Work Done by Spring and Potential Energy of Spring Questions in Gujarati

(C) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1$ થી અંતિમ લંબાઈ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
આપેલ છે:
બળ અચળાંક $k = 5 \times 10^3 \ N/m$
પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
અંતિમ લંબાઈ $x_2 = 10 \ cm = 10 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times [(10 \times 10^{-2})^2 - (5 \times 10^{-2})^2]$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times [100 \times 10^{-4} - 25 \times 10^{-4}]$
$W = 2500 \times 75 \times 10^{-4}$
$W = 2500 \times 0.0075 = 18.75 \ J$ (અથવા $N-m$).

(C) સ્પ્રિંગના બળઅચળાંક $k$ અને લાગુ પાડેલા બળ $F$ હેઠળ સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{F^2}{2k}$ છે.
અહીં બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા એ બળઅચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $U \propto \frac{1}{k}$.
તેથી,સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $k_1 = 1500 \, N/m$ અને $k_2 = 3000 \, N/m$ મૂકતા:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવાથી તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U \propto x^2$.
આપેલ છે કે $x_1 = 2 \ cm$ ના વિસ્તરણ માટે સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = U$ છે.
$x_2 = 8 \ cm$ ના વિસ્તરણ માટે,ધારો કે સ્થિતિ ઊર્જા $U_2$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{8 \ cm}{2 \ cm} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
તેથી,$U_2 = 16U$.

(C) કિસ્સો $(a)$: જ્યારે સમાન અંતર $x$ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{2} K x^2$ છે. કારણ કે $K_P > K_Q$ અને $x$ સમાન છે,તેથી $W_P = \frac{1}{2} K_P x^2$ અને $W_Q = \frac{1}{2} K_Q x^2$. તેથી,$W_P > W_Q$.
કિસ્સો $(b)$: જ્યારે સમાન બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{F^2}{2K}$ છે. કારણ કે $K_P > K_Q$ અને $F$ સમાન છે,તેથી $W_P = \frac{F^2}{2K_P}$ અને $W_Q = \frac{F^2}{2K_Q}$. કારણ કે $K_P > K_Q$,તેથી $\frac{1}{K_P} < \frac{1}{K_Q}$ થાય,એટલે કે $W_P < W_Q$ અથવા $W_Q > W_P$.

(A) આપેલ છે: સ્પ્રિંગ અચળાંક $K = 10\, N/cm = 1000\, N/m$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = 4\, cm = 0.04\, m$.
અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = 6\, cm = 0.06\, m$.
સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} K (x_2^2 - x_1^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.06)^2 - (0.04)^2)$
$W = 500 \times (0.0036 - 0.0016)$
$W = 500 \times 0.0020$
$W = 1.0\, J$.

(D) સ્પ્રિંગની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
$x_1 = 0.3\, m$ માટે $U_1 = 10\, J$ આપેલ છે,તેથી $10 = \frac{1}{2} k (0.3)^2$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધતા: $k = \frac{20}{0.09} = \frac{2000}{9}\, N/m$.
સ્પ્રિંગને વધારાના $0.15\, m$ ખેંચવામાં આવે છે,તેથી નવું કુલ સ્થાનાંતર $x_2 = 0.3 + 0.15 = 0.45\, m$ થશે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2000}{9} \times (0.45)^2$.
$U_2 = \frac{1000}{9} \times 0.2025 = 1000 \times 0.0225 = 22.5\, J$.
સ્પ્રિંગને વધુ ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_2 - U_1 = 22.5\, J - 10\, J = 12.5\, J$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અવલોકનકાર $A$ (જમીનના સંદર્ભમાં) માટે,બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ છે (કારણ કે બ્લોક સ્થિર થાય છે).
સમક્ષિતિજ દિશામાં બ્લોક પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ સ્પ્રિંગ બળ $(F_s)$ છે.
તેથી,$W_{spring} = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
આમ,અવલોકનકાર $A$ દ્વારા જોવામાં આવતું સ્પ્રિંગ બળનું કાર્ય $-\frac{1}{2}mv_0^2$ છે.

