Special types of matrices, Transpose of matrices and Trace of matrices Questions in Hindi

(N/A) चूंकि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
भाग $1$: मान लीजिए कि $AB$ सममित है।
तब $(AB)^{\prime} = AB$ होगा।
परिवर्तित आव्यूह के गुण $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ का उपयोग करने पर,हमें $B^{\prime}A^{\prime} = AB$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है,यह दर्शाता है कि $BA = AB$ है।
भाग $2$: विलोमतः,मान लीजिए कि $AB = BA$ है।
हमें यह दिखाना है कि $AB$ सममित है,अर्थात $(AB)^{\prime} = AB$ है।
$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ होता है।
चूंकि $A$ और $B$ सममित हैं,इसलिए $B^{\prime}A^{\prime} = BA$ होगा।
दिया गया है कि $BA = AB$,इसलिए $(AB)^{\prime} = AB$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB$ एक सममित आव्यूह है।

(N/A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए:
$A' = A$ और $B' = B$ ........ $(1)$
हमें $(AB - BA)$ के परिवर्त आव्यूह की जाँच करनी है:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'$
$= B'A' - A'B'$
$= BA - AB$ (समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर)
$= -(AB - BA)$
चूँकि $(AB - BA)' = -(AB - BA)$,अतः यह सिद्ध होता है कि $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(A) मान लीजिए कि $A$ एक सममित आव्यूह है,तो $A^{\prime} = A$ ......... $(1)$
विचार कीजिए
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime}$
$= (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$ $[(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}]$
$= B^{\prime}A^{\prime}(B)$ $[(B^{\prime})^{\prime} = B]$
$= B^{\prime}(A^{\prime}B)$
$= B^{\prime}(AB)$ $[$ $(1)$ का उपयोग करने पर $]$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}AB$
अतः,यदि $A$ सममित आव्यूह है,तो $B^{\prime}AB$ एक सममित आव्यूह है।
अब,मान लीजिए कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,तो $A^{\prime} = -A$ ......... $(2)$
विचार कीजिए
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime} = (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$
$= (B^{\prime}A^{\prime})B$
$= B^{\prime}(-A)B$ $[$ $(2)$ का उपयोग करने पर $]$
$= -B^{\prime}AB$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = -B^{\prime}AB$
अतः,यदि $A$ विषम-सममित आव्यूह है,तो $B^{\prime}AB$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अतः,आव्यूह $B^{\prime}AB$ सममित या विषम-सममित है,यदि $A$ क्रमशः सममित या विषम-सममित है।

(C) यदि $A$ एक सममित और विषम-सममित आव्यूह दोनों है,तो परिभाषा के अनुसार हमारे पास $A^{\prime} = A$ और $A^{\prime} = -A$ है।
$A^{\prime}$ के लिए इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $A = -A$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $A$ जोड़ने पर,हमें $A + A = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2A = 0$ हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $A = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ एक शून्य आव्यूह होना चाहिए।
इसलिए,सही उत्तर $C$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5A = \begin{bmatrix} 1+4 & 2-2 & 0+10 \\ 6+4 & -3-2 & 3+12 \\ -5+0 & 3+2 & 1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
अब,$(2)$ से,$B = 2A - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$:
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{Tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$\operatorname{Tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{Tr}(A) - \operatorname{Tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ और $AA^{T} = I_{2}$ है।
सबसे पहले,परिवर्त आव्यूह $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,गुणनफल $AA^{T}$ की गणना करें:
$AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + \alpha^{2} & \alpha - \alpha\beta \\ \alpha - \alpha\beta & \alpha^{2} + \beta^{2} \end{bmatrix}$.
चूंकि $AA^{T} = I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1 + \alpha^{2} = 1 \Rightarrow \alpha^{2} = 0 \Rightarrow \alpha = 0$.
$\alpha - \alpha\beta = 0 \Rightarrow 0 - 0\beta = 0$ (जो हमेशा सत्य है)।
$\alpha^{2} + \beta^{2} = 1 \Rightarrow 0 + \beta^{2} = 1 \Rightarrow \beta^{2} = 1$.
हमें $\alpha^{4} + \beta^{4}$ का मान ज्ञात करना है:
$\alpha^{4} + \beta^{4} = (0)^{2} + (1)^{2} = 0 + 1 = 1$.

