Population Growth Questions in Gujarati

(B) વસ્તીની વય સંરચના વય પિરામિડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ભારતમાં,વસ્તી પિરામિડનો આધાર પહોળો છે,જે યુવાન વ્યક્તિઓની મોટી સંખ્યા સૂચવે છે.
આ વસ્તી વિષયક પ્રોફાઇલ મુખ્યત્વે ઊંચા જન્મદરને કારણે છે,જે યુવાન વયના જૂથોમાં વધુ વ્યક્તિઓ ઉમેરે છે,અને વિકસિત દેશોની તુલનામાં પ્રમાણમાં ટૂંકું સરેરાશ આયુષ્ય હોવાને કારણે વૃદ્ધ વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ ઓછું રહે છે.

(C) પર્યાવરણમાં ઉપલબ્ધ સંસાધનો જેવા કે ખોરાક,રહેઠાણ,પાણી અને અન્ય જરૂરિયાતોને ધ્યાનમાં લેતા,કોઈ પ્રજાતિની મહત્તમ વસ્તી જે પર્યાવરણ અનિશ્ચિત સમય સુધી ટકાવી શકે છે,તેને $Carrying \ capacity$ (વહન ક્ષમતા) $(K)$ કહેવામાં આવે છે.
લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલમાં,જેમ વસ્તી પર્યાવરણની $Carrying \ capacity$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ વૃદ્ધિનો દર ધીમો પડી જાય છે,જેના પરિણામે $S$-આકારનો અથવા $Sigmoid$ વૃદ્ધિ વક્ર પ્રાપ્ત થાય છે.

(D) વસ્તી વૃદ્ધિ મુખ્યત્વે જન્મદર અને મૃત્યુદર વચ્ચેના સંતુલન દ્વારા નક્કી થાય છે.
જ્યારે જન્મદર $(B)$ એ મૃત્યુદર $(D)$ કરતા વધારે હોય,ત્યારે વસ્તીનું કદ વધે છે.
ગાણિતિક રીતે,સમય $(t)$ સાથે વસ્તી ગીચતા $(N)$ માં થતો ફેરફાર $dN/dt = (B - D)N$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ઊંચો જન્મદર અને નીચો મૃત્યુદર એ વસ્તી વૃદ્ધિ માટેનું મૂળભૂત પરિબળ છે.

(C) આદર્શ પરિસ્થિતિઓમાં બેક્ટેરિયાની વસ્તીની વૃદ્ધિ એક્સપોનેન્શિયલ (ઘાતાંકીય) વૃદ્ધિ મોડેલને અનુસરે છે, જે સમીકરણ $N_t = N_0 e^{rt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા, આપણને $ln(N_t) = ln(N_0) + rt$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $y = ln(N_t)$, $x = t$ (સમય), $m = r$ (વૃદ્ધિ દર), અને $c = ln(N_0)$ છે.
વૃદ્ધિ દર $r$ ધન હોવાથી, $ln(N_t)$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા આપે છે.

(D) શૂન્ય વૃદ્ધિ તબક્કો,જેને સ્થાયી વસ્તી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે જન્મ દર અને મૃત્યુ દર એકબીજાને સમાન હોય છે. આ સ્થિતિમાં,વસ્તીનું કદ સમય સાથે અચળ રહે છે કારણ કે જન્મ દ્વારા વસ્તીમાં ઉમેરાતા સજીવોની સંખ્યા અને મૃત્યુ દ્વારા ગુમાવતા સજીવોની સંખ્યા સંતુલિત હોય છે. ગાણિતિક રીતે,આને $r = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે (જ્યાં $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે).

(B) $17$ મી સદી પછી,તબીબી વિજ્ઞાન,કૃષિ અને ટેકનોલોજીમાં થયેલી પ્રગતિને કારણે માનવ વસ્તીમાં ઝડપી વધારો જોવા મળ્યો છે.
વસ્તીના કદમાં આ ઝડપી વધારો,જ્યાં જન્મ દર મૃત્યુ દર કરતા ઘણો વધારે છે,તે $Exponential$ $growth$ $phase$ (ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ તબક્કો) ની લાક્ષણિકતા છે (જેને $J$-આકારના વક્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે).
તેથી,માનવ વસ્તી હાલમાં ઘાતાંકીય વૃદ્ધિના તબક્કામાં છે.

(C) વસ્તીનો વૃદ્ધિ આલેખ સામાન્ય રીતે ચાર તબક્કાઓ ધરાવતો સિગ્મોઇડ આકાર અનુસરે છે:
$1$. $Lag$ તબક્કો: પ્રારંભિક તબક્કો જ્યાં સજીવો પર્યાવરણમાં અનુકૂલન સાધતા હોવાથી વૃદ્ધિ ધીમી હોય છે.
$2$. $Exponential$ (અથવા $Log$) તબક્કો: આ એવો તબક્કો છે જ્યાં સંસાધનો પુષ્કળ હોવાથી વસ્તી મહત્તમ દરે વૃદ્ધિ પામે છે.
$3$. $Stationary$ તબક્કો: સંસાધનો મર્યાદિત થતા વૃદ્ધિ ધીમી પડે છે અને સ્થિર થાય છે.
$4$. $Senescent$ તબક્કો: પર્યાવરણીય અવરોધ અથવા સંસાધનોના અભાવને કારણે વસ્તીમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,મહત્તમ વૃદ્ધિદર $Exponential$ તબક્કામાં જોવા મળે છે.

