Population Growth Questions in Gujarati

(B) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલમાં,વસ્તી વૃદ્ધિ શરૂઆતમાં ઘાતાંકીય હોય છે પરંતુ પર્યાવરણીય અવરોધને કારણે જ્યારે તે વહન ક્ષમતા $(K)$ ની નજીક પહોંચે છે ત્યારે તે ધીમી પડી જાય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
જો કે,'ક્રેશ તબક્કો' (વસ્તીના કદમાં અચાનક અને તીવ્ર ઘટાડો) એ $J$-આકારના વૃદ્ધિ વક્ર (ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ) ની લાક્ષણિકતા છે જ્યાં સંસાધનો ઝડપથી ખતમ થઈ જાય છે,$S$-આકારના લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્રની નહીં.
આમ,લોજિસ્ટિક વસ્તીમાં ક્રેશ તબક્કો જોવા મળતો નથી તે વિધાન સાચું છે.
કારણ કે બંને વિધાનો સાચા છે પરંતુ ક્રેશ તબક્કાનો અભાવ એ પર્યાવરણીય અવરોધ ઘાતાંકીય તબક્કાને કેમ ધીમો પાડે છે તેનું કારણ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિનું સમીકરણ $N_{t} = N_{0} e^{rt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,$N_{t}$ એ સમય $t$ પર વસ્તી ગીચતા છે,$N_{0}$ એ સમય શૂન્ય પર વસ્તી ગીચતા છે,$r$ એ પ્રાકૃતિક વધારાનો આંતરિક દર છે,અને $t$ એ સમયગાળો છે.
સંજ્ઞા $e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર દર્શાવે છે,જે એક અસંમેય ગાણિતિક અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય આશરે $2.71828$ જેટલું હોય છે.

(C) મર્યાદિત પોષક માધ્યમમાં,વૃદ્ધિ વક્ર સિગ્મોઇડ પેટર્નને અનુસરે છે.
$1$. લેગ ફેઝ: શરૂઆતમાં,કોષોની સંખ્યા ઓછી હોય છે અને તેઓ નવા વાતાવરણમાં અનુકૂલન સાધી રહ્યા હોય છે,જેના પરિણામે વૃદ્ધિ ધીમી હોય છે.
$2$. એક્સપોનેન્શિયલ ફેઝ: એકવાર અનુકૂલન થઈ ગયા પછી,કોષો ઉપલબ્ધ પોષક તત્વોનો ઉપયોગ કરીને ઝડપથી વિભાજન પામે છે,જે વસ્તીમાં લોગરીધમિક વધારો તરફ દોરી જાય છે.
$3$. સ્ટેશનરી ફેઝ: જેમ જેમ પોષક તત્વોનો ઘટાડો થાય છે અને ચયાપચયના કચરાના ઉત્પાદનો એકઠા થાય છે,તેમ વૃદ્ધિનો દર ધીમો પડી જાય છે અને અંતે સ્થિર થઈ જાય છે.

(N/A) વસ્તીનું કદ સ્થિર હોતું નથી. તે સમય સાથે બદલાતું રહે છે,જે ખોરાકની ઉપલબ્ધતા,શિકારનું દબાણ અને હવામાન જેવી પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખે છે. વસ્તી વૃદ્ધિ નક્કી કરતા મુખ્ય ચાર પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$1$. જન્મદર (Natality - $B$): વસ્તીમાં આપેલા સમયગાળા દરમિયાન થતા જન્મની સંખ્યા.
$2$. મૃત્યુદર (Mortality - $D$): વસ્તીમાં આપેલા સમયગાળા દરમિયાન થતા મૃત્યુની સંખ્યા.
$3$. અંતઃસ્થળાંતર (Immigration - $I$): આપેલા સમયગાળા દરમિયાન અન્ય સ્થળેથી વસવાટમાં આવી ગયેલા સમાન જાતિના સજીવોની સંખ્યા.
$4$. બહિઃસ્થળાંતર (Emigration - $E$): આપેલા સમયગાળા દરમિયાન વસવાટ છોડીને અન્ય સ્થળે જતા રહેલા સજીવોની સંખ્યા.
જો સમય $t$ પર વસ્તી ગીચતા $N$ હોય,તો સમય $t+1$ પર તેની ગીચતા નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$
જો જન્મ અને અંતઃસ્થળાંતરની સંખ્યાનો સરવાળો $(B + I)$,મૃત્યુ અને બહિઃસ્થળાંતરની સંખ્યાના સરવાળા $(D + E)$ કરતા વધારે હોય,તો વસ્તી ગીચતા વધશે; અન્યથા તે ઘટશે.

