Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(B) माना दिया गया व्यंजक $y = {\left( {{x^{\frac{{\ell + m}}{{m - n}}}}} \right)^{\frac{1}{{n - \ell }}}} \cdot {\left( {{x^{\frac{{m + n}}{{n - \ell }}}}} \right)^{\frac{1}{{\ell - m}}}} \cdot {\left( {{x^{\frac{{n + \ell }}{{\ell - m}}}}} \right)^{\frac{1}{{m - n}}}}$ है।
घातांक के नियम $(x^a)^b = x^{ab}$ का उपयोग करने पर:
$y = x^{\frac{\ell + m}{(m - n)(n - \ell)}} \cdot x^{\frac{m + n}{(n - \ell)(\ell - m)}} \cdot x^{\frac{n + \ell}{(\ell - m)(m - n)}}$.
आधार समान होने पर,घातांकों को जोड़ने पर:
$y = x^{\left[ \frac{\ell + m}{(m - n)(n - \ell)} + \frac{m + n}{(n - \ell)(\ell - m)} + \frac{n + \ell}{(\ell - m)(m - n)} \right]}$.
हर को समान करने पर,उभयनिष्ठ हर $(m - n)(n - \ell)(\ell - m)$ प्राप्त होता है।
अंश का सरलीकरण करने पर:
घातांक $= \frac{(\ell + m)(\ell - m) + (m + n)(m - n) + (n + \ell)(n - \ell)}{(m - n)(n - \ell)(\ell - m)}$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
घातांक $= \frac{(\ell^2 - m^2) + (m^2 - n^2) + (n^2 - \ell^2)}{(m - n)(n - \ell)(\ell - m)} = \frac{0}{(m - n)(n - \ell)(\ell - m)} = 0$.
अतः,$y = x^0 = 1$ ($x \neq 0$ के लिए)।
अचर पद $1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन $\frac{d}{dx}(1) = 0$ होता है।

(B) दिया गया है $y = \frac{x^4 - x^2 + 1}{x^2 + \sqrt{3}x + 1}$.
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{(x^2 + 1 - \sqrt{3}x)(x^2 + 1 + \sqrt{3}x)}{x^2 + \sqrt{3}x + 1}$.
व्यंजक को सरल करने पर,$y = x^2 - \sqrt{3}x + 1$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x - \sqrt{3}$.
इसकी तुलना $\frac{dy}{dx} = ax + b$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 2 - \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि $tan(15^\circ) = tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$,और $tan(\frac{\pi}{12}) = cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = cot(\frac{5\pi}{12})$.
इसलिए,$a + b = cot\frac{5\pi}{12}$.

(B) दिया गया है कि $h(x) = f(x)g(x)$। गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$।
$x = 2$ पर,$h'(2) = f'(2)g(2) + g'(2)f(2) = (-2)(5) + (4)(3) = -10 + 12 = 2$।
दिया गया है कि $F(x) = f(g(x))$। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$।
$x = 2$ पर,$F'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(5) \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44$।
अब,$F'(2)$ और $h'(2)$ की तुलना करने पर,हमें $F'(2) = 44$ और $h'(2) = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$F'(2) = 22 \cdot h'(2)$।

(D) दिया गया है $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}}) + \frac{d}{dx}(e^{-\sqrt{x}})$
$\frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ (यह विकल्प $A$ से मेल खाता है)।
अब,$y^2 - 4 = (e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}})^2 - 4$ पर विचार करें।
$y^2 - 4 = e^{2\sqrt{x}} + e^{-2\sqrt{x}} + 2 - 4 = e^{2\sqrt{x}} + e^{-2\sqrt{x}} - 2$
$y^2 - 4 = (e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}})^2$
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{y^2 - 4} = e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}$।
इस मान को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{y^2 - 4}$ (यह विकल्प $C$ से मेल खाता है)।
चूंकि $A$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।
हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $L = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(-2h)}{h}$.
अंश में $f(0)$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0) - (f(-2h) - f(0))}{h}$.
$L = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h) - f(0)}{h} - \frac{f(-2h) - f(0)}{h} \right)$.
$L = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(-2h) - f(0)}{h}$.
चूंकि $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = 1$,इसलिए पहला पद $1$ है।
दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $k = -2h$ है। जैसे $h \to 0$,वैसे ही $k \to 0$।
$\lim_{h \to 0} \frac{f(-2h) - f(0)}{h} = \lim_{k \to 0} \frac{f(k) - f(0)}{-k/2} = -2 \lim_{k \to 0} \frac{f(k) - f(0)}{k} = -2 f'(0) = -2(1) = -2$.
अतः,$L = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

