Adiabatic Process Questions in Gujarati

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. કારણ કે $Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે થયેલ કાર્ય એ આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું છે,એટલે કે $|W| = |\Delta U|$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T$ છે. તેથી,થયેલ કાર્ય $W = -nC_v(T_2 - T_1) = nC_v(T_1 - T_2)$ થાય છે. થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $(T_2 - T_1)$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(E)$ સાચું છે.
વિધાન $(A), (C),$ અને $(D)$ ખોટા છે કારણ કે તે સમતાપી અથવા અન્ય પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ માત્ર $(B), (E)$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 800 \ cm^3$,અંતિમ કદ $V_2 = 200 \ cm^3$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times (800)^{1.5-1} = T_2 \times (200)^{1.5-1}$.
$300 \times (800)^{0.5} = T_2 \times (200)^{0.5}$.
$T_2 = 300 \times \left( \frac{800}{200} \right)^{0.5} = 300 \times (4)^{0.5} = 300 \times 2 = 600 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 \ K - 300 \ K = 300 \ K$ છે.

(C) વાયુ થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ પાત્રમાં હોવાથી અને અચાનક સંકોચન થતું હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ છે.
અહીં,$V_f = \frac{1}{8} V_i$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_i}{V_f} = 8$.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^\gamma$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{P_f}{P_i} = (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $32$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંબંધ $TV^{x} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = \gamma - 1$ મળે છે.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$ થાય છે.
હવે $x$ ના સૂત્રમાં $\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.

(D) આપેલ છે: $\mu = 1 \text{ mole}$,$\gamma = \frac{5}{3}$,$T_1 = 127^{\circ} C = 400 \ K$,$V_2 = \frac{8}{27} V_1$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
તંત્ર પર થયેલું કાર્ય $W = -\frac{\mu R (T_2 - T_1)}{\gamma - 1}$.
$R = 2 \text{ cal/mol K}$ લેતા,$W = -\frac{1 \times 2 \times (900 - 400)}{\frac{5}{3} - 1} = -\frac{2 \times 500}{\frac{2}{3}} = -\frac{1000 \times 3}{2} = -1500 \text{ cal}$.
તંત્ર પર થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $1500 \text{ cal}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$V_2 = \frac{V_1}{4}$ અને $\gamma = 1.5$.
પ્રક્રિયા અચાનક થતી હોવાથી,તે એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ મળે છે.
અહીં $\frac{V_1}{V_2} = 4$ અને $\gamma - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$ હોવાથી,$T_2 = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2 = 2 T_1$ થાય.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 2 T_1 - T_1 = T_1$ છે.
વાયુ સામાન્ય તાપમાને હોવાથી,$T_1 = 273 \ K$ છે.
તેથી,તાપમાનમાં થતો વધારો $273 \ K$ છે.