(A) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય,જે વસ્તીને તેની મહત્તમ જૈવિક ક્ષમતા પર વધવા દે છે.
પ્રકૃતિમાં,આ સ્થિતિ લાંબા સમય સુધી ટકી શકતી નથી.
જો કે,તે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં જોવા મળે છે જેમ કે:
$1$. એકકોષીય સજીવો (જેમ કે બેક્ટેરિયા) જ્યારે તેમને પુષ્કળ પોષક તત્વો ધરાવતા તાજા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે.
$2$. પ્રયોગશાળાની નિયંત્રિત પરિસ્થિતિઓમાં ટીશ્યુ કલ્ચરના કોષો.
$3$. નવા પર્યાવરણમાં દાખલ કરવામાં આવેલી વસ્તી જ્યાં કોઈ શિકારી કે સ્પર્ધા ન હોય.
આમ,$A$ અને $B$ બંને એવી પરિસ્થિતિઓ દર્શાવે છે જ્યાં ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે,પરંતુ એકકોષીય સજીવો એ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનું સૌથી પાયાનું ઉદાહરણ છે.

(B) જ્યારે કોઈ જાતિની વસ્તીને વધુ અનુકૂળ પર્યાવરણમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પર્યાવરણીય અવરોધ ઘટે છે.
આનાથી સજીવો માટે ટકી રહેવાની પરિસ્થિતિઓ વધુ સારી બને છે.
પરિણામે,વધુ સજીવો પ્રજનન વય સુધી ટકી રહે છે,જે સજીવોના ટકવાના દરમાં વધારો અને વસ્તી વૃદ્ધિ તરફ દોરી જાય છે.

(A) જૈવિક ક્ષમતા (Biotic potential) એટલે આદર્શ પર્યાવરણીય પરિસ્થિતિઓમાં સજીવ અથવા વસતિની મહત્તમ પ્રજનન ક્ષમતા,જ્યાં સંસાધનો અમર્યાદિત હોય છે અને કોઈ પર્યાવરણીય અવરોધો (જેમ કે શિકાર,રોગ અથવા સ્પર્ધા) હોતા નથી.
તેથી,સાચો શબ્દ જૈવિક ક્ષમતા છે.

(A) જૈવિક ક્ષમતા (Biotic potential) એટલે અનુકૂળ પર્યાવરણીય પરિસ્થિતિઓમાં સજીવની મહત્તમ પ્રજનન ક્ષમતા,જ્યાં સંસાધનો અમર્યાદિત હોય અને કોઈ પર્યાવરણીય અવરોધ ન હોય.
તે આદર્શ પરિસ્થિતિઓમાં વસ્તીની સંખ્યામાં વધારો કરવાની આંતરિક ક્ષમતા દર્શાવે છે.

(C) ડેમોગ્રાફી (Demography) એ માનવ વસ્તીનો આંકડાકીય અભ્યાસ છે. તેમાં વસ્તીનું કદ,બંધારણ અને વિતરણનો અભ્યાસ તેમજ જન્મ,સ્થળાંતર,વૃદ્ધત્વ અને મૃત્યુના પ્રતિભાવમાં તેમાં થતા અવકાશી અથવા સમયગાળાના ફેરફારોનો સમાવેશ થાય છે.

(A) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્રને $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે વસ્તી ગીચતા $(N)$ એ વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ પદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,વૃદ્ધિ દર $\frac{dN}{dt}$ શૂન્ય થઈ જાય છે અને વસ્તીનું કદ સ્થિર રહે છે.
આના પરિણામે વૃદ્ધિ વક્રમાં એસિમ્પ્ટોટ રચાય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $N = K$ હોય.

(A) $r$-selected જાતિઓ ($r$-strategists) એવા સજીવો છે જે અન્ય સ્પર્ધકો આવે તે પહેલાં ઉપલબ્ધ સંસાધનોનો ઉપયોગ કરીને ઝડપથી વસવાટમાં વસાહત કરી શકે છે.
આ સજીવો સામાન્ય રીતે ટૂંકા આયુષ્ય અને નાના કદના હોય છે (દા.ત.,બેક્ટેરિયા,ઘણા કીટકો).
તેમની અસ્તિત્વ ટકાવી રાખવાની વ્યૂહરચના અસ્થિર અથવા કામચલાઉ વાતાવરણમાં મોટી સંખ્યામાં સંતતિ ઉત્પન્ન કરવા પર આધારિત છે,જેથી તેમાંથી અમુક સંતતિ જીવિત રહી શકે,તેના બદલે સ્પર્ધાત્મક ક્ષમતા કે પિતૃ સંભાળ પર ઉર્જા ખર્ચવાને બદલે.