(A) $\Rightarrow$ વૃદ્ધિ મોડેલ સમય સાથે વસ્તીની વૃદ્ધિની ચોક્કસ અને અનુમાનિત પેટર્ન દર્શાવે છે.
વસ્તીની વૃદ્ધિ ખોરાકની ઉપલબ્ધતા, નિવાસસ્થાનની સ્થિતિ અને અન્ય જૈવિક અને અજૈવિક પરિબળોની હાજરી અનુસાર થાય છે.
મોડેલના બે મુખ્ય પ્રકારો છે:
$(a)$ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ (Exponential Growth): આ પ્રકારની વૃદ્ધિ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખોરાક અને જગ્યા પૂરતા પ્રમાણમાં ઉપલબ્ધ હોય.
જ્યારે નિવાસસ્થાનમાં સંસાધનો અમર્યાદિત હોય, ત્યારે દરેક જાતિમાં તેની સંખ્યામાં વધારો કરવાની તેની જન્મજાત ક્ષમતાને સંપૂર્ણપણે સાકાર કરવાની ક્ષમતા હોય છે.
- વસ્તી ઘાતાંકીય અથવા ભૌમિતિક રીતે વધે છે.
જો $N$ કદની વસ્તીમાં, જન્મ દર '$b$' તરીકે અને મૃત્યુ દર '$d$' તરીકે દર્શાવવામાં આવે.
$\Rightarrow$ તો એકમ સમયગાળા '$t$' દરમિયાન $N$ માં વધારો કે ઘટાડો $dN/dt = (b-d) \times N$ થશે.
ધારો કે $(b-d) = r$, તો $dN/dt = rN$.
અહીં, '$r$' ને 'વસ્તીવૃદ્ધિનો આંતરિક દર' (intrinsic rate of natural increase) કહેવામાં આવે છે અને તે વસ્તી વૃદ્ધિ પર કોઈપણ જૈવિક અથવા અજૈવિક પરિબળની અસરોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે પસંદ કરાયેલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે.
'$r$' મૂલ્યોના મૂલ્ય વિશે થોડો ખ્યાલ આપવા માટે, નોર્વે ઉંદર માટે '$r$' $0.015$ છે, અને લોટના ભમરા (flour beetle) માટે તે $0.12$ છે.
$1981$ માં, ભારતમાં માનવ વસ્તી માટે '$r$' મૂલ્ય $0.0205$ હતું.
ઉપરોક્ત સમીકરણ વસ્તીની ઘાતાંકીય અથવા ભૌમિતિક વૃદ્ધિની પેટર્નનું વર્ણન કરે છે અને જ્યારે આપણે સમયના સંબંધમાં $N$ ને આલેખીએ છીએ ત્યારે $J$-આકારનો વળાંક મળે છે.
જો તમે પાયાના કેલ્ક્યુલસથી પરિચિત હોવ, તો તમે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ સમીકરણનું સંકલિત સ્વરૂપ $N_t = N_0 e^{rt}$ તરીકે મેળવી શકો છો.
જ્યાં $N_t = \text{સમય } t \text{ પછી વસ્તી ગીચતા}$, $N_0 = \text{શૂન્ય સમયે વસ્તી ગીચતા}$, $r = \text{વસ્તીવૃદ્ધિનો આંતરિક દર}$, અને $e = \text{પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર } (2.71828)$.
અમર્યાદિત સંસાધનોની સ્થિતિમાં ઘાતાંકીય રીતે વધતી કોઈપણ જાતિ ટૂંકા સમયમાં પ્રચંડ વસ્તી ગીચતા સુધી પહોંચી શકે છે.
ડાર્વિને બતાવ્યું કે કેવી રીતે હાથી જેવા ધીમી વૃદ્ધિ પામતા પ્રાણી પણ અવરોધોના અભાવે પ્રચંડ સંખ્યામાં પહોંચી શકે છે.
$(b)$ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ (Logistic Growth): પ્રકૃતિમાં કોઈપણ જાતિની વસ્તી પાસે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિને મંજૂરી આપવા માટે અમર્યાદિત સંસાધનો હોતા નથી.
આ મર્યાદિત સંસાધનો માટે વ્યક્તિઓ વચ્ચે સ્પર્ધા તરફ દોરી જાય છે. અંતે, 'સૌથી યોગ્ય' (fittest) વ્યક્તિ ટકી રહેશે અને પ્રજનન કરશે.
ઘણા દેશોની સરકારોએ પણ આ હકીકતને સમજી લીધી છે અને માનવ વસ્તી વૃદ્ધિને મર્યાદિત કરવાના હેતુથી વિવિધ નિયંત્રણો દાખલ કર્યા છે.
પ્રકૃતિમાં, આપેલ નિવાસસ્થાનમાં મહત્તમ શક્ય સંખ્યાને ટેકો આપવા માટે પૂરતા સંસાધનો હોય છે, જેનાથી આગળ કોઈ વધુ વૃદ્ધિ શક્ય નથી.