(A) दिया गया है,$A^T = A$,$B^T = -B$,$C^T = -C$.
$(S1)$ के लिए,मान लीजिए $M = A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}$.
तब,$M^T = (A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13})^T = (B^{26})^T (A^{13})^T - (A^{13})^T (B^{26})^T$.
चूंकि $B^T = -B$,$(B^T)^{26} = (-B)^{26} = B^{26}$.
अतः,$M^T = B^{26} A^{13} - A^{13} B^{26} = -(A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}) = -M$.
इस प्रकार,$M$ विषम-सममित है। $(S1)$ असत्य है।
$(S2)$ के लिए,मान लीजिए $N = A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26}$.
तब,$N^T = (A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26})^T = (C^{13})^T (A^{26})^T - (A^{26})^T (C^{13})^T$.
चूंकि $C^T = -C$,$(C^T)^{13} = (-C)^{13} = -C^{13}$.
अतः,$N^T = (-C^{13}) A^{26} - A^{26} (-C^{13}) = -C^{13} A^{26} + A^{26} C^{13} = N$.
इस प्रकार,$N$ सममित है। $(S2)$ सत्य है।
इसलिए,केवल $S2$ सत्य है।

(D) दिया गया समीकरण $P^{\top} = 2P + I$ है।
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$(P^{\top})^{\top} = (2P + I)^{\top}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(P^{\top})^{\top} = P$,इसलिए $P = 2P^{\top} + I$ है।
इस समीकरण में $P^{\top} = 2P + I$ का मान रखने पर:
$P = 2(2P + I) + I$.
$P = 4P + 2I + I$.
$P = 4P + 3I$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3P = -3I$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $P = -I$ है।
अतः,किसी भी स्तंभ आव्यूह $X \neq 0$ के लिए,$PX = (-I)X = -X$ होता है।

(D) दिया गया है कि $X$ और $Y$ विषम-सममित हैं,इसलिए $X^T = -X$ और $Y^T = -Y$। दिया गया है कि $Z$ सममित है,इसलिए $Z^T = Z$।
$(A)$ के लिए: $(Y^3 Z^4 - Z^4 Y^3)^T = (Z^4)^T (Y^3)^T - (Y^3)^T (Z^4)^T = Z^4 (-Y)^3 - (-Y)^3 Z^4 = -Z^4 Y^3 + Y^3 Z^4 = Y^3 Z^4 - Z^4 Y^3$। यह सममित है।
$(B)$ के लिए: $(X^{44} + Y^{44})^T = (X^{44})^T + (Y^{44})^T = (X^T)^{44} + (Y^T)^{44} = (-X)^{44} + (-Y)^{44} = X^{44} + Y^{44}$। यह सममित है।
$(C)$ के लिए: $(X^4 Z^3 - Z^3 X^4)^T = (Z^3)^T (X^4)^T - (X^4)^T (Z^3)^T = Z^3 (X^T)^4 - (X^T)^4 Z^3 = Z^3 X^4 - X^4 Z^3 = -(X^4 Z^3 - Z^3 X^4)$। यह विषम-सममित है।
$(D)$ के लिए: $(X^{23} + Y^{23})^T = (X^{23})^T + (Y^{23})^T = (X^T)^{23} + (Y^T)^{23} = (-X)^{23} + (-Y)^{23} = -(X^{23} + Y^{23})$। यह विषम-सममित है।
अतः,$(C)$ और $(D)$ विषम-सममित आव्यूह हैं।