(B) વેજ સ્થિર હોવાથી,આપણે $M$ દળના બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ વિસ્તરણ $x_m$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે,બ્લોકનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$M g (x_m \sin \theta) = \frac{1}{2} k x_m^2$
$x_m$ માટે ઉકેલતા:
$x_m = \frac{2 M g \sin \theta}{k}$
આપેલ છે કે $\theta = 37^\circ$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 37^\circ = \frac{3}{5}$.
$\sin 37^\circ$ ની કિંમત મૂકતા:
$x_m = \frac{2 M g (3/5)}{k} = \frac{6 M g}{5 k}$

(B) બળ $F$ દ્વારા સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં થતું કાર્ય $W = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમાન બળ $F$ માટે,$W_1 > W_2$,તેથી $\frac{F^2}{2k_1} > \frac{F^2}{2k_2}$,જે સૂચવે છે કે $k_1 < k_2$. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને સમાન લંબાઈ $x$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે થતું કાર્ય $W = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
કારણ કે $k_1 < k_2$,સમાન લંબાઈ $x$ માટે,$W_1 = \frac{1}{2}k_1x^2$ અને $W_2 = \frac{1}{2}k_2x^2$. તેથી,$W_1 < W_2$.
વિધાન $1$ દાવો કરે છે કે સમાન લંબાઈ માટે $W_1 > W_2$,જે ખોટું છે.
આમ,વિધાન $1$ ખોટું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે.

(C) દબાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં કણોની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}$ છે.
સિસ્ટમનું રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{16 \times 2}{16 + 2} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \ kg$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનું સમીકરણ $\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ છે.
અહીં $k = 100 \ Nm^{-1}$ અને $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 100 \times (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{16}{9} \times v_{rel}^2$.
$100 \times \frac{1}{16} = \frac{16}{9} \times v_{rel}^2$.
$v_{rel}^2 = \frac{100}{16} \times \frac{9}{16} = \frac{900}{256}$.
$v_{rel} = \sqrt{\frac{900}{256}} = \frac{30}{16} = 1.875 \ ms^{-1}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v_{rel} \approx 1.88 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $kx = mg$.
બળ અચળાંક $k = \frac{2mg}{a}$ આપેલ હોવાથી,આપણે તેને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{2mg}{a} \cdot x = mg$
સ્થાનાંતર $x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{a}{2}$.
પૃથ્વી (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) દ્વારા બ્લોક પર થયેલ કાર્ય $W = F \cdot d = mgx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = mg \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{mga}{2}$.

(B) જ્યારે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી સંકોચાયેલી હોય ત્યારે તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુદરતી લંબાઈ $L_0$ છે અને તે $L_0/2$ સુધી સંકોચાયેલી છે,તેથી સંકોચન $x = L_0 - L_0/2 = L_0/2$ થાય.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર પાછી આવે છે ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{L_0}{2}\right)^2$
$mv^2 = k\frac{L_0^2}{4}$
$v^2 = \frac{k}{m} \cdot \frac{L_0^2}{4}$
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{L_0}{2}$

(D) $1$. જમ્પર $S$ અંતરે સ્થિર થાય તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો એ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારા જેટલો હોય છે: $mgS = \frac{1}{2}K(S-l)^2$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $KS^2 - 2(Kl+mg)S + Kl^2 = 0$ ને ઉકેલતા $S = \frac{(Kl+mg) + \sqrt{2mgKl + m^2g^2}}{K}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. મહત્તમ ઝડપ સંતુલન સ્થિતિમાં મળે છે જ્યાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે: $mg = Kx_{eq} \Rightarrow x_{eq} = \frac{mg}{K}$. કુલ કાપેલું અંતર $l + \frac{mg}{K}$ છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mg(l + \frac{mg}{K}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}K(\frac{mg}{K})^2$. $v$ માટે ઉકેલતા $v = \sqrt{2gl + \frac{mg^2}{K}}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. $l$ અંતર માટે મુક્ત પતનનો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2l}{g}}$ છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. દોરડું ખેંચાયા પછીની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ છે જે કુદરતી લંબાઈની સ્થિતિથી શરૂ થાય છે,જેમાં પ્રારંભિક નીચેની તરફનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gl}$ છે. સૌથી નીચા બિંદુ સુધી પહોંચવાનો સમય માત્ર $\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{K}} + \sqrt{\frac{2l}{g}}$ નથી. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટું વિધાન છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 8\, m/s$,સંકોચન $x = 3\, m$.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = m v_1 = 1 \times 8 = 8\, kg\cdot m/s$.
અંતિમ વેગમાન $P_2 = P_1 / 2 = 4\, kg\cdot m/s$.
$P_2 = m v_2$ હોવાથી,$v_2 = P_2 / m = 4 / 1 = 4\, m/s$ મળે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા જેટલો હોય છે:
$\frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} k x^2$
$m(v_1^2 - v_2^2) = k x^2$
$1 \times (8^2 - 4^2) = k \times 3^2$
$1 \times (64 - 16) = 9k$
$48 = 9k$
$k = 48 / 9 = 16 / 3\, N/m$.

