Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Hindi

(A) माना $I = \int \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{x \cdot 3^x \log 3}{x^2} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{3^x \log 3}{x} - \frac{3^x}{x^2} \right) dx$.
भागफल नियम का अवकलन याद करें। मान लीजिए $f(x) = \frac{3^x}{x}$.
तब $f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(3^x) - 3^x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(3^x) = 3^x \log 3$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{x \cdot 3^x \log 3 - 3^x \cdot 1}{x^2} = \frac{3^x(x \log 3 - 1)}{x^2}$.
अतः,$\int f'(x) dx = f(x) + c$.
इसलिए,$I = \frac{3^x}{x} + c$.

(C) माना $I = \int e^{-2 x}(\tan 2 x - 2 \sec^2 2 x \tan 2 x) dx$.
फलन $f(x) = \tan 2 x$ लें।
तब $f'(x) = 2 \sec^2 2 x$.
$2x = t$ रखने पर,$2 dx = dt$,अतः $dx = \frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (\tan t - 2 \sec^2 t \tan t) dt$.
$f(t) = \tan t - \sec^2 t$ लें।
तब $f'(t) = \sec^2 t - 2 \sec^2 t \tan t$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (f'(t) - f(t)) dt$.
सूत्र $\int e^{kt} (f'(t) + k f(t)) dt = e^{kt} f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $k = -1$:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t} f(t)) + C = -\frac{1}{2} e^{-t} (\tan t - \sec^2 t) + C$.
$t = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\frac{1}{2} e^{-2 x} (\tan 2 x - \sec^2 2 x) + C = \frac{1}{2} e^{-2 x} (\sec^2 2 x - \tan 2 x) + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x(\frac{1 - \cos 4x}{2} - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{17}{2} \cos 4x) dx$.
अतः $I = \frac{1}{2} \int e^x dx - \frac{17}{2} \int e^x \cos 4x dx$.
मानक सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करने पर,$\int e^x \cos 4x dx = \frac{e^x}{1^2 + 4^2} (\cos 4x + 4 \sin 4x) = \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} e^x - \frac{17}{2} \cdot \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x) + c = e^x (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x) + c$.
अतः $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi) - 2 \sin(\pi) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) - 2(0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(D) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$.
माना $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$.
तब $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8} = \frac{(x-1) - 4(x-4)}{(x-1)^5} = \frac{x-1-4x+16}{(x-1)^5} = \frac{-3x+15}{(x-1)^5} = \frac{-3(x-5)}{(x-1)^5}$.
अब,समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx$ पर विचार करें।
हम अंश को $x^2-8x+19 = (x-4)(x-1) - 3(x-5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int e^x \left( \frac{x-4}{(x-1)^4} - \frac{3(x-5)}{(x-1)^5} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = \frac{e^x(x-4)}{(x-1)^4} + C$.
इसकी तुलना $\frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ से करने पर,हमें $l=1$ और $m=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$4l+m = 4(1) + (-4) = 4-4 = 0$.

(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.
माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.
इसे दो समाकलों में विभाजित किया जा सकता है: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
प्रथम समाकल $\int e^{2x} f(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर ($f(x)$ को प्रथम फलन और $e^{2x}$ को द्वितीय फलन लेने पर):
$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
चूंकि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

(D) माना $I = \int e^x \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \tan x$ और $f'(x) = \sec^2 x$ है।
अतः,$I = e^x \tan x + C$।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2x+x^2} e^x dx$ है।
हर को $(1-x)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x dx$.
अंश को $f(x) + f'(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{-(x^2-1) + 2}{(1-x)^2} e^x dx = \int \frac{-(x-1)(x+1) + 2}{(x-1)^2} e^x dx$
$I = \int \left( \frac{-(x+1)}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} \right) e^x dx = \int \left( \frac{x+1}{1-x} + \frac{2}{(1-x)^2} \right) e^x dx$.
माना $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। तब $f'(x) = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$ होगा।
चूंकि $\int (f(x) + f'(x)) e^x dx = e^x f(x) + c$,इसलिए $I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$ होगा।
इसकी तुलना $e^x f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\int e^x(g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ होता है।
दिया गया है कि $\int e^x(x^3+x^2-x+4) dx = e^x f(x) + c$,इसलिए $f(x) + f'(x) = x^3+x^2-x+4$ होगा।
मान लीजिए $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$,तो $f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$ होगा।
योग करने पर: $f(x) + f'(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1 + 3x^2 - 4x + 3 = x^3 + x^2 - x + 4$।
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 2 + 3 + 1 = 3$।

