Integration by substitution Questions in Hindi

(A) माना $x+a = t$ है। तब $dx = dt$ और $x = t-a$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} dx = \int \frac{\sin (t-a)}{\sin t} dt$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \int \frac{\sin t \cos a - \cos t \sin a}{\sin t} dt$
$= \int (\cos a - \cot t \sin a) dt$
$= \cos a \int dt - \sin a \int \cot t dt$
$= t \cos a - \sin a \log |\sin t| + C$
अब $t = x+a$ वापस रखने पर:
$= (x+a) \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$
$= x \cos a + a \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$
चूंकि $a \cos a$ एक अचर है,इसे स्वेच्छ अचर $C$ में समाहित किया जा सकता है:
$= x \cos a - \sin a \log |\sin (x+a)| + C$

(A) माना कि $1 + x^2 = t$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt$।
$t$ के सापेक्ष $\frac{1}{t}$ का समाकलन करने पर $\log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + x^2$ वापस रखने पर,हमें $\log |1 + x^2| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + x^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए हम इसे $\log (1 + x^2) + C$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $\log x = t$ है।
तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{(\log x)^{2}}{x} dx = \int t^{2} dt$।
समाकलन के घात नियम $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$\int t^{2} dt = \frac{t^{3}}{3} + C$।
अब $t = \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(\log x)^{3}}{3} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{1}{x+x \log x} = \frac{1}{x(1+\log x)}$
माना $1+\log x = t$.
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x} dx = dt$
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx = \int \frac{1}{t} dt$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$= \log |t| + C$
अब $t = 1 + \log x$ का मान वापस रखने पर:
$= \log |1 + \log x| + C$
जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int \sin x \cdot \sin (\cos x) \, dx$ है।
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\sin x \, dx = dt$,या $\sin x \, dx = -dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sin (t) \cdot (-dt) = -\int \sin t \, dt$।
$\sin t$ का समाकलन $-\cos t$ होता है।
अतः,$I = -(-\cos t) + C = \cos t + C$।
$t = \cos x$ वापस रखने पर,हमें अंतिम परिणाम प्राप्त होता है:
$I = \cos (\cos x) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $ax+b = t$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $a \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dx = \frac{1}{a} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sqrt{ax+b} \, dx = \int t^{1/2} \cdot \frac{1}{a} \, dt$
$= \frac{1}{a} \int t^{1/2} \, dt$
$= \frac{1}{a} \left( \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right) + C$
$= \frac{1}{a} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C$
$= \frac{2}{3a} t^{3/2} + C$
$t = ax+b$ को वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{2}{3a} (ax+b)^{3/2} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $x+2=t$.
तब $x=t-2$ और $dx=dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x \sqrt{x+2} \, dx = \int (t-2) \sqrt{t} \, dt$
$= \int (t \cdot t^{1/2} - 2t^{1/2}) \, dt$
$= \int (t^{3/2} - 2t^{1/2}) \, dt$
$= \int t^{3/2} \, dt - 2 \int t^{1/2} \, dt$
$= \frac{t^{5/2}}{5/2} - 2 \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C$
$= \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{4}{3} t^{3/2} + C$
अब $t = x+2$ वापस रखने पर:
$= \frac{2}{5} (x+2)^{5/2} - \frac{4}{3} (x+2)^{3/2} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(N/A) माना $1+2 x^{2} = t$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{dt}{4}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x \sqrt{1+2 x^{2}} \, dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int t^{1/2} \, dt$।
घात नियम $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{6} t^{3/2} + C$।
$t = 1+2x^2$ वापस रखने पर:
$= \frac{1}{6} (1+2x^2)^{3/2} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int (4x+2)\sqrt{x^{2}+x+1} \, dx$.
$t = x^{2}+x+1$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = (2x+1) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $2 \, dt = (4x+2) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int 2\sqrt{t} \, dt = 2 \int t^{\frac{1}{2}} \, dt$.
घात नियम $\int t^{n} \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C = 2 \times \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$.
