$x = 1$ पर फलन $\left[ \cos^{-1}\left( \sin \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right) + x^x \right]$ का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(0)=\frac{1}{2}$ है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}=\alpha$ है,तो $8 \alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $y=\tan ^{-1}(\sin \sqrt{x})+\operatorname{cosec}^{-1}\left(e^{2 x+1}\right)$ है,तो $\frac{d y}{d x}=$

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{x^2-3x+2} & \text{यदि } x \in R - \{1, 2\} \\ 2 & \text{यदि } x = 1 \\ 1 & \text{यदि } x = 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $2 f(x)-3 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ है,तो $f^{\prime}(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $g(x)$ को $g(x) = \frac{x^{200}}{200} + \frac{x^{199}}{199} + \frac{x^{198}}{198} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 5$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $g'(0)$ ज्ञात कीजिए।