(B) ડાર્વિનિયન ફિટનેસને પર્યાવરણમાં સજીવની પ્રજનન સફળતાના માપદંડ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
- વસ્તી તેઓ જે નિવાસસ્થાનમાં રહે છે ત્યાં તેમની પ્રજનન ક્ષમતાને મહત્તમ કરવા માટે ઉત્ક્રાંતિ પામે છે.
- પસંદગીના દબાણોના ચોક્કસ સમૂહ હેઠળ,સજીવો સૌથી કાર્યક્ષમ પ્રજનન વ્યૂહરચના તરફ વિકસે છે.
- કેટલાક સજીવો તેમના જીવનકાળમાં માત્ર એક જ વાર પ્રજનન કરે છે (દા.ત.,પેસિફિક સૅલ્મોન માછલી,વાંસ).
- કેટલાક તેમના જીવનકાળ દરમિયાન ઘણી વખત પ્રજનન કરે છે (દા.ત.,મોટાભાગના પક્ષીઓ અને સસ્તન પ્રાણીઓ).
- કેટલાક સજીવો મોટી સંખ્યામાં નાના કદના સંતાનો ઉત્પન્ન કરે છે (દા.ત.,ઓઇસ્ટર,પેલેજિક માછલીઓ).
- કેટલાક સજીવો ઓછી સંખ્યામાં મોટા કદના સંતાનો ઉત્પન્ન કરે છે (દા.ત.,પક્ષીઓ,સસ્તન પ્રાણીઓ).
- સજીવોના જીવન ઇતિહાસના લક્ષણો તેઓ જે નિવાસસ્થાનમાં રહે છે તેના જૈવિક અને અજૈવિક ઘટકો દ્વારા લાદવામાં આવેલા અવરોધોના સંબંધમાં વિકસિત થયા છે.

(N/A)

$S$-આકારનો વૃદ્ધિ વક્ર (સિગ્મોઇડ)	$J$-આકારનો વૃદ્ધિ વક્ર
$(1)$ તે $5$ તબક્કાઓનો બનેલો છે: લેગ તબક્કો,ધન પ્રવેગ તબક્કો,ઘાતાંકીય તબક્કો,ઋણ પ્રવેગ તબક્કો અને સ્થાયી તબક્કો.	$(1)$ તે $2$ તબક્કાઓનો બનેલો છે: લેગ તબક્કો અને ઘાતાંકીય તબક્કો.
$(2)$ અંતે,વસ્તી સ્થિર અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં જન્મ દર અને મૃત્યુ દર સમાન હોવાથી વૃદ્ધિ દર શૂન્ય થઈ જાય છે.	$(2)$ અંતે,મૃત્યુદરમાં ઝડપી વધારો અથવા સંસાધનોના અભાવને કારણે વસ્તીમાં ઘટાડો (crash) જોવા મળે છે.
$(3)$ ઉદાહરણ: સંવર્ધન માધ્યમમાં યીસ્ટના કોષો.	$(3)$ ઉદાહરણ: રેન્ડિયર,શેવાળનું પ્રસ્ફુટન (algal blooms) અથવા ટુંડ્ર પ્રદેશના લેમિંગ્સ.

(C) $t+1$ સમયે વસ્તીગીચતા $(N_{t+1})$ શોધવા માટે,પ્રારંભિક વસ્તી $(N_t)$ માં જન્મદર $(B)$ અને અંતઃસ્થળાંતર $(I)$ ઉમેરવામાં આવે છે અને મૃત્યુદર $(D)$ તથા બહિઃસ્થળાંતર $(E)$ બાદ કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$B$ એટલે જન્મદર,$I$ એટલે અંતઃસ્થળાંતર,$D$ એટલે મૃત્યુદર અને $E$ એટલે બહિઃસ્થળાંતર છે.

(A) સમીકરણ $N_t = N_0 e^{rt}$ એ ચરઘાતાંકીય વૃદ્ધિનું ગાણિતિક નિરૂપણ છે.
આ સૂત્રમાં:
$N_t$ એ $t$ સમય પછીની વસ્તી ગીચતા છે.
$N_0$ એ શૂન્ય સમયે વસ્તી ગીચતા છે.
$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.
$e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે (આશરે $2.718$).
સંભાવ્ય (લોજિસ્ટિક) વૃદ્ધિ,જેને વિર્હુસ્ટ-પર્લ વૃદ્ધિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે અલગ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $dN/dt = rN(K-N/K)$.

