Properties of definite integration Questions in Hindi

(A) माना $I = \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$. चूँकि $f(x) = |x \cos \pi x|$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$.
फलन $x \cos \pi x$ अंतराल $[0, 2]$ में $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{2}$ पर अपना चिह्न बदलता है।
अतः,$I = 2 \left[ \int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx - \int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx + \int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx \right]$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos \pi x \, dx = \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2}$.
समाकलन का मान निकालने पर:
$1$. $\int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}$.
$2$. $\int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{1/2}^{3/2} = -\frac{2}{\pi}$.
$3$. $\int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{3/2}^{2} = \frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.
इन मानों को रखने पर: $I = 2 [(\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}) - (-\frac{2}{\pi}) + (\frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 2 [\frac{4}{\pi}] = \frac{8}{\pi}$.

(B) माना $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $.
गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x $ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cot ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)+\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)} d x $.
चूंकि $ \tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x $ और $ \cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x $,इसलिए:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x $.
$ I $ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x + \cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x $.
$ 2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} $.
अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $.

(D) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $।
गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)} \, dx $
चूंकि $ \sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x $ और $ \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x $,इसलिए:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{1000} x}{\cos ^{1000} x+\sin ^{1000} x} \, dx $
$ I $ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x + \cos ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $
$ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $
अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $।

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$.
चूंकि $f(\pi - x) = \frac{\cos^4(\pi - x)}{\sin^4(\pi - x) + \cos^4(\pi - x)} = \frac{(-\cos x)^4}{(\sin x)^4 + (-\cos x)^4} = \frac{\cos^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x \dots (i)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)} d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx = 2 \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = 2[x]_{0}^{\pi / 2} = 2(\frac{\pi}{2}) = \pi$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)} d x$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)} d x$
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\cos ^{3} x}{\cos ^{3} x + \sin ^{3} x} d x$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x}{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x} d x$
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(A) माना $I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx \quad \dots(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = 1+3 = 4$ है।
$x$ को $(4-x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-(4-x)}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-(4-x)}} dx$
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} dx \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{1}^{3} \left( \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} \right) dx$
$2I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$
$2I = \int_{1}^{3} 1 dx$
$2I = [x]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$
$I = \frac{2}{2} = 1$

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(a x^{3} + b x + c) d x$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-2}^{2} a x^{3} d x + \int_{-2}^{2} b x d x + \int_{-2}^{2} c d x$.
हम जानते हैं कि विषम फलन $f(x)$ के लिए,$\int_{-k}^{k} f(x) d x = 0$ होता है।
चूंकि $a x^{3}$ और $b x$ विषम फलन हैं,इसलिए $\int_{-2}^{2} a x^{3} d x = 0$ और $\int_{-2}^{2} b x d x = 0$ होगा।
अतः,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^{2} c d x = \int_{-2}^{2} c d x = [c x]_{-2}^{2} = c(2 - (-2)) = 4c$.
इसलिए,समाकलन का मान केवल $c$ के मान पर निर्भर करता है।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100}(\frac{\pi}{2} - x) - \cos^{100}(\frac{\pi}{2} - x)) dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos^{100} x - \sin^{100} x) dx$
$I = -\int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$
$I = -I$
$2I = 0$
$I = 0$.

(C) माना कि $ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx $ का उपयोग करने पर,
$ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1}(-x) \, dx $ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $ \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x $.
अतः,$ I = \int_{-3}^{3} (\pi - \cot^{-1} x) \, dx $.
$ I = \int_{-3}^{3} \pi \, dx - \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
$ I = \pi [x]_{-3}^{3} - I $.
$ 2I = \pi (3 - (-3)) $.
$ 2I = 6\pi $.
$ I = 3\pi $.

(D) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \, dx$ ... $(i)$
$I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+2} x \, dx$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x (1 + \tan^{2} x) \, dx$
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \sec^{2} x \, dx$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$।
जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$।
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{1} u^{n} \, du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$।
$n = 8$ रखने पर,$I_{8} + I_{10} = \frac{1}{8+1} = \frac{1}{9}$।

