Properties of definite integration Questions in Hindi

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos(\pi-x)) d x = \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} [\log(1+\cos x) + \log(1-\cos x)] d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \log(1-\cos^2 x) d x = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) d x$
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
$I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) d x = 2 \int_{0}^{a} f(x) d x$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x$
चूंकि $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$:
$I = 2 \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\pi \log 2 = \pi \log(\frac{1}{2})$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan x}$.
हम $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ लिख सकते हैं,इसलिए $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos(\pi / 2 - x)}{\sin(\pi / 2 - x) + \cos(\pi / 2 - x)} d x = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} d x$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \pi / 2$.
अतः,$I = \pi / 4$.

(A) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -\pi / 2$ और $b = \pi / 2$,अतः $a+b = 0$.
इसलिए,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{-x}} d x$
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^x \cos x}{e^x + 1} d x$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} d x$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos x d x$
चूँकि $\cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$
$2I = 2[\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 2(1 - 0) = 2$
अतः,$I = 1$.

(C) माना $I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{4}^{7} \frac{(11-(11-x))^{2}}{(11-x)^{2}+(11-(11-x))^{2}} d x$
$I = \int_{4}^{7} \frac{x^{2}}{(11-x)^{2}+x^{2}} d x$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2} + x^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$
$2I = \int_{4}^{7} 1 d x$
$2I = [x]_{4}^{7} = 7 - 4 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है।
चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{cosec} x) = \log (\sin x)^{-1} = -\log \sin x$ होता है।
अतः,$I = -\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x$ होगा।
निश्चित समाकलन के मानक परिणाम $\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -(-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$।

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx$
$I = - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx$
$I = -I$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$I + I = 0$
$2I = 0$
$I = 0$

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3}(\pi - x) \, dx = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3} x \, dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} (x + \pi - x) \sin^{3} x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x \, dx$
$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^{3} x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^{3} x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$.
$2I = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi} (3 \sin x - \sin 3x) \, dx$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} \right]_{0}^{\pi}$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (-3(-1) + \frac{-1}{3}) - (-3(1) + \frac{1}{3}) \right]$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right] = \frac{\pi}{4} \times \frac{16}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$I = \frac{2 \pi}{3}$

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+2^x} \,d x$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \,d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \,d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 (-x)}{1+2^{-x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+\frac{1}{2^x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2^x \sin ^2 x}{2^x+1} \,d x$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x (1+2^x)}{1+2^x} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$
चूँकि $\sin ^2 x$ एक सम फलन है, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$, अतः $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$.
$\sin ^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2x}{2} \,d x = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि फलन $|\sin x|$ का व्यवहार $x = \pi$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होता है।
अंतराल $[\pi, 2 \pi]$ में,$\sin x \le 0$ है,इसलिए $|\sin x| = -\sin x$ होता है।
अतः,$I = \int_0^{\pi} (\sin x + \sin x) \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} (\sin x - \sin x) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2 \pi} 0 \, dx$.
$I = 2 [-\cos x]_0^{\pi} + 0$.
$I = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [-(-1) - (-1)] = 2 [1 + 1] = 4$.

(A) दिया गया है कि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$.
हमें $g(x+\pi) = \int_0^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$ ज्ञात करना है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, $\int_0^{x+\pi} f(t) \,dt = \int_0^x f(t) \,dt + \int_x^{x+\pi} f(t) \,dt$.
अतः, $g(x+\pi) = g(x) + \int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt$.
चूंकि $\cos^4 t$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है, इसलिए $\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन $[0, \pi]$ पर समाकलन के बराबर होता है।
इसलिए, $\int_x^{x+\pi} \cos^4 t \,dt = \int_0^\pi \cos^4 t \,dt = g(\pi)$.
अतः, $g(x+\pi) = g(x) + g(\pi)$.

(C) माना $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx $ $(1)$
गुणधर्म $ \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx $
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx $ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} + \frac{\cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} \right) dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x + \cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0 $
अतः,$ I = 0 $.

(C) माना $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (1-x)(1-(1-x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1-x)x^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}$.