(C) परिभाषा के अनुसार,अवकलज $f'(1)$,$P(1, 2)$ और $Q(s, f(s))$ से गुजरने वाली छेदक रेखा की ढाल की सीमा (limit) है जब $s \to 1$ होता है।
छेदक रेखा की ढाल समीकरण $y = \left( \frac{s^2 + 2s - 3}{s - 1} \right) x - 1 - s$ में $x$ का गुणांक है।
अतः,$f'(1) = \lim_{s \to 1} \frac{s^2 + 2s - 3}{s - 1}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(1) = \lim_{s \to 1} \frac{(s - 1)(s + 3)}{s - 1}$
$f'(1) = \lim_{s \to 1} (s + 3) = 1 + 3 = 4$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^{\frac{m}{n}}$,जहाँ $m$ और $n$ विषम पूर्णांक हैं और $0 < m < n$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} - 1} = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n}}$.
चूंकि $m < n$,घातांक $\frac{m-n}{n}$ ऋणात्मक है। मान लीजिए $k = n - m$,जहाँ $k$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है (क्योंकि $n$ और $m$ दोनों विषम हैं,इसलिए उनका अंतर सम होगा)। अतः $f'(x) = \frac{m}{n} x^{-\frac{k}{n}} = \frac{m}{n \cdot x^{\frac{k}{n}}}$.
जैसे ही $x \to 0$,$f'(x) \to \infty$,इसलिए $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
चूंकि $k$ सम है,सभी $x \neq 0$ के लिए $x^{\frac{k}{n}} > 0$ होगा। इसलिए,सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) = \frac{m}{n \cdot x^{\frac{k}{n}}} > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए सत्य है और $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरे प्रांत $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) दिया गया है $h(x) = \frac{5}{3}(f(x))^3 + \frac{1}{2}(f(x))^2 + 2f(x) + 100$.
$h(x)$ के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$h'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{5}{3}(f(x))^3 + \frac{1}{2}(f(x))^2 + 2f(x) + 100 \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$h'(x) = \left( 5(f(x))^2 + f(x) + 2 \right) f'(x)$.
द्विघात व्यंजक $Q = 5(f(x))^2 + f(x) + 2$ पर विचार करें।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(5)(2) = 1 - 40 = -39$.
चूंकि $D < 0$ है और $(f(x))^2$ का गुणांक धनात्मक $(5 > 0)$ है,इसलिए $Q$ हमेशा धनात्मक रहेगा।
अतः,$h'(x)$ का चिह्न केवल $f'(x)$ के चिह्न पर निर्भर करता है।
यदि $f'(x) > 0$ है,तो $h'(x) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि जैसे $f(x)$ बढ़ता है,$h(x)$ भी बढ़ता है।

(C) अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
दिए गए फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) - 3xy + f(y)$ में $y = h$ रखने पर:
$f(x + h) = f(x) - 3xh + f(h)$.
इस मान को अवकलज की परिभाषा में रखने पर:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - 3xh + f(h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-3xh + f(h)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (-3x + \frac{f(h)}{h})$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 7$ दिया गया है,इसलिए:
$f'(x) = -3x + 7$.

(D) माना $L = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h^2 + 2h}$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = f'(1)$ होता है।
अतः,सीमा को $\lim_{h \to 0} \left( \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \cdot \frac{1}{h+2} \right) = f'(1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{f'(1)}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$f(x) = \frac{\sin(\frac{\pi x}{4})}{x + 1}$ के लिए भागफल नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = \frac{(x+1) \cdot \cos(\frac{\pi x}{4}) \cdot \frac{\pi}{4} - \sin(\frac{\pi x}{4})}{(x+1)^2}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}}{4} = \frac{\pi - 2}{8\sqrt{2}}$ है।
अतः,सीमा का मान $\frac{f'(1)}{2} = \frac{\pi - 2}{16\sqrt{2}}$ है।

