Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3-\lambda) [(3-\lambda)^2 - 9] = 0$.
$(3-\lambda) [9 + \lambda^2 - 6\lambda - 9] = 0$.
$(3-\lambda) (\lambda^2 - 6\lambda) = 0$.
$(3-\lambda) \lambda (\lambda - 6) = 0$.
अतः,मूल $\lambda = 0, 3, 6$ हैं।

(A) दिया गया है कि $AB = B$ और $BA = A$ है।
हमें $A^{2} + B^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $A^{2} = A \cdot A$,$A = BA$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A^{2} = A(BA) = (AB)A$ प्राप्त होता है।
$AB = B$ का उपयोग करने पर,हमें $A^{2} = BA = A$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$B^{2} = B \cdot B$,$B = AB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B^{2} = B(AB) = (BA)B$ प्राप्त होता है।
$BA = A$ का उपयोग करने पर,हमें $B^{2} = AB = B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A^{2} + B^{2} = A + B$।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ है।
यह एक घूर्णन आव्यूह (rotation matrix) $R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = R_{n\theta} = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ होता है।
हमें $A^n = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\cos(n\theta) = 1$ और $\sin(n\theta) = 0$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $n\theta = 2k\pi$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,हमें $n \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 8k$ है।
न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k = 1$ रखने पर,हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $B = PAP^{-1}$,जिसे हम $BP = PA$ के रूप में लिख सकते हैं।
आव्यूहों का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
गुणा करने पर:
बायां पक्ष: $\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
दायां पक्ष: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ और $y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 1$ और $y = 1$।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\top} = -A$ और $B^{\top} = -B$ है।
दिया गया है कि $AB = BA$ है।
हमें व्यंजक $E = A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ का मान ज्ञात करना है।
$A^{\top} = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = A^{2} B^{2} (-AB)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$ और $(XY)^{\top} = Y^{\top} X^{\top}$ का उपयोग करने पर:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) ((B^{-1})^{\top} A^{\top})$।
चूंकि $(B^{-1})^{\top} = (B^{\top})^{-1} = (-B)^{-1} = -B^{-1}$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (-B^{-1} (-A))$।
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (B^{-1} A)$।
चूंकि $AB = BA$ है,इसलिए $A^{-1} B = B A^{-1}$ और $A B^{-1} = B^{-1} A$ होता है।
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1} B^{-1} A)$।
$E = -A^{2} B^{2} B^{-1} A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} B (B B^{-1}) A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} B (I) A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} (B A^{-1}) B^{-1} A$।
चूंकि $B A^{-1} = A^{-1} B$ है:
$E = -A^{2} A^{-1} B B^{-1} A$।
$E = -A (I) (I) A = -A^{2}$।

(C) आव्यूह $M_r$ का सारणिक इस प्रकार है: $\det(M_r) = r(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r-1)^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\det(M_r) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
हमें योग ज्ञात करना है: $\sum_{r=1}^{2008} \det(M_r) = \sum_{r=1}^{2008} (2r - 1)$.
यह प्रथम $2008$ विषम संख्याओं का योग है,जो सूत्र $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2008$ के लिए,योग $(2008)^2$ है।

(A) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array}\right|$ है।
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array}\right| \times \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|$.
दोनों सारणिक वेंडरमोंड सारणिक हैं,इसलिए $D = \{(1-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-1)\}^2 = (1-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2(\beta-1)^2$.
चूँकि $\alpha+\beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$,इसलिए $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2-4ac)/a^2$.
साथ ही,$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta = 1 + b/a + c/a = (a+b+c)/a$.
अतः,$D = \{(1-\alpha)(1-\beta)\}^2 (\alpha-\beta)^2 = \left(\frac{a+b+c}{a}\right)^2 \left(\frac{b^2-4ac}{a^2}\right) = (b^2-4ac) \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $k = b^2-4ac$ प्राप्त होता है।

