Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
मान लीजिए $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,तो $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ हो जाता है।

(B) माना $I = \int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx$.
दिया गया है कि $\int \left\{ \cos^{-1} x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
माना $f(x) = \cos^{-1} x$. तब $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $\int k \left\{ f(x) + f'(x) \right\} dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
हम जानते हैं कि $\int e^x \{ f(x) + f'(x) \} dx = e^x f(x) + c$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\int k \{ f(x) + f'(x) \} dx = k \cdot f(x) + c$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $k$ को $x$ का ऐसा फलन होना चाहिए कि $k = e^x$ हो।
अतः,$k = e^x$।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int e^x(2021 + \tan x + \tan^2 x) dx = \int e^x(2020 + 1 + \tan^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \sec^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \tan x) dx + \int e^x \sec^2 x dx$.
मान लीजिए $f(x) = 2020 + \tan x$ है। तब $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$\int e^x(2020 + \tan x + \sec^2 x) dx = e^x(2020 + \tan x) + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$.
दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x + 100 = (x + 101) - 1$.
अतः,समाकलन हो जाता है: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
माना $f(x) = \frac{1}{x+101}$.
तब $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$.
चूंकि व्यंजक $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + C$ है।
अतः,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ के रूप वाले समाकलन का मान $e^x f(x) + C$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int e^x \cdot \sec x(1 + \tan x) \, dx$ है।
इसे $\int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \sec x$ है।
तब,इसका अवकलज $f'(x) = \sec x \tan x$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x \sec x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x (\tan x + \tan^2 x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ को याद करें,जिसका अर्थ है कि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x - 1) \, dx$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int e^x ((\tan x - 1) + \sec^2 x) \, dx$।
मान लीजिए $f(x) = \tan x - 1$।
तब,$f'(x) = \sec^2 x$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x (\tan x - 1) + C$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3} d x$ का मान ज्ञात करना है।
अंश को $(x-1-2)$ के रूप में लिखें:
$I = \int \frac{(x-1-2) e^x}{(x-1)^3} d x$
$I = \int \left( \frac{x-1}{(x-1)^3} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
मानक समाकलन रूप $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ को याद करें।
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$ है।
तब $f'(x) = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$ होगा।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + C$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x-1)^2} + C$।

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ होता है।
सबसे पहले,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करें: $\frac{x^2+1}{(x+1)^2} = \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)+2}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$.
माना $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
तब $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c = \left( \frac{x-1}{x+1} \right) e^x + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $ 1+\cos x = 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) $ और $ \sin x = 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1 + 2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{2\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right) dx $
$ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) + \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx $
हम जानते हैं कि $ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) dx = e^{x} f(x) + C $.
यहाँ,$ f(x) = \tan \left( \frac{x}{2} \right) $ लें। तब $ f'(x) = \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) $.
अतः,$ I = e^{x} \tan \left( \frac{x}{2} \right) + C $.

(D) माना $I = \int \frac{x e^{x} d x}{(1+x)^{2}}$.
अंश को $(x+1-1)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{e^{x}(x+1-1)}{(1+x)^{2}} d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{x+1}{(1+x)^{2}} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
माना $f(x) = \frac{1}{1+x}$,तो $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^{2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] d x = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = e^{x} \left( \frac{1}{1+x} \right) + C = \frac{e^{x}}{1+x} + C$.

(A) माना $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^{x} \left( \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$.
माना $f(x) = \tan \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
चूंकि समाकलन $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ के रूप में है,
अतः हमें $I = e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$ I = \int \frac{e^{x}(x^{2} \tan^{-1} x + \tan^{-1} x + 1)}{x^{2} + 1} dx $.
अंश में पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \frac{(x^{2} + 1) \tan^{-1} x + 1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
प्रत्येक पद को $ x^{2} + 1 $ से विभाजित करने पर:
$ I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{x^{2} + 1} \right) dx $.
मान लीजिए $ f(x) = \tan^{-1} x $,तब $ f'(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} $ है।
मानक समाकलन सूत्र $ \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c $ का उपयोग करने पर:
$ I = e^{x} \tan^{-1} x + c $.