(B) हमारे पास है,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \cos ^{-1} x \, dx$.
गुणधर्म $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \, dx$.
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{\pi}{2} \, dx - \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sin^{-1} x \, dx$.
चूंकि $\sin^{-1} x$ एक विषम फलन है,इसलिए समाकलन $\int_{-a}^{a} \sin^{-1} x \, dx = 0$ होगा।
अतः,$I = \frac{\pi}{2} [x]_{-1 / 2}^{1 / 2} - 0$.
$I = \frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})) = \frac{\pi}{2} (1) = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ है।
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} \right) d x$.
चूंकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{e^x \cos x}{1+e^{x}} \right) d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x (1+e^x)}{1+e^x} d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$.
$I = [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = \sin(\pi / 2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^{2} \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$,और जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log (1+\tan \theta)}{1+\tan^{2} \theta} (\sec^{2} \theta) d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log (1+\tan \theta) d \theta \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right] d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right] d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} [\log 2 - \log (1+\tan \theta)] d \theta \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi/4} \log 2 d \theta = \log 2 [\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(D) माना $ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{e^{\sin x}+1} $.
गुणधर्म $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{\sin(-x)}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{-\sin x}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $.

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x$ है।
समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) d x$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) d x = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$।
गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$।
$I = \log 2 [x]_{0}^{\pi / 4} - I$।
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$।
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}} dx}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} \dots (1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin(\frac{\pi}{2}-x))^{\sqrt{2}} dx}{(\sin(\frac{\pi}{2}-x))^{\sqrt{2}}+(\cos(\frac{\pi}{2}-x))^{\sqrt{2}}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\cos x)^{\sqrt{2}} dx}{(\cos x)^{\sqrt{2}}+(\sin x)^{\sqrt{2}}} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}}{(\sin x)^{\sqrt{2}}+(\cos x)^{\sqrt{2}}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$. अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,गुणधर्म $\int_{a}^{b} \frac{f(x) dx}{f(x)+f(a+b-x)} = \frac{b-a}{2}$ का उपयोग करते हुए:
यहाँ $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\frac{b-a}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{12}$.
अतः,कारण $(R)$ सत्य है और यह $(A)$ की सही व्याख्या करता है।

(C) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$.
$A = \int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$A = \int_0^{\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$,तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
जब $x \to 0, t \to -\infty$ और जब $x \to \infty, t \to \infty$.
$A = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$B = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,$x = \frac{1}{u}$ रखने पर,$dx = -\frac{1}{u^2} du$.
$B = \int_{\infty}^1 \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{1 + \frac{1}{u^4}} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_1^{\infty} \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} du$.
चूंकि $A = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx + \int_1^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = B + B = 2B$.
अतः,$2B = A$.

(B) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$.
हम जानते हैं कि $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$ के लिए,रिडक्शन सूत्र $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x (\tan^2 x + 1) \, dx = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$ है।
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \pi/4, u = 1$।
अतः,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।
$I_{13} + I_{11}$ के लिए,हम $n = 13$ रखते हैं।
इस प्रकार,$I_{13} + I_{11} = \frac{1}{13-1} = \frac{1}{12}$।

(D) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$.
$I_n + I_{n+2} = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x (1 + \tan^2 x) \, dx = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \sec^2 x \, dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$.
अतः,$I_n + I_{n+2} = \int_0^1 t^n \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$.
अब,दिया गया व्यंजक $\frac{1}{I_2 + I_4} + \frac{1}{I_3 + I_5} + \frac{1}{I_4 + I_6}$ है।
परिणाम $I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$I_2 + I_4 = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{I_2 + I_4} = 3$.
$I_3 + I_5 = \frac{1}{4} \implies \frac{1}{I_3 + I_5} = 4$.
$I_4 + I_6 = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{I_4 + I_6} = 5$.
योग $= 3 + 4 + 5 = 12$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$n=11$ के लिए,$I_{11} + I_{13} = \frac{1}{12}$,अतः $\frac{1}{I_{11} + I_{13}} = 12$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) समाकल $I = \int_0^2 x^2(2-x)^5 dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं।
$x = 2-t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x=0, t=2$ और जब $x=2, t=0$।
$I = \int_2^0 (2-t)^2(t)^5 (-dt) = \int_0^2 (4 - 4t + t^2)t^5 dt$।
$I = \int_0^2 (4t^5 - 4t^6 + t^7) dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = [\frac{4t^6}{6} - \frac{4t^7}{7} + \frac{t^8}{8}]_0^2$।
$I = [\frac{2(2^6)}{3} - \frac{4(2^7)}{7} + \frac{2^8}{8}] = [\frac{128}{3} - \frac{512}{7} + 32]$।
$21$ का उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$I = \frac{896 - 1536 + 672}{21} = \frac{32}{21}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x}{\sin x}(3 \cos^2 x + 2 \sin x + \sin^3 x - 3) dx$.
चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,व्यंजक $3(1 - \sin^2 x) + 2 \sin x + \sin^3 x - 3 = -3 \sin^2 x + 2 \sin x + \sin^3 x$ हो जाता है।
$\sin x$ से विभाजित करने पर,हमें $-3 \sin x + 2 + \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_0^\pi x(\sin^2 x - 3 \sin x + 2) dx \dots (1)$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x)(\sin^2 x - 3 \sin x + 2) dx \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \pi(\sin^2 x - 3 \sin x + 2) dx$.
$2I = \pi \int_0^\pi (\frac{1 - \cos 2x}{2} - 3 \sin x + 2) dx = \pi \int_0^\pi (\frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x - 3 \sin x) dx$.
$2I = \pi [\frac{5}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x + 3 \cos x]_0^\pi$.
$2I = \pi [(\frac{5\pi}{2} - 0 + 3(-1)) - (0 - 0 + 3(1))] = \pi [\frac{5\pi}{2} - 3 - 3] = \pi [\frac{5\pi}{2} - 6] = \frac{\pi(5\pi - 12)}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi(5\pi - 12)}{4}$.