(C) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \cos t-\lambda & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1-\lambda) [(\cos t - \lambda)^2 - (-\sin^2 t)] = 0$.
$(1-\lambda) [\cos^2 t - 2\lambda \cos t + \lambda^2 + \sin^2 t] = 0$.
चूंकि $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,हमारे पास है:
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda \cos t + 1] = 0$.
इसका विस्तार करने पर:
$-\lambda^3 + \lambda^2(1 + 2\cos t) - \lambda(2\cos t + 1) + 1 = 0$.
त्रिघात समीकरण $a\lambda^3 + b\lambda^2 + c\lambda + d = 0$ के मूलों का योग $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -b/a$ होता है।
यहाँ,$\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -\frac{1 + 2\cos t}{-1} = 1 + 2\cos t$.
दिया गया है कि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$,इसलिए:
$1 + 2\cos t = 1 + \sqrt{2} \Rightarrow 2\cos t = \sqrt{2} \Rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$-\pi \leq t < \pi$ के लिए,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $t$ के मान $t = \frac{\pi}{4}$ और $t = -\frac{\pi}{4}$ हैं।

(A) सबसे पहले,$A$ का मान ज्ञात करें:
$A = -1(1 - (-12)) - 7(2 - (-9)) + 0 = -1(13) - 7(11) = -13 - 77 = -90$.
अब,मान लीजिए $B = \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 5 \\ -7 & -1 & 25 \\ -21 & -3 & -15\end{array}\right|$.
$C_3$ से $5$ और $R_3$ से $3$ कॉमन लेने पर:
$B = 5 \times 3 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -7 & -1 & -1\end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right|$ ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ का उपयोग करते हुए)।
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$B = 15 \times (-6) \left|\begin{array}{cc}13 & -11 \\ -7 & -1\end{array}\right| = -90 \times (-13 - 77) = -90 \times (-90) = 8100$.
चूंकि $A = -90$,इसलिए $A^2 = (-90)^2 = 8100$.
अतः,$B = A^2$.

(C) हमें दिया गया है,$a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9} = e^{\frac{2 r \pi i}{9}}$.
अब,सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} e^{\frac{2 \pi i}{9}} & e^{\frac{4 \pi i}{9}} & e^{\frac{6 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{8 \pi i}{9}} & e^{\frac{10 \pi i}{9}} & e^{\frac{12 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{14 \pi i}{9}} & e^{\frac{16 \pi i}{9}} & e^{\frac{18 \pi i}{9}} \end{array}\right|$ है।
यहाँ ध्यान दें कि पंक्ति $R_{2}$ और पंक्ति $R_{1}$ के संगत अवयवों का अनुपात $e^{\frac{6 \pi i}{9}} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ है।
विशेष रूप से,$a_{4} = a_{1} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,$a_{5} = a_{2} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,और $a_{6} = a_{3} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$.
चूंकि पंक्ति $R_{2}$,पंक्ति $R_{1}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(A) बहुपद $f(x)$ का अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
सारणिक में $x = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} (1+0)^{a} & (2+0)^{b} & 1 \\ 1 & (1+0)^{a} & (2+0)^{b} \\ (2+0)^{b} & 1 & (1+0)^{a} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2^{b} & 1 \\ 1 & 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 & 1 \end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(0) = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 1 & 1 \end{array}\right| - 2^{b} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ सारणिकों की गणना करने पर:
$f(0) = 1(1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - (2^{b})^{2}) + 1(1 - 2^{b})$.
$f(0) = (1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - 2^{2b}) + (1 - 2^{b})$.
$f(0) = 1 - 2^{b} - 2^{b} + 2^{3b} + 1 - 2^{b}$.
$f(0) = 2 - 3 \cdot 2^{b} + 2^{3b}$.

(C) दिया गया सारणिक $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1 \end{array}\right|$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(\theta) = 1(1 - (-\tan^2 \theta)) - \tan \theta(-\tan \theta - (-\tan \theta)) + 1(\tan^2 \theta - (-1))$
$f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(0) + 1(\tan^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = (1 + \tan^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$.
चूंकि $\theta \in [0, \pi/2)$,इसलिए $\tan \theta \in [0, \infty)$,जिससे $\sec^2 \theta \in [1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(\theta) = 2 \sec^2 \theta \in [2, \infty)$ है।

(A) एक आव्यूह $A$ हर्मिटी (Hermitian) होता है यदि $A = \bar{A}^T$ हो। आइए दिए गए आव्यूह $z$ की जाँच करें।
$z$ का परिवर्त आव्यूह $z^T = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ है।
$z$ का संयुग्मी आव्यूह $\bar{z} = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $z^T = \bar{z}$,इसलिए आव्यूह $z$ एक हर्मिटी आव्यूह है।
किसी भी हर्मिटी आव्यूह के लिए,उसका सारणिक हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
मान लीजिए $D = \det(z)$। चूँकि $D$ वास्तविक है,इसलिए $D = \bar{D}$।
अतः,$z$ (सारणिक के मान के रूप में) शुद्ध वास्तविक है।

