Differentiation by substitution Questions in Hindi

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + (2n-1)\sin x + (n^2-n+1)}\right)$ है।
हम इसे $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{(\sin x + n) - (\sin x + n - 1)}{1 + (\sin x + n)(\sin x + n - 1)}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = \tan^{-1}(\sin x + n) - \tan^{-1}(\sin x + n - 1)$ प्राप्त होता है।
$10$ पदों तक योग करने पर,हमें $f(x) = \sum_{n=1}^{10} [\tan^{-1}(\sin x + n) - \tan^{-1}(\sin x + n - 1)]$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + 10) - \tan^{-1}(\sin x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{\cos x}{1 + (\sin x + 10)^2} - \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$f'(0) = \frac{\cos 0}{1 + (0 + 10)^2} - \frac{\cos 0}{1 + 0^2} = \frac{1}{101} - 1 = \frac{-100}{101}$।

(C) माना $y = \tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}\right]$ है।
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ है।
इसी प्रकार,$1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}\right]$
$y = \tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{x}{2}}\right] = \tan ^{-1}(\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$।

(D) दिया गया है $y=\cos ^{-1}\left(\frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}\right)$.
माना $v = \frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}$.
यहाँ $v = \frac{-(2x^2-6x+5)+1}{2x^2-6x+5} = -1 + \frac{1}{2x^2-6x+5}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-v^2}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
भागफल नियम (quotient rule) द्वारा $\frac{dv}{dx}$ की गणना करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(6-4x)(2x^2-6x+5) - (6x-2x^2-4)(4x-6)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2}$.
अब,$1-v^2 = 1 - \left(\frac{6x-2x^2-4}{2x^2-6x+5}\right)^2 = \frac{(2x-3)^2}{(2x^2-6x+5)^2}$.
अतः,$\sqrt{1-v^2} = \frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}} \cdot \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{2(2x-3)}{|2x-3|(2x^2-6x+5)}$.
यदि $2x-3 > 0$ है,तो $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x^2-6x+5}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin (2 x)}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$.
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$y=\tan ^{-1}\left[\frac{(\frac{\sin 2x}{x})^3 - 3(\frac{\sin 2x}{x})}{3(\frac{\sin 2x}{x})^2 - 1}\right]$.
माना $\frac{\sin 2x}{x} = \tan \theta$. तब $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} \right]$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} = -\tan 3\theta$.
अतः,$y = \tan^{-1}(-\tan 3\theta) = -3\theta = -3 \tan^{-1}(\frac{\sin 2x}{x})$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{\sin 2x}{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x})$.
$\frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x}) = \frac{x(2 \cos 2x) - \sin 2x}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{x^2}{x^2 + \sin^2 2x} \cdot \frac{2x \cos 2x - \sin 2x}{x^2} = \frac{3 \sin 2x - 6x \cos 2x}{x^2 + \sin^2 2x}$.

(B) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left[ \frac{5 \cos x - 12 \sin x}{12 \cos x + 5 \sin x} \right]$.
अंश और हर को $12 \cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\frac{5}{12} - \tan x}{1 + \frac{5}{12} \tan x} \right]$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(\tan x)$.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) - x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right) \right) - \frac{d}{dx}(x)$.
चूंकि $\tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 0 - 1 = -1$.

(A) दिया गया है: $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} x$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
अतः,$y = \tan^{-1} (\tan(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y' = \frac{1}{2(1+x^2)}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y'(1) = \frac{1}{2(1+1^2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$.
सर्वसमिका $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $1+\cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ पर मान $-\frac{1}{2}$ है।

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2}$.

(C) माना $y = y_1 + y_2$,जहाँ $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x} \right)$ और $y_2 = 2\tan^{-1} \left( \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)$ है।
$y_1$ के लिए,अंश और हर को $4\cos x$ से विभाजित करने पर: $y_1 = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 - \tan x}{1 + (3/4)\tan x} \right) = \tan^{-1}(3/4) - x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy_1}{dx} = -1$ है।
$y_2$ के लिए,माना $x = \sin \theta$,तो $\theta = \sin^{-1} x$ है। व्यंजक $2\tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \right) = 2\tan^{-1} \left( \tan(\theta/2) \right) = \theta = \sin^{-1} x$ बन जाता है।
अतः,$\frac{dy_2}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1 - 3/4}} = -1 + \frac{1}{\sqrt{1/4}} = -1 + 2 = 1$ है।