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = (1-h) + h = 1$ है।
$I_1$ पर यह गुणधर्म लागू करने पर:
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)(1-(1-x))) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)x) dx$
$I_1 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx - \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$
$I_1 = I_2 - I_1$
$2I_1 = I_2$
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2}$।

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 |2x - [3x]| dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $[3x]$ का मान $x = \frac{n}{3}$ बिंदुओं पर बदलता है। अंतराल $[1, 2]$ में,असंतत बिंदु $x = \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ हैं।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_1^{4/3} |2x - 3| dx + \int_{4/3}^{5/3} |2x - 4| dx + \int_{5/3}^2 |2x - 5| dx$
चूंकि $x \in [1, 4/3]$ के लिए $2x < 3$,$x \in [4/3, 5/3]$ के लिए $2x < 4$,और $x \in [5/3, 2]$ के लिए $2x < 5$ है,इसलिए:
$I = \int_1^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^2 (5 - 2x) dx$
$I = [3x - x^2]_1^{4/3} + [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} + [5x - x^2]_{5/3}^2$
$I = (4 - 16/9) - (3 - 1) + (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) + (10 - 4) - (25/3 - 25/9)$
$I = (20/9 - 2) + (35/9 - 32/9) + (6 - 50/9) = 20/9 - 18/9 + 3/9 + 54/9 - 50/9 = 9/9 = 1$.

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \, dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x)$.
चूंकि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1}(x) \right) \, dx$.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{4} \, dx - \int_{0}^{1} \tan ^{-1}(x) \, dx$.
$I = \left[ \frac{\pi}{4} x \right]_{0}^{1} - p$.
$I = \frac{\pi}{4}(1 - 0) - p$.
$I = \frac{\pi}{4} - p$.

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$.
हम $\tan^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x-1)) d x$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए,माना $f(x) = \tan^{-1}(x-1)$.
अतः $\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x$.
इस मान को समाकलन में वापस रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x = 0$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\cot(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} \,dx$.
चूंकि $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$ और $\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$, इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}} \,dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx$.
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
अतः, $I = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{3 \cos x + \sin x} dx$.
हम अंश को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: $\cos x = A(3 \cos x + \sin x) + B \frac{d}{dx}(3 \cos x + \sin x)$.
$\cos x = A(3 \cos x + \sin x) + B(-3 \sin x + \cos x)$.
$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$3A + B = 1$ और $A - 3B = 0$.
दूसरे समीकरण से,$A = 3B$. पहले समीकरण में रखने पर: $3(3B) + B = 1 \implies 10B = 1 \implies B = \frac{1}{10}$.
अतः $A = 3(\frac{1}{10}) = \frac{3}{10}$.
अब,$I = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{3}{10} \frac{3 \cos x + \sin x}{3 \cos x + \sin x} + \frac{1}{10} \frac{-3 \sin x + \cos x}{3 \cos x + \sin x} \right) dx$.
$I = \frac{3}{10} \int_0^{\pi / 2} dx + \frac{1}{10} \int_0^{\pi / 2} \frac{d(3 \cos x + \sin x)}{3 \cos x + \sin x}$.
$I = \frac{3}{10} [x]_0^{\pi / 2} + \frac{1}{10} [\log |3 \cos x + \sin x|]_0^{\pi / 2}$.
$I = \frac{3}{10} (\frac{\pi}{2} - 0) + \frac{1}{10} (\log |3(0) + 1| - \log |3(1) + 0|)$.
$I = \frac{3 \pi}{20} + \frac{1}{10} (\log 1 - \log 3) = \frac{3 \pi}{20} - \frac{\log 3}{10}$.

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ . . . $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{18}$ और $b = \frac{4\pi}{9}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{18} + \frac{8\pi}{18} = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$ . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} 1 dx = 2 [x]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}}$
$2I = 2 \left( \frac{4\pi}{9} - \frac{\pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{8\pi - \pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{7\pi}{18} \right) = \frac{7\pi}{9}$
$I = \frac{7\pi}{18}$

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin(\pi-x)} = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\cos \alpha \sin x} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\cos \alpha \sin x}$
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $dx = \frac{2 \sec^2(x/2) \, d(x/2)}{1}$ का उपयोग करते हुए,माना $t = \tan(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \, dx$:
$2I = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{2 \, dt}{1+t^2 + 2t \cos \alpha} = 2\pi \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{(t+\cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$
$I = \pi \left[ \frac{1}{\sin \alpha} \tan^{-1} \left( \frac{t+\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \right]_{0}^{\infty}$
$I = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \cot \alpha \right) \right) = \frac{\pi}{\sin \alpha} \left( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - \alpha) \right) = \frac{\pi \alpha}{\sin \alpha}$

(A) हम जानते हैं कि सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int_1^3 \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) \right] dx$ है।
चूंकि $\tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right)$,इसलिए व्यंजक $\tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right)$ बन जाता है।
अतः,समाकल्य $\frac{\pi}{2}$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$I = \int_1^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_1^3 = \frac{\pi}{2} (3-1) = \frac{\pi}{2} \times 2 = \pi$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $u > 0$ के लिए $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx$ है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $\tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right)$ होता है,इसलिए समाकलन के अंदर का व्यंजक $\tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
अतः,$I = \int_{-1}^{3} \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^{3} = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2 \pi$.