(D) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$ है।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega^2 = -\omega$.
यह मान रखने पर,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & -\omega & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1-\omega & \omega^2 \\ 1-i & -i & \omega^2-1 \\ -i & -1 & -1\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है कि इसका मान $0$ है।

(A) चूंकि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं,हमारे पास $AA^{\top} = I$ और $BB^{\top} = I$ है।
दोनों तरफ सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(A^{\top}) = 1$ और $\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(B^{\top}) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{det}(A^{\top}) = \operatorname{det}(A)$,हमारे पास $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$ और $(\operatorname{det}(B))^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है $\operatorname{det}(A) = \pm 1$ और $\operatorname{det}(B) = \pm 1$।
दिया गया है $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$।
अब,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{-1}B))$ पर विचार करें।
चूंकि $A$ ऑर्थोगोनल है,$A^{-1} = A^{\top}$। इसलिए,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{\top}B))$।
हम $A+B = A(I + A^{\top}B) = A(B^{\top}B + A^{\top}B) = A(B^{\top} + A^{\top})B$ लिख सकते हैं।
सारणिक लेने पर: $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B^{\top} + A^{\top}) \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) \operatorname{det}((A+B)^{\top})$।
चूंकि $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$,हमारे पास $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = -(\operatorname{det}(B))^2 = -1$ है।
इस प्रकार,$\operatorname{det}(A+B) = -1 \cdot \operatorname{det}(A+B)$।
इसका अर्थ है $2 \operatorname{det}(A+B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A+B) = 0$।
अतः,$A+B$ एक सिंगुलर आव्यूह है।

(B) माना सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ है।
चूंकि प्रत्येक अवयव $0$ या $1$ हो सकता है,इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित सारणिक हैं।
यदि $ad = bc$ हो तो सारणिक शून्य होता है।
स्थिति $1$: $ad = 0$ और $bc = 0$।
$ad=0$ के लिए,$(a,d)$ के जोड़े $(0,0), (0,1), (1,0)$ हो सकते हैं,जो $3$ संभावनाएं हैं।
इसी प्रकार,$bc=0$ के लिए $3$ संभावनाएं हैं।
$ad=bc=0$ के लिए कुल स्थितियां $3 \times 3 = 9$ हैं।
स्थिति $2$: $ad = 1$ और $bc = 1$।
यह केवल तभी होता है जब $a=1, d=1$ और $b=1, c=1$ हो,जो $1$ संभावना है।
कुल स्थितियां जहाँ $\Delta = 0$ है,$9 + 1 = 10$ हैं।
कुल स्थितियां जहाँ $\Delta \neq 0$ है,$16 - 10 = 6$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$। हम $A = I + M$ लिख सकते हैं,जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$M^2$ की गणना करने पर: $M^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 & -8+8 \\ 2-2 & -4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।
चूंकि $M^2 = O$,इसलिए सभी $k \geq 2$ के लिए $M^k = O$ होगा।
आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $A^{100} = (I + M)^{100} = I^{100} + \binom{100}{1} I^{99} M + \binom{100}{2} I^{98} M^2 + \dots = I + 100M$।
दिया गया है कि $A^{100} = 100B + I$,इसलिए $I + 100M = 100B + I$,जिसका अर्थ है कि $B = M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$।
चूंकि $B^2 = M^2 = O$,इसलिए $B^{100} = O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
$B^{100}$ के सभी अवयवों का योग $0 + 0 + 0 + 0 = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है।
$A + C = I$ से,हमें $A = I - C$ प्राप्त होता है।
इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = (I + (I - C))^{-1} = (2I - C)^{-1}$।
इसका अर्थ है कि $B(2I - C) = I$,इसलिए $2B - BC = I$।
इसी प्रकार,$(2I - C)B = I$,इसलिए $2B - CB = I$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$2B - BC = 2B - CB$,जो दर्शाता है कि $BC = CB$ है।
दिया गया है कि $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $CB = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
हमें $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ को हल करना है।
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|M| = (1)(2) - (-5)(-1) = 2 - 5 = -3$ है।
व्युत्क्रम आव्यूह $M^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 24 - 30 \\ 12 - 6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,$x_1 = 2$ और $x_2 = -2$ है।
अतः,$x_1 + x_2 = 2 + (-2) = 0$।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$ है।
तब $A^{T}A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 & \dots \\ \dots & b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \end{bmatrix}$ है।
विकर्ण अवयवों का योग $\text{Tr}(A^{T}A) = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 5$ है।
हमें $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ से $6$ अवयव इस प्रकार चुनने हैं कि उनके वर्गों का योग $5$ हो।
वर्गों के संभावित संयोजन:
$1) \{1, 1, 1, 1, 1, 0\}$: तरीकों की संख्या $\frac{6!}{5!} \times 2^5 = 6 \times 32 = 192$ है।
$2) \{4, 1, 0, 0, 0, 0\}$: तरीकों की संख्या $\frac{6!}{4!} \times 2^2 = 30 \times 4 = 120$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $192 + 120 = 312$।