$t = x^{2}+x+1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{4}{3}(x^{2}+x+1)^{\frac{3}{2}} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} dx$ है।
हम हर को $\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} dx$।
माना $t = \sqrt{x}-1$।
तब,$dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{2}{t} dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $I = 2 \log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}-1$ वापस रखने पर,हमें $I = 2 \log |\sqrt{x}-1| + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $x+4 = t$ है।
अतः $dx = dt$ और $x = t-4$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x}{\sqrt{x+4}} dx = \int \frac{t-4}{\sqrt{t}} dt$
$= \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} - \frac{4}{\sqrt{t}} \right) dt$
$= \int (t^{1/2} - 4t^{-1/2}) dt$
$= \frac{t^{3/2}}{3/2} - 4 \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C$
$= \frac{2}{3} t^{3/2} - 8 t^{1/2} + C$
$= \frac{2}{3} t^{1/2} (t - 12) + C$
अब $t = x+4$ वापस रखने पर:
$= \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x+4-12) + C$
$= \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x-8) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $x^{3}-1=t$.
तब,$3x^{2}dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^{2}dx = \frac{dt}{3}$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\int \left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{5} dx = \int \left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}} x^{3} \cdot x^{2} dx$.
$x^{3} = t+1$ और $x^{2}dx = \frac{dt}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \int t^{\frac{1}{3}}(t+1) \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \left(t^{\frac{4}{3}} + t^{\frac{1}{3}}\right) dt$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \frac{1}{3} \left[ \frac{t^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right] + C = \frac{1}{3} \left[ \frac{3}{7} t^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} \right] + C$.
$= \frac{1}{7} t^{\frac{7}{3}} + \frac{1}{4} t^{\frac{4}{3}} + C$.
$t = x^{3}-1$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{1}{7} \left(x^{3}-1\right)^{\frac{7}{3}} + \frac{1}{4} \left(x^{3}-1\right)^{\frac{4}{3}} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $2+3x^{3} = t$.
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$9x^{2} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{2} dx = \frac{1}{9} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x^{2}}{(2+3x^{3})^{3}} dx = \int \frac{1}{9t^{3}} dt = \frac{1}{9} \int t^{-3} dt$.
घात नियम $\int t^{n} dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{9} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{1}{18t^{2}} + C$.
अब $t = 2+3x^{3}$ का मान वापस रखने पर:
$= -\frac{1}{18(2+3x^{3})^{2}} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $\log x = t$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} dx = \int \frac{1}{t^{m}} dt$।
इसे $\int t^{-m} dt$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समाकलन के घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\frac{t^{-m+1}}{-m+1} + C = \frac{t^{1-m}}{1-m} + C$।
$t = \log x$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम:
$\frac{(\log x)^{1-m}}{1-m} + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $I = \int \frac{x}{9-4x^{2}} dx$.
$t = 9-4x^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर.
अतः,$dt = -8x dx$,जिसका अर्थ है कि $x dx = -\frac{1}{8} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{1}{8}\right) dt$
$I = -\frac{1}{8} \int \frac{1}{t} dt$
$I = -\frac{1}{8} \log |t| + C$
अब $t = 9-4x^{2}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{8} \log |9-4x^{2}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) फलन $I = \int \frac{x}{e^{x^{2}}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $x^{2} = t$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} dt$
$t$ के सापेक्ष $e^{-t}$ का समाकलन $-e^{-t}$ होता है:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t}) + C$
$I = -\frac{1}{2} e^{-t} + C$
अब $t = x^{2}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C = -\frac{1}{2e^{x^{2}}} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} dx$.
$\tan ^{-1} x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{1+x^{2}} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $\int e^{t} dt$ प्राप्त होता है।
$e^{t}$ का समाकलन $e^{t} + C$ होता है।
अब $t = \tan ^{-1} x$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम $e^{\tan ^{-1} x} + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) फलन $I = \int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{x}$ से विभाजित करते हैं:
$I = \int \frac{\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}{\frac{e^{2x}+1}{e^{x}}} dx = \int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx$
अब,मान लीजिए $t = e^{x}+e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (e^{x}-e^{-x}) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + C$
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |e^{x}+e^{-x}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}} dx$.