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.
चूंकि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{\sin x} (\sin x + 1) \cos x \, dx$.
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^u (u + 1) \, du$.
$I = \int (u e^u + e^u) \, du$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int (f(u) + f'(u)) e^u \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(u) = u$ और $f'(u) = 1$ है:
$I = e^u \cdot u + C$.
$u = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = \sin x \cdot e^{\sin x} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ है।
अंश को $(x+1)-2$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$
$I = \int \left( \frac{x+1}{(x+1)^{3}} - \frac{2}{(x+1)^{3}} \right) e^{x} d x$
$I = \int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
अब,पहले समाकलन $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{(x+1)^{2}}$ और $dv = e^{x} dx$ लेने पर:
$du = -2(x+1)^{-3} dx$ और $v = e^{x}$.
$\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} - \int e^{x} \left( -\frac{2}{(x+1)^{3}} \right) d x$
$= \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x \right) - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$
$I = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + C$.

(C) हमें समाकलन $I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$ दिया गया है।
सर्वसमिका $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^{x} (\tan x \sec x + \sec x) dx$
मान लीजिए $f(x) = \sec x$. तब $f'(x) = \sec x \tan x$ होगा।
हम जानते हैं कि मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \int e^{x} (\sec x + \sec x \tan x) dx = e^{x} \sec x + C$.

(A) माना $I = \int e^{\tan ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}\right) dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int e^{\tan ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
अब,पहले समाकलन $\int e^{\tan ^{-1} x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = e^{\tan ^{-1} x}$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int e^{\tan ^{-1} x} dx = x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left(x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx\right) + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.
समाकलन के पद कट जाते हैं,जिससे $I = x e^{\tan ^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ होता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = x^{5}$।
तब,$f'(x) = 5x^{4}$।
दिया गया समाकलन $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4}+1)dx$ है।
हम इसे $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx + \int e^{x}dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ का उपयोग करने पर,हमें $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx = e^{x}x^{5}+c_1$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल समाकलन $e^{x}x^{5} + e^{x} + c$ है।

(D) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(2+x)^3} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिखते हैं:
$\frac{x}{(2+x)^3} = \frac{(x+2)-2}{(2+x)^3} = \frac{1}{(2+x)^2} - \frac{2}{(2+x)^3}$.
माना $f(x) = \frac{1}{(2+x)^2}$. तब $f'(x) = -2(2+x)^{-3} = -\frac{2}{(2+x)^3}$.
अतः,समाकलन $\int_0^1 e^x [f(x) + f'(x)] d x$ बन जाता है।
मानक परिणाम $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = [e^x \cdot \frac{1}{(2+x)^2}]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = (e^1 \cdot \frac{1}{(2+1)^2}) - (e^0 \cdot \frac{1}{(2+0)^2}) = \frac{e}{9} - \frac{1}{4}$.

(C) हमें समाकलन $ I = \int \frac{(x+3) e^{x}}{(x+4)^{2}} d x $ दिया गया है।
इसे हल करने के लिए,अंश को $(x+4-1)$ के रूप में लिखते हैं:
$ I = \int e^{x} \frac{(x+4-1)}{(x+4)^{2}} d x $.
भिन्न को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{x+4}{(x+4)^{2}} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
हम मानक समाकलन सूत्र जानते हैं:
$ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C $.
यहाँ,मान लीजिए $ f(x) = \frac{1}{x+4} $.
तब,$ f'(x) = -\frac{1}{(x+4)^{2}} $.
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = e^{x} \left( \frac{1}{x+4} \right) + C = \frac{e^{x}}{x+4} + C $.