(C) સ્પ્રિંગને $F$ બળ દ્વારા ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ હોવાથી,$x = \frac{F}{k}$ મળે છે.
કાર્યના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $W = \frac{1}{2} k \left(\frac{F}{k}\right)^2 = \frac{F^2}{2k}$.
અચળ બળ $F$ માટે,કરવામાં આવેલું કાર્ય બળ અચળાંક $k$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(W \propto \frac{1}{k})$.
આપેલ છે કે $k_1 > k_2$,તેથી $W_1 < W_2$ થાય.
આમ,બીજી સ્પ્રિંગ $(k_2)$ ના કિસ્સામાં વધુ કાર્ય થાય છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\frac{1}{2}kx^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$ છે.
અંતિમ ઝડપ $v_f = \frac{v}{4}$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_i = v$ આપેલ છે,તેથી:
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(\left(\frac{v}{4}\right)^2 - v^2\right)$
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{16} - v^2\right)$
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(-\frac{15v^2}{16}\right)$
$kx^2 = \frac{15mv^2}{16}$
$k = \frac{15mv^2}{16x^2}$

(C) મહત્તમ સંકોચનના સમયે,બંને દળ સમાન વેગ $v_0$ ધરાવશે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v_0$
$2 \times 10 + 5 \times 3 = (2 + 5) v_0$
$20 + 15 = 7 v_0$
$35 = 7 v_0 \Rightarrow v_0 = 5\,m/s$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ અંતિમ ગતિઊર્જા અને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા બરાબર હોય છે:
$\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_0^2 + \frac{1}{2} K x^2$
$\frac{1}{2} (2) (10)^2 + \frac{1}{2} (5) (3)^2 = \frac{1}{2} (2 + 5) (5)^2 + \frac{1}{2} (1120) x^2$
$100 + 22.5 = 87.5 + 560 x^2$
$122.5 = 87.5 + 560 x^2$
$35 = 560 x^2$
$x^2 = \frac{35}{560} = \frac{1}{16}$
$x = \sqrt{\frac{1}{16}} = 0.25\,m$.

(B) બળ $F$ દ્વારા ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગ પર થયેલ કાર્ય $W = \frac{F^2}{2k}$ છે. સમાન બળ $F$ માટે જો $W_1 > W_2$ હોય,તો $\frac{F^2}{2k_1} > \frac{F^2}{2k_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $k_1 < k_2$. આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.
જ્યારે સમાન સ્થાનાંતર $x$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{2}kx^2$ છે. કારણ કે $k_1 < k_2$,તેથી $\frac{1}{2}k_1x^2 < \frac{1}{2}k_2x^2$ થાય. તેથી,$S_1$ પર થયેલ કાર્ય $S_2$ પર થયેલ કાર્ય કરતા ઓછું છે. આમ,વિધાન $-1$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે સળિયાથી સ્પ્રિંગના સ્થિર છેડા સુધીનું લંબ અંતર $h$ છે. $B$ સ્થાન પરની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\cos 53^{\circ} = \frac{h}{l_0+x}$ છે અને $h = l_0$ છે.
તેથી,$\frac{3}{5} = \frac{l_0}{l_0+x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $3(l_0+x) = 5l_0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3x = 2l_0$,અથવા $x = \frac{2}{3}l_0$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$B$ સ્થાન પર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $A$ સ્થાન પર રીંગની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે (જ્યાં સ્પ્રિંગની લંબાઈ $l_0$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે).
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
$v = x\sqrt{\frac{k}{m}} = \left(\frac{2}{3}l_0\right)\sqrt{\frac{k}{m}}$.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ $(COME)$ મુજબ,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
ધારો કે દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(PE = 0)$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: દડો પ્લેટફોર્મથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. સ્પ્રિંગ તેની મૂળ લંબાઈ પર છે. પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $(KE_i)$ $0$ છે,અને પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(PE_i)$ $0$ છે (જો આપણે મુક્ત કરવાના બિંદુથી માપીએ તો).
અંતિમ સ્થિતિ: દડો અને પ્લેટફોર્મ $x$ જેટલા અંતરે નીચે જાય છે. દડો હવે મુક્ત કરવાના બિંદુની સાપેક્ષમાં $-(h + x)$ ઊભી સ્થિતિ પર છે. સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે. અંતિમ ગતિ ઉર્જા $(KE_f)$ $0$ છે (મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ).
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$
$0 + 0 = -mg(h + x) + \frac{1}{2}kx^2$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$
$k = \frac{2mg(h + x)}{x^2}$