(C) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
माना $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$ है। तब $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ होगा।
चूंकि समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ के रूप में है,इसलिए:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
अतः,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$।

(C) माना $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.
हम जानते हैं कि दो फलनों के गुणनफल का अवकलन गुणन नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
फलन $g(x) = 2^{x} f(x)$ पर विचार करें।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^{x}) \cdot f(x) + 2^{x} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} \log 2 \cdot f(x) + 2^{x} f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2]$.
चूंकि समाकल्य $g(x)$ का अवकलज है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = \int g^{\prime}(x) \, dx = g(x) + C = 2^{x} f(x) + C$.

(A) दिया गया समाकलन: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx = e^{\sin x} f(x) + c$.
समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \sec x \tan x$.
अतः समाकलन इस प्रकार होगा: $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int [e^{\sin x} \cos x \cdot x - e^{\sin x} \sec x \tan x] dx$.
यहाँ ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \cos x + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - 1 + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x)$.
इस प्रकार,$\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx = e^{\sin x} (x - \sec x) + c$.
इसकी तुलना $e^{\sin x} f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x - \sec x$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$.
अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$.
तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$.
अतः,समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है,जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है।
इसलिए,$I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

(C) हम मानक समाकलन सूत्र जानते हैं: $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
दिया गया समाकलन: $I = \int e^{x} \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}\right) dx$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{2}{x}$.
तब,$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^{-1}) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I = \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
अतः,$I = e^{x} \left(\frac{2}{x}\right) + C = \frac{2 e^{x}}{x} + C$.

(C) हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
माना $f(x) = \log_{e} x$. तब $f'(x) = \frac{1}{x}$.
समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \left( \log_{e} x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$
$I = \int_{1}^{2} e^{x} \log_{e} x dx + \int_{1}^{2} e^{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$\int e^{x} \log_{e} x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$u = \log_{e} x$,$dv = e^{x} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = e^{x}$ प्राप्त होता है।
$\int e^{x} \log_{e} x dx = e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = [e^{x} \log_{e} x - \int \frac{e^{x}}{x} dx] + [e^{x}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} dx$
$I = [e^{x} \log_{e} x]_{1}^{2} + [e^{x}]_{1}^{2}$
$I = (e^{2} \log_{e} 2 - e^{1} \log_{e} 1) + (e^{2} - e^{1})$
चूंकि $\log_{e} 1 = 0$:
$I = e^{2} \log_{e} 2 + e^{2} - e$
$I = e^{2}(1 + \log_{e} 2) - e$.

(A) मान लीजिए $\ln t = x$,तो $t = e^x$ और $dt = e^x dx$ होगा। समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} e^x dx = \int \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} e^x dx$
$f(t) = \int \left( \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \right) e^x dx$
सर्वसमिका $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $g(x) = -\cot(x/2)$ और $g'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ है:
$f(t) = -e^x \cot(x/2) + C = -t \cot(\frac{\ln t}{2}) + C$
दिया गया है कि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2} \cot(\pi/4) + C = -e^{\pi/2} + C = -e^{\pi/2}$,इसलिए $C = 0$ है।
अतः,$f(t) = -t \cot(\frac{\ln t}{2})$ है।
$f(e^{\pi/4}) = -e^{\pi/4} \cot(\pi/8) = -e^{\pi/4} (\sqrt{2} + 1)$ है।
$f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है।
अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर:
$f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$.
पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
मान लीजिए $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। तब $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$.
अतः,समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ के रूप में है।
इसलिए,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$.
अतः,$f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

(C) माना $u = \tan^{-1} x$ है। तब $x = \tan u$ और $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^u \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) (1+x^2) \, du = \int e^u (1+x+x^2) \, du$.
चूंकि $x = \tan u$,इसलिए $1+x^2 = \sec^2 u$ है।
अतः,$I = \int e^u (1 + \tan u + \tan^2 u) \, du = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \, du$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$ होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(u) = \tan u$ और $f'(u) = \sec^2 u$ है,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^u \tan u + C = e^{\tan^{-1} x} \cdot x + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,हमें $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$ प्राप्त होता है।
इसे $I = \int e^x \left[ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$।
हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ जानते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए हल $e^x f(x) + C = \frac{e^x}{1+x^2} + C$ है।