(D) $NCERT$ પાઠ્યપુસ્તકના વસ્તી વૃદ્ધિ દર $(r)$ ના ડેટા મુજબ:
$1$. નોર્વેના ઉંદરો માટે $r$ નું મૂલ્ય $0.015$ છે.
$2$. લોટમાં પડતા ઘનેડા માટે $r$ નું મૂલ્ય $0.12$ છે.
$3$. ભારતમાં $1981$ માં માનવ વસ્તી માટે $r$ નું મૂલ્ય $0.0205$ છે.
તેથી, સાચી જોડ આ મુજબ છે:
$P$ (લોટમાં પડતા ઘનેડા) = $0.12$ $(I)$
$Q$ (નોર્વેના ઉંદરો) = $0.015$ $(II)$
$R$ (ભારતમાં $1981$ માં માનવ વસ્તી) = $0.0205$ $(III)$
આમ, સાચો ક્રમ $(P-I), (Q-II), (R-III)$ છે.

(B) આલેખ બે પ્રકારના વસતિવૃદ્ધિના વક્રો દર્શાવે છે:
$1$. વક્ર $P$ એ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ (exponential growth) દર્શાવે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય. ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ માટેનું સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN$ છે.
$2$. વક્ર $Q$ એ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ (logistic growth) દર્શાવે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સંસાધનો મર્યાદિત હોય,જેના પરિણામે વહન ક્ષમતા $(K)$ પ્રાપ્ત થાય છે. લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ માટેનું સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ છે.
તેથી,$P$ અને $Q$ માટેના સાચા સમીકરણો અનુક્રમે $\frac{dN}{dt} = rN$ અને $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ છે.

(A) વિર્હુસ્ટ-$5$ર્લ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
તે નીચે મુજબના ક્રમમાં સિગ્મોઇડ આલેખ અનુસરે છે:
$1$. લેગ તબક્કો: પ્રારંભિક તબક્કો જ્યાં વસ્તી ધીમેથી વધે છે કારણ કે સજીવો પર્યાવરણ સાથે અનુકૂલન સાધે છે.
$2$. ધનાત્મક પ્રવેગ તબક્કો: સંસાધનો પુષ્કળ હોવાથી વસ્તી ઝડપથી વધે છે.
$3$. ઋણાત્મક પ્રવેગ તબક્કો: પર્યાવરણીય અવરોધ (સંસાધનો માટે સ્પર્ધા) ને કારણે વૃદ્ધિ દર ધીમો પડે છે.
$4$. એસિમ્પ્ટોટ (સ્થાયી તબક્કો): વસ્તી પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે,જ્યાં જન્મ દર અને મૃત્યુ દર સમાન થાય છે.

(D) વસ્તી પરિસ્થિતિવિદ્યામાં,પ્રાકૃતિક વૃદ્ધિનો આંતરિક દર $r$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તે જન્મ દર $(b)$ અને મૃત્યુ દર $(d)$ વચ્ચેના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,તેનું સૂત્ર $r = b - d$ છે.
આ મૂલ્ય વસ્તી વૃદ્ધિ પર કોઈપણ જૈવિક અથવા અજૈવિક પરિબળોની અસરોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે.

(B) Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ માં:
- $\frac{dN}{dt}$ એ સમય સાથે વસ્તીના કદમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
- $N$ એ $t$ સમયે વસ્તીની ગીચતા દર્શાવે છે.
- $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર દર્શાવે છે.
- $K$ એ વહન ક્ષમતા (Carrying capacity) દર્શાવે છે,જે ઉપલબ્ધ સંસાધનોને આધારે પર્યાવરણ દ્વારા ટકાવી શકાતી વસ્તીનું મહત્તમ કદ છે.

(D) કોષ સંવર્ધનમાં,બેક્ટેરિયા ઘાતાંકીય (exponential) વૃદ્ધિ અનુભવે છે,જે સમીકરણ $N = N_0 e^{Kt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ સમય $t$ પર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા છે,$N_0$ એ બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા છે,અને $K$ એ વૃદ્ધિ અચળાંક છે.
આ સમીકરણ સમય સાથે ઘાતાંકીય વધારો દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ સમયના સંદર્ભમાં $N/N_0$ ગુણોત્તરમાં ઘાતાંકીય વધારો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(B) વર્હલ્સ્ટ-પર્લ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તીની વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
આ મોડેલમાં,વસ્તી વૃદ્ધિનો દર $\frac{dN}{dt}$ એ સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$N$ એ સમય $t$ પર વસ્તીની ગીચતા દર્શાવે છે,$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે,અને $K$ એ પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા (carrying capacity) છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જેમ $N$ એ $K$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ પદ $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે,જેના કારણે વસ્તી વૃદ્ધિ ધીમી પડે છે અને અંતે વહન ક્ષમતા પર સ્થિર થાય છે.

