int_1^3 left[ tan^{-1} left( frac{x}{x^2-1} r | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए $	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है।दिया गया समाकलन $I = \int_1^3 \left[ 	an^{-1}

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$\pi$

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(A) हम जानते हैं कि सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए $	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है।दिया गया समाकलन $I = \int_1^3 \left[ 	an^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} ight) + 	an^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} ight) ight] dx$ है।चूंकि $	an^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} ight) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} ight)$,इसलिए व्यंजक $	an^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} ight) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} ight)$ बन जाता है।अतः,समाकल्य $\frac{\pi}{2}$ में सरल हो जाता है।इसलिए,$I = \int_1^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_1^3 = \frac{\pi}{2} (3-1) = \frac{\pi}{2} 	imes 2 = \pi$.

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

$\int_1^3 \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) \right] dx =$

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