(C) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ સમીકરણ $dN/dt = rN(1 - N/K)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$dN/dt$ એ વસ્તી વૃદ્ધિ દર દર્શાવે છે.
વૃદ્ધિ દર શૂન્ય થવા માટે,$dN/dt = 0$ હોવું જોઈએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = rN(1 - N/K)$.
કારણ કે $r$ (કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર) અને $N$ (વસ્તીનું કદ) સામાન્ય રીતે સક્રિય વસ્તીમાં શૂન્ય હોતા નથી,તેથી પદ $(1 - N/K)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $1 - N/K = 0$,જેનું સાદું રૂપ $N/K = 1$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે વસ્તીનું કદ $N$ એ વહન ક્ષમતા $K$ સુધી પહોંચે છે (એટલે કે $N/K = 1$),ત્યારે વસ્તી વૃદ્ધિ દર શૂન્ય થઈ જાય છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
લોજિસ્ટિક વસ્તી વૃદ્ધિ નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$dN / dt = rN (\frac{K-N}{K})$
જ્યાં:
$N$ = $t$ સમયે વસ્તી ગીચતા
$r$ = પ્રાકૃતિક વધારાનો આંતરિક દર
$K$ = વહન ક્ષમતા (Carrying capacity)
આ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વૃદ્ધિ દર્શાવે છે,જ્યાં વસ્તીનું કદ વહન ક્ષમતા $K$ ની નજીક પહોંચે ત્યારે વૃદ્ધિ દર ધીમો પડી જાય છે.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
$J$-આકારની વૃદ્ધિની ભાત એવા સજીવોમાં જોવા મળે છે જ્યાં ટૂંકા સમય માટે સંસાધનો પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઉપલબ્ધ હોય છે,જે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ તરફ દોરી જાય છે,અને ત્યારબાદ પર્યાવરણીય અવરોધ અથવા ઋતુગત ફેરફારોને કારણે વસ્તીમાં અચાનક ઘટાડો થાય છે.
આ કિસ્સામાં,કીટકની વસ્તી ચોમાસા દરમિયાન ઝડપથી વધે છે અને ઋતુના અંતે અદ્રશ્ય થઈ જાય છે,જે $J$-પ્રકારના વૃદ્ધિ વક્રની લાક્ષણિકતા છે.
આ પ્રકારની વૃદ્ધિ કીટકો,શેવાળના ફૂલો (algae blooms) અને એકવર્ષાયુ વનસ્પતિઓમાં સામાન્ય છે.

(A) જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય ત્યારે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ જોવા મળે છે. સમય $(t)$ સાથે વસ્તીના કદ $(N)$ માં થતો ફેરફારનો દર એ વર્તમાન વસ્તીના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ માટેનું ગાણિતિક સમીકરણ વિકલ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dN/dt = rN$,જ્યાં $N$ એ વસ્તીનું કદ છે,$t$ એ સમય છે અને $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.

(A) Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
આ મોડેલમાં,વસ્તી વૃદ્ધિનો દર $\frac{dN}{dt}$ એ વર્તમાન વસ્તીના કદ $N$ અને વહન ક્ષમતા $K$ ના ઉપલબ્ધ ભાગ $\left( 1 - \frac{N}{K} \right)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \frac{N}{K} \right)$ છે,જ્યાં $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે અને $K$ એ વહન ક્ષમતા (carrying capacity) છે.

(B) પેલેજિક માછલીઓ એવા સજીવો છે જે દરિયાઈ,મહાસાગર અને તળાવના પાણીના સ્તંભમાં રહે છે. જીવવિજ્ઞાનમાં જીવન ઇતિહાસની વિવિધતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઘણી પ્રજાતિઓએ તેમની યોગ્યતા (fitness) વધારવા માટે ઉત્ક્રાંતિ સાધી છે. પેલેજિક માછલીઓ સામાન્ય રીતે '$r$-selection' વ્યૂહરચનાનું પાલન કરે છે. આ વ્યૂહરચનામાં મોટી સંખ્યામાં નાના કદના સંતાનો ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે,જેમાં મૃત્યુદર ઊંચો હોય છે. આ પદ્ધતિ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે અણધાર્યા પર્યાવરણમાં પણ ઓછામાં ઓછા કેટલાક સંતાનો પુખ્તાવસ્થા સુધી જીવિત રહી શકે.

(A) વસ્તીની વય સંરચના વય પિરામિડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો પ્રજનન-પૂર્વ વય જૂથમાં વ્યક્તિઓની સંખ્યા પ્રજનન-પશ્ચાત વય જૂથ કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે હોય,તો તે વસ્તીને વિસ્તરતી અથવા વધતી વસ્તી ગણવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે મોટી સંખ્યામાં વ્યક્તિઓ ટૂંક સમયમાં પ્રજનન વયમાં પ્રવેશ કરશે,જેના પરિણામે મૃત્યુ દરની તુલનામાં જન્મ દર ઊંચો રહેશે.
તેથી,સમય જતાં વસ્તીનું કદ વધશે.

(B) Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
આ મોડેલમાં,વસ્તી વૃદ્ધિનો દર $\frac{dN}{dt}$ એ સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં:
$N$ = $t$ સમયે વસ્તી ગીચતા,
$r$ = પ્રાકૃતિક વધારાનો આંતરિક દર,
$K$ = વહન ક્ષમતા (Carrying capacity).
આ સમીકરણ $S$-આકારનો (સિગ્મોઇડ) વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે,જે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ મોડેલ $(N_t = N_0 e^{rt})$ કરતા વધુ વાસ્તવિક છે કારણ કે તે વસ્તી વહન ક્ષમતા $(K)$ ની નજીક પહોંચે ત્યારે પર્યાવરણીય અવરોધને ધ્યાનમાં લે છે.

(D) કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર $(r)$ એ વસ્તી વૃદ્ધિ પર કોઈપણ જૈવિક અથવા અજૈવિક પરિબળોની અસરનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે.
$NCERT$ પાઠ્યપુસ્તક મુજબ,ફ્લોર બીટલ માટે $r$ નું મૂલ્ય $0.12$ છે.
આ મૂલ્ય આદર્શ પર્યાવરણીય પરિસ્થિતિઓમાં વસ્તીના માથાદીઠ વૃદ્ધિ દરને દર્શાવે છે.

