मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f

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$2$

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(C) दिया गया समाकलन $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $f(t) \operatorname{cosec} t$ के गुणनफल का $t$ के सापेक्ष अवकलज है,क्योंकि $\frac{d}{dt} [f(t) \operatorname{cosec} t] = f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t$. अतः,$g(x) = [f(t) \operatorname{cosec} t]_x^{\pi / 2} = f(\frac{\pi}{2}) \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) - f(x) \operatorname{cosec} x$. $f(\frac{\pi}{2})=3$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2})=1$ मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(x) = 3 - \frac{f(x)}{\sin x}$ प्राप्त होता है। अब,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = \lim _{x \rightarrow 0} (3 - \frac{f(x)}{\sin x}) = 3 - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}$. $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{\cos x} = \frac{f^{\prime}(0)}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$. इसलिए,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 3 - 1 = 2$.

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यदि $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ और $f(0)=0$ है,तो $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है:

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