(A) જ્યારે નિવાસસ્થાનમાં સંસાધનો અમર્યાદિત હોય ત્યારે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ જોવા મળે છે.
આ મોડેલમાં,વસ્તીનું કદ $(N)$ વર્તમાન વસ્તીના કદના પ્રમાણમાં વધે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં વસ્તીના કદમાં થતા ફેરફારનો દર નીચે મુજબના વિકલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dN / dt = rN$
જ્યાં:
$N$ = વસ્તીનું કદ
$t$ = સમય
$r$ = કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચું સૂત્ર છે.

(D) આપેલ વસ્તી વૃદ્ધિના વક્રમાં:
$1$. વક્ર '$a$' ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર્શાવે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય છે.
$2$. વક્ર '$b$' લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ દર્શાવે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સંસાધનો મર્યાદિત હોય છે,જેના પરિણામે સિગ્મોઇડ ($S$-આકારનો) વક્ર મળે છે.
$3$. લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ માટેનું સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ છે,જ્યાં '$K$' એ વહન ક્ષમતા (Carrying capacity) છે.
$4$. તેથી,'$b$' લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ સૂચવે છે,જે Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા નિવાસસ્થાનમાં,વસ્તી વૃદ્ધિ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ (સિગ્મોઇડ વક્ર) ને અનુસરે છે.
$1$. લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્ર લેગ તબક્કા સાથે શરૂ થાય છે,જ્યાં વસ્તી નવા પર્યાવરણ સાથે અનુકૂલન સાધે છે અને વૃદ્ધિ ધીમી હોય છે.
$2$. ત્યારબાદ લોગ તબક્કો (ઘાતાંકીય તબક્કો) આવે છે અને અંતે સ્થાયી તબક્કો (એસિમ્પ્ટોટ) આવે છે,જ્યાં વસ્તીનું કદ નિવાસસ્થાનની વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે.
તેથી,વિધાન-$I$ અને વિધાન-$II$ બંને સાચા છે.

(A) $r$-મૂલ્ય એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર દર્શાવે છે,જે વસ્તી વૃદ્ધિ પર કોઈપણ જૈવિક અથવા અજૈવિક પરિબળોની અસરોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે.
$NCERT$ જીવવિજ્ઞાન પાઠ્યપુસ્તક મુજબ,નોર્વે ઉંદર માટે $r$-મૂલ્ય $0.015$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલમાં,સમીકરણ $dN/dt = rN[(K-N)/K]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$dN/dt$ સમય સાથે વસ્તીના કદમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
$N$ એ સમય $t$ પર વસ્તીની ગીચતા છે.
$K$ એ વહન ક્ષમતા (Carrying capacity) છે,જે પર્યાવરણ દ્વારા ટકાવી શકાતું મહત્તમ વસ્તીનું કદ છે.
'$r$' એ 'કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર' (Intrinsic rate of natural increase) માટે વપરાય છે,જે વસ્તી વૃદ્ધિ પર જૈવિક અને અજૈવિક પરિબળોની અસરનું મૂલ્યાંકન કરતું એક મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે.

(C) સમય $t+1$ પર વસ્તી ગીચતા એ સમય $t$ પરની પ્રારંભિક વસ્તી ગીચતામાં વસ્તીમાં ઉમેરાયેલા સજીવોની સંખ્યા ઉમેરીને અને વસ્તીમાંથી દૂર થયેલા સજીવોની સંખ્યા બાદ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
જન્મ $(B)$ અને અંતઃસ્થળાંતર $(I)$ વસ્તી ગીચતામાં વધારો કરે છે.
મૃત્યુ $(D)$ અને બહિઃસ્થળાંતર $(E)$ વસ્તી ગીચતામાં ઘટાડો કરે છે.
તેથી,સૂત્ર $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ છે.

(C) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ વહન ક્ષમતા $(K)$ ના ખ્યાલ પર આધારિત છે.
પ્રકૃતિમાં,કોઈપણ નિવાસસ્થાનમાં સંસાધનો મર્યાદિત હોય છે જે માત્ર ચોક્કસ મહત્તમ સંખ્યામાં જ સજીવોને ટેકો આપી શકે છે,જેનાથી વધુ વૃદ્ધિ શક્ય નથી.
તેથી,એવું વિધાન કે નિવાસસ્થાન 'કોઈપણ સંખ્યામાં સજીવોને' ટેકો આપી શકે છે તે ખોટું છે,કારણ કે સંસાધનો મર્યાદિત છે અને પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે: જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય,ત્યારે દરેક જાતિમાં સંખ્યામાં વધારો કરવાની તેની સંપૂર્ણ ક્ષમતાને સાકાર કરવાની જન્મજાત ક્ષમતા હોય છે,જેના પરિણામે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ થાય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા નિવાસસ્થાનમાં,વસ્તી શરૂઆતમાં 'લેગ ફેઝ' (lag phase) દર્શાવે છે જ્યાં વૃદ્ધિ દર ખૂબ જ ધીમો હોય છે કારણ કે વસ્તી 'લોગ ફેઝ' (log phase) માં પ્રવેશતા પહેલા પર્યાવરણ સાથે અનુકૂલન સાધે છે.

