अभिकथन (A): int_2^e left(frac{1}{log_e x} - f | vedclass

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Question

(A) अभिकथन: मान लीजिए $I = \int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx$. मान लीजिए $\log_e x = y$,तब $x = e^y$ और $dx = e^y d

Vedclass · Accepted Answer

$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) अभिकथन: मान लीजिए $I = \int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx$. मान लीजिए $\log_e x = y$,तब $x = e^y$ और $dx = e^y dy$. जब $x = 2$,तब $y = \log_e 2$. जब $x = e$,तब $y = 1$. समाकलन में मान रखने पर: $I = \int_{\log_e 2}^1 e^y \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{y^2}\right) dy$. सूत्र $\int e^y (f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(y) = \frac{1}{y}$ और $f'(y) = -\frac{1}{y^2}$. $I = \left[ e^y \cdot \frac{1}{y} \right]_{\log_e 2}^1 = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e 2} \right) = e - \frac{2}{\log_e 2} = e - 2 \log_2 e$. तर्क $(R)$ मानक सूत्र $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_a^b$ प्रदान करता है,जो सत्य है। अतः,अभिकथन और तर्क दोनों सत्य हैं और तर्क,अभिकथन की सही व्याख्या है।

अभिकथन $(A)$: $\int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx = e - 2 \log_2 e$
तर्क $(R)$: $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^b f(b) - e^a f(a)$

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