Properties of definite integration Questions in Hindi

(A) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि सीमाएँ $a = \log \frac{1}{2} = -\log 2$ और $b = \log 2$ हैं।
अतः,$a+b = 0$.
इसलिए,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) d x$.
साइन फलन के तर्क को सरल बनाने पर: $\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} = \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} = \frac{1-e^x}{1+e^x} = -\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)$.
चूंकि $\sin(- \theta) = -\sin(\theta)$,समाकल्य एक विषम फलन है।
इसलिए,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} -\sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x = -I$.
यह दर्शाता है कि $2I = 0$,अतः $I = 0$.

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f\left(\frac{ab}{x}\right) \frac{ab}{x^2} dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{1}{2}$ और $b = 2$,इसलिए $ab = 1$.
तब $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{1/x} \operatorname{cosec}^{101}\left(\frac{1}{x}-x\right) \frac{1}{x^2} dx$.
$I = \int_{\frac{1}{2}}^2 x \operatorname{cosec}^{101}\left(-(x-\frac{1}{x})\right) \frac{1}{x^2} dx$.
चूँकि $\operatorname{cosec}(- \theta) = -\operatorname{cosec}(\theta)$ और घात $101$ विषम है,इसलिए $\operatorname{cosec}^{101}(- \theta) = -\operatorname{cosec}^{101}(\theta)$.
अतः,$I = - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) dx = -I$.
$2I = 0 \implies I = 0$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x + 100 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin(\frac{\pi}{2}-x) + 100 \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \cos x + 100 \sin x}{\cos x + \sin x} dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(300 \sin x + 100 \cos x) + (300 \cos x + 100 \sin x)}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{400 \sin x + 400 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 400 dx$
$2I = 400 [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 400 \times \frac{\pi}{2} = 200 \pi$
अतः, $I = 100 \pi$।

(D) माना $I = \int_2^3 x f(x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_2^3 (2+3-x) f(2+3-x) dx = \int_2^3 (5-x) f(5-x) dx$।
दिया गया है कि $f(5-x) = f(x)$,अतः इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_2^3 (5-x) f(x) dx = 5 \int_2^3 f(x) dx - \int_2^3 x f(x) dx$।
चूंकि $\int_2^3 f(x) dx = 2$,इसलिए:
$I = 5(2) - I$।
$2I = 10$।
$I = 5$।

(C) मान लीजिए $I = \int_0^a f(x) g(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^a f(a-x) g(a-x) dx$.
चूंकि $f(x) = f(a-x)$ और $g(a-x) = 4 - g(x)$,हम इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_0^a f(x) (4 - g(x)) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x) g(x) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 4 \int_0^a f(x) dx$.
$I = 2 \int_0^a f(x) dx$.

(A) माना $I=\int_{\sqrt{\log 2}}^{\sqrt{\log 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin (\log 6-x^2)} d x$.
$x^2=t$ रखने पर,$2x \, dx = dt$,अतः $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
सीमाएँ इस प्रकार बदलती हैं: जब $x = \sqrt{\log 2}$,तो $t = \log 2$; जब $x = \sqrt{\log 3}$,तो $t = \log 3$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 2 + \log 3 - t)}{\sin (\log 2 + \log 3 - t) + \sin (\log 6 - (\log 2 + \log 3 - t))} dt$
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 6 - t)}{\sin (\log 6 - t) + \sin t} dt \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t + \sin (\log 6 - t)}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt$
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} 1 \, dt = \frac{1}{2} [t]_{\log 2}^{\log 3} = \frac{1}{2} (\log 3 - \log 2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{2}\right)$
$I = \frac{1}{4} \log \left(\frac{3}{2}\right)$.