(A) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ માટે,$t$ સમય પર વસ્તીનું કદ $N_t = N_0 e^{rt}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વસ્તી $3$ વર્ષમાં બમણી થાય છે,તેથી જ્યારે $t = 3$ હોય ત્યારે $N_t = 2N_0$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2N_0 = N_0 e^{r \times 3}$.
બંને બાજુ $N_0$ વડે ભાગતા,આપણને $2 = e^{3r}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા: $\ln(2) = 3r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\ln(2) \approx 0.693$.
તેથી,$0.693 = 3r$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = 0.693 / 3 = 0.231$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે: $0.231 \times 100 = 23.1\%$.

(A) આપેલી આકૃતિ એક વય પિરામિડ દર્શાવે છે જેમાં આધાર (પ્રજનન પૂર્વેની વય જૂથ) ખૂબ જ પહોળો છે,જે યુવાન વ્યક્તિઓનું ઊંચું પ્રમાણ સૂચવે છે.
જેમ આપણે પિરામિડમાં ઉપર જઈએ છીએ,તેમ પહોળાઈ ઘટતી જાય છે,જે પ્રજનનક્ષમ અને પ્રજનન પછીની વ્યક્તિઓનું ઓછું પ્રમાણ દર્શાવે છે.
આ પ્રકારનો પિરામિડ વધતી જતી વસ્તીની લાક્ષણિકતા છે,જ્યાં જન્મ દર ઊંચો છે અને વસ્તી ઝડપથી વધી રહી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વસ્તી પરિસ્થિતિવિદ્યામાં,વસ્તીનું વય માળખું વય પિરામિડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો પ્રજનન-પશ્ચાત વયના સજીવોની સંખ્યા પ્રજનન વયના સજીવો કરતા વધારે હોય,તો તે ઘટતી જતી વસ્તી સૂચવે છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્રજનન તબક્કામાં પ્રવેશતા સજીવોની સંખ્યા મૃત્યુ પામતા સજીવોને બદલવા માટે અપૂરતી હોય છે,જે નકારાત્મક વૃદ્ધિ દર તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,વસ્તીમાં ઘટાડો થશે.

(D) જે વસતિમાં યુવાન વયજૂથનું પ્રમાણ વધુ હોય તેને વિસ્તરતી વસતિ કહેવામાં આવે છે.
આવી વસતિમાં પ્રજનન-પૂર્વે અને પ્રજનન વયજૂથની વ્યક્તિઓની સંખ્યા ખૂબ વધારે હોય છે.
આ વસ્તી વિષયક માળખું સામાન્ય રીતે ઊંચા જન્મ દર તરફ દોરી જાય છે કારણ કે વસતિનો મોટો હિસ્સો પ્રજનન તબક્કામાં પ્રવેશ કરી રહ્યો છે અથવા હાલમાં તે તબક્કામાં છે.
વધુમાં,આરોગ્ય સંભાળ અને પોષણમાં સુધારાને કારણે અગાઉના દાયકાઓની સરખામણીમાં ભારતમાં વ્યક્તિઓ માટે સરેરાશ જીવનકાળ લાંબો થયો છે.
તેથી,મોટી યુવા વસતિ અને વધુ સારા જીવન ટકાવી રાખવાના દરના સંયોજનને કારણે ઘણી વ્યક્તિઓ માટે ઊંચો જન્મ દર અને લાંબો જીવનકાળ જોવા મળે છે.

(C) ભારતમાં માનવ વસ્તી વૃદ્ધિ કુદરતી પરિબળો અને માનવસર્જિત પ્રયાસોના મિશ્રણથી પ્રભાવિત થાય છે.
ઘણી પ્રાણી પ્રજાતિઓ જે કુદરતી $S$-આકારના (સિગ્મોઇડ) વૃદ્ધિ વક્રને અનુસરે છે,તેનાથી વિપરીત,માનવ વસ્તી ગતિશીલતા તકનીકી,તબીબી અને સામાજિક પ્રગતિ દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે બદલાય છે.
કુદરતી આફતો વસ્તીની ઘનતાથી સ્વતંત્ર મર્યાદિત પરિબળો તરીકે કાર્ય કરે છે,જ્યારે જન્મ નિયંત્રણના પગલાં અને રાષ્ટ્રીય પરિવાર નિયોજન કાર્યક્રમો વસ્તી વૃદ્ધિને નિયંત્રિત કરવા માટેની સભાન વ્યૂહરચનાઓ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ ભારતીય સંદર્ભમાં વસ્તી વૃદ્ધિને નિયંત્રિત કરતા પરિબળોનું સૌથી સચોટ વર્ણન છે.

(D) આ ખ્યાલ કે ખોરાકનો પુરવઠો અંકગણિત શ્રેણીમાં $(1, 2, 3, 4, ...)$ વધે છે,જ્યારે માનવ વસ્તી ભૂમિતિ શ્રેણીમાં $(1, 2, 4, 8, ...)$ વધવાનું વલણ ધરાવે છે,તે અર્થશાસ્ત્રી થોમસ માલથસ દ્વારા તેમના પુસ્તક 'એન એસે ઓન ધ પ્રિન્સિપલ ઓફ પોપ્યુલેશન' માં આપવામાં આવ્યો હતો. આ સિદ્ધાંત વસ્તી વૃદ્ધિ જ્યારે સંસાધનોની વૃદ્ધિ કરતા વધી જાય ત્યારે સર્જાતી વસ્તી સંકટની સંભાવના પર પ્રકાશ પાડે છે.