(B) $\text{माना } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx \text{ है।}
x = \tan \theta \text{ प्रतिस्थापित करने पर } dx = \sec^2 \theta \,d\theta \text{ प्राप्त होता है।}
\text{जब } x = 0, \text{तब } \theta = 0; \text{जब } x = 1, \text{तब } \theta = \frac{\pi}{4}।
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \log (1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \cdot \sec^2 \theta \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log (1+\tan \theta) \,d\theta \quad \dots(i)
\text{गुणधर्म } \int_0^a f(\theta) \,d\theta = \int_0^a f(a-\theta) \,d\theta \text{ का उपयोग करने पर:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) \,d\theta
\text{चूँकि } \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}, \text{अतः:}
I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \,d\theta \quad \dots(ii)
(i) \text{ और } (ii) \text{ को जोड़ने पर:}
2I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left[ \log(1+\tan \theta) + \log\left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) \right] \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( (1+\tan \theta) \cdot \frac{2}{1+\tan \theta} \right) \,d\theta
2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \,d\theta = 8 \log 2 [\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 8 \log 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \log 2।
\text{अतः } I = \pi \log 2।$

(C) माना $f(x) = x^5 - x^3 \cos x + \sin^3 x - 3$.
हम समाकलन को अलग करते हैं:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^5 \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 \cos x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
चूँकि $x^5$,$x^3 \cos x$,और $\sin^3 x$ विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 - 0 + 0 - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
$I = -3 \times [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -3 \times (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = -3 \times \pi = -3\pi$.

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\cot^4 x} dx$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x + 1) \, dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,और $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ यदि $f(x)$ एक सम फलन है,का उपयोग करते हुए।
माना $f(x) = x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x + 1$.
हम समाकलन को $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x) \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
चूंकि $x^{13}$,$x \cos x$,और $\tan^{15} x$ सभी विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x$.
फलन $f(x) = \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right)$ पर विचार करें।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{2019-(-x)}{2019+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2019+x}{2019-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन हमेशा $0$ होता है,अर्थात $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.
अतः,$I = 0$.

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\frac{1}{\sqrt{\tan x}}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a - x) = -f(x)$ हो।
यहाँ,$f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$.
$f(2 \pi - x) = \sin ^3(2 \pi - x) \cos ^2(2 \pi - x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2 = -\sin ^3 x \cos ^2 x = -f(x)$.
चूंकि $f(2 \pi - x) = -f(x)$,इसलिए समाकलन का मान $0$ है।

(C) माना कि $f(x) = \sin^7 x \cdot \cos^6 x$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \sin^7(-x) \cdot \cos^6(-x)$
चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$ होता है,इसलिए:
$f(-x) = (-\sin x)^7 \cdot (\cos x)^6 = -\sin^7 x \cdot \cos^6 x = -f(x)$।
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^7 x \cdot \cos^6 x \, dx = 0$।

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ और $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \, dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$I = \frac{\pi}{12}$.

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$.
गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) d x$.
चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - \int_a^b x f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - I$.
$2I = (a+b) \int_a^b f(x) d x$.
$I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d x$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) माना $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$ है।
हम जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम।
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+\tan^5 x) dx$ है।
हम इसे तीन समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx$।
निश्चित समाकल का गुणधर्म याद करें: यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$,और यदि $f(x)$ एक सम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ होता है।
$f_1(x) = x^3$ के लिए,$f_1(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f_1(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx = 0$।
$f_2(x) = \cos x$ के लिए,$f_2(-x) = \cos(-x) = \cos x = f_2(x)$,इसलिए यह एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(1-0) = 2$।
$f_3(x) = \tan^5 x$ के लिए,$f_3(-x) = \tan^5(-x) = -\tan^5 x = -f_3(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx = 0$।
अतः,$I = 0 + 2 + 0 = 2$।

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}}$.
हम $\sqrt{\cot x} = \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$ लिख सकते हैं,इसलिए $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ के लिए दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \sin^2(\pi - x) \cos^3(\pi - x) \, dx$.
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \sin^2 x (-\cos x)^3 \, dx = -\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
अतः,$I = -I$,जिसका अर्थ है कि $2I = 0$,इसलिए $I = 0$.