(C) એડિયાબેટિક (રૂદ્ધોષ્મ) સંકોચન માટે,સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: $V_{\text{new}} = \frac{1}{4} V$ અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$
$P \cdot V^{\gamma} = P_{\text{new}} \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma} = (4)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
તેથી,$P_{\text{new}} = 8P$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $Q = \Delta U + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $Q = 0$ થાય છે.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં $Q = 0$ મૂકતા: $0 = \Delta U + W$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\Delta U = -W$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $\Delta U = -W$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ પોઈસનના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $p V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = RT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $V = \frac{RT}{p}$.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$p \left( \frac{RT}{p} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$
$p^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$
$p \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
આને આપેલા સંબંધ $p \propto T^{C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{2}$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
જ્યારે વાયુનું સંકોચન થાય છે,ત્યારે વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી $\Delta W$ ઋણ હોય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = -(\text{ઋણ કિંમત})$,જે ધન $\Delta U$ આપે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ધન ફેરફાર $(\Delta U > 0)$ નો અર્થ છે કે વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta Q = \Delta U + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + W$.
તેથી,$\Delta U = -W$.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
અહીં $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$ અને $\gamma = 3/2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = T_2 (2V)^{\gamma-1}$.
$T_2 = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2}$.
$W = 2 R T \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} R T (\sqrt{2}-1) = R T (2 - \sqrt{2})$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
અહીં $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,અને $\gamma = \frac{7}{5}$ આપેલ છે.
તેથી $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ ને $T_f = 4T_i$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને $P \propto T^{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
દ્રઢ ડાયટોમિક વાયુ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $(f)$ $5$ છે.
એડિયાબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$.
$c$ ના સમીકરણમાં $\gamma$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$c = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
તેથી,$c$ નું મૂલ્ય $3.5$ છે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^{n} = \text{constant}$ માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નું સૂત્ર $C = C_{V} + \frac{R}{1-n}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = 0$, તેથી: $0 = C_{V} + \frac{R}{1-n}$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ મૂકતા, આપણને મળે છે: $0 = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{R}{n-1} = \frac{R}{\gamma-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n-1 = \gamma-1$, જેનું સાદું રૂપ $n = \gamma$ થાય છે.
તેથી, આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે અને $n$ નું મૂલ્ય $\gamma$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
તેથી, $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે.
આમ, $T_1 (A L_1)^{2/3} = T_2 (A L_2)^{2/3}$.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $(T_2 / T_1) = (L_1 / L_2)^{2/3}$ મળે છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P_0$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
સમોષ્મી ઘાતાંક $\gamma = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 V^{\gamma} = P_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\gamma}$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\gamma} = P_0 (8)^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$P_2 = P_0 (8)^{4/3} = P_0 (2^3)^{4/3} = P_0 (2^4) = 16 P_0$.
આમ,નવું દબાણ $16 P_0$ થશે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ એ $\Delta U = Q + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q$ એ સિસ્ટમમાં ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં વધારો એ સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલો છે, તેથી $\Delta U = W$.
આને પ્રથમ નિયમના સમીકરણ સાથે સરખાવતા, આપણને $Q = 0$ મળે છે.
એક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા જેમાં આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$ તેને એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
તેથી, $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(T_1, V_1) = (T, V)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(T_2, V_2) = (xT, V/27)$ છે.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T(V)^{2/3} = (xT) \left(\frac{V}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\left(\frac{1}{3^3}\right)^{1/3}\right)^2 = x \left(\frac{1}{3^2}\right) = x \left(\frac{1}{9}\right)$.
આમ, $x = 9$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુઓનો r.m.s. વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, $v_{rms}$ ને $4$ ગણો ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે તાપમાન $T$ ને $4^2 = 16$ ગણું ઘટાડવું પડે.
તેથી, $T_f = \frac{T_i}{16}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આમ, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{16} V_f^{1.5-1}$.
$V_i^{0.5} = \frac{1}{16} V_f^{0.5}$.
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{16} \sqrt{V_f}$.
$\sqrt{\frac{V_f}{V_i}} = 16$.
$\frac{V_f}{V_i} = 16^2 = 256$.
તેથી, વાયુનું $256$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે વાયુ મોનોએટોમિક છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$.
તેથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
અંતિમ કદ $V_2 = 12.5 \% \text{ of } V_1 = 0.125 V_1 = (1/8) V_1$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $T_1 V_1^{2/3} = T_2 (V_1/8)^{2/3}$.
$T_2 = T_1 \times (V_1 / (V_1/8))^{2/3} = T_1 \times (8)^{2/3}$.
$T_2 = T_1 \times (2^3)^{2/3} = T_1 \times 2^2 = 4T_1$.
આને $T_2 = xT_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(D) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 360 \text{ c.c.}$,અંતિમ કદ $V_2 = 90 \text{ c.c.}$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$,અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$P \times (360)^{5/2} = P_2 \times (90)^{5/2}$
$P_2 = P \times \left( \frac{360}{90} \right)^{5/2}$
$P_2 = P \times (4)^{5/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \times 2^5$
$P_2 = 32P$
તેથી,અંતિમ દબાણ $32P$ થશે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1$
કાર્ય $W = 6R$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = T$
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = 5/3$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3) - 1}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{3(T - T_f)}{2}$
$12 = 3(T - T_f)$
$4 = T - T_f$
$T_f = T - 4$
તેથી,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $(T - 4) \ K$ થશે.

