int frac{log x}{(1 + log x)^2} dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx$ है। $1 + \log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\log x = t - 1$। दोनों पक्षों का अवकलन क

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$\frac{x}{1 + \log x} + c$

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(C) माना $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx$ है। $1 + \log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\log x = t - 1$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$,इसलिए $dx = x dt$। चूंकि $1 + \log x = t$,हमारे पास $\log x = t - 1$ है,इसलिए $x = e^{t-1}$। अतः,$dx = e^{t-1} dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{t - 1}{t^2} e^{t-1} dt = \int e^{t-1} \left( \frac{t}{t^2} - \frac{1}{t^2} \right) dt = \int e^{t-1} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) dt$। मानक समाकलन सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ है: $I = e^{t-1} \cdot \frac{1}{t} + c$। $t = 1 + \log x$ वापस रखने पर: $I = \frac{e^{(1 + \log x) - 1}}{1 + \log x} + c = \frac{e^{\log x}}{1 + \log x} + c = \frac{x}{1 + \log x} + c$।

$\int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx = $

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$\int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx = $

यदि $\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$ है,तो $\frac{\alpha^2+\beta^2}{2 \alpha \beta}=$

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$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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