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બ્લોકની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે ઝડપ અડધી થાય $(v' = v/2)$ ત્યારે અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(v/2)^2 = \frac{1}{8}mv^2$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = -\Delta PE = -\frac{1}{2}kx^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = K_f - K_i$.
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{8}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2$.
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{mv^2 - 4mv^2}{8} = -\frac{3mv^2}{8}$.
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{3mv^2}{8}$.
$k = \frac{3mv^2}{4x^2}$.

(C) $x$ અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે, જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $U \propto x^2$.
જ્યારે ખેંચાણ $x$ થી વધારીને $nx$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U'$ નીચે મુજબ થશે:
$U' = \frac{1}{2} K (nx)^2$
$U' = \frac{1}{2} K n^2 x^2$
$U' = n^2 (\frac{1}{2} K x^2)$
કારણ કે $U = \frac{1}{2} K x^2$, તેથી $U' = n^2 u$.

(D) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $U \propto x^2$.
શરૂઆતમાં,સ્થાનાંતર $x_1 = 2 \, cm$ છે,તેથી $U = C(2)^2 = 4C$,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને વધારાની $10 \, cm$ ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કુલ સ્થાનાંતર $x_2 = 2 \, cm + 10 \, cm = 12 \, cm$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = C(12)^2 = 144C$ છે.
નવી ઉર્જા અને પ્રારંભિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{U'}{U} = \frac{144C}{4C} = 36$.
તેથી,નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = 36U$ થશે.

(C) ધારો કે મૂળ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $\ell_0$ અને બળ અચળાંક $k$ છે. સ્પ્રિંગ અચળાંક લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto 1/\ell$.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $\ell_1 = \ell_0/3$ અને $\ell_2 = 2\ell_0/3$ લંબાઈના બે ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના નવા સ્પ્રિંગ અચળાંક નીચે મુજબ થાય છે:
$k_1 = k \cdot (\ell_0 / \ell_1) = k \cdot (\ell_0 / (\ell_0/3)) = 3k$
$k_2 = k \cdot (\ell_0 / \ell_2) = k \cdot (\ell_0 / (2\ell_0/3)) = 1.5k = 3k/2$
સ્પ્રિંગને $x$ જેટલા અંતર સુધી ખેંચવા માટે થયેલું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ભાગોને સમાન અંતર $x$ સુધી ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,થયેલું કાર્ય સ્પ્રિંગ અચળાંકના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(W \propto k)$.
ટૂંકા ભાગ માટે (લંબાઈ $\ell_0/3$),$W_1 = \frac{1}{2} (3k) x^2 = 1.5 k x^2$.
લાંબા ભાગ માટે (લંબાઈ $2\ell_0/3$),$W_2 = \frac{1}{2} (1.5k) x^2 = 0.75 k x^2$.
અહીં $W_1 > W_2$ હોવાથી,ટૂંકા ભાગ માટે થયેલું કાર્ય વધારે હશે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અંતિમ ઝડપ $v_f = \frac{v}{2}$ છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{8}mv^2$ થાય.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી દબાવવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = -\frac{1}{2}kx^2$ છે.
પ્રમેય લાગુ પાડતા: $K_f - K_i = W$.
$\frac{1}{8}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}kx^2$.
$8$ વડે ગુણતા: $mv^2 - 4mv^2 = -4kx^2$.
$-3mv^2 = -4kx^2$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{3mv^2}{4x^2}$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દબાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા દડાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડાની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 15\, g = 15 \times 10^{-3}\, kg$
બળ અચળાંક $k = 600\, N/m$
સંકોચન $x = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$
ઉર્જાને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} mv^2$
$kx^2 = mv^2$
$v^2 = \frac{k}{m} x^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{600}{15 \times 10^{-3}}}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{600000}{15}}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{40000}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \times 200$
$v = 6\, m/s$