(C) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma > 1$ હોવાથી,એડિબેટિક વક્ર સમતાપી વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
આપેલ $P-V$ આલેખમાં,$AD$ અને $BC$ વિભાગો $AB$ અને $CD$ વિભાગોની તુલનામાં વધુ તીવ્ર ઢાળ ધરાવે છે.
તેથી,એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ $AD$ અને $BC$ વિભાગો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
ઘાતાંક $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ માં $\gamma$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$x = \frac{1.4}{1.4-1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
આમ,$P \propto T^{3.5}$,તેથી $x$ નું મૂલ્ય $3.5$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^K$,તેથી $K = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = C_v + R$. આપેલ છે કે $R = 0.4 C_v$,તેથી $C_p = C_v + 0.4 C_v = 1.4 C_v$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{1.4 C_v}{C_v} = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
$K$ ના સમીકરણમાં $\gamma = 7/5$ મૂકતા:
$K = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2}$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ થાય.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ થાય.
વાયુ અચળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં હોવાથી,કદ $V = A \times L$ થાય. તેથી,$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$V_2 = (8/27) V_1$,અને $\gamma = 5/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_1}{(8/27)V_1}\right)^{(5/3)-1} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$T_2 = 2.25 \times 300 \ K = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ થાય.

(C) પ્રક્રિયા અચાનક થતી હોવાથી,તે એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
આપેલ છે: $V_2 = \frac{V_1}{4}$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 4$.
આપેલ છે: $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (4)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 8 P_1$ થાય,જે પ્રારંભિક દબાણ કરતા $8$ ગણું છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના પર્યાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. કારણ કે $Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$,જેનો અર્થ છે કે કરવામાં આવેલું તમામ કાર્ય આંતરિક ઉર્જાના ભોગે થાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે. વિધાન $PV = \text{અચળ}$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,એડિબેટિક નહીં.
તેથી,'$PV=$ અચળ' વિધાન ખોટું છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સિસ્ટમને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ $\Delta Q = \Delta U + dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + dW$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\Delta U = -dW$ મળે છે.
તેથી,શરત $\Delta U = -dW$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા સૂચવે છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ થાય. આ કિંમત સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{અચળ}$
$P \rho^{-\gamma} = \text{અચળ}$
તેથી,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)^{\gamma}$.
અહીં $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{\frac{7}{5}}$
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{\frac{7}{5}} = 2^7 = 128$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમમાં કે સિસ્ટમમાંથી કોઈ ઉષ્માનું વહન થતું નથી $(dQ = 0)$.
કારણ: આ પ્રક્રિયા સામાન્ય રીતે ખૂબ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થવા માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે અને તે સૂત્ર $\Delta U = nC_v\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ છે।
આ કિંમતને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે: $\Delta U = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T_2 - T_1)$।
તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{nR}{\gamma-1}(T_2 - T_1)$ છે।