(C) माना $u = e^{x^3}$ और $v = \log_e x$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^3}) = e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3} \cdot 3x^2$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{3x^2 e^{x^3}}{1/x} = 3x^2 e^{x^3} \cdot x = 3x^3 e^{x^3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $y = |\cos 4x| + |\sin 4x| + |\tan 4x|$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$4x = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के पड़ोस में,$\cos 4x < 0$,$\sin 4x > 0$,और $\tan 4x < 0$ है।
इसलिए,$y = -\cos 4x + \sin 4x - \tan 4x$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -(-\sin 4x \cdot 4) + (\cos 4x \cdot 4) - (\sec^2 4x \cdot 4)$
$\frac{dy}{dx} = 4\sin 4x + 4\cos 4x - 4\sec^2 4x$।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$4x = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,$\sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$।
$\frac{dy}{dx} = 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) - 4(-2)^2$
$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{3} - 2 - 16 = 2\sqrt{3} - 18$।

(A) माना $u = \ln x$ है। तब $x = e^u$ और $dx = e^u du$ होगा।
हमें $u = \ln x$ के सापेक्ष $f(x) = e^x (\ln x)^2$ का अवकलन ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{df}{du} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dx}{du}$।
सबसे पहले,$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x (\ln x)^2) = e^x (\ln x)^2 + e^x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\ln x)^2 + \frac{2 e^x \ln x}{x}$ ज्ञात करें।
चूंकि $u = \ln x$ है,इसलिए $\frac{dx}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u = x$ होगा।
अतः,$\frac{df}{du} = (e^x (\ln x)^2 + \frac{2 e^x \ln x}{x}) \cdot x = x e^x (\ln x)^2 + 2 e^x \ln x$।
$x = e$ पर,$\ln x = 1$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{df}{du} = e \cdot e^e \cdot (1)^2 + 2 \cdot e^e \cdot 1 = e^{e+1} + 2 e^e = e^e (e + 2)$।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{x/2}$.
चूंकि $g(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $g(f(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
$g'(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$f(x) = 1$ रखें।
$x^3 + e^{x/2} = 1$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 0$ पर,$0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ होता है। अतः,$f(0) = 1$.
अब,$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}e^{x/2}$ ज्ञात करें।
$x = 0$ पर,$f'(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर: $g'(f(0)) \cdot f'(0) = 1 \implies g'(1) \cdot \frac{1}{2} = 1$.
अतः,$g'(1) = 2$.

(B) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots\infty}}}$.
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(x)}{x} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots\infty}}}$.
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक मूल फलन के समान है,इसलिए $\frac{f(x)}{x} = \sqrt{f(x)}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{f(x)^2}{x^2} = f(x)$ प्राप्त होता है।
यदि $f(x) \neq 0$ है,तो $f(x)$ से भाग देने पर $\frac{f(x)}{x^2} = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $f(x) = x^2$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ रखने पर,$f'(3) = 2(3) = 6$ होगा।

(C) दिया गया है कि $h(x) = f(g(f(x)))$ है।
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$h'(x) = f'(g(f(x))) \cdot g'(f(x)) \cdot f'(x)$.
अब,$x = 2$ पर $h'(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$h'(2) = f'(g(f(2))) \cdot g'(f(2)) \cdot f'(2)$.
चूंकि $f(2) = 1$ दिया गया है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(2) = f'(g(1)) \cdot g'(1) \cdot f'(2)$.
चूंकि $g(1) = 2$ दिया गया है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(2) = f'(2) \cdot g'(1) \cdot f'(2)$.
चूंकि $f'(2) = 4$ और $g'(1) = 4$ दिया गया है,मान रखने पर:
$h'(2) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

(C) सबसे पहले,बहुपद विभाजन और आंशिक भिन्नों का उपयोग करके अवकलन के अंदर के व्यंजक को सरल करें।
माना $f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 + x - 3}{x^2 + x - 2}$.
यहाँ $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$ है।
विभाजन करने पर: $\frac{2x^3 + 3x^2 + x - 3}{x^2 + x - 2} = 2x + 1 - \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}f(x) = 2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 2)^2}$.
इसकी तुलना $A + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x + 2)^2}$ से करने पर,हमें $A = 2$,$B = 1$,$C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A - B + C = 2 - 1 + 1 = 2$.