(B) મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા નિવાસસ્થાનમાં વસ્તી વૃદ્ધિ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ (સિગ્મોઇડ વક્ર) ને અનુસરે છે.
$1$. લેગ તબક્કો: પ્રારંભિક તબક્કો જ્યાં વસ્તી પર્યાવરણ સાથે અનુકૂલન સાધે છે અને વૃદ્ધિ ધીમી હોય છે.
$2$. પ્રવેગ તબક્કો: સંસાધનો પુષ્કળ હોવાથી વસ્તીનું કદ ઝડપથી વધે છે.
$3$. પ્રતિપ્રવેગ તબક્કો: જેમ સંસાધનો મર્યાદિત બને છે,તેમ વૃદ્ધિ દર ધીમો પડવા લાગે છે.
$4$. એસિમ્પ્ટોટ: વસ્તીની ઘનતા પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે અને વૃદ્ધિ સ્થિર થાય છે.

(B) આ આલેખ $J$-આકારનો વક્ર દર્શાવે છે,જે ઘાતાંકીય વસ્તી વૃદ્ધિની લાક્ષણિકતા છે.
ઘાતાંકીય વૃદ્ધિમાં,જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય છે,ત્યારે દરેક જાતિ પાસે સંખ્યામાં વધારો કરવાની તેની જન્મજાત ક્ષમતાને સંપૂર્ણપણે સાકાર કરવાની ક્ષમતા હોય છે.
આના પરિણામે વસ્તી વૃદ્ધિનો વક્ર $J$-આકારનો મળે છે,જે સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ વસ્તીનું કદ છે,$t$ એ સમય છે,અને $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.

(B) આપેલ આલેખ સિગ્મોઇડ વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે,જે મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિની લાક્ષણિકતા છે.
$1$. પ્રારંભિક ધીમી વૃદ્ધિના તબક્કાને 'લેગ તબક્કો' કહેવામાં આવે છે.
$2$. ઝડપી ઘાતાંકીય વૃદ્ધિના તબક્કાને 'લોગ તબક્કો' અથવા 'ઘાતાંકીય તબક્કો' કહેવામાં આવે છે.
$3$. જે તબક્કે વૃદ્ધિનો દર સ્થિર થઈ જાય છે અને વસ્તી પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા સુધી પહોંચે છે,તેને 'સ્થિર તબક્કો' કહેવામાં આવે છે.
$4$. આપેલ આકૃતિમાં,'$X$' એ તે સપાટ વિસ્તાર તરફ નિર્દેશ કરે છે જ્યાં વસ્તીનું કદ સ્થિર થાય છે,જે 'સ્થિર તબક્કા' ને અનુરૂપ છે.

(D) વરહલ્સ્ટ-પર્લ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
જ્યારે વસ્તીની ઘનતાને સમયની સાપેક્ષમાં આલેખવામાં આવે છે,ત્યારે તે શરૂઆતમાં લેગ ફેઝ (lag phase) દર્શાવે છે,ત્યારબાદ એક્સપોનેન્શિયલ ફેઝ (exponential phase) અને અંતે જ્યારે તે વહન ક્ષમતા $(K)$ સુધી પહોંચે છે ત્યારે ધીમી પડતી અવસ્થા (deceleration phase) જોવા મળે છે.
આ ભાતને કારણે સિગ્મોઇડ અથવા $S$-આકારનો વક્ર મળે છે,જે ગાણિતિક રીતે $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) સમય $t+1$ પર વસ્તી ગીચતા એ સમય $t$ પરની પ્રારંભિક ગીચતામાં વસ્તીમાં થતા ઉમેરાને ઉમેરીને અને વસ્તીમાંથી થતા ઘટાડાને બાદ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
વસ્તીમાં ઉમેરો જન્મ $(B)$ અને અંતઃસ્થળાંતર $(I)$ દ્વારા થાય છે.
વસ્તીમાં ઘટાડો મૃત્યુ $(D)$ અને બહિઃસ્થળાંતર $(E)$ દ્વારા થાય છે.
તેથી,સૂત્ર $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ છે.