(B) माना $I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$.
दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ पर विचार करें।
चूंकि $\sin m(-x) \cos n(-x) = -\sin m x \cos n x$,इसलिए फलन विषम है।
अतः,$J = 0$.
अब,$I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] \, dx$.
यदि $m \neq n$ और $m, n \in \mathbb{Z}$ है,तो $k \neq 0$ के लिए $\int_0^{2 \pi} \cos(kx) \, dx = 0$ होता है।
अतः,यदि $m \neq n$ है तो $I = 0$.
यदि $m = n \neq 0$ है,तो $I = \int_0^{2 \pi} \cos^2(mx) \, dx = \int_0^{2 \pi} \frac{1 + \cos(2mx)}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin(2mx)}{2m}]_0^{2 \pi} = \frac{1}{2} (2 \pi) = \pi$.
अतः,यदि $m = n \neq 0$ है तो मान $\pi$ है।

(A) माना $I = \int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx$.
$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x \to 0$,तब $t \to \infty$ और जब $x \to \infty$,तब $t \to 0$।
साथ ही,$\log x = \log(t^{-1}) = -\log t$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\infty}^0 (t^{-12} + t^{12}) \frac{-\log t}{1/t} \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$.
$I = \int_{\infty}^0 (t^{-12} + t^{12}) \frac{-\log t}{t} dt$.
$I = -\int_0^{\infty} (t^{-12} + t^{12}) \frac{\log t}{t} dt$.
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $t$ को $x$ से बदल सकते हैं:
$I = -\int_0^{\infty} (x^{-12} + x^{12}) \frac{\log x}{x} dx$.
$I = -I$.
$2I = 0 \Rightarrow I = 0$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx$ है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(\frac{\pi}{2} - x) dx$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$,इसलिए हमें $I = \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $\int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I = k \cdot I$ है।
अतः,$k = 1$।

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{cosec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \operatorname{cosec} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log |\operatorname{cosec} \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{3\pi}{4}| - \log |\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}| ]$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log (\sqrt{2}+1) - \log (\sqrt{2}-1) ] = \frac{1}{\sqrt{2}} [ 2 \log (\sqrt{2}+1) ]$
अतः,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)$.

(D) माना $I = \int_0^2 x^8 \left(\frac{4}{x^2} - 1\right)^{5/2} dx$.
$x = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = 2$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$.
पद $\frac{4}{x^2} - 1 = \cot^2 \theta$ हो जाता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin \theta)^8 (\cot^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$
$I = 2^9 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cos^6 \theta d\theta$
$u = \cos \theta$ लेने पर,$du = -\sin \theta d\theta$.
$I = 2^9 \int_0^1 (1-u^2) u^6 du = 512 [\frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9}]_0^1 = 512 (\frac{2}{63}) = \frac{1024}{63} = \frac{2^{10}}{63}$.