(B) माना $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ है।
अंतराल $(1, 3)$ में $x$ के लिए,हमारे पास $x - 1 > 0$ और $x - 3 < 0$ है।
अतः,$|x - 1| = x - 1$ और $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ होगा।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = (x - 1) + (-x + 3) = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in (1, 3)$ के लिए $f(x) = 2$ है,इसलिए $x = 2$ के इस पड़ोस में फलन अचर है।
अचर फलन का अवकलज $0$ होता है।
इसलिए,$f'(2) = 0$।

(B) सबसे पहले,वक्रों को बराबर रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $3^{x-1} \log x = x^x - 1$. $x = 1$ पर,$3^0 \log 1 = 1^1 - 1$,जो $1 \times 0 = 0$ देता है। अतः,वक्र $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रथम वक्र $y = 3^{x-1} \log x$ के लिए,अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3^{x-1} \log 3 \log x + 3^{x-1} \cdot \frac{1}{x}$ है।
$x = 1$ पर,$m_1 = 3^0 \log 3 \log 1 + 3^0 \cdot \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1$ है।
दूसरे वक्र $y = x^x - 1$ के लिए,मान लें $u = x^x$,तो $\log u = x \log x$। अवकलन करने पर $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log x + 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{du}{dx} = x^x (1 + \log x)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x (1 + \log x)$।
$x = 1$ पर,$m_2 = 1^1 (1 + \log 1) = 1(1 + 0) = 1$ है।
चूंकि $m_1 = m_2 = 1$,स्पर्श रेखाएं समानांतर हैं,जिसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन कोण $\theta = 0$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \cos 0 = 1$।

(C) दिया गया है: $2f(\sin x) + f(\cos x) = x$ --- $(1)$
$x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$2f(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) + f(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$
$2f(\cos x) + f(\sin x) = \frac{\pi}{2} - x$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4f(\cos x) + 2f(\sin x) = \pi - 2x$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(4f(\cos x) + 2f(\sin x)) - (2f(\sin x) + f(\cos x)) = (\pi - 2x) - x$
$3f(\cos x) = \pi - 3x$
$f(\cos x) = \frac{\pi}{3} - x$
माना $t = \cos x$,तब $x = \cos^{-1} t$. यह मान रखने पर:
$f(t) = \frac{\pi}{3} - \cos^{-1} t$
अतः,$f(x) = \frac{\pi}{3} - \cos^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{3} - \cos^{-1} x) = 0 - (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है,हम इसे $x=3$ के परितः टेलर विस्तार का उपयोग करके इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = f(3) + f'(3)(x-3) + \frac{f''(3)}{2!}(x-3)^2 + \frac{f'''(3)}{3!}(x-3)^3$
दिया गया है कि $f(3)=1$,$f'(3)=-1$,$f''(3)=0$,और $f'''(3)=12$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = 1 + (-1)(x-3) + \frac{0}{2}(x-3)^2 + \frac{12}{6}(x-3)^3$
$f(x) = 1 - (x-3) + 2(x-3)^3$
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -1 + 2 \times 3(x-3)^2 = -1 + 6(x-3)^2$
$f'(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर:
$f'(1) = -1 + 6(1-3)^2 = -1 + 6(-2)^2 = -1 + 6(4) = -1 + 24 = 23$

(B) $x = k$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(k-h) - f(k)}{-h}$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया है $f(x) = \{x\} \sin(\pi x)$,इसलिए $f(k) = \{k\} \sin(\pi k) = 0 \times 0 = 0$.
छोटे $h > 0$ के लिए,$k-h$ अंतराल $(k-1, k)$ में स्थित है,इसलिए $\{k-h\} = k-h - (k-1) = 1-h$.
अतः,$f(k-h) = (1-h) \sin(\pi(k-h)) = (1-h) \sin(k\pi - \pi h) = (1-h) (\sin(k\pi)\cos(\pi h) - \cos(k\pi)\sin(\pi h))$.
चूंकि $\sin(k\pi) = 0$ और $\cos(k\pi) = (-1)^k$,हमें प्राप्त होता है $f(k-h) = (1-h) (0 - (-1)^k \sin(\pi h)) = (1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)$.
अब,$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)}{-h}$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} = 1$ का उपयोग करते हुए,$LHD = (-1)^{k+1} \times (-1) \times \pi = (-1)^{k+2} \pi = (-1)^k \pi$.

