int frac{x+100}{(x+101)^2} e^x , dx = . . . | vedclass

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Question

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \,

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$\frac{1}{x+101} e^x$

Vedclass · Answer

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$. हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x + 100 = (x + 101) - 1$. अतः,समाकलन हो जाता है: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$. $I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$. $I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$. माना $f(x) = \frac{1}{x+101}$. तब $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$. चूंकि व्यंजक $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + C$ है। अतः,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

$\int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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