(A) एक आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose),जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A'$ ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के तत्वों को पहले स्तंभ के साथ और दूसरी पंक्ति के तत्वों को दूसरे स्तंभ के साथ बदलते हैं।
अतः,$A' = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = -A$ और $B^{\prime} = -B$ है।
आव्यूह के गुणनफल के परिवर्त (transpose) के गुण का उपयोग करते हुए,$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ होता है।
$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(AB)^{\prime} = (-B)(-A)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^{\prime} = BA$।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है।
मान लीजिए आव्यूह $X = AB - BA$ है।
यह जांचने के लिए कि $X$ सममित है या विषम सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करते हैं:
$X^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$.
गुणधर्म $(PQ)^T = Q^T P^T$ का उपयोग करने पर:
$X^T = B^T A^T - A^T B^T$.
चूंकि $A^T = A$ और $B^T = B$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$X^T = BA - AB = -(AB - BA) = -X$.
चूंकि $X^T = -X$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
तब परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A + A^{\prime} = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{\prime}$ को जोड़ने पर:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha + \sin \alpha & -\cos \alpha + \cos \alpha \\ \cos \alpha - \cos \alpha & \sin \alpha + \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
इसे $I$ के बराबर रखने पर:
$\begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसका अर्थ है $2 \sin \alpha = 1$,अतः $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ के लिए $\alpha$ का मुख्य मान $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।

(B) एक आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो।
विषम-सममित आव्यूह के लिए,मुख्य विकर्ण के अवयव शून्य होने चाहिए,इसलिए $a = 0$।
साथ ही,सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = -A_{ji}$ की शर्त पूरी होनी चाहिए।
अवयवों की तुलना करने पर:
$A_{12} = 2$ और $A_{21} = b$,इसलिए $b = -2$।
$A_{13} = -3$ और $A_{31} = c$,इसलिए $c = -(-3) = 3$।
$A_{23} = 4$ और $A_{32} = -4$,जो $4 = -(-4)$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$a = 0$,$b = -2$,और $c = 3$।
योगफल ज्ञात करने पर: $a+b+c = 0 + (-2) + 3 = 1$।

(C) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A = A^T$ हो,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = A_{ji}$ हो।
दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 2x+3 \\ x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ के लिए,सममितता की शर्त $A_{12} = A_{21}$ है।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $2x + 3 = x - 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर,हमें $x + 3 = -2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $x = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का सही मान $-5$ है।

(B) $n$ क्रम के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,हमारे पास $A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$ और $|-A| = (-1)^n |A|$,इसलिए $|A| = (-1)^n |A|$ होता है।
$3 \times 3$ आव्यूह के लिए,$n = 3$ है,इसलिए $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $2|A| = 0$,जिसका अर्थ है कि $|A| = 0$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$A = \frac{A + A^{\prime}}{2} + \frac{A - A^{\prime}}{2}$.
यहाँ,$\frac{A + A^{\prime}}{2}$ एक सममित आव्यूह है और $\frac{A - A^{\prime}}{2}$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
दिया गया है $A = B + \frac{C}{2}$,जहाँ $B$ विषम-सममित है और $C$ सममित है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं $B = \frac{A - A^{\prime}}{2}$ और $\frac{C}{2} = \frac{A + A^{\prime}}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $C = A + A^{\prime}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $ A = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
$ A $ का परिवर्त आव्यूह $ A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $ है।
$ A $ और $ A^{T} $ को जोड़ने पर:
$ A+A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta + \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta + \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta - \sin 2 \theta & \cos 2 \theta + \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cos 2 \theta & 0 \\ 0 & 2 \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
इसे $ (2 \cos 2 \theta) I $ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $ I $ इकाई आव्यूह है।
दिया गया है कि $ A+A^{T} = I $,इसलिए $ (2 \cos 2 \theta) I = I $.
अवयवों की तुलना करने पर,$ 2 \cos 2 \theta = 1 $ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ \cos 2 \theta = \frac{1}{2} $.
चूँकि $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $,इसलिए $ 2 \theta = \frac{\pi}{3} $,जिससे $ \theta = \frac{\pi}{6} $ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $ A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $.
अतः $ A $ का परिवर्त आव्यूह $ A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $ है।
अब,गुणनफल $ A A^{\prime} $ की गणना करने पर:
$ A A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} $
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ का उपयोग करने पर:
$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $.