(D) दिया गया है कि $M = \int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} dt$ और $N = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} dt$.
$M$ के लिए,मान लीजिए $t = e^{-x}$,तो $dt = -e^{-x} dx$.
जब $t = 0, x = \infty$ और जब $t = \infty, x = -\infty$.
इन मानों को $M$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \int_{\infty}^{-\infty} \frac{\log(e^{-x})}{1+(e^{-x})^3} (-e^{-x}) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x}{1+e^{-3x}} e^{-x} dx$.
अंश और हर को $e^{3x}$ से गुणा करने पर:
$M = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x e^{2x}}{e^{3x} + 1} dx = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{2x}}{1+e^{3x}} dx$.
इसकी तुलना $N$ से करने पर,हमें $M = -N$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $N = -M$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} dx$ है।
चूंकि $\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right) = (0+1+2+3+4) \frac{\pi}{4} + (1+1+1+1+1)x = \frac{10 \pi}{4} + 5x = \frac{5 \pi}{2} + 5x = 5 \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ है।
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5 \left(\frac{\pi}{2} + x\right)}{\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)} dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$ ...$(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ से बदलने पर:
$I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right] \sec \left(\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \frac{\pi}{4}\right) dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\pi - x) \sec \left(\frac{\pi}{4} - x\right) dx$।
चूंकि $\sec(\alpha) = \sec(-\alpha)$,इसलिए $\sec \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$।
अतः,$I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\pi - x) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$ ...(ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} + x + \pi - x\right) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3 \pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log \left| \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log |\sec \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{4}| - \log |\sec \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)| \right]$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log |\sqrt{2} + 1| - \log |\sqrt{2} - 1| \right] = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right| = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log |(\sqrt{2} + 1)^2| = \frac{15 \pi}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} + 1|$।
अतः,$I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log |\sqrt{2} + 1|$।

(D) माना $I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{\pi}{11}$ और $b = \frac{9\pi}{22}$,हमें $a+b = \frac{2\pi + 9\pi}{22} = \frac{11\pi}{22} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{\sqrt{\tan x} dx}{\sqrt{\tan x} + 1}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/11}^{9\pi/22} = \frac{9\pi}{22} - \frac{2\pi}{22} = \frac{7\pi}{22}$.
अतः,$I = \frac{7\pi}{44}$.

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
जब $x = 0$ तब $\theta = 0$,और जब $x = 1$ तब $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$.
गुणधर्म $\int_0^a f(\theta) d\theta = \int_0^a f(a-\theta) d\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d\theta$.
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$,इसलिए:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+\tan \theta}) d\theta$.
$I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+\tan \theta)) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d\theta - I$.
$2I = 8 \log 2 [\theta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$.
अतः,$I = \pi \log 2$.

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$,और जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$ ... $(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(\theta) d \theta = \int_0^a f(a-\theta) d \theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d \theta$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+\tan \theta}) d \theta$।
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d \theta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$।
$I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$।
$2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x) \, dx}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1+\sin x \cos x}} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \, dx$
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{2+2\sin x \cos x}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (1 - 2\sin x \cos x)}} \, dx$
चूंकि $1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$ है:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$
माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$।
सीमाएँ: जब $x=0, t=-1$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=1$।
$2I = \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{3-t^2}} = 2 \int_0^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - t^2}}$
$I = \sqrt{2} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \sqrt{2} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \tan(\pi - x)} dx$.
चूंकि $\tan(\pi - x) = -\tan x$ और $\sec(\pi - x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-\sec x - \tan x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\tan x}{\sec x + \tan x} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x(1 - \sin x)}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - \tan^2 x) dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) dx$.
$2I = \pi [\sec x - \tan x + x]_{0}^{\pi}$.
$2I = \pi [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$.
$2I = \pi [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \pi (\pi - 2)$.
$I = \frac{\pi (\pi - 2)}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x dx$. जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}$.
$2I = \pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x + \cos x}{3 + \sin 2x} dx$.
$t = \sin x - \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = (\cos x + \sin x) dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi/4$,तब $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
साथ ही,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = 1 - t^2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{3 + (1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{1+\cos(\pi/2 - x)+\sin(\pi/2 - x)} dx = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$।
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\sin x+\cos x) - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{1+\sin x+\cos x}) dx$।
$2I = [x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+2\sin(x/2)\cos(x/2)+2\cos^2(x/2)-1} dx$।
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{2\cos^2(x/2)(\tan(x/2)+1)} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2)}{\tan(x/2)+1} dx$।
माना $u = \tan(x/2)$,तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$।
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{u+1} du = \frac{\pi}{2} - [\log|u+1|]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \log 2$।
अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$।

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log |\tan x + \cot x| \, dx$.
चूँकि $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
अतः,$I = \int_0^{\pi / 2} \log |\frac{2}{\sin 2x}| \, dx = \int_0^{\pi / 2} (\log 2 - \log |\sin 2x|) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \log 2 \, dx - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
माना $2x = t$,तो $2 \, dx = dt$,इसलिए $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.
$\int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log |\sin t| \, dt = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt$.
गुणधर्म $\int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - (-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2 = \pi \log 2$.