(A) બેક્ટેરિયાના વૃદ્ધિ આલેખમાં સામાન્ય રીતે ચાર અલગ-અલગ તબક્કાઓ હોય છે:
$1$. $Lag$ તબક્કો: અનુકૂલનનો સમયગાળો જેમાં બેક્ટેરિયા વિભાજન માટે તૈયારી કરે છે.
$2$. $Log$ (અથવા ઘાતાંકીય) તબક્કો: ઝડપી કોષ વિભાજન અને ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનો સમયગાળો.
$3$. $Stationary$ તબક્કો: પોષક તત્વોની અછત અને કચરાના સંચયને કારણે વૃદ્ધિ દર અને મૃત્યુ દર સમાન હોય તેવો સમયગાળો.
$4$. $Decline$ (અથવા મૃત્યુ) તબક્કો: એવો સમયગાળો જેમાં મૃત્યુ દર વૃદ્ધિ દર કરતા વધી જાય છે,જેના પરિણામે વસ્તીમાં ઘટાડો થાય છે.

(C) આદર્શ પરિસ્થિતિઓમાં બૅક્ટરિયા ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ (exponential growth) દર્શાવે છે,જ્યાં સમય $t$ પર વસ્તીનું કદ $N$ એ $N_t = N_0 e^{rt}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગુણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $\ln(N_t) = \ln(N_0) + rt$ મળે છે.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln(N_t)$,$x = t$,$m = r$ (વૃદ્ધિ દર),અને $c = \ln(N_0)$ છે.
વૃદ્ધિ દર $r$ ધન હોવાથી,$\ln(N_t)$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ ઉપર તરફ જતી સીધી રેખા મળે છે.

(A) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિમાં,વસ્તીનું કદ વર્તમાન વસ્તીના કદના પ્રમાણમાં વધે છે.
આ માટેનું ગાણિતિક સમીકરણ વિકલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dN / dt = rN$,જ્યાં:
$N$ = વસ્તીનું કદ
$t$ = સમય
$r$ = કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર
$dN / dt$ = સમય સાથે વસ્તીના કદમાં થતો ફેરફારનો દર.

(A) વર્ણવેલી ઘટના સૂચવે છે કે કીટકોની વસતિનું કદ તેમની યજમાન વનસ્પતિની ઉપલબ્ધતા પર ખૂબ જ આધારિત છે.
ઘણી કીટક જાતિઓમાં,જીવનચક્ર યજમાન વનસ્પતિની ઘટનાક્રમ (phenology) સાથે સુમેળમાં હોય છે.
વરસાદની ઋતુ દરમિયાન,યજમાન વનસ્પતિઓ પુષ્કળ પ્રમાણમાં હોય છે અને જરૂરી સંસાધનો પૂરા પાડે છે,જેના કારણે કીટકોની વસતિમાં ઝડપી વધારો થાય છે.
જેમ જેમ શિયાળો નજીક આવે છે,તેમ યજમાન વનસ્પતિઓ પરિપક્વ થાય છે,વૃદ્ધ થાય છે અને નાશ પામે છે,જેના પરિણામે કીટકોની વસતિમાં ઘટાડો થાય છે અને અંતે તેઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
આ સંસાધન-મર્યાદિત વસતિ ગતિશીલતાનું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ છે જ્યાં યજમાન વનસ્પતિ મર્યાદિત પરિબળ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) $r$-પસંદગી પામેલ જાતિઓ એવા સજીવો છે જેઓ તેમના પ્રજનન દર $(r)$ ને મહત્તમ કરવા માટે વિકસિત થયા છે.
આ જાતિઓ સામાન્ય રીતે અસ્થિર અથવા અણધાર્યા વાતાવરણમાં વસવાટ કરે છે.
$r$-પસંદગી પામેલ જાતિઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તેઓ મોટી સંખ્યામાં સંતતિ ઉત્પન્ન કરે છે જેથી ખાતરી કરી શકાય કે પ્રતિકૂળ પરિસ્થિતિઓમાં પણ કેટલીક સંતતિ જીવિત રહે.
$2$. આ સંતતિ સામાન્ય રીતે કદમાં નાની હોય છે.
$3$. તેઓ ખૂબ ઓછી અથવા બિલકુલ પિતૃ સંભાળ પૂરી પાડતા નથી.
$4$. તેમનું આયુષ્ય ટૂંકું હોય છે અને તેઓ ઝડપથી પ્રજનનક્ષમતા પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મૉડલનું સમીકરણ $dN/dt = rN(1 - N/K)$ છે.
અહીં,$dN/dt$ એ વસ્તીનો વૃદ્ધિ દર દર્શાવે છે.
વૃદ્ધિ દર શૂન્ય થવા માટે,$dN/dt = 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0 = rN(1 - N/K)$.
કારણ કે $r$ (આંતરિક કુદરતી વધારાનો દર) અને $N$ (વસ્તીનું કદ) સામાન્ય રીતે જીવંત વસ્તીમાં શૂન્ય હોતા નથી,તેથી $(1 - N/K)$ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$1 - N/K = 0$,જેનો અર્થ છે કે $N/K = 1$.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે વસ્તીનું કદ $N$ એ પર્યાવરણની વહનક્ષમતા $K$ જેટલું થાય છે.

(B) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલને $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,$N$ એ વસ્તી ગીચતા છે,$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે,અને $K$ એ વહન ક્ષમતા (carrying capacity) છે.
જ્યારે વસ્તીનું કદ $N$ એ વહન ક્ષમતા $K$ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ પદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,$\frac{dN}{dt} = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વસ્તી વૃદ્ધિનો દર શૂન્ય થઈ જાય છે અને વસ્તીનું કદ સ્થિર થાય છે.
આલેખ પરના આ સ્થિરીકરણ બિંદુને,જ્યાં વક્ર સપાટ થઈ જાય છે,તેને એસીમ્પ્ટોટ કહેવામાં આવે છે,જે ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે $N = K$ હોય.