(A) माना $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$.
माना $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
तब $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$.
चूंकि $g(-x) = -g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$.
अब,महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए:
अंतराल $[-\frac{1}{2}, 0)$ में,$[x] = -1$.
अंतराल $[0, \frac{1}{2}]$ में,$[x] = 0$.
अतः,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$.
$I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} \,dx \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-(-x)}} \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} \,dx \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \left( \frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} \right) dx$
चूँकि $\frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} = 1$, इसलिए:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
चूँकि $f(x) = x^2 \cos x$ एक सम फलन है, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$, अतः $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x \,dx$
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - 2([-x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx)$
$I = [x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$I = ((\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(\frac{\pi}{2})) - 0$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2$

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}\right) dx$.
समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \tan \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right] dx$.
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}\right] dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{1 + \tan x + 1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + \tan x)) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$.
$I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[ 1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \right] \, dx$
चूँकि $\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( 1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{2}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - I$
$2I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \log 2$
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$

(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)]$ है।
हम $h(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$h(-x) = [f(-x)+f(x)][g(-x)-g(x)]$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$h(-x) = [f(x)+f(-x)] \cdot -[g(x)-g(-x)]$।
$h(-x) = -[f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] = -h(x)$।
चूंकि $h(-x) = -h(x)$,इसलिए फलन $h(x)$ एक विषम (odd) फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $h(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx = 0$।

(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u) = \tan^{-1}(\frac{1}{u})$ जब $u > 0$ हो।
अतः,$\cot^{-1}(\frac{x}{x^2+1}) = \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})$ जब $x > 0$ हो।
साथ ही,$\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,समाकल्य (integrand) $x \neq 0$ के लिए $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$I = \int_{-1}^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^3$.
$I = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$.

(C) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta$।
योग $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n \theta + \tan^{n-2} \theta) \, d\theta$ पर विचार करें।
$\tan^{n-2} \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta (\tan^2 \theta + 1) \, d\theta$।
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,इसलिए:
$I_n + I_{n-2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n-2} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$।
मान लीजिए $u = \tan \theta$,तो $du = \sec^2 \theta \, d\theta$।
जब $\theta = 0$,तब $u = 0$ और जब $\theta = \frac{\pi}{4}$,तब $u = 1$।
अतः,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।
$n = 12$ के लिए,$I_{12} + I_{10} = \frac{1}{12-1} = \frac{1}{11}$।

(A) दिया गया है $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=-1$ और $b=2$ है,अतः $a+b = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$ होगा।
चूँकि $f(1-x) = f(x)$ है,यह समीकरण $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$ बन जाता है।
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$.
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
यहाँ $R_2$,$y=f(x)$,$x=-1$,$x=2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,इसलिए $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है।
अतः,$2 R_1 = R_2$।

(B) गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\int_0^1 x(1-x)^n dx = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$
$= \int_0^1 (1-x)x^n dx$
$= \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$
$= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

(D) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx$.
ध्यान दें कि $\log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = -\log 2$.
अतः,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)$.
जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है: $f(-x) = \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) = \sin \left(\frac{\frac{1}{e^{x}}-1}{\frac{1}{e^{x}}+1}\right) = \sin \left(\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}\right) = \sin \left(-\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -\sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\log 2, \log 2]$ सममित है,इसलिए समाकलन का मान $0$ होगा।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$ है।
चूँकि $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin |-x| + \cos |-x| = \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin |x| + \cos |x|) dx$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए समाकलन $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$ हो जाता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = 2 [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$।
सीमाओं को रखने पर: $I = 2 [(-\cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0 + \sin 0)]$।
$I = 2 [(0 + 1) - (-1 + 0)] = 2 [1 + 1] = 2(2) = 4$.

(C) माना $f(x) = \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right)$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \log \left(\frac{2-(-x)}{2+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2+x}{2-x}\right)$।
गुणधर्म $\log(a/b) = -\log(b/a)$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
विषम फलन के लिए,निश्चित समाकलन का गुणधर्म कहता है कि $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \log \left(\frac{2-x}{2+x}\right) d x = 0$।

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ --- $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1+\alpha^{-x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\frac{1}{\alpha^x}} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\alpha^x \cos^2 x}{\alpha^x + 1} \, dx$ --- $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x + \alpha^x \cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x(1+\alpha^x)}{1+\alpha^x} \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
चूँकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$
$I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