(B) दिया गया है कि $f'(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
दिया गया है कि $g'(x) < 0$,इसलिए $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(x)$ ह्रासमान फलन है,इसलिए किसी भी $x_1 < x_2$ के लिए,$g(x_1) > g(x_2)$ होता है।
विशेष रूप से,$x < x+1$ के लिए,$g(x) > g(x+1)$ होता है।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान फलन है,इसलिए असमिका $g(x) > g(x+1)$ के दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने से असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
इसलिए,$f(g(x)) > f(g(x+1))$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
मान लीजिए $f'(1) = a$,$f''(2) = b$,और $f'''(3) = c$.
तब $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
अब,अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
$f''(x) = 6x + 2a$
$f'''(x) = 6$
$a, b, c$ की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:
$c = f'''(3) = 6$.
$b = f''(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a \Rightarrow 2a - b = -12$.
$a = f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b \Rightarrow a + b = -3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a - b) + (a + b) = -12 - 3 \Rightarrow 3a = -15 \Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ को $a + b = -3$ में रखने पर: $-5 + b = -3 \Rightarrow b = 2$.
अतः,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$.
$f(2)$ की गणना करने पर: $f(2) = (2)^3 - 5(2)^2 + 2(2) + 6 = 8 - 20 + 4 + 6 = -2$.

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = Ae^x$.
शर्त $f(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$Ae^1 = 2$,इसलिए $A = 2e^{-1}$.
अतः,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.
परिणामस्वरूप,$f'(x) = 2e^{x-1}$.
दिया गया है कि $h(x) = f(f(x))$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ पर,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.
चूंकि $f(1) = 2$,इसलिए $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.
मान रखने पर,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ और $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.
इसलिए,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

(A) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) + 2f(x) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ पर,हमारे पास $f(1) = 1$ और $f'(1) = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(1))) \cdot f'(f(1)) \cdot f'(1) + 2f(1) \cdot f'(1)$.
चूंकि $f(1) = 1$,यह इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(1)) \cdot f'(1) \cdot f'(1) + 2(1)(3)$.
$\frac{dy}{dx} = f'(1) \cdot 3 \cdot 3 + 6$.
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(A) दिया गया फलन $y = x^2 + \cos(2x) + e^{ax}$ है।
अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम योग नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\cos(2x)) + \frac{d}{dx}(e^{ax})$.
घात नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ है।
त्रिकोणमितीय फलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$ है।
चरघातांकी फलन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(e^{ax}) = e^{ax} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = e^{ax} \cdot a = ae^{ax}$ है।
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 2x - 2\sin(2x) + ae^{ax}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\tan \alpha+\cot \alpha}{\sec^2 \alpha}\right)+\csc^2 \alpha}$.
चूँकि $1+\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$,हमारे पास $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}\right)+\csc^2 \alpha}$ है।
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $2\left(\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha + \csc^2 \alpha = 2\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + \csc^2 \alpha$.
ध्यान दें कि $2\cot \alpha + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + 1 + \cot^2 \alpha = (1+\cot \alpha)^2$.
अतः,$y(\alpha) = \sqrt{(1+\cot \alpha)^2} = |1+\cot \alpha|$.
$\alpha \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$ के लिए,$\cot \alpha < -1$,इसलिए $1+\cot \alpha < 0$.
अतः,$y(\alpha) = -(1+\cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.
$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{d\alpha} = -(-\csc^2 \alpha) = \csc^2 \alpha$.
$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ पर,$\csc \alpha = \csc \frac{5\pi}{6} = 2$.
इसलिए,$\frac{dy}{d\alpha} = (2)^2 = 4$.

(C) दिया गया है कि $f \circ g$ एक तत्समक फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
हमें दिया गया है कि $g(a) = b$ और $g^{\prime}(a) = 5$ है।
अवकलित समीकरण में $x = a$ रखने पर:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
ज्ञात मानों $g(a) = b$ और $g^{\prime}(a) = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(b) \cdot 5 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(b) = 1/5$.