(C) हम जानते हैं कि मानक समाकलन सूत्र: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ है।
यहाँ,$f(x) = \log x$ लें।
तब,$f'(x) = \frac{1}{x}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx = e^x \log x + C$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int e^{-2x} \left( \frac{1 - \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ है।
अतः,व्यंजक $\frac{1 - 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \sec^2 x - \tan x$ बन जाता है।
इस प्रकार,$I = \int e^{-2x} (\frac{1}{2} \sec^2 x - \tan x) dx = \frac{1}{2} \int e^{-2x} \sec^2 x dx - \int e^{-2x} \tan x dx$ है।
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int e^{-2x} \sec^2 x dx = e^{-2x} \tan x - \int (-2e^{-2x}) \tan x dx = e^{-2x} \tan x + 2 \int e^{-2x} \tan x dx$।
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} [e^{-2x} \tan x + 2 \int e^{-2x} \tan x dx] - \int e^{-2x} \tan x dx$।
$I = \frac{1}{2} e^{-2x} \tan x + \int e^{-2x} \tan x dx - \int e^{-2x} \tan x dx = \frac{1}{2} e^{-2x} \tan x + C$।

(C) माना $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$ है।
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int e^t \frac{(t - 1)^2}{(1 + t^2)^2} dt = \int e^t \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} dt$।
$I = \int e^t \left( \frac{t^2 + 1 - 2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt$।
सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ है।
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$।

(D) माना $I = \int \frac{e^{\sin x}(\sin 2x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{e^{\sin x}(2 \sin x \cos x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx = \int \frac{e^{\sin x} \cos x (\sin x - 4)}{(\sin x - 3)^2} dx$.
माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x dx$.
$I = \int \frac{e^t (t - 4)}{(t - 3)^2} dt = \int e^t \left( \frac{t - 3 - 1}{(t - 3)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{t - 3} - \frac{1}{(t - 3)^2} \right) dt$.
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{t - 3}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(t - 3)^2}$.
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{t - 3} \right) + c = \frac{e^{\sin x}}{\sin x - 3} + c$.

(C) दिया गया समाकलन $\int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x = e^{\sin x} f(x) + c$ है।
माना $I = \int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x$ है।
हम समाकल्य को $e^{\sin x} + e^{\sin x} \sec x \tan x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$e^{\sin x} f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} f(x)] = e^{\sin x} \cos x f(x) + e^{\sin x} f'(x) = e^{\sin x} (f'(x) + f(x) \cos x)$।
इसकी तुलना समाकल्य $e^{\sin x}(1+\sec x \tan x)$ से करने पर,हमें $f'(x) + f(x) \cos x = 1 + \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,यदि $f(x) = \sec x$ है,तो $f'(x) = \sec x \tan x$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sec x \tan x + \sec x \cos x = \sec x \tan x + 1$।
यह समाकल्य से मेल खाता है। अतः,$f(x) = \sec x$ है।
हमें $0 \leq x \leq 2 \pi$ में $f(x) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$\sec x = 1 \implies \cos x = 1$।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\cos x = 1$ का मान $x = 0$ और $x = 2 \pi$ पर होता है।
अतः,कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) माना $I = \int \frac{e^{\cot x}}{\sin^2 x} (2 \log \csc x + \sin 2 x) dx$ है।
$t = \cot x$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dt = -\csc^2 x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\csc^2 x dx = -dt$।
यहाँ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ है,इसलिए $\frac{\sin 2x}{\sin^2 x} = 2 \cot x$।
अतः,$I = \int e^{\cot x} (2 \csc^2 x \log \csc x + 2 \cot x \csc^2 x) dx$।
इस व्यंजक का समाकलन करने पर हमें $-2 e^{\cot x} \log \csc x + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int e^{x \operatorname{cosec} x} \cdot \operatorname{cosec} x \cdot (1 - x \cot x) \, dx$ है।
$t = x \operatorname{cosec} x$ प्रतिस्थापित करें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) + \operatorname{cosec} x \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$\frac{dt}{dx} = x(-\operatorname{cosec} x \cot x) + \operatorname{cosec} x(1)$
$\frac{dt}{dx} = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x)$
अतः,$dt = \operatorname{cosec} x(1 - x \cot x) \, dx$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t \, dt = e^t + c$
$t = x \operatorname{cosec} x$ वापस रखने पर:
$I = e^{x \operatorname{cosec} x} + c$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$.
$\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$.
अंश को $(t+1-1)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$.
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$:
$I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$.
$t = \log _e x$ वापस रखने पर:
$I = e^{\log _e x} \left( \frac{1}{1+\log _e x} \right) + C = \frac{x}{1+\log _e x} + C$.