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $A \cdot A^{\prime}$ की गणना करते हैं:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} (\cos \theta)(\cos \theta) + (\sin \theta)(\sin \theta) & (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) \\ (-\sin \theta)(\cos \theta) + (\cos \theta)(\sin \theta) & (-\sin \theta)(-\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta & -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
अतः,$A \cdot A^{\prime} = I$,जो कि एक तत्समक आव्यूह है।

(D) दिया गया है,$A^T = -A$.
माना $P = A^{2021}$.
तब,$P^T = (A^{2021})^T = (A^T)^{2021}$.
$A^T = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $P^T = (-A)^{2021} = (-1)^{2021} A^{2021}$.
चूंकि $2021$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2021} = -1$.
अतः,$P^T = -A^{2021} = -P$.
चूंकि $P^T = -P$,इसलिए $A^{2021}$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया है कि $P$ और $Q$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ है।
$PQ - QP$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका परिवर्त (transpose) लेते हैं:
$(PQ - QP)^{\prime} = (PQ)^{\prime} - (QP)^{\prime}$
गुणधर्म $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(PQ - QP)^{\prime} = Q^{\prime}P^{\prime} - P^{\prime}Q^{\prime}$
चूंकि $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ है,यह हो जाता है:
$(PQ - QP)^{\prime} = QP - PQ$
$(PQ - QP)^{\prime} = -(PQ - QP)$
चूंकि आव्यूह का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $PQ - QP$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(D) दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{\prime} = -B$ है।
यह जांचने के लिए कि $A^{\prime} B A$ सममित है या विषम-सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह लेते हैं:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} (A^{\prime})^{\prime}$
गुणधर्म $(XYZ)^{\prime} = Z^{\prime} Y^{\prime} X^{\prime}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} A$
चूंकि $B^{\prime} = -B$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} (-B) A = -(A^{\prime} B A)$
चूंकि आव्यूह $A^{\prime} B A$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक मान के बराबर है,इसलिए $A^{\prime} B A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(C) आव्यूह $A$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
चूंकि $A^2 = O$ (शून्य आव्यूह),इसलिए आव्यूह $A$ एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$AA^T$ की गणना करें:
$AA^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A + A^T$ की गणना करें:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -1-2 & 2+4 \\ -2-1 & 3+3 & -3-4 \\ 4+2 & -4-3 & 5+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix}$.
अंत में,$AA^T - (A + A^T)$ की गणना करें:
$\begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 12 \\ -8 & 16 & -28 \\ 12 & -28 & 47 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$.
हमें $\operatorname{Tr}(A^2-A)$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$A-I$ की गणना करें:
$A-I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
अब,$A(A-I)$ की गणना करें:
$A^2-A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
परिणामी आव्यूह के विकर्ण अवयव इस प्रकार हैं:
$d_{11} = (1)(0) + (1)(1) + (3)(2) = 0 + 1 + 6 = 7$.
$d_{22} = (1)(1) + (7)(6) + (9)(3) = 1 + 42 + 27 = 70$.
$d_{33} = (2)(3) + (3)(9) + (7)(6) = 6 + 27 + 42 = 75$.
ट्रेस विकर्ण अवयवों का योग है:
$\operatorname{Tr}(A^2-A) = 7 + 70 + 75 = 152$.

(A) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस उसके मुख्य विकर्ण तत्वों के योग के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 7 \\ 0 & 7 & 9 \\ 11 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ है।
विकर्ण तत्व $a_{11} = 1$,$a_{22} = 7$,और $a_{33} = 9$ हैं।
ट्रेस $tr(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ होता है।
$tr(A) = 1 + 7 + 9 = 17$।
अतः,आव्यूह का ट्रेस $17$ है।

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $A A^T$ की गणना करते हैं:
$A A^T = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} (9+9+16) & (6+9+16) & (0+3+4) \\ (6+9+16) & (4+9+16) & (0+3+4) \\ (0+3+4) & (0+3+4) & (0+1+1) \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} 34 & 31 & 7 \\ 31 & 29 & 7 \\ 7 & 7 & 2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $(A A^T)^T = A A^T$ है,इसलिए आव्यूह $A A^T$ एक सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{T} = A$ और $B^{T} = B$ है।
हमें $X = AB + BA$ और $Y = AB - BA$ दिया गया है।
हमें $(XY)^{T}$ ज्ञात करना है।
परिवर्तित आव्यूह के गुणधर्म $(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$ का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$X^{T}$ और $Y^{T}$ ज्ञात करते हैं:
$X^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = BA + AB = X$।
$Y^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = BA - AB = -(AB - BA) = -Y$।
अब,$(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$।
$Y^{T}$ और $X^{T}$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(XY)^{T} = (-Y)(X) = -YX$।