$t = e^{2 x}+e^{-2 x}$ प्रतिस्थापित कीजिए।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = (2e^{2 x} - 2e^{-2 x}) dx = 2(e^{2 x} - e^{-2 x}) dx$.
अतः,$(e^{2 x} - e^{-2 x}) dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$.
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \log |t| + C$.
$t = e^{2 x}+e^{-2 x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \log |e^{2 x}+e^{-2 x}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $7-4x = t$ है।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-4 dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $dx = -\frac{1}{4} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sec^{2}(7-4x) dx = \int \sec^{2}(t) \left(-\frac{1}{4}\right) dt$
$= -\frac{1}{4} \int \sec^{2}(t) dt$
$= -\frac{1}{4} \tan(t) + C$
$= -\frac{1}{4} \tan(7-4x) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $t = \sin^{-1} x$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int t \, dt$।
$t$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम $\frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} + C$ है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{6 \cos x + 4 \sin x} dx$.
हम हर को $2(3 \cos x + 2 \sin x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{2(3 \cos x + 2 \sin x)} dx$.
माना $t = 3 \cos x + 2 \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (-3 \sin x + 2 \cos x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{dt}{2t} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = 3 \cos x + 2 \sin x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \log |3 \cos x + 2 \sin x| + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{\cos ^{2} x(1-\tan x)^{2}} dx$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{\cos ^{2} x} = \sec ^{2} x$,इसलिए समाकलन $I = \int \frac{\sec ^{2} x}{(1-\tan x)^{2}} dx$ हो जाता है।
माना $u = 1 - \tan x$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $du = -\sec ^{2} x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sec ^{2} x dx = -du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{-du}{u^{2}} = -\int u^{-2} du$ प्राप्त होता है।
समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$,हमें $I = -\left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{u} + C$ प्राप्त होता है।
$u = 1 - \tan x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{1-\tan x} + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $\sqrt{x} = t$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \cos(t) \cdot (2 dt) = 2 \int \cos(t) dt$।
$\cos(t)$ का समाकलन $\sin(t)$ होता है,इसलिए हमें $2 \sin(t) + C$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,अंतिम उत्तर $2 \sin \sqrt{x} + C$ है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \, dx$.
$\sin 2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \cos 2x \, dx = dt$
$\cos 2x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt$
घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right) + C$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) + C$
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$I = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$
$t = \sin 2x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} (\sin 2x)^{\frac{3}{2}} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(A) माना $1+\sin x = t$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\cos x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} \, dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt$।
घात नियम $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{t} + C$।
$t = 1+\sin x$ वापस रखने पर:
$= 2\sqrt{1+\sin x} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $I = \int \cot x \log \sin x \, dx$ है।
$t = \log \sin x$ प्रतिस्थापित करें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ प्राप्त होता है।
अतः,$dt = \cot x \, dx$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t \, dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t = \log \sin x$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2}(\log \sin x)^2 + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$ है।
$t = 1 + \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = -\sin x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sin x dx = -dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int -\frac{dt}{t}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = -\log |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + \cos x$ वापस रखने पर,$I = -\log |1 + \cos x| + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $1+\cos x = t$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\sin x \, dx = dt$ प्राप्त होता है,या $\sin x \, dx = -dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}} \, dx = \int -\frac{dt}{t^{2}}$।
$= -\int t^{-2} \, dt$।
$= -\left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C$।
$= \frac{1}{t} + C$।
$t = 1+\cos x$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{1+\cos x} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} dx$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x} \cdot \cos x}{\sin x \cos x \cdot \cos x} dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} dx$.
चूँकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt$.
घात नियम $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = 2\sqrt{\tan x} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $1+\log x = t$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} dx = \int t^{2} dt$।
समाकलन के घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$\int t^{2} dt = \frac{t^{3}}{3} + C$।
अब $t = 1+\log x$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{(1+\log x)^{3}}{3} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{(x+1)(x+\log x)^{2}}{x} = \left(1+\frac{1}{x}\right)(x+\log x)^{2}$.
माना $t = x + \log x$.
