int frac{dx}{x(x^7 + 1)} = | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^7 + 1)}$ है।अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर,$I = \int \frac{x^6 dx}{x^7(x^7 + 1)}$ प्राप्त होता है।मान

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$\frac{1}{7}\log \left( \frac{x^7}{x^7 + 1} \right) + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^7 + 1)}$ है।अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर,$I = \int \frac{x^6 dx}{x^7(x^7 + 1)}$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $x^7 = u$,तब $7x^6 dx = du$,जिसका अर्थ है $x^6 dx = \frac{du}{7}$।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{du/7}{u(u + 1)} = \frac{1}{7} \int \frac{du}{u(u + 1)}$।आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{u(u + 1)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}$।अतः,$I = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} \right) du = \frac{1}{7} (\log |u| - \log |u + 1|) + c$।$I = \frac{1}{7} \log \left| \frac{u}{u + 1} \right| + c$।$u = x^7$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{7} \log \left( \frac{x^7}{x^7 + 1} \right) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{dx}{x(x^7 + 1)} = $

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