(D) माना $I = \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(e + \Pi - x) dx$.
चूँकि $f(e + \Pi - x) = f(x)$,यह हो जाता है:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(x) dx = (e + \Pi) \int_{e}^{\Pi} f(x) dx - \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
$I = (e + \Pi) \left( \frac{2}{e + \Pi} \right) - I$.
$2I = 2$.
$I = 1$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ है।
फलन $f(\theta) = \log (\sec \theta - \tan \theta)$ पर विचार करें।
हम $f(-\theta)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या $f(\theta)$ एक विषम फलन है:
$f(-\theta) = \log (\sec(-\theta) - \tan(-\theta)) = \log (\sec \theta + \tan \theta)$।
चूंकि $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta}$,इसलिए:
$f(-\theta) = \log \left( \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \right) = -\log (\sec \theta - \tan \theta) = -f(\theta)$।
अतः,$f(\theta)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए इस अंतराल पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{-2}^0 ((x+1)^3 + 2 + (x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
$t = x+1$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = -2$,तब $t = -1$ और जब $x = 0$,तब $t = 1$।
अतः,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 2 + t \cos t) \, dt$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 2 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$.
चूँकि $f(t) = t^3$ और $g(t) = t \cos t$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ अंतराल पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + [2t]_{-1}^1 + 0 = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

(D) माना $f(x) = \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \sin^{103}(-x) \cdot \cos^{101}(-x)$
चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए:
$f(-x) = (-\sin x)^{103} \cdot (\cos x)^{101} = -\sin^{103} x \cdot \cos^{101} x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx = 0$।

(D) माना $ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x \quad (1) $
गुणधर्म $ \int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x $ का उपयोग करने पर,जहाँ $ a=2 $ और $ b=8 $,इसलिए $ a+b-x = 2+8-x = 10-x $.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-(10-x)}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-(10-x)}} d x $
$ I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}} d x \quad (2) $
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x $
$ 2I = \int_{2}^{8} 1 d x $
$ 2I = [x]_{2}^{8} = 8 - 2 = 6 $
$ I = \frac{6}{2} = 3 $

(D) माना $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम।
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$।

(B) माना $I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^1 \left[ \log \left(\frac{1-x}{x}\right) + \log \left(\frac{x}{1-x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^1 \log \left( \frac{1-x}{x} \times \frac{x}{1-x} \right) d x$
$2I = \int_0^1 \log(1) d x$
चूंकि $\log(1) = 0$,इसलिए $2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

(D) माना $f(x) = (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (1-(-x)^2) \sin(-x) \cdot \cos^2(-x)$
चूँकि $(-x)^2 = x^2$,$\sin(-x) = -\sin x$,और $\cos(-x) = \cos x$:
$f(-x) = (1-x^2) (-\sin x) \cdot (\cos x)^2$
$f(-x) = -(1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x = -f(x)$।
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx = 0$।

(C) माना $I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}}{5^{\sqrt{2+8-x}} + 5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-10+x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{10-10+x}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}} dx$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$
$2I = \int_2^8 1 dx$
$2I = [x]_2^8 = 8 - 2 = 6$
$I = \frac{6}{2} = 3$

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x \cdot \operatorname{cosec} x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) \operatorname{cosec}(\pi-x)} d x$
चूंकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$,$\sec(\pi-x) = -\sec x$,और $\operatorname{cosec}(\pi-x) = \operatorname{cosec} x$,अतः:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{(-\sec x)(\operatorname{cosec} x)} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$
चूंकि $\frac{\tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} = \sin^2 x$ है:
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^2 x d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} d x$
$2I = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi^2}{2}$
$I = \frac{\pi^2}{4}$

(B) माना $I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{4042-x}}{\sqrt{4042-x}+\sqrt{x}} \, dx \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx$
$2I = \int_{0}^{4042} 1 \, dx$
$2I = [x]_{0}^{4042} = 4042$
$I = \frac{4042}{2} = 2021$