int e^{x / 2}left(frac{2+sin x}{1+cos x}right | vedclass

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Question

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int e^{x / 2} \left( \frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} ight) dx$ है। अर्ध-कोण सूत्रों $\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1 + 	an^2

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$2 e^{x / 2} 	an \left(\frac{x}{2}ight)+c$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int e^{x / 2} \left( \frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} ight) dx$ है। अर्ध-कोण सूत्रों $\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1 + 	an^2(x/2)}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल बना सकते हैं: $\frac{2 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{2}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 	an(x/2)}{(1 + 	an^2(x/2)) \cdot 2 \cos^2(x/2)}$ $= \sec^2(x/2) + 	an(x/2)$. अतः,$I = \int e^{x/2} (\sec^2(x/2) + 	an(x/2)) dx$. मान लीजिए $u = x/2$,तो $du = dx/2$,अर्थात $dx = 2du$. $I = \int e^u (\sec^2 u + 	an u) \cdot 2 du = 2 \int e^u (	an u + \sec^2 u) du$. चूंकि $\frac{d}{du}(	an u) = \sec^2 u$,सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = 2 e^u 	an u + c = 2 e^{x/2} 	an(x/2) + c$. अतः,विकल्प $B$ सही है।

$\int e^{x / 2}\left(\frac{2+\sin x}{1+\cos x}\right) d x=$

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