જો વેગમાન $(P)$,ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને સમય $(T)$ ને મૂળભૂત ભૌતિક રાશિઓ તરીકે લેવામાં આવે,તો ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર શું થશે?

પ્રકાશની ઝડપ $(c)$,ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ ને એક પદ્ધતિમાં મૂળભૂત એકમો તરીકે લેવામાં આવે છે. આ નવી પદ્ધતિમાં સમયનું પરિમાણ શું હશે?

સમાન સંખ્યામાં ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનોના ગીચ સમૂહને તટસ્થ પ્લાઝ્મા કહેવામાં આવે છે. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનથી ઘેરાયેલા નિશ્ચિત ધન આયનો ધરાવતા અમુક ઘન પદાર્થોને તટસ્થ પ્લાઝ્મા તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે $N$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, દરેકનું દળ $m$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ભારે ધન આયનોથી સાપેક્ષ રીતે દૂર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય, તો ઇલેક્ટ્રોન ધન આયનોની આસપાસ કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_p$ સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે, જેને પ્લાઝ્મા આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. આ દોલનોને જાળવી રાખવા માટે, સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને લાગુ કરવાની જરૂર છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય, જ્યાં ઉર્જાનો એક ભાગ શોષાય છે અને એક ભાગ પરાવર્તિત થાય છે. જેમ જેમ $\omega$ એ $\omega_p$ ની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે બધા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એકસાથે અનુનાદમાં આવે છે અને બધી ઉર્જા પરાવર્તિત થાય છે. આ ધાતુઓની ઉચ્ચ પરાવર્તકતાનું કારણ છે.
$1.$ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જને $e$ અને પરમિટિવિટીને $\varepsilon_0$ તરીકે લઈને, $\omega_p$ માટે સાચું સૂત્ર નક્કી કરવા માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરો.
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા ધરાવતી ધાતુ માટે પ્લાઝ્મા પરાવર્તન કઈ તરંગલંબાઇ પર થશે તેનો અંદાજ લગાવો. $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ અને $m \approx 10^{-30}$ લો, જ્યાં આ જથ્થાઓ યોગ્ય $SI$ એકમોમાં છે.
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

એક સામાન્ય દહન એન્જિનમાં,ગેસના અણુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \alpha^{2} \beta e^{\frac{-\beta x^{2}}{kT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ અચળાંકો હોય,તો $\alpha$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શું હશે?

$A=B+\frac{C}{D+E}$ સમીકરણમાં,ભૌતિક રાશિઓ $B$ અને $C$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[L^{1} M^{0} T^{-1}]$ અને $[L^{1} M^{0} T^{0}]$ છે. તો $A, D$ અને $E$ ના પરિમાણો શું હશે?

નળીના આડછેદના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રતિ સેકન્ડ વહેતા પ્રવાહીનું દળ $P^x$ અને $v^y$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $P$ એ દબાણનો તફાવત છે અને $v$ એ વેગ છે. તો,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?