(A) माना $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \log \left(\frac{1+(-x)}{1-(-x)}\right) = \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$।
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx$.
समाकल्य $f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1}$ पर विचार करें।
हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{e^x(x \sin x)}{e^x(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{x \sin x}{2 \sinh x}$.
अब,$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{e^{-x} - e^x} = \frac{(-x)(-\sin x)}{-(e^x - e^{-x})} = \frac{x \sin x}{-(e^x - e^{-x})} = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^3(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^3(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right] d x$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{1+\tan x + 1 - \tan x}{1+\tan x}\right) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$.
गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - I$.
$2I = \log 2 \int_0^{\pi / 4} d x = \log 2 [x]_0^{\pi / 4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(A) माना $I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}{1+e^{(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx$
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
चूंकि $\cos x$ एक सम फलन है,$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$:
$2I = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(A) माना $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$,अतः फलन सम (even) है।
गुणधर्म $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$। सीमाएं $0$ से $\pi$ बदलकर $1$ से $-1$ हो जाएंगी।
$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.
$I = 2\pi [\tan^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x$
चूंकि $\log(1) = 0$ है,इसलिए $2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin(\pi - x) \cos^4(\pi - x) \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x (-\cos x)^4 \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin x \cos^4 x \, dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$। जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$।
$2I = \pi \int_1^{-1} t^4 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 t^4 \, dt$
चूंकि $t^4$ एक सम फलन है,$\int_{-1}^1 t^4 \, dt = 2 \int_0^1 t^4 \, dt$।
$2I = 2\pi \left[ \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{5}$
$I = \frac{\pi}{5}$

(A) माना कि $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$.
तब,$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}} = \frac{e^{-x} + e^{x}}{-(e^{x} - e^{-x})} = -\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
यहाँ $x = 0$ पर फलन अपरिभाषित है,इसलिए यह एक अनुचित समाकलन है।
मुख्य मान ज्ञात करने पर: $\int_{-5}^{5} \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} dx = \left[ \ln|e^{x} - e^{-x}| \right]_{-5}^{5} = \ln|e^{5} - e^{-5}| - \ln|e^{-5} - e^{5}| = 0$.

(C) माना $f(x) = \sin^{2} x$.
चूंकि $f(-x) = [\sin(-x)]^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,अतः $f(x)$ एक सम फलन है।
सम फलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$= [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{a} (a-x)^{\frac{3}{2}} x^{2} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{a} (a-(a-x))^{\frac{3}{2}} (a-x)^{2} dx = \int_{0}^{a} x^{\frac{3}{2}} (a^{2} - 2ax + x^{2}) dx$।
$I = \int_{0}^{a} (a^{2} x^{\frac{3}{2}} - 2a x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{7}{2}}) dx$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = a^{2} \left[ \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{a} - 2a \left[ \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{a} + \left[ \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} \right]_{0}^{a}$।
$I = \frac{2}{5} a^{2} (a^{\frac{5}{2}}) - 2a \left( \frac{2}{7} a^{\frac{7}{2}} \right) + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$।
$I = \frac{2}{5} a^{\frac{9}{2}} - \frac{4}{7} a^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$।
$I = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{2}{5} - \frac{4}{7} + \frac{2}{9} \right) = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{126 - 180 + 70}{315} \right) = \frac{16}{315} a^{\frac{9}{2}}$।

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right] d x$.
हम $\tan ^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$.
गुणधर्म $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)] dx \quad \dots(1)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))] dx = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$.
अतः,$I = 0$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{2}{3}} x}{\cos^{\frac{2}{3}} x + \sin^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(B) माना $f(x) = x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$.
अब,$f(-x)$ की गणना करके फलन की समता या विषम प्रकृति की जाँच करते हैं:
$f(-x) = (-x)^{2}\left(\frac{e^{(-x)^{3}}-e^{-(-x)^{3}}}{e^{(-x)^{3}}+e^{-(-x)^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{e^{-x^{3}}-e^{x^{3}}}{e^{-x^{3}}+e^{x^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{-(e^{x^{3}}-e^{-x^{3}})}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$
$f(-x) = -x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-a}^{a} x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) d x = 0$।