(C) दिया गया है,$\left(A^T-\frac{1}{2} I\right)\left(A-\frac{1}{2} I\right) = \left(A^T+\frac{1}{2} I\right)\left(A+\frac{1}{2} I\right) = I$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$A^T A - \frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I = A^T A + \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I$.
दोनों पक्षों से $A^T A + \frac{1}{4} I$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$0 = A^T + A$.
अतः,$A^T = -A$.
यह विषम-सममित आव्यूह के लिए शर्त है। इसलिए,$A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$।
$A^{2n}$ के लिए:
$(A^{2n})^T = (A^T)^{2n} = (-A)^{2n} = (-1)^{2n} A^{2n} = A^{2n}$।
चूँकि $(A^{2n})^T = A^{2n}$,इसलिए $A^{2n}$ एक सममित आव्यूह है। अतः,कथन $1$ असत्य है।
$A^{2n+1}$ के लिए:
$(A^{2n+1})^T = (A^T)^{2n+1} = (-A)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} A^{2n+1} = -A^{2n+1}$।
चूँकि $(A^{2n+1})^T = -A^{2n+1}$,इसलिए $A^{2n+1}$ एक विषम-सममित आव्यूह है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित आव्यूह $B$ और एक विषम-सममित आव्यूह $C$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ और $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$.
$C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & -0.5 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $-AB + BA = 0$,अर्थात $AB = BA$ है।
$AB$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2 & y+4 \\ 2x+1 & 2y+2 \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y & 2x+y \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$।
दोनों आव्यूहों की तुलना करने पर:
$2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$।
$2y+2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$।
दिया गया है कि $C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & y \end{bmatrix}$,इसलिए $C$ का ट्रेस उसके विकर्ण तत्वों का योग है: $\operatorname{Trace}(C) = x + y = 2 + 1 = 3$।

(A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$।
सबसे पहले,परिवर्त आव्यूह $A^T$ ज्ञात करें:
$A^T=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right]$।
अब,$(A+A^T)$ की गणना करें:
$A+A^T=\left[\begin{array}{lll}1+1 & 2+4 & 3+3 \\ 4+2 & 3+3 & 2+4 \\ 3+3 & 4+2 & 5+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]$।
इसके बाद,$(A-A^T)$ की गणना करें:
$A-A^T=\left[\begin{array}{lll}1-1 & 2-4 & 3-3 \\ 4-2 & 3-3 & 2-4 \\ 3-3 & 4-2 & 5-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$।
अंत में,दोनों आव्यूहों का गुणा करें:
$(A+A^T)(A-A^T)=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}0+12+0 & -4+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+20 & 0-12+0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}12 & 8 & -12 \\ 12 & 0 & -12 \\ 12 & 8 & -12\end{array}\right] = 4\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -3\end{array}\right]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $P$ के लिए,उसके परिवर्त आव्यूह का ट्रेस स्वयं आव्यूह के ट्रेस के बराबर होता है,अर्थात $\operatorname{Tr}(P) = \operatorname{Tr}(P^T)$।
साथ ही,$\operatorname{Tr}(P - P^T) = \operatorname{Tr}(P) - \operatorname{Tr}(P^T) = 0$ और $\operatorname{Tr}(P + P^T) = \operatorname{Tr}(P) + \operatorname{Tr}(P^T) = 2\operatorname{Tr}(P)$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$0 + 2\operatorname{Tr}(P) + \frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} + \operatorname{Tr}(P) \times \operatorname{Tr}(P) = 0$
चूंकि $\operatorname{Tr}(P) \neq 0$,इसलिए $\frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} = 1$।
अतः,समीकरण इस प्रकार बनता है: $2\operatorname{Tr}(P) + 1 + (\operatorname{Tr}(P))^2 = 0$।
यह $\operatorname{Tr}(P)$ के संदर्भ में एक द्विघात समीकरण है:
$(\operatorname{Tr}(P))^2 + 2\operatorname{Tr}(P) + 1 = 0$
$(\operatorname{Tr}(P) + 1)^2 = 0$
$\operatorname{Tr}(P) = -1$।

