मान लीजिए $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ और $f_4: R \rightarrow R$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित फलन हैं:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,जहाँ,$t \in R$ के लिए,$[t]$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है।
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$
$LIST-I$ $LIST-II$
$P$. फलन $f_1$ है $1$. $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$Q$. फलन $f_2$ है $2$. $x=0$ पर सतत है और $x=0$ पर अवकलनीय $NOT$ है
$R$. फलन $f_3$ है $3$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$S$. फलन $f_4$ है $4$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत है

सही विकल्प है:

  • A
    $P \rightarrow 2; Q \rightarrow 3; R \rightarrow 1; S \rightarrow 4$
  • B
    $P \rightarrow 4; Q \rightarrow 1; R \rightarrow 2; S \rightarrow 3$
  • C
    $P \rightarrow 4; Q \rightarrow 2; R \rightarrow 1; S \rightarrow 3$
  • D
    $P \rightarrow 2; Q \rightarrow 1; R \rightarrow 4; S \rightarrow 3$

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मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है।
कथन-$1$: किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
कथन-$2$: सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।

यदि $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ है,तो $x = e^{m^{n^p}}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या होगा?

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निम्नलिखित में से किस ग्राफ में $x = c$ नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) है?

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