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (1 + \frac{1}{x}) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int (x + \log x)^{2} (1 + \frac{1}{x}) dx = \int t^{2} dt$.
$t^{2}$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{t^{3}}{3} + C$ प्राप्त होता है।
$t = x + \log x$ का मान वापस रखने पर,अंतिम उत्तर $\frac{1}{3}(x + \log x)^{3} + C$ है,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $x^{4} = t$ है।
तब,$4x^{3} dx = dt$,जिसका अर्थ है कि $x^{3} dx = \frac{1}{4} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{1+x^{8}} dx = \frac{1}{4} \int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} t\right)}{1+t^{2}} dt$।
अब,माना $\tan ^{-1} t = u$ है।
तब,$\frac{1}{1+t^{2}} dt = du$ है।
समाकलन में $u$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{4} \int \sin u du = \frac{1}{4} (-\cos u) + C = -\frac{1}{4} \cos u + C$।
अंत में $u = \tan ^{-1} t$ और $t = x^{4}$ का मान वापस रखने पर:
$= -\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1} x^{4}\right) + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(D) माना कि $t = x^{10} + 10^{x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{10}) + \frac{d}{dx}(10^{x})$
$\frac{dt}{dx} = 10x^{9} + 10^{x} \log_{e} 10$
अतः,$dt = (10x^{9} + 10^{x} \log_{e} 10) dx$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\int \frac{10 x^{9}+10^{x} \log _{e} 10}{x^{10}+10^{x}} d x = \int \frac{1}{t} dt$
$= \log |t| + C$
$= \log |x^{10} + 10^{x}| + C$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{10} + 10^{x} > 0$ है,इसलिए हम इसे $\log (x^{10} + 10^{x}) + C$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

माना $I = \int \sin ^{3}(2 x+1) dx$.
हम $\sin ^{3}(2 x+1) = \sin ^{2}(2 x+1) \cdot \sin (2 x+1)$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin ^{2}\theta = 1 - \cos ^{2}\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (1 - \cos ^{2}(2 x+1)) \sin (2 x+1) dx$.
माना $t = \cos (2 x+1)$.
तब $dt = -2 \sin (2 x+1) dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin (2 x+1) dx = -\frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - t^{2}) \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int (1 - t^{2}) dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{2} \left(t - \frac{t^{3}}{3}\right) + C$.
$t = \cos (2 x+1)$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2} \cos (2 x+1) + \frac{1}{6} \cos ^{3}(2 x+1) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sin ^{3} x \cos ^{3} x \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \cos ^{3} x \cdot \sin ^{2} x \cdot \sin x \, dx$.
सर्वसमिका $\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \cos ^{3} x (1 - \cos ^{2} x) \sin x \, dx$.
माना $\cos x = t$. तब,$-\sin x \, dx = dt$,या $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\int t^{3} (1 - t^{2}) \, dt$.
$I = -\int (t^{3} - t^{5}) \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6} \right) + C$.
$I = \frac{t^{6}}{6} - \frac{t^{4}}{4} + C$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\cos ^{6} x}{6} - \frac{\cos ^{4} x}{4} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} dx$ है।
सर्वसमिकाओं $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हर (denominator) इस प्रकार होगा:
$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.
अतः,समाकलन $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$ है।
माना $t = \sin x + \cos x$.
तब $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2} = \int t^{-2} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C = -t^{-1} + C = -\frac{1}{t} + C$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ और विस्तार $(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1 + \sin 2x} dx = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} dx$
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx$
माना $u = \cos x + \sin x$ है। तब $du = (-\sin x + \cos x) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$
$I = \log |\cos x + \sin x| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $I = \int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}$.
अंश और हर को $e^{x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} d x$.
माना $e^{x} = t$,तब $e^{x} d x = d t$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{d t}{t^{2}+1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{d x}{x^{2}+1} = \tan ^{-1}(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \tan ^{-1}(t) + C$.
अब $t = e^{x}$ वापस रखने पर:
$I = \tan ^{-1}\left(e^{x}\right) + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
अंश का गुणनखंड करने पर:
$I = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} dx$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$. तब $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \log |\sin x + \cos x| + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) माना $I = \int \frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}(x e^{x})} d x$.