(A) જ્યારે પ્રજનન-પૂર્વેના વ્યક્તિઓની સંખ્યા પ્રજનનક્ષમ અને પ્રજનન-પશ્ચાત વ્યક્તિઓની સંખ્યા કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે હોય ત્યારે વસ્તીને વધતી જતી (વિસ્તરતી) વસ્તી ગણવામાં આવે છે.
આનાથી વય પિરામિડનો આધાર પહોળો બને છે,જે ઊંચા જન્મદર અને મોટી સંખ્યામાં એવા યુવાન વ્યક્તિઓનું સૂચન કરે છે જેઓ ભવિષ્યમાં પ્રજનન વયમાં પ્રવેશ કરશે.
તેથી,વધતી જતી વસ્તી માટેની સાચી સ્થિતિ એ છે કે પ્રજનન-પૂર્વેના વ્યક્તિઓ પ્રજનનક્ષમ વ્યક્તિઓ કરતા વધારે હોય છે.

(B) વહન ક્ષમતા એટલે કોઈ આપેલ નિવાસસ્થાનમાં ઉપલબ્ધ સંસાધનો દ્વારા વસ્તીના સભ્યોની મહત્તમ સંખ્યા જેને ટેકો આપી શકાય છે.
આ મર્યાદાથી આગળ,પર્યાવરણ વધારાના સભ્યોને ટકાવી શકતું નથી,અને તેથી,વધુ વસ્તી વૃદ્ધિ શક્ય નથી.
જ્યારે વસ્તી તેની વહન ક્ષમતા સુધી પહોંચે છે,ત્યારે સંસાધનો મર્યાદિત બની જાય છે,જે ઘણીવાર એવી સ્થિતિ તરફ દોરી જાય છે જ્યાં મૃત્યુદર જન્મદર કરતા વધી જાય છે અથવા તેના જેટલો થઈ જાય છે,જે વધુ વધારાને અટકાવે છે.

(C) ઘાતાંકીય વસ્તી વૃદ્ધિ માટેનું સૂત્ર $\frac{dN}{dt} = rN$ છે.
અહીં,$\frac{dN}{dt}$ એ સમય સાથે વસ્તીના કદમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે.
$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર (જૈવિક ક્ષમતા) દર્શાવે છે.
$N$ એ વસ્તીનું વર્તમાન કદ દર્શાવે છે.

(C) પ્રજનન દર (અથવા માથાદીઠ વૃદ્ધિ દર) નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $\text{દર} = \frac{\text{જન્મ} - \text{મૃત્યુ}}{\text{પ્રારંભિક વસ્તી}}$.
આપેલ છે: $\text{જન્મ} = 55$, $\text{મૃત્યુ} = 5$, $\text{પ્રારંભિક વસ્તી} = 500$.
$\text{દર} = \frac{55 - 5}{500} = \frac{50}{500} = 0.1/ \text{વર્ષ}$.

(C) સિગ્મોઇડ વૃદ્ધિ વક્રમાં,વસ્તી વૃદ્ધિ દર અંતે સ્થિર થાય છે કારણ કે વસ્તી પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે.
આ તબક્કે,મૃત્યુદર અને જન્મદર એકબીજાની સમાન થઈ જાય છે.
પરિણામે,વસ્તી શૂન્ય વૃદ્ધિ દર દર્શાવે છે કારણ કે જન્મદર અને મૃત્યુદર સમાન હોય છે,મૃત્યુદર જન્મદર કરતા વધતો નથી.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) જો વ્યક્તિઓ માટે ખોરાકના સંસાધનો પૂરતા પ્રમાણમાં ઉપલબ્ધ હોય તો વસ્તી ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. તેની ઘાતાંકીય વૃદ્ધિની ગણતરી ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ સમીકરણના નીચેના સંકલિત સ્વરૂપ દ્વારા કરી શકાય છે:
$N_{t} = N_{0} e^{rt}$
જ્યાં,
$N_{t} =$ સમય $t$ પછી વસ્તી ગીચતા
$N_{0} =$ શૂન્ય સમયે વસ્તી ગીચતા
$r =$ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર
$e =$ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર $(2.71828)$
આપેલ છે કે વસ્તી $3$ વર્ષમાં બમણી થાય છે:
$N_{t} = 2N_{0}$
$t = 3$ વર્ષ
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2N_{0} = N_{0} e^{3r}$
$2 = e^{3r}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(2) = 3r$
$r = \frac{\ln(2)}{3}$
$\ln(2) \approx 0.693$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{0.693}{3} = 0.231$
આમ,આંતરિક વૃદ્ધિ દર $(r)$ આશરે $0.231$ છે.