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=\tan^{-1}(\sec x+\tan x)$.
इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})\right)$
चूँकि $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
$x=1$ के लिए,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(A) दिया गया फलन एक संयुक्त फलन $f(x) = v(u(x))$ है,जहाँ $u(x) = x^{2}$ और $v(t) = \sin(t)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,अवकलज $\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$ और $\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{df}{dx} = \cos(t) \cdot 2x$ प्राप्त होता है।
$t$ को $x^{2}$ से बदलने पर,हमें $\frac{df}{dx} = 2x \cos(x^{2})$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = \tan(2 x+3)$ है।
अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
माना $u = 2 x+3$ है। तब $f(x) = \tan(u)$ है।
$u$ के सापेक्ष $\tan(u)$ का अवकलज $\sec^{2}(u)$ होता है।
$x$ के सापेक्ष $u = 2 x+3$ का अवकलज $\frac{du}{dx} = 2$ होता है।
श्रृंखला नियम के अनुसार,$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{df}{dx} = \sec^{2}(u) \cdot 2$ प्राप्त होता है।
$u$ को $2 x+3$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{df}{dx} = 2 \sec^{2}(2 x+3)$ प्राप्त होता है।

माना $y = \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right).$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) \right]$
$= \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \cos \left(x^{2}\right) \right)$
$= \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) \cdot \left( -\sin \left(x^{2}\right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{2} \right)$
$= \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) \cdot (-\sin \left(x^{2}\right)) \cdot (2x)$
$= -2x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right).$

माना $f(x) = \sin(x^{2}+5)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम बाहरी फलन $\sin(u)$ का अवकलन करते हैं और इसे आंतरिक फलन $u = x^{2}+5$ के अवकलज से गुणा करते हैं।
$\frac{d}{dx}[\sin(x^{2}+5)] = \cos(x^{2}+5) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}+5)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$ और $\frac{d}{dx}(5) = 0$,इसलिए $\frac{d}{dx}(x^{2}+5) = 2x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d}{dx}[\sin(x^{2}+5)] = \cos(x^{2}+5) \cdot 2x = 2x \cos(x^{2}+5)$.

माना $f(x) = \cos (\sin x)$ है।
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}[\cos (\sin x)] = -\sin (\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
चूंकि $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ होता है,इसलिए यह मान रखने पर:
$= -\sin (\sin x) \cdot \cos x$
$= -\cos x \sin (\sin x)$

माना कि $f(x) = \sin (ax+b)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}[\sin (ax+b)] = \cos (ax+b) \cdot \frac{d}{dx}(ax+b)$
$= \cos (ax+b) \cdot [\frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(b)]$
$= \cos (ax+b) \cdot (a + 0)$
$= a \cos (ax+b)$

माना $f(x) = \frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $g(x) = \sin(ax+b)$ और $h(x) = \cos(cx+d)$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके अवकलज ज्ञात करें:
$g'(x) = \frac{d}{dx} [\sin(ax+b)] = \cos(ax+b) \cdot \frac{d}{dx}(ax+b) = a \cos(ax+b)$.
$h'(x) = \frac{d}{dx} [\cos(cx+d)] = -\sin(cx+d) \cdot \frac{d}{dx}(cx+d) = -c \sin(cx+d)$.
अब,इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$f'(x) = \frac{[a \cos(ax+b)] \cdot [\cos(cx+d)] - [\sin(ax+b)] \cdot [-c \sin(cx+d)]}{[\cos(cx+d)]^2}$.
$f'(x) = \frac{a \cos(ax+b) \cos(cx+d) + c \sin(ax+b) \sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)}$.
इसे इस प्रकार सरल किया जा सकता है:
$f'(x) = \frac{a \cos(ax+b) \cos(cx+d)}{\cos^2(cx+d)} + \frac{c \sin(ax+b) \sin(cx+d)}{\cos^2(cx+d)}$.
$f'(x) = a \cos(ax+b) \sec(cx+d) + c \sin(ax+b) \tan(cx+d) \sec(cx+d)$.