(C) सबसे पहले,हम $A^n$ का सामान्य रूप ज्ञात करते हैं। दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$,जिससे $A^2 = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$A^n = \begin{bmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & -2n+1 \end{bmatrix}$ होता है।
$n=15$ के लिए,$A^{15} = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A^{15}+B = \begin{bmatrix} 31 & -60 \\ 15 & -29 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -29 & 49 \\ -13 & 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix}$।
समीकरण $(A^{15}+B)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ का रूप $\begin{bmatrix} 2 & -11 \\ 2 & -11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ हो जाता है।
इससे $2x - 11y = 0$ या $2x = 11y$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=11$ और $y=2$ के लिए $2(11) = 22$ और $11(2) = 22$ होता है। अतः,$x=11, y=2$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$। यहाँ $A^T = -A$ है,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
समीकरण $B(I - A) = I + A$ से,$B = (I + A)(I - A)^{-1}$ प्राप्त होता है।
तब $B^T = ((I + A)(I - A)^{-1})^T = ((I - A)^{-1})^T (I + A)^T = (I - A^T)^{-1} (I + A^T)$।
चूँकि $A^T = -A$,इसलिए $B^T = (I - (-A))^{-1} (I + (-A)) = (I + A)^{-1} (I - A)$।
अब,$B^T B = (I + A)^{-1} (I - A) (I + A) (I - A)^{-1}$।
चूँकि $A$ विषम-सममित है,$(I - A)$ और $(I + A)$ क्रमविनिमेय हैं,अर्थात $(I - A)(I + A) = I^2 - A^2 = (I + A)(I - A)$।
अतः,$B^T B = (I + A)^{-1} (I + A) (I - A) (I - A)^{-1} = I \cdot I = I$।
आव्यूह $B^T B$ एक तत्समक आव्यूह $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) दिया गया है $|A|=6$ और $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|adj(k A)| = k^{n-1} |adj(A)|$ और $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$adj(2A) = 2^{3-1} adj(A) = 4 adj(A)$।
तब,$A^2 \cdot adj(2A) = A^2 \cdot 4 adj(A) = 4 A (A \cdot adj(A)) = 4 A |A| I_3 = 4 \cdot 6 \cdot A = 24A$।
अब,$3 adj(24A) = 3 \cdot 24^{3-1} adj(A) = 3 \cdot 24^2 adj(A) = 3 \cdot (2^3 \cdot 3)^2 adj(A) = 3 \cdot 2^6 \cdot 3^2 adj(A) = 2^6 \cdot 3^3 adj(A)$।
माना $K = 2^6 \cdot 3^3$ है। तो हमें $|adj(K adj(A))|$ ज्ञात करना है।
$3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए $|adj(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ का उपयोग करते हुए:
$|adj(K adj(A))| = |K adj(A)|^2 = K^6 |adj(A)|^2 = K^6 (|A|^{3-1})^2 = K^6 |A|^4$।
$K = 2^6 \cdot 3^3$ और $|A|=6 = 2^1 \cdot 3^1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|adj(K adj(A))| = (2^6 \cdot 3^3)^6 \cdot (2^1 \cdot 3^1)^4 = (2^{36} \cdot 3^{18}) \cdot (2^4 \cdot 3^4) = 2^{40} \cdot 3^{22}$।
अतः,$m=40$ और $n=22$ है।
इसलिए,$m+n = 40+22 = 62$।

