int_1^e {frac{{{e^x}}}{x}(1 + xlog x),dx} = | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^e \frac{e^x}{x}(1 + x \log x) \, dx$ दिया गया है। समाकल्य का विस्तार करने पर: $I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e

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$e^e$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^e \frac{e^x}{x}(1 + x \log x) \, dx$ दिया गया है। समाकल्य का विस्तार करने पर: $I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \log x \, dx$। दूसरे पद $\int_1^e e^x \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \log x$ और $dv = e^x \, dx$। तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है। सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर: $\int_1^e e^x \log x \, dx = [e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$। इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + ([e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx)$। यहाँ $\int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$ पद कट जाएंगे। $I = [e^x \log x]_1^e = (e^e \log e - e^1 \log 1)$। चूँकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$ है,इसलिए: $I = e^e(1) - e(0) = e^e$।

$\int_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}(1 + x\log x)\,dx} = $

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$\int {\frac{{(x + 3){e^x}}}{{{{(x + 4)}^2}}}\,dx} = \,$

यदि $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx = $

ज्ञात कीजिए : $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$

$\int \frac{e^{\sin x}(\sin 2x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx =$

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

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