(C) हमारे पास $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ है।
अंश को $(x+4-2)$ के रूप में लिखें:
$I = \int e^x \left(\frac{x+4-2}{x+4}\right)^2 dx = \int e^x \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 dx$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) dx + \int \frac{4 e^x}{(x+4)^2} dx$.
माना $f(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$ है। तब $f'(x) = -(-4)(x+4)^{-2} = \frac{4}{(x+4)^2}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + c = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + c = \frac{x e^x}{x+4} + c$.

(A) हम सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ है।
तब $f'(x) = 2x + 2 = 2(x+1)$ है।
यह सीधे इस रूप में फिट नहीं होता है।
वैकल्पिक रूप से,व्यंजक का विस्तार करें:
$\int e^x(x^2+2x+1) dx = \int e^x x^2 dx + \int e^x(2x+1) dx$।
$\int e^x x^2 dx$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$= x^2 e^x - \int 2x e^x dx + \int 2x e^x dx + \int e^x dx = x^2 e^x + e^x + c = e^x(x^2+1) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[ (\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2})^2 + \cos ^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \right] dx$.
चूंकि $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \tan ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} [(\tan ^{-1} x)^2 + 2 \tan ^{-1} x] dx$.
माना $t = \tan ^{-1} x$,तब $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \int e^t (t^2 + 2t) dt = \int (t^2 e^t + 2t e^t) dt$.
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$:
$I = e^t t^2 + C = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + C$.

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{e^x(x + 3)}{(x + 5)^3} dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,अंश $(x + 3)$ को $(x + 5 - 2)$ के रूप में लिखते हैं:
$I = \int \frac{e^x(x + 5 - 2)}{(x + 5)^3} dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x + 5}{(x + 5)^3} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x + 5)^2} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = \frac{1}{(x + 5)^2} = (x + 5)^{-2}$।
तब $f'(x) = -2(x + 5)^{-3} = -\frac{2}{(x + 5)^3}$।
चूंकि समाकल्य $e^x(f(x) + f'(x))$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + c$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x + 5)^2} + c$।

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x > 0$ है।
$\tan ^{-1} x = \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \tan \theta$ और $\frac{1}{1+x^2} d x = d \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x > 0$,इसलिए $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
यहाँ $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec ^{-1} \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec ^{-1} \sec \theta = \theta$ है।
साथ ही,$\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ (क्योंकि $2\theta \in (0, \pi)$)।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^{\theta} [\theta^2 + 2\theta] d \theta$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(\theta) = \theta^2$ और $f'(\theta) = 2\theta$:
$I = e^{\theta} \theta^2 + c$।
$\theta = \tan ^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + c$।

(C) माना $I = \int 3^x \left(f^{\prime}(x) + f(x) \log 3\right) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left(3^x f^{\prime}(x) + 3^x f(x) \log 3\right) dx$.
अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot 3^x \log 3$.
अतः,समाकल्य $3^x f(x)$ का अवकलज है।
इसलिए,$\int \frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) dx = 3^x f(x) + c$.

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पद को फिर से लिखते हैं:
$\frac{x+2}{x+4} = \frac{x+4-2}{x+4} = 1 - \frac{2}{x+4}$.
अतः,$\left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 = \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 = 1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
हम जानते हैं कि मानक रूप $\int e^x [g(x) + g'(x)] dx = e^x g(x) + C$ होता है।
माना $g(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$.
तब $g'(x) = -\left(-\frac{4}{(x+4)^2}\right) = \frac{4}{(x+4)^2}$.
इसलिए,$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + C = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + C = \frac{x e^x}{x+4} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{x e^x}{x+4}$.