(A) कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $\cos \alpha = x, \cos \beta = y, \cos \gamma = z$ है।
दिया गया समीकरण $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ x & 1 & z \\ y & z & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ x & 0 & z \\ y & z & 0 \end{vmatrix}$ है।
बाएँ सारणिक का विस्तार: $1(1-z^2) - x(x-yz) + y(xz-y) = 1 - z^2 - x^2 + xyz + xyz - y^2 = 1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz$ है।
दाएँ सारणिक का विस्तार: $0(0-z^2) - x(0-yz) + y(xz-0) = xyz + xyz = 2xyz$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $1 - (x^2+y^2+z^2) + 2xyz = 2xyz \implies x^2+y^2+z^2 = 1$ है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \neq \frac{3}{2}$ है। कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $f(x) = \begin{vmatrix} x^{2}+x & x+1 & x-2 \\ 2x^{2}+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^{2}+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = px+q$ है।
$x=0$ रखने पर: $q = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0(0-3) - 1(1+9) - 2(1-0) = -10 - 2 = -12$ है।
$x=1$ रखने पर: $p+q = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3-3) - 2(4-18) - 1(4-18) = 0 + 28 + 14 = 42$ है।
चूंकि $q = -12$ है,इसलिए $p - 12 = 42 \implies p = 54$ है।
$p^2 = 196q^2$ की जाँच करने पर: $54^2 = 2916$ और $196(-12)^2 = 196 \times 144 = 28224$ है।
चूंकि $2916 \neq 28224$ है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ है।
$|\begin{bmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 3 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (2-\lambda)(5-\lambda) - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 7A + I = 0$,इसलिए $A^2 = 7A - I$।
हमें $|A^{2023}(A^2 - 3A + I)|$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले $A^2 - 3A + I$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 3A + I = \begin{bmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = (2)(5) - (3)(3) = 10 - 9 = 1$।
अतः,$|A^{2023}(A^2 - 3A + I)| = |A|^{2023} \cdot |A^2 - 3A + I| = (1)^{2023} \cdot |\begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 12 & 20 \end{bmatrix}|$.
$= 1 \cdot (8 \times 20 - 12 \times 12) = 160 - 144 = 16$.

(B) दिया गया है $A^{2} - 4A + 2I = O$। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{2} - \text{Tr}(A)\lambda + \text{det}(A) = 0$ है। तुलना करने पर,$\text{Tr}(A) = 4 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$।
इसी प्रकार,$B^{2} - 3B + I = O$ के लिए,$\text{Tr}(B) = 3 \Rightarrow 1 + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 2$।
अब,$A^{2} = 4A - 2I$। तब $A^{3} = 4A^{2} - 2A = 4(4A - 2I) - 2A = 14A - 8I$।
$A^{3} = 14 \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & 28 \\ 14 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}$।
$B$ के लिए,$B^{2} = 3B - I$। तब $B^{3} = 3B^{2} - B = 3(3B - I) - B = 8B - 3I$।
$B^{3} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$।
$A^{3} - B^{3} = \begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 14 & 20 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$।
$\text{det}(A^{3} - B^{3}) = (15 \times 7) - (20 \times 6) = 105 - 120 = -15$।
$2 \times 2$ आव्यूह के लिए $\text{det}(\text{adj}(M)) = \text{det}(M)$ होता है,इसलिए $\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})) = -15$।
अतः,$(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2} = (-15)^{2} = 225$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A$ का ट्रेस (trace) ज्ञात करें: $\text{tr}(A) = 3 + 2 = 5$।
इसके बाद,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें: $|A| = (3)(2) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है: $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$।
मान रखने पर,हमें $A^2 - 5A + 14I = 0$ प्राप्त होता है।
$A^2$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A^2 = 5A - 14I$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
इनको घटाने पर,हमें $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 2-1 \\ 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब $A+I = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$\det(A+I) = 3(6-1) - 1(2-1) + 3(1-3) = 15 - 1 - 6 = 8$. पुनः गणना करने पर $\det(A+I) = 7$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\det(\text{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,$n=3$ के लिए,$\det(\text{adj}(A^2+A)) = (\det(A^2+A))^2 = (\det A \cdot \det(A+I))^2 = (1 \cdot 7)^2 = 49$।

(C) सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $\det(A) = 1(14 - 64) - 2(-28 - 24) + 7(32 + 6) = -50 + 104 + 266 = 320$.
हम आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
$\det(A)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\det(\text{adj}(A)) = (320)^2 = 102400$.