(C) ધારો કે દડા $A$ નું દળ $m$ છે. જ્યારે દડા $A$ ને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે નીચે તરફ ગતિ કરે છે અને સ્પ્રિંગને ખેંચે છે. ધારો કે દડાની ગતિના સૌથી નીચલા બિંદુએ સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દડા $A$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે:
$mgx = \frac{1}{2}kx^2$
$mg = \frac{1}{2}kx$
$kx = 2mg$ ... $(1)$
$M$ દળ ધરાવતા બ્લોક $B$ ને જમીન સાથેનો સંપર્ક છોડવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ એ બ્લોક $B$ ના વજન જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ:
$kx \ge Mg$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $kx$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2mg \ge Mg$
$m \ge M/2$
આમ,$A$ નું જરૂરી ન્યૂનતમ દળ $M/2$ છે.

(B) સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અહીં,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1\, N/m$ અને સ્થાનાંતર $x = 2\, m$ આપેલ છે.
કાર્ય $W$ શોધવાનું સૂત્ર:
$W = \int_{0}^{x} kx\, dx = \frac{1}{2} k x^2$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 1\, N/m \times (2\, m)^2$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\, J$.
આમ,સરોજ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $2\, J$ છે.

(D) સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ કે સંકોચન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $U \propto x^2$.
$U$ અને $x$ વચ્ચેનો આલેખ પરવલય (parabola) દર્શાવે છે,સીધી રેખા નહીં.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે કારણ કે સંબંધ દ્વિઘાત છે,રેખીય નથી.
$Reason$ સાચું છે કારણ કે તે યોગ્ય રીતે જણાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જા વિસ્તરણ કે સંકોચનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto x^2)$.

(D) મહત્તમ સંકોચન સમયે,કારની ગતિ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$v = 18.0 \; km/h = 18.0 \times \frac{5}{18} \; m/s = 5 \; m/s$.
ગતિશીલ કારની ગતિ ઊર્જા $K$ છે:
$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \; kg \times (5 \; m/s)^2 = 500 \times 25 = 1.25 \times 10^4 \; J$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચન $x_m$ પર,સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $V$ એ કારની ગતિ ઊર્જા $K$ જેટલી હોય છે:
$V = \frac{1}{2} k x_m^2 = K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (6.25 \times 10^3) \times x_m^2 = 1.25 \times 10^4$.
$x_m^2 = \frac{2 \times 1.25 \times 10^4}{6.25 \times 10^3} = \frac{2.5 \times 10^4}{6.25 \times 10^3} = 0.4 \times 10 = 4$.
$x_m = \sqrt{4} = 2 \; m$.