$t = x e^{x}$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = (e^{x} + x e^{x}) dx = e^{x}(1+x) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{\cos ^{2} t} = \int \sec ^{2} t dt$.
$\sec ^{2} t$ का समाकलन करने पर:
$I = \tan t + C$.
$t = x e^{x}$ वापस रखने पर:
$I = \tan (x e^{x}) + C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) समाकल $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम पहले हर में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = 1 - (x-1)^2$
अतः,समाकल $\int \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}}$ हो जाता है।
माना $t = x-1$,तब $dt = dx$
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर,
$t = x-1$ वापस रखने पर,हमें $\sin^{-1}(x-1) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x^{3} = t$.
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $3x^{2} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{3x^{2}}{x^{6}+1} dx = \int \frac{dt}{t^{2}+1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^{2}+1} dx = \tan^{-1}(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1}(t) + C$.
अब $t = x^{3}$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम है:
$= \tan^{-1}(x^{3}) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना कि $\sqrt{2}x^2 = t$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2\sqrt{2}x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x dx = \frac{dt}{2\sqrt{2}}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{3x}{1+2x^4} dx = 3 \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{dt}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{1}{1+t^2} dt$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(t) + C$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}x^2) + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

माना $x^{3} = t$.
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $3x^{2} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x^{2}}{1-x^{6}} dx = \int \frac{1}{1-(x^{3})^{2}} (x^{2} dx) = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1-t^{2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$:
$= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| \right] + C$
$= \frac{1}{6} \log \left| \frac{1+x^{3}}{1-x^{3}} \right| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(A) माना $x^{3} = t$.
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3x^{2} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x^{3})^{2} + (a^{3})^{2}}} \cdot \frac{1}{3} dt$
$= \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}| + C$
अब $t = x^{3}$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{1}{3} \log |x^{3} + \sqrt{x^{6} + a^{6}}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $\tan x = t$ है।
तब,$\sec ^{2} x \, dx = dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}} \, dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + 2^{2}}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर:
$= \log |t + \sqrt{t^{2} + 4}| + C$.
$t = \tan x$ का मान वापस रखने पर,अंतिम परिणाम है:
$= \log |\tan x + \sqrt{\tan^{2} x + 4}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $2x^{2}+x-3 = t$.
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^{2}+x-3) = \frac{dt}{dx}$
$(4x+1) dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{4x+1}{\sqrt{2x^{2}+x-3}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt$.
यह $\int t^{-1/2} dt$ के बराबर है।
समाकलन के लिए घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर:
$= 2\sqrt{2x^{2}+x-3} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

(N/A) माना $y = \sin \phi$ है।
तब $dy = \cos \phi \, d\phi$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{(3y-2) dy}{5 - (1 - y^2) - 4y} = \int \frac{3y-2}{y^2 - 4y + 4} dy = \int \frac{3y-2}{(y-2)^2} dy$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,माना $\frac{3y-2}{(y-2)^2} = \frac{A}{y-2} + \frac{B}{(y-2)^2}$ है।
तब $3y-2 = A(y-2) + B$ प्राप्त होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$A = 3$ और $-2A + B = -2 \implies B = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $\int \left( \frac{3}{y-2} + \frac{4}{(y-2)^2} \right) dy$ हो जाता है।
$= 3 \ln |y-2| - \frac{4}{y-2} + C$।
$y = \sin \phi$ वापस रखने पर,हमें $3 \ln |\sin \phi - 2| - \frac{4}{\sin \phi - 2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \phi - 2$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|\sin \phi - 2| = 2 - \sin \phi$ होगा।
$= 3 \ln (2 - \sin \phi) + \frac{4}{2 - \sin \phi} + C$।

(C) माना $I = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$ है।
$t = x^{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = 3x^{2} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^{t} \cdot \frac{1}{3} dt$
$I = \frac{1}{3} \int e^{t} dt$
$e^{t}$ का समाकलन $e^{t}$ होता है:
$I = \frac{1}{3} e^{t} + C$
अब $t = x^{3}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।