(B) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \alpha I) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\alpha & 2 & 7 \\ 4 & -2-\alpha & 8 \\ 3 & 8 & -7-\alpha \end{vmatrix} = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $-\alpha^3 - 8\alpha^2 + 73\alpha + 510 = 0$ प्राप्त होता है,जो $\alpha^3 + 8\alpha^2 - 73\alpha - 510 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल ज्ञात करने पर,हमें $\alpha = 10, -6, -12$ प्राप्त होते हैं।
सबसे बड़ा मान $p = 10$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320$ है।
$x = 0$ के लिए,$(0 - 10)^2 + (y - 20)^2 = 320 \implies 100 + (y - 20)^2 = 320 \implies (y - 20)^2 = 220$। चूँकि $220 > 0$,$y$-अक्ष पर $2$ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होते हैं।
$y = 0$ के लिए,$(x - 10)^2 + (0 - 20)^2 = 320 \implies (x - 10)^2 + 400 = 320 \implies (x - 10)^2 = -80$। चूँकि $-80 < 0$,$x$-अक्ष पर कोई वास्तविक प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।
अतः,वृत्त निर्देशांक अक्षों को $2$ बिंदुओं पर काटता है।

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ हैं।
आइगेन मान (eigenvalues) $\lambda_1 = 1$ और $\lambda_2 = 3$ हैं।
किसी भी $2 \times 2$ आव्यूह $A$ के लिए,ट्रेस $\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 1 + 3 = 4$ और सारणिक $\det(A) = ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 = 1 \times 3 = 3$ होता है।
हमें दिया गया है कि $a, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ और $a + d = 4$,इसलिए $ad - bc = 3 \implies bc = ad - 3$।
स्थिति $1$: $(a, d) = (1, 3)$। तो $bc = (1)(3) - 3 = 0$।
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 0$ होने वाले संभावित युग्म:
यदि $b=0$,तो $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
यदि $c=0$,तो $b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
$(0, 0)$ दो बार गिना गया है,इसलिए कुल युग्म = $5 + 5 - 1 = 9$।
स्थिति $2$: $(a, d) = (3, 1)$। तो $bc = (3)(1) - 3 = 0$।
स्थिति $1$ की तरह,कुल युग्म = $9$।
स्थिति $3$: $(a, d) = (2, 2)$। तो $bc = (2)(2) - 3 = 1$।
$b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के लिए $bc = 1$ होने वाला युग्म:
केवल $(1, 1)$ संभव है। कुल युग्म = $1$।
स्थिति $4$: $(a, d) = (0, 4)$ या $(4, 0)$। तो $bc = (0)(4) - 3 = -3$।
चूंकि $b, c \ge 0$,इसलिए $bc = -3$ संभव नहीं है।
आव्यूहों की कुल संख्या = $9 + 9 + 1 = 19$।

(B) दिया गया है $A^2 - 4A + I = O$। कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ है। यहाँ $\text{tr}(A) = 1 + \alpha$ और $\det(A) = \alpha - 2$ है। अतः,$\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$। $A^2 - 4A + I = O$ से तुलना करने पर,हमें $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$।
$B^2 - 5B - 6I = O$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ है। यहाँ $\text{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ और $\det(B) = 6 - 3\beta$ है। $B^2 - 5B - 6I = O$ से तुलना करने पर,$\det(B) = -6$ प्राप्त होता है। अतः,$6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$। अतः,$B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।
अब,$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$।
$\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$।
(S2) के लिए: $\det(\text{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$। अतः,(S2) सही है।
(S1) के लिए: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$,$B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$।
$(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$।
इसका परिवर्त आव्यूह $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \\ 15 & 10 \end{bmatrix}$ है। यह (S1) में दिए गए आव्यूह से मेल नहीं खाता है। अतः,(S1) गलत है।

(C) मान लीजिए $A = I + N$ जहाँ $N = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N^3 = O$ (शून्य आव्यूह) है।
आव्यूहों के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2} N^2$ प्राप्त होता है।
$n = 99$ के लिए,$A^{99} = I + 99N + \frac{99 \times 98}{2} N^2 = I + 99N + 4851N^2$ है।
चूँकि $B = A^{99} - I$,इसलिए $B = 99N + 4851N^2$ है।
$B$ की गणना करने पर:
$B = 99 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 4851 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 891 + 43659 & 297 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 297 & 0 & 0 \\ 44550 & 297 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$b_{31} = 44550$,$b_{21} = 297$,और $b_{32} = 297$ है।
अभीष्ट मान $\frac{b_{31} - b_{21}}{b_{32}} = \frac{44550 - 297}{297} = \frac{44253}{297} = 149$ है।