrt{2}(1 + e^2)}$ और $b = \frac{\sqrt{2}e}{\sqrt{2}(1 + e^2)} = \frac{e}{1 + e^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{e}{1 + e^2} \times \sqrt{2}(1 + e^2) = \sqrt{2}e$.

(A) माना मूलधन $P$ है। यह दिया गया है कि मूलधन $6 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$\frac{dP}{dt} = \frac{6}{100} P = 0.06 P$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dP}{P} = 0.06 dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.06 dt$
$\log P = 0.06 t + C$
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,$P = 6000$ है। अतः,$\log 6000 = C$ है।
इस प्रकार,$\log P = 0.06 t + \log 6000$,जिसका अर्थ है $\log(\frac{P}{6000}) = 0.06 t$।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब मूलधन दोगुना हो जाए,अर्थात $P = 12000$।
$\log(\frac{12000}{6000}) = 0.06 t$
$\log 2 = \frac{6}{100} t$
$t = \frac{100}{6} \log 2 = \frac{50}{3} \log 2$
अतः,आवश्यक समय $\frac{50}{3} \log 2$ वर्ष है। विकल्प $(A)$ सही है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = At^2 + Bt^{-1}$ है।
प्रथम अवकलज: $y' = 2At - Bt^{-2}$.
द्वितीय अवकलज: $y'' = 2A + 2Bt^{-3}$.
$y, y', y''$ को अवकल समीकरण $f(t) y'' + g(t) y' + h(t) y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t)(2A + 2Bt^{-3}) + g(t)(2At - Bt^{-2}) + h(t)(At^2 + Bt^{-1}) = 0$.
$A$ और $B$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$A[2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t)] + B[2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t)] = 0$.
चूंकि यह किसी भी $A$ और $B$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(1)$
$2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t) = 0 \implies 2f(t) - t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $3t g(t) = 0 \implies g(t) = 0$.
$g(t) = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $2f(t) + t^2 h(t) = 0$.

(A) उप-स्पर्शरेखा (sub-tangent) की लंबाई का सूत्र $y \cdot \frac{dx}{dy}$ है।
दिया गया है कि उप-स्पर्शरेखा भुज $(x)$ की दोगुनी है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$y \cdot \frac{dx}{dy} = 2x$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dx}{x} = 2 \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{x} dx = 2 \int \frac{1}{y} dy$
$\log |x| = 2 \log |y| + \log |C|$
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर:
$\log |x| = \log |C y^2|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = C y^2$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = a$ प्राप्त होता है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y = ax + b$ प्राप्त होता है,जहाँ $b$ एक अन्य स्वेच्छ अचर है।
यह समीकरण $y = ax + b$ एक सरल रेखा के समीकरण का सामान्य रूप है।

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $y \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int (x - 1) \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C$
$y^2 = x^2 - 2x + 2C$.
चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2^2 = 1^2 - 2(1) + 2C$
$4 = 1 - 2 + 2C$
$4 = -1 + 2C \implies 2C = 5$.
समीकरण में $2C = 5$ रखने पर:
$y^2 = x^2 - 2x + 5$
$y^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4$
$y^2 - (x - 1)^2 = 4$
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$.
यह एक अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका केंद्र $(1, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ के शीर्ष $(h, k \pm a)$ होते हैं।
यहाँ $h = 1, k = 0, a = 2$ है।
अतः शीर्ष $(1, 0 \pm 2)$ अर्थात $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(1, 2)$ एक शीर्ष है।

(B) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = k$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = \pm k$।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = \pm k \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int y \, dy = \int \pm k \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = \pm 2kx + 2C$ प्राप्त होता है।
माना $A = 2C$,तो हमें $y^2 - A = \pm 2kx$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्रों के कुल का समीकरण $y^2 - A = 2Kx$ है (धनात्मक अचर रूप को ध्यान में रखते हुए)।