(N/A) લોજિસ્ટિક વસ્તી વૃદ્ધિ વક્ર સામાન્ય રીતે એવી વસ્તીમાં જોવા મળે છે જ્યાં સંસાધનો મર્યાદિત હોય છે. તેને $S-$આકારના વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેને વર્હલ્સ્ટ-પર્લ (Verhulst-Pearl) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેમાં સામાન્ય રીતે નીચેના તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. લેગ તબક્કો (Lag phase): શરૂઆતમાં,સજીવો નવા પર્યાવરણમાં અનુકૂલન સાધતા હોવાથી વસ્તી વૃદ્ધિ ધીમી હોય છે.
$2$. લોગ (ઘાતાંકીય) તબક્કો (Log phase): પૂરતા સંસાધનોની ઉપલબ્ધતાને કારણે વસ્તી ઝડપથી વધે છે.
$3$. નકારાત્મક પ્રવેગ તબક્કો (Negative acceleration phase): જેમ જેમ સંસાધનો મર્યાદિત બને છે,તેમ પર્યાવરણીય અવરોધ વધે છે અને વૃદ્ધિ દર ઘટવા લાગે છે.
$4$. સ્થિર તબક્કો (Stationary phase): જ્યારે જન્મ દર અને મૃત્યુ દર સમાન થાય ત્યારે વસ્તીનું કદ સ્થિર થાય છે. આ બિંદુએ,વસ્તીએ નિવાસસ્થાનની વહન ક્ષમતા $(K)$ પ્રાપ્ત કરી લીધી છે તેમ કહેવાય છે.

(N/A) કોઈ વસ્તીની અબાધિત વૃદ્ધિ (unimpeded growth) માટે સંસાધનો (ખોરાક અને જગ્યા)ની ઉપલબ્ધિ આવશ્યક છે. આદર્શ રીતે,જ્યારે નિવાસસ્થાનમાં સંસાધનો અમર્યાદિત હોય છે ત્યારે દરેક જાતિ તેની સંખ્યામાં વૃદ્ધિ કરવાની તેની જન્મજાત શક્તિનો સંપૂર્ણપણે અનુભવ કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે,જેવું ડાર્વિને (Darwin) પ્રાકૃતિક પસંદગીનો સિદ્ધાંત વિકસાવતી વખતે અવલોકન કર્યું હતું. આવી સ્થિતિમાં વસ્તીવૃદ્ધિ ચરઘાતાંકીય કે ભૌમિતિક શૈલી (geometric fashion)માં થાય છે.
જો $N$ કદની વસ્તીમાં,જન્મદર (પ્રતિ વ્યક્તિ જન્મ) $b$ અને મૃત્યુદર (પ્રતિ વ્યક્તિ મૃત્યુ) $d$ હોય,તો એકમ સમયગાળા $t$ $(dN/dt)$ દરમિયાન વસ્તીમાં થતો વધારો કે ઘટાડો નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$dN/dt = (b - d) \times N$
અહીં જો $(b - d) = r$ લેવામાં આવે,તો:
$dN/dt = rN$
આ સમીકરણમાં $r$ ને 'પ્રાકૃતિક વૃદ્ધિનો આંતરિક દર' (intrinsic rate of natural increase) કહેવામાં આવે છે. તે વસ્તીવૃદ્ધિ પર જૈવિક કે અજૈવિક પરિબળોની અસર નક્કી કરવા માટેનો ખૂબ જ મહત્ત્વપૂર્ણ માપદંડ છે.
$r$ ના મૂલ્યોના ઉદાહરણ તરીકે,નોર્વેના ઉંદર (Norway rat) માટે $r = 0.015$ છે અને લોટમાં થતી જીવાત (flour beetle) માટે $r = 0.12$ છે. $1981$ માં,ભારતમાં માનવવસ્તી માટે $r$ નું મૂલ્ય $0.0205$ હતું.

(A) રાજા અને પ્રધાન શતરંજની રમત રમવા બેઠા. રમતની જીતનો વિશ્વાસ ધરાવતો રાજા,પ્રધાન દ્વારા સૂચિત કોઈ પણ શરત સ્વીકારવા તૈયાર હતો. પ્રધાને નમ્રતાપૂર્વક કહ્યું કે જો તે જીતી જશે તો,તે માત્ર થોડાક ઘઉંના દાણા લેવાનું ઈચ્છશે,જેની માત્રા શતરંજના પટ પર રહેલ ચોરસ ખાનાની સંખ્યા પ્રમાણે પ્રથમ ખાનામાં એક દાણો,બીજા ખાનામાં બે,ત્રીજા ખાનામાં ચાર અને ચોથા ખાનામાં આઠ દાણા,એમ દરેક સમયે પાછલી માત્રાથી બમણા કરતા રહીને બધાં $64$ ખાનાં ભરાય ત્યાં સુધી મૂકવા.
રાજાએ આ મૂર્ખતાપૂર્ણ લાગતી શરત માની લીધી અને રમત શરૂ કરી,પરંતુ પ્રધાન જીતી ગયો. રાજાને લાગ્યું કે શરત પૂરી કરવી ખૂબ જ સરળ હતી. તેણે પહેલા ખાનામાં એક દાણો મૂકવાની શરૂઆત કરી અને પદ્ધતિ અનુસાર આગળ વધ્યો,પરંતુ શતરંજના પટ પર અડધા ખાના ભરાવા સુધીમાં તો રાજાને સમજાઈ ગયું અને તેને ભારે આઘાત લાગ્યો કે તેના સંપૂર્ણ રાજ્યમાં ઉત્પાદિત બધા જ ઘઉં એકત્રિત કરીએ તો પણ બધાં $64$ ખાનાં ભરવા અપૂરતા હતા.
હવે એક નાના $Paramoecium$ વિશે વિચારીએ જે ફક્ત એક સંખ્યાથી શરૂ કરી અને દ્વિભાજન દ્વારા દરરોજ તેની સંખ્યા બમણી કરતું રહે છે. કલ્પના કરો કે $64$ દિવસોમાં તેનું વસ્તીકદ મગજને ચકરાવે ચડાવી દે તેવું (mind-boggling) થઈ જશે (જો અમર્યાદિત આહાર અને જગ્યા મળે તો).