(B) दिया गया है कि $A+B$ सममित है,इसलिए $(A+B)^T = A+B \Rightarrow A^T+B^T = A+B$.
दिया गया है कि $A-B$ विषम-सममित है,इसलिए $(A-B)^T = -(A-B) \Rightarrow A^T-B^T = -A+B$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2A^T = 2B \Rightarrow B = A^T$.
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2B^T = 2A \Rightarrow B^T = A$.
चूंकि $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \\ 3 & -4 & 5\end{array}\right]$,इसलिए $B = A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right]$ है।
दिया गया है $D = C^T$,और $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$,इसलिए $D = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अब,$B+D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right]$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $A'$ ज्ञात करें:
$A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
अब,गुणनफल $AA'$ की गणना करें:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+4+9) & (4+10+18) & (7+16+27) \\ (4+10+18) & (16+25+36) & (28+40+54) \\ (7+16+27) & (28+40+54) & (49+64+81) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि किसी भी आव्यूह $B$ के लिए,$(B')' = B$ होता है। चूंकि $AA'$ एक सममित आव्यूह है (क्योंकि $(AA')' = (A')'A' = AA'$),इसलिए $(AA')' = AA'$.
अतः,$(AA')' = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.

(B) चूंकि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
मान लीजिए $P = AB - BA$ है।
$P$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$P^{\prime} = (AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
$(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$P^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P^{\prime} = BA - AB = -(AB - BA) = -P$।
चूंकि $P^{\prime} = -P$ है,इसलिए $AB - BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(C) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A = A^T$,जहाँ $A^T$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & x-1 \\ 2x+3 & x+2 \end{bmatrix}$.
परिवर्त $A^T$ पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है: $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2x+3 \\ x-1 & x+2 \end{bmatrix}$.
चूँकि $A = A^T$,हम संगत अवयवों की तुलना करते हैं:
$x-1 = 2x+3$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $-1 = x+3$.
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $x = -4$.
अतः,$x$ का मान $-4$ है।

(A) एक आव्यूह $M$ सममित होता है यदि $M^{T} = M$ हो।
माना आव्यूह $M = A + A^{T}$ है।
$M$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें $M^{T} = (A + A^{T})^{T}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(X + Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}$ का उपयोग करने पर,$M^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(A^{T})^{T} = A$,इसलिए $M^{T} = A^{T} + A = A + A^{T} = M$।
चूंकि $M^{T} = M$ है,इसलिए आव्यूह $A + A^{T}$ सममित है।

(B) एक आव्यूह $A$ के लांबिक होने के लिए,इसकी पंक्तियाँ परस्पर लांबिक इकाई सदिश होनी चाहिए। मान लीजिए पंक्तियाँ $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$ हैं।
$1$. $\vec{r}_1 = (0, a, a)$ के लिए,$|\vec{r}_1|^2 = 0^2 + a^2 + a^2 = 2a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $\vec{r}_2 = (2b, b, -b)$ के लिए,$|\vec{r}_2|^2 = (2b)^2 + b^2 + (-b)^2 = 4b^2 + b^2 + b^2 = 6b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$3$. $\vec{r}_3 = (c, -c, c)$ के लिए,$|\vec{r}_3|^2 = c^2 + (-c)^2 + c^2 = 3c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
लांबिकता की जाँच करने पर: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0(2b) + a(b) + a(-b) = ab - ab = 0$.
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_3 = 0(c) + a(-c) + a(c) = -ac + ac = 0$.
$\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3 = 2b(c) + b(-c) + (-b)(c) = 2bc - bc - bc = 0$.
अतः,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।