(N/A) माना $y = \cos(x^{3}) \cdot \sin^{2}(x^{5})$.
गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \cos(x^{3}) \cdot \frac{d}{dx}[\sin^{2}(x^{5})] + \sin^{2}(x^{5}) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(x^{3})]$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \cos(x^{3}) \cdot [2 \sin(x^{5}) \cdot \cos(x^{5}) \cdot 5x^{4}] + \sin^{2}(x^{5}) \cdot [-\sin(x^{3}) \cdot 3x^{2}]$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 10x^{4} \sin(x^{5}) \cos(x^{5}) \cos(x^{3}) - 3x^{2} \sin(x^{3}) \sin^{2}(x^{5})$

माना $y = 2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}[\cot(x^2)]$
$= \frac{1}{\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot [-\csc^2(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)]$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos(x^2)}{\sin(x^2)}}} \cdot [-\frac{1}{\sin^2(x^2)} \cdot 2x]$
$= -\sqrt{\frac{\sin(x^2)}{\cos(x^2)}} \cdot \frac{2x}{\sin^2(x^2)}$
$= -\frac{2x}{\sqrt{\cos(x^2) \sin(x^2) \sin(x^2)}}$
$= -\frac{2x}{\sin(x^2) \sqrt{\sin(x^2)\cos(x^2)}}$
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$= -\frac{2\sqrt{2}x}{\sin(x^2) \sqrt{2\sin(x^2)\cos(x^2)}}$
$= -\frac{2\sqrt{2}x}{\sin(x^2) \sqrt{\sin(2x^2)}}$

माना $f(x) = \cos (\sqrt{x})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम बाहरी फलन $\cos(u)$ का अवकलन करते हैं जहाँ $u = \sqrt{x}$ है,और फिर आंतरिक फलन $u = \sqrt{x}$ के अवकलज से गुणा करते हैं।
$\frac{d}{dx} [\cos (\sqrt{x})] = -\sin (\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x})$
चूँकि $\frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{d}{dx} (x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ होता है,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= -\sin (\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$= -\frac{\sin (\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(A) दिया गया समीकरण $x-y=\pi$ है।
विधि $1$: $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें:
$y = x - \pi$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\pi)$.
चूंकि $x$ का अवकलज $1$ है और अचर $\pi$ का अवकलज $0$ है,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = 1 - 0 = 1$.
विधि $2$: दिए गए समीकरण $x-y=\pi$ का सीधे $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(\pi)$.
$1 - \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = 1$.

(A) माना $y = \sin^{-1} x$ है। तब,$x = \sin y$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \cos y \frac{dy}{dx}$
इसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos(\sin^{-1} x)}$।
ध्यान दें कि यह केवल $\cos y \neq 0$ के लिए परिभाषित है,अर्थात $y \neq \pm \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x \neq \pm 1$,या $x \in (-1, 1)$।
चूंकि $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$ और $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\cos y$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$।
इस प्रकार,$x \in (-1, 1)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) माना $y = \tan^{-1} x$ है। तब,$x = \tan y$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}$
इसका अर्थ है कि:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$
चूंकि $x = \tan y$ है,हम समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

(A) माना $y = e^{-x}$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x})$
चूंकि $e^u$ का $u$ के सापेक्ष अवकलज $e^u$ होता है,इसलिए हम श्रृंखला नियम लागू करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x)$
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} \cdot (-1)$
$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

माना $y = \sin (\log x).$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
चूंकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x},$ इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos (\log x)}{x}$

(N/A) माना $y = \cos^{-1}(e^x).$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(e^x))$
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}(u)) = \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = e^x$ है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-e^{2x}}} \cdot e^x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

(B) माना $y = e^{\cos x}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\cos x})$
चूंकि $\frac{d}{du}(e^u) = e^u$ और $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$,हम श्रृंखला नियम लागू करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^{\cos x} \cdot (-\sin x)$
$\frac{dy}{dx} = -(\sin x) e^{\cos x}$

(A) माना $y = \frac{e^{x}}{\sin x}$ है।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = e^{x}$ और $v = \sin x$ है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x}) - e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^{2}}$
चूँकि $\frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$ और $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cdot e^{x} - e^{x} \cdot \cos x}{\sin^{2} x}$
अंश से $e^{x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{\sin^{2} x}$,जहाँ $x \neq n\pi, n \in Z$ है।

(A) माना $y = e^{\sin ^{-1} x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\sin ^{-1} x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x)$
चूंकि $\sin ^{-1} x$ का अवकलज $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^2}}$,जहाँ $x \in (-1, 1)$ है।