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}}{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3} + (\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}} dx$
चूँकि $\sec(\frac{\pi}{2}-x) = \operatorname{cosec} x$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x) = \sec x$ है,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\operatorname{cosec} x)^{1/3} + (\sec x)^{1/3}} dx \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x$.
साइन और कोसाइन में परिवर्तित करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}+\cos x} d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{1+\cos x \sin x} d x \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x + \cos x-\sin x}{1+\sin x \cos x} d x$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 d x = 0$
अतः,$I = 0$.

(B) माना कि $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{-2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx = 0$।

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}}$ को परिभाषित करें।
अब,$f(-x)$ की गणना करें:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^{2}} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^{2}} = \sqrt{1-x+x^{2}} - \sqrt{1+x+x^{2}}$.
इसे $f(-x) = - \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) = -f(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,और निश्चित समाकल के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ के अनुसार यदि $f(x)$ विषम है,तो $I = 0$ होगा।

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x \sin x}{\cos^{3} x + \cos x} dx$.
समाकल्य का सरलीकरण करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2}(\pi - x) + 1} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$.
जब $x = 0, t = 1$; जब $x = \pi, t = -1$.
$2I = -\pi \int_{1}^{-1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1}$.
$2I = 2\pi [\tan^{-1} t]_{0}^{1} = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^{2}}{2}$.
$I = \frac{\pi^{2}}{4}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x}) dx$ ....$(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} - e^{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}) dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x} + e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (0) dx$
$2I = 0 \Rightarrow I = 0$

(D) माना $f(x) = \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right)$.
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{8-(-x)}{8+(-x)}\right) = \log \left(\frac{8+x}{8-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x = 0$।

(B) माना $I = \int_{-5}^{5} \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) dx$.
$f(x) = \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right)$ को परिभाषित करें।
$f(-x)$ की गणना करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{7-(-x)}{7+(-x)}\right) = \log \left(\frac{7+x}{7-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{5}$ और $b = \frac{3 \pi}{10}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{5} + \frac{3 \pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}{\tan(\frac{\pi}{2}-x) + \cot(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$ और $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$,इसलिए:
$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cot x}{\cot x + \tan x} \, dx \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x + \cot x}{\tan x + \cot x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} 1 \, dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} = \frac{3 \pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
$I = \frac{\pi}{20}$

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx$ है।
हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^{2}} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)) dx$ ... $(1)$।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$।
अतः,$I = 0$।

(C) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt[7]{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\cos x}+\sqrt[7]{\sin x}} dx$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos(\pi-x)}}{e^{\cos(\pi-x)}+e^{-\cos(\pi-x)}} d x$
चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} d x \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} + \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} \right) d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} + e^{-\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(B) माना $I = \int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx$.
$f(x) = \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}}$ लें।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{(-x)^{5}+(-x)^{3}}{4-(-x)^{2}} = \frac{-(x^{5}+x^{3})}{4-x^{2}} = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(x)^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7 - 6}{42} = \frac{1}{42}$.

(B) माना $I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$ . . . .$(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{a + b - (a + b - x)}} dx$
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{x}} dx$ . . . .$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$
$2I = \int_{a}^{b} 1 dx = [x]_{a}^{b} = b - a$
$I = \frac{b - a}{2}$

(B) माना $I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx + k) dx$ है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx) dx + \int_{-3}^{3} k dx$।
चूंकि $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ एक विषम फलन है (अर्थात $f(-x) = -f(x)$),इसलिए सममित अंतराल $[-3, 3]$ पर इस फलन का समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + \int_{-3}^{3} k dx = \int_{-3}^{3} k dx$।
इसका मान ज्ञात करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = [kx]_{-3}^{3} = k(3) - k(-3) = 3k + 3k = 6k$।
इस प्रकार,समाकलन का मान केवल स्थिरांक $k$ पर निर्भर करता है।