(N/A) ધારો કે એક સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગ છે,જે હૂકના નિયમનું પાલન કરે છે અને તેનું દળ અવગણ્ય છે. તેનો એક છેડો દીવાલ સાથે મજબૂત રીતે બાંધેલો છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. સ્પ્રિંગના બીજા છેડે એક બ્લોક બાંધેલો છે જે લીસી આડી સપાટી પર સ્થિર છે.
સરળતા ખાતર,આપણે બ્લોકની ગતિને $X$-દિશામાં મર્યાદિત રાખીશું.
સ્પ્રિંગની સામાન્ય સ્થિતિમાં,બ્લોકનું સ્થાન $x=0$ લેવામાં આવે છે,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
જ્યારે બ્લોકને ખેંચવામાં આવે છે અને સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં $x$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F_{S}$ ઉત્પન્ન થાય છે જે સ્પ્રિંગને તેની સામાન્ય સ્થિતિમાં પાછી લાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગને દબાવવામાં આવે ત્યારે પણ પુનઃસ્થાપક બળ (સ્પ્રિંગ બળ) ઉત્પન્ન થાય છે. આ આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં દર્શાવેલ છે. પુનઃસ્થાપક બળ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતા ફેરફારના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને તે લંબાઈમાં થતા ફેરફારની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. સ્પ્રિંગ માટેના આ બળના નિયમને હૂકનો નિયમ કહેવામાં આવે છે: $F_{S} = -kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક અથવા બળ અચળાંક છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{|F_{S}|}{|x|}$,તેનો એકમ $N/m$ છે.
જો $k$ મોટું હોય તો સ્પ્રિંગ સખત કહેવાય અને જો $k$ નાનું હોય તો સ્પ્રિંગ નરમ કહેવાય.
ધારો કે બ્લોકને આકૃતિ $(b)$ મુજબ બહારની તરફ ખેંચવામાં આવે છે. જો વિસ્તરણ $x_{m}$ હોય,તો સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$W_{S} = \int_{0}^{x_{m}} F_{S} dx = \int_{0}^{x_{m}} (-kx) dx$
$W_{S} = -k \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{x_{m}} = -\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જા $V(x)$ ને બાહ્ય બળ દ્વારા તેને ખેંચવા કે દબાવવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલા કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે:
$V(x) = -W_{S} = \frac{1}{2} k x^{2}$

(N/A) ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $m$ દળનો બ્લોક ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $x=0$ એ સંતુલન સ્થિતિ છે.
જ્યારે બ્લોકને $x_m$ સ્થાનાંતર સુધી ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $-x_m$ અને $+x_m$ ની વચ્ચે દોલનો કરે છે. કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નો સરવાળો છે:
$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
અંતિમ સ્થિતિ $x = x_m$ પર,વેગ $v = 0$ છે,તેથી કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E = \frac{1}{2}kx_m^2$
તંત્ર સંરક્ષી હોવાથી,કોઈપણ સ્થાન $x$ પર કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે:
$\frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
સંતુલન સ્થિતિ $x=0$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ છે,જ્યાં $v = v_m$:
$\frac{1}{2}mv_m^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$
$v_m$ માટે ઉકેલતા:
$v_m^2 = \frac{k}{m}x_m^2 \implies v_m = \sqrt{\frac{k}{m}}x_m$
આ સાબિત કરે છે કે ગતિ ઉર્જાનું સ્થિતિ ઉર્જામાં અને સ્થિતિ ઉર્જાનું ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે,પરંતુ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.

(N/A) સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$ એ સ્પ્રિંગની જડતાનું માપ છે. તેને સ્પ્રિંગમાં એકમ વિસ્તરણ અથવા સંકોચન ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$F = -kx$,જ્યાં $F$ એ પુનઃસ્થાપક બળ છે,$x$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે. તેનો $SI$ એકમ $N/m$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને $x_1$ થી $x_2$ સ્થાન પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = -\frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે સ્પ્રિંગ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$,જે સ્પ્રિંગની જડતા દર્શાવે છે.
$2$. સ્પ્રિંગનું પ્રારંભિક સ્થાન $(x_1)$.
$3$. સ્પ્રિંગનું અંતિમ સ્થાન $(x_2)$.

(C) સ્પ્રિંગ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સંરક્ષી બળ દ્વારા બંધ માર્ગ અથવા ચક્રીય પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે સ્પ્રિંગ બળ $F = -kx$ એ માત્ર સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે,તેથી સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય,જેમાં સ્પ્રિંગ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછી આવે છે,તે $\oint F \cdot dx = 0$ થાય છે.

(A) જ્યારે સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં કે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના પુનઃસ્થાપક બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સ્થિતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરના વર્ગ $(x^2)$ પર આધારિત હોવાથી,કોઈપણ સ્થાનાંતર (ખેંચવું કે દબાવવું) સ્થિતિઊર્જામાં વધારો કરે છે.

