समाकलन int_0^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{cot x}}{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{	an x}} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उ

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{	an x}} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\cot(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{	an(\frac{\pi}{2}-x)}} \,dx$. चूंकि $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = 	an x$ और $	an(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$, इसलिए: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{	an x}}{\sqrt{	an x}+\sqrt{\cot x}} \,dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}+\sqrt{	an x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{	an x}} \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx$. $2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$. अतः, $I = \frac{\pi}{4}$.

समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_0^\pi {x\,f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx} = k\int_0^{\pi /2} {f({{\cos }^2}x + {{\tan }^4}x)\,dx,}$ तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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