$m=1 \; kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $v_{i}=2 \; m \; s^{-1}$ की गति से क्षैतिज सतह पर चलते हुए $x=0.10 \; m$ से $x=2.01 \; m$ तक के खुरदरे हिस्से में प्रवेश करता है। इस सीमा में ब्लॉक पर कार्य करने वाला मंदक बल $F$,$x$ के व्युत्क्रमानुपाती है,$F_{r} = -k/x$ जहाँ $0.1 < x < 2.01 \; m$ और अन्य क्षेत्रों में $F_{r} = 0$,जहाँ $k=0.5 \; J$ है। इस हिस्से को पार करते समय ब्लॉक की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{f}$ और गति $v_{f}$ क्या होगी?

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है: $K_{f} - K_{i} = W$.
$W = \int_{0.1}^{2.01} F_{r} \, dx = \int_{0.1}^{2.01} \left( -\frac{k}{x} \right) dx = -k [\ln(x)]_{0.1}^{2.01} = -k \ln\left( \frac{2.01}{0.1} \right) = -k \ln(20.1)$.
यहाँ $m = 1 \; kg$,$v_{i} = 2 \; m \; s^{-1}$,और $k = 0.5 \; J$ दिया गया है:
$K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{2} = 2 \; J$.
$K_{f} = K_{i} - k \ln(20.1) = 2 - 0.5 \times \ln(20.1)$.
$\ln(20.1) \approx 3.00$ लेने पर,$K_{f} = 2 - 0.5 \times 3.00 = 2 - 1.5 = 0.5 \; J$.
अब,$v_{f} = \sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{1}} = \sqrt{1} = 1 \; m \; s^{-1}$.