(N/A) પ્રકૃતિમાં કોઈ પણ વસ્તી પાસે એટલા અમર્યાદિત સ્ત્રોતો નથી હોતા કે ચરઘાતાંકીય વૃદ્ધિ થતી રહે. તેના કારણે મર્યાદિત સ્રોતો માટે વ્યક્તિગત સજીવો વચ્ચે હરીફાઈ થાય છે. આખરે, યોગ્યતમ વ્યક્તિગત સજીવ (fittest individual) જીવિત રહેશે તથા પ્રજનન કરશે. ઘણા દેશોની સરકારોને પણ આ હકીકત સમજાઈ છે અને માનવ વસ્તીવૃદ્ધિને મર્યાદિત કરવા માટે વિવિધ પ્રતિબંધો (restraints) દાખલ કર્યા છે.
પ્રકૃતિમાં, આપેલ નિવાસસ્થાન પાસે મહત્તમ સંભાવ્ય સંખ્યાના પાલનપોષણ માટે પૂરતા સ્ત્રોતો હોય છે, તેનાથી આગળ વધારે વૃદ્ધિ શક્ય નથી. આ મર્યાદાને પ્રકૃતિની વહનક્ષમતા (carrying capacity) $(K)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
કોઈ પણ નિવાસસ્થાનમાં મર્યાદિત સ્રોતોની સાથે વૃદ્ધિ પામતી વસ્તી શરૂઆતમાં ધીમી વૃદ્ધિ-અવસ્થા (lag phase) દર્શાવે છે, ત્યારબાદ તેને અનુસરી ઝડપી વૃદ્ધિ-અવસ્થા (acceleration phase) તથા મંદ વૃદ્ધિ-અવસ્થા (deceleration phase) અને છેવટે સ્થાયી (અનંતસ્પર્શી-asymptote) વૃદ્ધિ-અવસ્થાઓ આવે છે, જ્યારે વસ્તીગીચતા તેની વહન ક્ષમતા સુધી પહોંચી જાય છે. વસ્તીગીચતા $(N)$ ને સમય $(t)$ ની સાપેક્ષે આલેખિત કરતાં તેની ફલશ્રુતિએ સિગ્મોઈડ ($S$-આકારનો) વક્ર મળે છે. આ પ્રકારની વસ્તીવૃદ્ધિને વર્હલ્સ્ટ-પર્લ લોજિસ્ટિક ગ્રોથ (Verhulst-Pearl Logistic Growth) કહે છે અને તે નીચેના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવિત છે:
$dN/dt = rN \left( \frac{K - N}{K} \right)$
જ્યાં,
$N = \text{સમય } t \text{ પર વસ્તીગીચતા}$
$r = \text{પ્રાકૃતિક વધારાનો આંતરિક દર}$
$K = \text{વહનક્ષમતા (carrying capacity)}$
મોટા ભાગની પ્રાણી-વસ્તીઓમાં વૃદ્ધિ માટે સંસાધનો મર્યાદિત (finite) છે અને વહેલા કે મોડા તે મર્યાદિત થવાના જ છે. આથી લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મૉડેલને વધુ વાસ્તવિક મૉડેલ (realistic model) માનવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય,ત્યારે દરેક જાતિ પાસે સંખ્યામાં વધારો કરવાની તેની જન્મજાત ક્ષમતાને સંપૂર્ણપણે સાકાર કરવાની ક્ષમતા હોય છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં,વસ્તી ઘાતાંકીય અથવા ભૌમિતિક રીતે વધે છે. આને સમીકરણ $dN/dt = rN$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.

(N/A) આપેલ આલેખ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્ર (Logistic Growth Curve) દર્શાવે છે.
$1$. મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા નિવાસસ્થાનમાં વધતી વસ્તી શરૂઆતમાં લેગ ફેઝ (lag phase) દર્શાવે છે,ત્યારબાદ પ્રવેગ અને મંદનનો તબક્કો આવે છે,અને અંતે જ્યારે વસ્તી ગીચતા વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે ત્યારે તે એસિમ્પ્ટોટ (asymptote) બને છે.
$2$. સમય $(t)$ ના સંદર્ભમાં વસ્તી ગીચતા $(N)$ નો આલેખ સિગ્મોઇડ વક્ર (sigmoid curve) આપે છે.
$3$. અહીં,$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે અને $K$ એ પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા છે.
$4$. આ પ્રકારની વસ્તી વૃદ્ધિને Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:
$\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$
$5$. પદ $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ એ પર્યાવરણીય અવરોધ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે વસ્તીને મર્યાદિત વાતાવરણમાં (જેમ કે સંવર્ધન માધ્યમ) ઉછેરવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તી ગીચતા વધવાની સાથે સંસાધનો મર્યાદિત થઈ જાય છે.
શરૂઆતમાં,વસ્તી લેગ ફેઝ (lag phase) અને ત્યારબાદ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનો તબક્કો દર્શાવે છે.
જો કે,જેમ પોષક તત્વો ખૂટી જાય છે અને જગ્યા મર્યાદિત બને છે,તેમ વૃદ્ધિનો દર ધીમો પડી જાય છે અને અંતે તે વહન ક્ષમતા $(K)$ તરીકે ઓળખાતા સ્તર પર પહોંચે છે.
આ પ્રકારની વૃદ્ધિને લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ (Logistic Growth) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે $S$-આકારના અથવા સિગ્મોઇડ વૃદ્ધિ આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,વસ્તી વહન ક્ષમતા પર સ્થિર થશે અને વૃદ્ધિ આલેખ સિગ્મોઇડ હશે.