(A) माना $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$
$I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$ प्राप्त होता है।
प्रथम समाकलन $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = \cot x$,तब $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$।
$\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = e^x(-\cot x) - \int e^x(-\cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$।
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$
$I = -e^x \cot x + c$।

(C) माना $I = \int e^x \frac{x^2+1}{(x+1)^2} d x$ है।
अंश को $x^2 - 1 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$I = \int e^x \left( \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} \right) d x = \int e^x \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
$I = \int e^x \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
माना $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ है।
तब $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ है।
चूँकि $1-2x+x^2 = (1-x)^2$,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x d x$
अंश को $f(x) + f'(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{2 + 1 - x^2}{(1-x)^2} e^x d x = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1-x^2}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1+x}{1-x} \right) e^x d x$
माना $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। तब $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\int (f(x) + f'(x)) e^x d x = e^x f(x) + c$,अतः:
$I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
दिए गए व्यंजक $e^x f(x) + c$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int e^{x / 2} \left( \frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है।
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल बना सकते हैं:
$\frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \tan(x/2)}{(1 + \tan^2(x/2)) \cdot 2 \cos^2(x/2)}$
$= \sec^2(x/2) + \tan(x/2)$.
अतः,$I = \int e^{x/2} (\sec^2(x/2) + \tan(x/2)) dx$.
मान लीजिए $u = x/2$,तो $du = dx/2$,अर्थात $dx = 2du$.
$I = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \cdot 2 du = 2 \int e^u (\tan u + \sec^2 u) du$.
चूंकि $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$,सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 e^u \tan u + c = 2 e^{x/2} \tan(x/2) + c$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) माना $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = e^t$ प्राप्त होता है।
अतः,$dx = e^t dt$ होगा।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) e^t dt$।
हम जानते हैं कि मानक समाकलन सूत्र: $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ होता है।
यहाँ,$f(t) = \frac{1}{t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ है।
इसलिए,$I = e^t \cdot \frac{1}{t} + c$।
अब $t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{x}{\log x} + c$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) अभिकथन: मान लीजिए $I = \int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx$.
मान लीजिए $\log_e x = y$,तब $x = e^y$ और $dx = e^y dy$.
जब $x = 2$,तब $y = \log_e 2$. जब $x = e$,तब $y = 1$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \int_{\log_e 2}^1 e^y \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{y^2}\right) dy$.
सूत्र $\int e^y (f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(y) = \frac{1}{y}$ और $f'(y) = -\frac{1}{y^2}$.
$I = \left[ e^y \cdot \frac{1}{y} \right]_{\log_e 2}^1 = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e 2} \right) = e - \frac{2}{\log_e 2} = e - 2 \log_2 e$.
तर्क $(R)$ मानक सूत्र $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_a^b$ प्रदान करता है,जो सत्य है।
अतः,अभिकथन और तर्क दोनों सत्य हैं और तर्क,अभिकथन की सही व्याख्या है।

(B) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x$
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \right] d x$
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] d x$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x+1}$ है।
तब,$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$ होगा।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x+1} \right]_0^1$
$I = \left( \frac{e^1}{1+1} \right) - \left( \frac{e^0}{0+1} \right)$
$I = \frac{e}{2} - 1$

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$
मानक समाकलन रूप $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ को याद करें।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \tan x$,तो $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
अतः,$I = e^x \tan x + C$।

(D) माना $I = \int_{\alpha+1}^{\alpha} \frac{e^x(\alpha-x)}{(x-\alpha+1)^2} dx$.
$u = x - \alpha + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = \alpha+1$,तब $u = 2$. जब $x = \alpha$,तब $u = 1$.
साथ ही,$\alpha - x = 1 - u$.
अतः,$I = \int_{2}^{1} \frac{e^{u+\alpha-1}(1-u)}{u^2} du = e^{\alpha-1} \int_{2}^{1} e^u \left(\frac{1}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du$.
सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(u) = -\frac{1}{u}$ और $f'(u) = \frac{1}{u^2}$ है।
$I = e^{\alpha-1} \left[ e^u \left(-\frac{1}{u}\right) \right]_{2}^{1} = e^{\alpha-1} \left[ -e^1 + \frac{e^2}{2} \right] = e^{\alpha-1} \left[ \frac{e^2 - 2e}{2} \right] = e^{\alpha} \left( \frac{e-2}{2} \right)$.