(A) જ્યારે સ્પ્રિંગને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલા સ્થાનાંતર દ્વારા ખેંચવામાં અથવા દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે. આ કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2}kx^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો અચળાંક છે. કારણ કે $U$ એ સ્થાનાંતર $x^2$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી કોઈપણ શૂન્યતર સ્થાનાંતર (ખેંચવા માટે ધન અથવા દબાવવા માટે ઋણ) સંતુલન સ્થિતિ $(x=0)$ ની તુલનામાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો કરે છે.

(A) ખેંચાણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ધન હોય છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય ખેંચાણ બળ સ્પ્રિંગના છેડાના સ્થાનાંતરની દિશામાં જ લગાડવામાં આવે છે.
અહીં બળ $F$ અને સ્થાનાંતર $dx$ બંને એક જ દિશામાં હોવાથી,થતું કાર્ય $W = \int F \cdot dx$ ધન મળે છે.

(C) આપેલ દળ $m = 50,000 \, kg$ અને પ્રારંભિક વેગ $v = 36 \, km/h = 10 \, m/s$ છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 50,000 \times (10)^2 = 2.5 \times 10^6 \, J$ છે.
ઘર્ષણને કારણે $90 \%$ ગતિ ઉર્જાનો વ્યય થતો હોવાથી,માત્ર $10 \%$ ઉર્જા શોક એબ્સોર્બરની સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\Delta E = \frac{1}{2} k x^2$,જ્યાં $x = 1.0 \, m$ એ સંકોચન છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Delta E = 10 \% \text{ of } K = 0.10 \times 2.5 \times 10^6 \, J = 2.5 \times 10^5 \, J$.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} k (1.0)^2 = 2.5 \times 10^5 \, J$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = 2 \times 2.5 \times 10^5 = 5.0 \times 10^5 \, N/m$.

(B) સ્પ્રિંગને $y$ અંતર સુધી ખેંચવાથી તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$y_1 = 3 \, cm$,તેથી $U_1 = \frac{1}{2} k (3)^2 = \frac{9}{2} k$.
બીજા કિસ્સા માટે,$y_2 = 6 \, cm$,તેથી $U_2 = \frac{1}{2} k (6)^2 = \frac{36}{2} k$.
બંને ઊર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2} k (6)^2}{\frac{1}{2} k (3)^2} = \frac{36}{9} = 4$.
તેથી,$U_2 = 4 U_1$.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ $x_{max}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે.
$mg x_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$x_{max}$ માટે ઉકેલતા ($x_{max} \neq 0$ ધારીને):
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ તણાવ હૂકના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T_{max} = k x_{max}$
$x_{max}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_{max} = k \left( \frac{2mg}{k} \right) = 2mg$

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચન સમયે દડાની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $y$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય અથવા ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} ky^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 4\, kg$,$v = 10\, ms^{-1}$,$k = 100\, Nm^{-1}$.
$\frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times y^2$
$2 \times 100 = 50 \times y^2$
$200 = 50 \times y^2$
$y^2 = 4$
$y = 2\, m$
સ્પ્રિંગની પ્રારંભિક લંબાઈ $8\, m$ છે. સંકોચાયેલી લંબાઈ $x$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \text{પ્રારંભિક લંબાઈ} - \text{સંકોચન}$
$x = 8 - 2 = 6\, m$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $6$ છે.

(D) ધારો કે દડાનું દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$ છે. જે ઊંચાઈએથી તેને પાડવામાં આવે છે તે $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે. સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $x = \frac{h}{2} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,દડાની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
દડાનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h + x = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$ છે.
તેથી,$mg \left( h + \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{2} kx^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 \times 10 \times \left( 0.1 + 0.05 \right) = \frac{1}{2} \times k \times (0.05)^2$.
$1 \times 0.15 = \frac{1}{2} \times k \times 0.0025$.
$0.15 = k \times 0.00125$.
$k = \frac{0.15}{0.00125} = \frac{150000}{1250} = 120 \, N \, m^{-1}$.