(A) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ વક્ર $S$-આકારનો (સિગ્મોઇડ) હોય છે,જે ત્રણ મુખ્ય તબક્કાઓ ધરાવે છે:
$1$. લેગ તબક્કો (Lag phase): આ પ્રારંભિક તબક્કો છે જેમાં વૃદ્ધિ ધીમી અને ઓછી હોય છે.
$2$. લોગ તબક્કો (Log phase): આ પ્રવેગિત વૃદ્ધિનો તબક્કો છે,જેમાં વસ્તીમાં ઝડપથી વધારો થાય છે.
$3$. સ્થાયી તબક્કો (Stationary phase): આ અંતિમ તબક્કો છે જેમાં પર્યાવરણીય અવરોધને કારણે વૃદ્ધિ સ્થિર થઈ જાય છે.

(A) પરિસ્થિતિવિદ્યામાં,કોઈ ચોક્કસ પર્યાવરણમાં ઉપલબ્ધ ખોરાક,નિવાસસ્થાન,પાણી અને અન્ય સંસાધનોને ધ્યાનમાં લેતા,જૈવિક પ્રજાતિની મહત્તમ વસ્તી સંખ્યા જે ટકી શકે છે,તેને $Carrying \ capacity$ $(K)$ એટલે કે વહન ક્ષમતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો વસ્તી આ મર્યાદાને ઓળંગી જાય,તો સંસાધનો અપૂરતા બને છે,જેના પરિણામે વસ્તીમાં ઘટાડો થાય છે જ્યાં સુધી તે આ ક્ષમતા પર અથવા તેની નીચે સ્થિર ન થાય.
તેથી,તે મર્યાદા જેની આગળ કોઈ વધુ વૃદ્ધિ શક્ય નથી તેને $Carrying \ capacity$ કહેવામાં આવે છે.

(C) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ માટેનું સમીકરણ $N_t = N_0 e^{rt}$ છે.
અહીં,$N_t$ એ સમય $t$ પછીની વસ્તી ગીચતા છે.
$N_0$ એ પ્રારંભિક વસ્તી ગીચતા છે.
$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર (intrinsic rate of natural increase) છે.
$e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે (આશરે $2.718$).
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય,ત્યારે વસ્તી ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.

(A) ઘાતાંકીય વૃદ્ધિના સમીકરણ $N_{t} = N_{0}e^{rt}$ માં:
$1$. $N_{t}$ એ સમય $t$ પછીની વસ્તી ગીચતા દર્શાવે છે.
$2$. $N_{0}$ એ સમય શૂન્ય પરની વસ્તી ગીચતા (પ્રારંભિક વસ્તી) દર્શાવે છે.
$3$. $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર (intrinsic rate of natural increase) દર્શાવે છે.
$4$. $e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર (આશરે $2.71828$) દર્શાવે છે.
તેથી,$N_{0}$ એ સમય શૂન્ય પરની વસ્તી ગીચતા છે અને $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.

(A) વસ્તી પરિસ્થિતિવિદ્યામાં,એકમ સમયગાળા $t$ દરમિયાન વસ્તીના કદ $N$ માં થતો ફેરફાર જન્મ દર $(b)$ અને મૃત્યુ દર $(d)$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આને સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = (b - d) \times N$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$(b - d)$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર $(r)$ દર્શાવે છે.
જો $b > d$ હોય,તો વસ્તી વધે છે; જો $d > b$ હોય,તો વસ્તી ઘટે છે.

(A) Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ સમીકરણ $dN/dt = rN \left(\frac{K-N}{K}\right)$ માં:
$1$. $N$ એ સમય $t$ પર વસ્તી ગીચતા દર્શાવે છે.
$2$. $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર દર્શાવે છે.
$3$. $K$ એ વહન ક્ષમતા (Carrying capacity) દર્શાવે છે,જે ઉપલબ્ધ સંસાધનોને આધારે પર્યાવરણ દ્વારા ટકાવી શકાતી મહત્તમ વસ્તીનું કદ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ જ્યારે સંસાધનો મર્યાદિત હોય ત્યારે વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે.
આ મોડેલમાં,વસ્તી વૃદ્ધિનો દર $\frac{dN}{dt}$ એ વસ્તીના કદ $N$ અને વહન ક્ષમતા $K$ ના તે ભાગના પ્રમાણમાં હોય છે જે હજુ પણ ઉપલબ્ધ છે,જેને $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ છે,જ્યાં $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે.
વિકલ્પ $A$ આ સાચું ગાણિતિક સમીકરણ દર્શાવે છે.