(D) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (અદ્રાવ્ય) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ છે.
આપેલ છે: $V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{4}$,$P_1 = P$ અને $\gamma = \frac{5}{2}$.
આ કિંમતોને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \cdot V^{\gamma} = P_2 \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot 2^5$
$P_2 = 32 P$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta Q = \Delta U + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + W$.
તેથી,$\Delta U = -W$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $p V^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $p$ અને પ્રારંભિક કદ $V$ છે.
અંતિમ કદ $V' = \frac{V}{8}$ છે.
સમોષ્મી સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $p V^{\gamma} = P' (V')^{\gamma}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $p V^{4/3} = P' \left(\frac{V}{8}\right)^{4/3}$.
$P' = p \left(\frac{V}{V/8}\right)^{4/3} = p (8)^{4/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $P' = p (2^3)^{4/3} = p (2^4) = 16p$.
આમ,નવું દબાણ $16p$ થશે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
એડિબેટિક માર્ગ $BC$ માટે,બિંદુઓ $B$ અને $C$ એ $T_1$ અને $T_2$ આઈસોથર્મલ રેખાઓને જોડતા એડિબેટિક વક્ર પર આવેલા છે. તેથી:
$T_1 V_b^{\gamma-1} = T_2 V_c^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(1)$
એડિબેટિક માર્ગ $AD$ માટે,બિંદુઓ $A$ અને $D$ એ $T_1$ અને $T_2$ આઈસોથર્મલ રેખાઓને જોડતા એડિબેટિક વક્ર પર આવેલા છે. તેથી:
$T_1 V_a^{\gamma-1} = T_2 V_d^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \frac{V_b}{V_c} = \frac{V_a}{V_d}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V_b}{V_a} = \frac{V_c}{V_d}$
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) સંકોચન અચાનક થતું હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = V/8$,અને $\gamma = 5/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/8} \right)^{(5/3) - 1}$
$T_2 = 300 \times (8)^{2/3}$
$T_2 = 300 \times (2^3)^{2/3} = 300 \times 2^2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બે અલગ-અલગ અવસ્થાઓ $(P_1, V_1, T_1)$ અને $(P_2, V_2, T_2)$ માટે,આ સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ તરીકે આપવામાં આવે છે। અહીં, $\gamma = 3/2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P = nRT/V$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $(nRT/V)V^{\gamma} = \text{constant}$, જેનું સાદું રૂપ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ થાય છે.
અહીં $\gamma = 3/2$ હોવાથી, સંબંધ $TV^{(3/2 - 1)} = TV^{1/2} = \text{constant}$ બને છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T$ અને $V_2 = V_1/2$.
$T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{1/2} = T (V_1 / (V_1/2))^{1/2} = T (2)^{1/2} = \sqrt{2}T$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ મુજબ,આપણે તેને $T \propto V^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $TV^{1/2} = \text{constant}$.
બંને સમીકરણો $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ અને $TV^{1/2} = \text{constant}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma - 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\gamma = 1 + 0.5 = 1.5$ મળે છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ને $\Delta Q = \Delta U + dW$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $0 = \Delta U + dW$ મળે છે.
તેથી,$\Delta U = -dW$ થાય છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના $(1/8)$ ભાગ જેટલું સંકોચવામાં આવે છે,તેથી $V_2 = V_1 / 8$,જેનો અર્થ છે કે $V_1 / V_2 = 8$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 4/3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_2 / P_1 = (V_1 / V_2)^\gamma$
$P_2 / P_0 = (8)^{4/3}$
$P_2 / P_0 = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16$
તેથી,નવું દબાણ $P_2 = 16 P_0$ થશે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $V_2 = \frac{8}{27} V_1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
$\gamma = 5/3$ હોવાથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
$T_2 = \frac{9}{4} \times 300 = 9 \times 75 = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ છે. દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{V}$ થાય.
આપેલ છે કે અંતિમ ઘનતા પ્રારંભિક ઘનતા કરતાં બમણી છે,એટલે કે $\rho_2 = 2\rho_1$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{2}$ અથવા $\frac{V_1}{V_2} = 2$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P_2 = p \times (2)^{7/5} = p \times (2)^{1.4}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$2^{1.4} \approx 2.639$.
આમ,અંતિમ દબાણ આશરે $2.63p$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1$,અંતિમ કદ $V_2 = V_1/8$,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણના ગુણોત્તર માટે: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_1} = (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $32$ છે.

(C) નિરુદ્ધોષ્મ પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ પરથી, આપણને $V = \frac{RT}{P}$ મળે છે.
નિરુદ્ધોષ્મ સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{અચળ}'$
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}'$
$P^{1-\gamma} = \frac{\text{અચળ}'}{T^{\gamma}}$
$P = \text{અચળ}'' \cdot T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$
આને $P \propto T^{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1.4$ (અથવા $\frac{7}{5}$) છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = 3.5$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.