(B) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m = 250\,g = 0.25\,kg$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2\,N/m$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ ના સમયે,બંને બ્લોક દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ પર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{2mv^2}{k} \implies x = v \sqrt{\frac{2m}{k}}$.
આપેલ કિંમતો $m = 0.25\,kg$ અને $k = 2\,N/m$ મૂકતા:
$x = V \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{2}} = V \sqrt{0.25} = 0.5V = \frac{V}{2}$.

(C) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે,જે $U = \frac{1}{2} K x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગને $a$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ પ્રારંભિક કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2} K a^2$ છે.
સ્પ્રિંગને કુલ $(a+b)$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W_2 = \frac{1}{2} K (a+b)^2$ છે.
સ્પ્રિંગને વધુ $b$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ કુલ કાર્ય અને પ્રારંભિક કાર્ય વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta W = W_2 - W_1$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (a+b)^2 - \frac{1}{2} K a^2$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (a^2 + 2ab + b^2 - a^2)$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (2ab + b^2)$
$\Delta W = \frac{1}{2} K b(2a + b)$.

(B) સ્થિતિસ્થાપક બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$x$ લંબાઈ સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,દોરી $x$ લંબાઈ સુધી ખેંચાયેલી છે. તેથી પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
તેને વધુ $y$ લંબાઈ સુધી ખેંચ્યા પછી,કુલ લંબાઈ $(x+y)$ થાય છે. અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ છે.
બીજા ખેંચાણ દરમિયાન બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_f - U_i$
$W = \frac{1}{2} k(x+y)^2 - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy) - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + kxy - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} ky^2 + kxy$
$W = \frac{1}{2} ky(y + 2x)$
આમ,કરવામાં આવેલું કાર્ય $\frac{1}{2} ky(2x+y)$ છે.

(A) $x$ અંતર સુધી ખેંચાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રારંભિક ખેંચાણ $x_1 = 2\,cm$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ છે.
અંતિમ ખેંચાણ $x_2 = 8\,cm$ માટે,નવી સ્થિતિ ઊર્જા $U'$ એ $U' = \frac{1}{2} k (8)^2 = 32k$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{U'}{U} = \frac{\frac{1}{2} k (8)^2}{\frac{1}{2} k (2)^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = (4)^2 = 16$.
તેથી,$U' = 16\,U$.

(C) જ્યારે બ્લોક $B$ ને દીવાલ $1$ તરફ $x$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $S1$ $x$ જેટલી દબાય છે,જ્યારે સ્પ્રિંગ $S2$ અખિંચાયેલી રહે છે કારણ કે આધાર $M2$ દીવાલ સાથે જોડાયેલ નથી અને બ્લોક સાથે ગતિ કરે છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
જ્યારે બ્લોકને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિ તરફ અને પછી દીવાલ $2$ તરફ ગતિ કરે છે. જ્યારે તે દીવાલ $2$ તરફ $y$ અંતરે ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $S2$ $y$ જેટલી દબાય છે,જ્યારે સ્પ્રિંગ $S1$ અખિંચાયેલી રહે છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} (4k) y^2$ છે.
ઘર્ષણ ન હોવાથી અને આધારનું દળ અવગણ્ય હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (4k) y^2$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $x^2 = 4y^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = \frac{x^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $y = \frac{x}{2}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) સ્પ્રિંગને $x$ જેટલી લંબાઈ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સ્પ્રિંગ માટે ખેંચાણ $x$ સમાન હોવાથી,કરવામાં આવતું કાર્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(W \propto k)$.
આપેલ છે કે $k_{A} > k_{B}$,તેથી $W_{A} > W_{B}$ થશે.
આમ,સ્પ્રિંગ $A$ ને ખેંચવા માટે વધુ કાર્યની જરૂર પડશે.

(B) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$x_1 = 1 \ cm$,તેથી $U = \frac{1}{2} K (1)^2 = \frac{1}{2} K$.
બીજા કિસ્સામાં,$x_2 = 4 \ cm$,તેથી નવી સ્થિતિઊર્જા $U'$ એ $U' = \frac{1}{2} K (4)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} K)$ થશે.
$U'$ ના સમીકરણમાં $U$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U' = 16 U$ મળે છે.