(B) दी गई जानकारी के अनुसार,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें $2y \, dy = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2y \, dy = \int dx$,जिससे $y^2 = x + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(3, 4)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करते हैं: $4^2 = 3 + c$,जिसका अर्थ है $16 = 3 + c$,इसलिए $c = 13$।
अतः,वक्र का समीकरण $y^2 = x + 13$ है।
यह समीकरण $y^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{x(x^2+y^2-1)}{y(2(x^2+y^2)+1)} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(2(x^2+y^2)+1) dy + x(x^2+y^2-1) dx = 0$
$2y(x^2+y^2) dy + y dy + x(x^2+y^2) dx - x dx = 0$
$(x^2+y^2)(2y dy + x dx) + y dy - x dx = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) - 3x dx = 0$
$(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) = 3x dx + 3y dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x^2 + 2y^2 - 3 \log(x^2+y^2+2) = c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5y+3}{5x+2y-3}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(5x+2y-3)dy = (2x-5y+3)dx$
$(5x+2y-3)dy - (2x-5y+3)dx = 0$
$5x dy + 2y dy - 3 dy - 2x dx + 5y dx - 3 dx = 0$
पदों को समूहित करने पर: $5(x dy + y dx) + (2y dy - 2x dx) - (3 dy + 3 dx) = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $5 d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 3 d(x+y) = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $5xy + y^2 - x^2 - 3(x+y) = C$
चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$5(1)(1) + (1)^2 - (1)^2 - 3(1+1) = C$
$5 + 1 - 1 - 6 = C \Rightarrow C = -1$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $5xy + y^2 - x^2 - 3x - 3y = -1$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5xy - y^2 + 3x + 3y - 1 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
$P(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ है।
वह बिंदु $G$ जहाँ अभिलंब $x$-अक्ष को मिलता है,उसे ज्ञात करने के लिए $Y = 0$ रखें:
$-y = -\frac{dx}{dy}(X - x) \implies y \frac{dy}{dx} = X - x \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $G$ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ है।
मूल बिंदु से $G$ की दूरी $|x + y \frac{dy}{dx}|$ है। दिया गया है कि यह दूरी $P$ के भुज $(x)$ की दोगुनी है:
$x + y \frac{dy}{dx} = 2x \implies y \frac{dy}{dx} = x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int x \, dx \implies \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \implies y^2 - x^2 = 2C$.
यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) प्रतिस्थापन $z = \log \tan \frac{x}{2}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}$.
आगे,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) = \frac{d}{dz} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) \cdot \frac{dz}{dx} = \left( -\operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} + \operatorname{cosec} x \frac{d^2 y}{dz^2} \right) \operatorname{cosec} x = \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz}$.
इन मानों को मूल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} + \cot x \frac{dy}{dx} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ में रखने पर:
$\left( \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} \right) + \cot x (\operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}) + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dz^2} + 4y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{dy}{dx}$ है।
चूँकि निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्श रेखा का खंड $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए स्पर्श रेखा अक्षों को $(2x_1, 0)$ और $(0, 2y_1)$ पर मिलती है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2y_1 - 0}{0 - 2x_1} = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln y = -\ln x + C_0$,जिसका अर्थ है $\ln(xy) = C_0$,या $xy = C$ है।
चूँकि वक्र $(3, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $3 \times 2 = C$,जिससे $C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ है।

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।
बिंदु $A$ ($X$-अक्ष) के लिए,$Y = 0$ रखें: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$। अतः,$A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$।
बिंदु $B$ ($Y$-अक्ष) के लिए,$X = 0$ रखें: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$। अतः,$B = (0, y - xy')$।
दिया है $AP:BP = 3:1$। बिंदु $P(x, y)$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए जो $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$।
चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है,$1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$। वक्र $xy^3 = 1$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करें: यदि $x = 1/8$ है,तो $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$। अतः,वक्र $(1/8, 2)$ से गुजरता है।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $(1, 1)$ पर,$y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$। अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{y'} = 3$।
अभिलंब का समीकरण: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$। विकल्प $D$ गलत है।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम स्पर्श रेखा के समीकरण में $X = 0$ रखते हैं:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
$y$-अंतःखंड की लंबाई $|Y| = |y - x \frac{dy}{dx}|$ है। प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड कोटि $y$ का $3$ गुना है:
$y - x \frac{dy}{dx} = 3y$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $-x \frac{dy}{dx} = 2y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमारे पास $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} + \ln C$ प्राप्त होता है।
$\ln y = -2 \ln x + \ln C \Rightarrow \ln y = \ln(x^{-2}) + \ln C$.
$\ln y = \ln(C x^{-2}) \Rightarrow y = \frac{C}{x^2}$.
अतः,$x^2y = C$,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।

(C) दिया गया है कि $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$।
लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$,जिसका अर्थ है कि $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$।
अतः,$f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$,जो $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ देता है।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$f(x) = \sin(x)$ या $f(x) = -\sin(x)$।
चूंकि $f$ अंतराल $[0, \pi/2]$ पर गैर-ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = \sin(x)$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\sin(x) < x$ होता है।
इसलिए,$f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ और $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ है।

(A) वक्र की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
वक्र का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$\int dy = \int 3x^2 dx$
$y = x^3 + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
वक्र बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = (-1)^3 + C$
$1 = -1 + C$
$C = 2$।
$C$ का मान सामान्य समीकरण में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x^3 + 2$।

(B) दिया गया समीकरण: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है।
लेबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$।
यह सरल होकर $(f(x) - f'(x))^2 = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $f'(x) = f(x)$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$।
$x = 0$ पर,$(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (चूंकि $f$ अ-ऋणात्मक है)।
अतः,$A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$,इसलिए $f(x) = 5 e^x$।
हमें $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ का माध्य ज्ञात करना है।
चूंकि $f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$,माध्य होगा:
$\text{माध्य} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} \times \frac{625 \times 626}{2} = \frac{5 \times 626}{2} = 5 \times 313 = 1565$।