(C) Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલ મર્યાદિત સંસાધનો ધરાવતા પર્યાવરણમાં વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે. આ સમીકરણ $dN/dt = rN((K - N)/K)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dN/dt$ એ વસ્તીના કદમાં થતો ફેરફારનો દર છે,$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે,$N$ એ સમય $t$ પર વસ્તીની ઘનતા છે,અને $K$ એ પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા (carrying capacity) છે.

(D) વય પિરામિડ વસ્તીમાં વિવિધ વય જૂથોનું વિતરણ દર્શાવે છે.
જ્યારે વસ્તીમાં પ્રજનન-પૂર્વેના વય જૂથના વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ વધુ હોય,ત્યારે વય પિરામિડનો આધાર ખૂબ જ પહોળો હોય છે.
આ પહોળો આધાર સૂચવે છે કે વસ્તી ઝડપથી વધી રહી છે,કારણ કે આ વ્યક્તિઓ ટૂંક સમયમાં પ્રજનન વયમાં પ્રવેશ કરશે.
આવા પિરામિડને 'વિસ્તરતો' (Expanding) અથવા 'ત્રિકોણાકાર' વય પિરામિડ કહેવામાં આવે છે.
ભારતમાં મોટી સંખ્યામાં યુવા વસ્તી હોવાથી,તેનો વય પિરામિડ વિસ્તરતો છે.

(B) સમય $t+1$ પર વસ્તી ગીચતાની ગણતરી સમય $t$ પરની પ્રારંભિક વસ્તીને ધ્યાનમાં લઈને અને જન્મ $(B)$,સ્થળાંતર $(I)$,મૃત્યુ $(D)$,અને ઉત્પ્રવાસ $(E)$ ને કારણે થતા ચોખ્ખા ફેરફારોને ઉમેરીને કરવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર આ મુજબ છે: $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$.
અહીં,$(B + I)$ વસ્તીમાં ઉમેરાયેલ વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે,અને $(D + E)$ વસ્તીમાંથી ગુમાવેલ વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જ્યારે સંસાધનો અમર્યાદિત હોય અને પર્યાવરણીય અવરોધના પરિબળો (વૃદ્ધિને મર્યાદિત કરતા પરિબળો) હાજર ન હોય,ત્યારે વસ્તી ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. આ પ્રકારની વૃદ્ધિને $J$-આકારના વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત,$S$-આકારનો (સિગ્મોઇડ) વક્ર લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ દર્શાવે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સંસાધનો મર્યાદિત હોય અને પર્યાવરણીય અવરોધ હાજર હોય.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિના સમીકરણ $\frac{ dN }{ dt }= rN \left[\frac{ K - N }{ K }\right]$ માં,ચલો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$N$ એ સમય $t$ પર વસ્તી ગીચતા દર્શાવે છે.
$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર (intrinsic rate of natural increase) દર્શાવે છે.
$K$ એ પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા (carrying capacity) દર્શાવે છે.
તેથી,અક્ષર '$r$' એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર દર્શાવે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
Verhulst-Pearl લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ મોડેલને વિકલ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\frac{dN}{dt} = rN \left[\frac{K - N}{K}\right]$
આ સમીકરણમાં:
$1$. $r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર (intrinsic rate of natural increase) દર્શાવે છે,જે વસ્તીની જૈવિક ક્ષમતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
$2$. $N$ એ સમય $t$ પર વસ્તીની ઘનતા દર્શાવે છે.
$3$. $K$ એ વહન ક્ષમતા (carrying capacity) દર્શાવે છે,જે ઉપલબ્ધ સંસાધનોને ધ્યાનમાં લેતા પર્યાવરણ દ્વારા ટકાવી શકાતી મહત્તમ વસ્તીનું કદ છે.

(B) શરૂઆતની વસ્તીનું કદ $(N)$ $100$ છે.
જન્મની સંખ્યા $(B)$ $30$ છે.
મૃત્યુની સંખ્યા $(D)$ $10$ છે.
વસ્તીમાં ચોખ્ખો વધારો $B - D = 30 - 10 = 20$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર $(r)$ ચોખ્ખા વધારાને શરૂઆતની વસ્તીના કદ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
$r = \frac{20}{100} = 0.2$.
તેથી,વસ્તી માટે કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર $0.2$ છે.

(A) વર્હલ્સ્ટ-પર્લ લોજિસ્ટિક વૃદ્ધિ સમીકરણ પર્યાવરણીય સંસાધનો દ્વારા મર્યાદિત વસ્તી વૃદ્ધિનું વર્ણન કરે છે,જેને વહન ક્ષમતા $(K)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ છે.
અહીં,$N$ એ સમય $t$ પર વસ્તીનું કદ દર્શાવે છે,$r$ એ કુદરતી વધારાનો આંતરિક દર છે અને $K$ એ પર્યાવરણની વહન ક્ષમતા છે.