(B) दिया गया है,$\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = \frac{d}{dx} \left(-e^x \cot \frac{x}{2}\right)$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -\left[e^x \cot \frac{x}{2} + e^x \left(-\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}\right)\right]$।
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$।
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2) - 1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$।
$2 \sin(x/2) \cos(x/2) = \sin x$ और $2 \sin^2(x/2) = 1 - \cos x$ का उपयोग करते हुए:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}\right] = e^x \left(\frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\right)$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta} = \frac{1^2 + 1^2}{2(1)(1)} = \frac{2}{2} = 1$।

(D) माना $I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x + \tan x - \cot x}{\sin x} \right) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x}{\sin x} + \frac{\tan x}{\sin x} - \frac{\cot x}{\sin x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \sec^2 x \operatorname{cosec} x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x(1 + \tan^2 x) + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x + \operatorname{cosec} x \tan^2 x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
चूंकि $\operatorname{cosec} x \tan^2 x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int e^x \left( (\operatorname{cosec} x - \cot x \operatorname{cosec} x) + (\sec x + \sec x \tan x) \right) dx$
यह $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है।
यहाँ,$f(x) = \operatorname{cosec} x + \sec x$ और $f'(x) = -\operatorname{cosec} x \cot x + \sec x \tan x$ है।
अतः,$I = e^x(\operatorname{cosec} x + \sec x) + c$.
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना $I = \int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1-t}{1+t^2} \right)^2 e^t dt$.
यह $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ के रूप में है।
यहाँ $I = \int e^t \frac{1-2t+t^2}{(1+t^2)^2} dt = \int e^t \left( \frac{1+t^2-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$.
यदि $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ है,तो $f'(t) = \frac{-2t}{(1+t^2)^2}$ होगा।
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + c$.
$t = \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + c = \frac{x}{1+(\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^{ax}(\sin bx - \cos bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [a \sin bx - b \cos bx - (a \cos bx + b \sin bx)] + c = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [(a-b) \sin bx - (a+b) \cos bx] + c$.
यहाँ,$a = 4$ और $b = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int e^{4x}(\sin 3x - \cos 3x) dx = \frac{e^{4x}}{4^2+3^2} [(4-3) \sin 3x - (4+3) \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{16+9} [1 \sin 3x - 7 \cos 3x] + c$
$= \frac{e^{4x}}{25}(\sin 3x - 7 \cos 3x) + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम $\int e^{ax} f(x) dx = \frac{e^{ax}}{a} [f(x) - \frac{f'(x)}{a} + \frac{f''(x)}{a^2} - \frac{f'''(x)}{a^3} + \dots]$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -1$ और $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ है।
अवकलन ज्ञात करने पर:
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$
$f''(x) = 6x - 4$
$f'''(x) = 6$
$f^{(4)}(x) = 0$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\int e^{-x} f(x) dx = \frac{e^{-x}}{-1} [f(x) - \frac{f'(x)}{-1} + \frac{f''(x)}{(-1)^2} - \frac{f'''(x)}{(-1)^3}] + c$
$= -e^{-x} [f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x)] + c$
$= -e^{-x} [(x^3 - 2x^2 + 3x - 4) + (3x^2 - 4x + 3) + (6x - 4) + 6] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + (-2+3)x^2 + (3-4+6)x + (-4+3-4+6)] + c$
$= -e^{-x} [x^3 + x^2 + 5x + 1] + c$.