(C) माना $I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x)}{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x) + \sin ^3 (3 \pi / 2 - x)} d x$.
चूंकि $\cos(3 \pi / 2 - x) = -\sin x$ और $\sin(3 \pi / 2 - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{(-\sin x)^3}{(-\sin x)^3 + (-\cos x)^3} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{-\sin ^3 x}{-\sin ^3 x - \cos ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_0^{3 \pi / 2} = \frac{3 \pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
माना $f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$. चूँकि $f(-x) = -f(x)$,$f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x = 0$.
अब $g(x) = \sin ^2 x \cos ^3 x$ पर विचार करें। चूँकि $g(-x) = g(x)$,$g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
$u = \sin x$ लेने पर,$du = \cos x dx$. जब $x=0, u=0$; जब $x=\pi/2, u=1$.
$I = 2 \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_{0}^{1} = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2 (\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
अतः,$\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$।
समाकलन $I = \int_0^{400 \pi} \sqrt{2} |\sin x| \, dx$ हो जाता है।
चूंकि $|\sin x|$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $I = \sqrt{2} \times 400 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$I = 400 \sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$।
समाकलन का मान निकालने पर: $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$।
अंततः,$I = 400 \sqrt{2} \times 2 = 800 \sqrt{2}$।

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx$ है।
हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं।
$f_1(x) = \sin^5 x \cos^3 x$ के लिए,$f_1(\pi-x) = \sin^5 x (-\cos x)^3 = -\sin^5 x \cos^3 x$ है। अतः,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^3 x dx = 0$ है।
$f_3(x) = \sin^3 x \cos^4 x$ के लिए,$f_3(\pi-x) = \sin^3 x (-\cos x)^4 = \sin^3 x \cos^4 x$ है।
$\int_0^\pi f(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} f(x) dx$ का उपयोग करने पर,$\int_0^\pi \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \cdot \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(9/2)} = \frac{4}{35}$ है।
$f_2(x) = \sin^4 x \cos^4 x = (\frac{1}{2} \sin 2x)^4 = \frac{1}{16} \sin^4 2x$ के लिए।
$\int_0^\pi \frac{1}{16} \sin^4 2x dx = \frac{3\pi}{128}$ है।
योग करने पर,$I = 0 + \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35} = \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$.
चूँकि $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ एक सम फलन है (क्योंकि $f(-x) = f(x)$),इसलिए:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = 2 \pi \int_0^\pi \frac{\sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{(1-\cos^2 x) \sin x}{4-\cos ^2 x} d x$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$I = -\pi \int_1^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2} dt = 2\pi \int_0^1 \frac{1-t^2}{4-t^2} dt$.
$I = 2\pi \int_0^1 (1 - \frac{3}{4-t^2}) dt = 2\pi [t - \frac{3}{4} \log |\frac{2+t}{2-t}|]_0^1 = 2\pi [1 - \frac{3}{4} \log 3]$.

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$I = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(t)]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)]$
$I = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\pi^2}{4}$

(C) माना $I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}$ लें।
हम जाँचते हैं कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^2} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^2} = \sqrt{1-x+x^2} - \sqrt{1+x+x^2}$.
चूँकि $f(-x) = -(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
विषम फलन के लिए,$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx = 0$।

(D) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
चूँकि $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$ एक सम फलन है,इसलिए:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$.
$I = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{2}$.

(A) $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2(\pi - x) + 3 \sin^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 \cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x)} dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\cos^2 x + 3} dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$2I = -\pi \int_1^{-1} \frac{dt}{t^2 + 3} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{t^2 + 3}$
$2I = \pi \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_{-1}^1 = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} - \tan^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)$
$2I = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi^2}{3 \sqrt{3}}$
$I = \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(B) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
इस मान को समाकल में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{50 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{50 \pi} |\sin x| \, dx$।
चूंकि $|\sin x|$ एक $\pi$ आवर्तकाल वाला फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = \sqrt{2} \times 50 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$।
$I = 50 \sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$।
समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$I = 50 \sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi} = 50 \sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50 \sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50 \sqrt{2} (2) = 100 \sqrt{2}$।

(A) माना $I = \int_{-5}^5 \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-5}^5 \frac{(-5+5-x)^3+5}{\sqrt{12+(-5+5-x)}} dx = \int_{-5}^5 \frac{-x^3+5}{\sqrt{12-x}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-5}^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
चूँकि फलन सम है,हम लिख सकते हैं:
$2I = 2 \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
अतः,$I = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
दिया गया है कि $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$,तुलना करने पर:
$\int_0^5 (f(x) + g(x)) dx = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
अतः,$g(x) = \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}}$.