અ Gujarati
Adiabatic Process Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Thermodynamics · Adiabatic Process
325+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 325 questions in Gujarati
151
MediumMCQ
શું એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે?
A
હા
B
ના
C
વાયુ પર આધાર રાખે છે
D
પ્રક્રિયા પર આધાર રાખે છે
Solution
(A) હા,એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર કાર્ય થતું હોવાથી,$\Delta W \neq 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U \neq 0$. આમ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર કાર્ય થતું હોવાથી,$\Delta W \neq 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U \neq 0$. આમ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર થાય છે.
0 likes
View Solution152
Difficult
શું ઉષ્મા આપ્યા વગર વાયુનું તાપમાન વધારવું શક્ય છે? સમજાવો.
Solution
(A) હા,એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) સંકોચન દરમિયાન,વાયુને કોઈ પણ ઉષ્મા આપ્યા વગર પણ તેનું તાપમાન વધે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = dU + dW$
$\Delta Q = 0$ હોવાથી,$0 = dU + dW$,જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$.
સંકોચન દરમિયાન,વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી કાર્ય $dW$ ઋણ હોય છે $(dW < 0)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $dU = -(-|dW|) = |dW|$.
$dU > 0$ હોવાથી,વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાથી વાયુનું તાપમાન વધે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = dU + dW$
$\Delta Q = 0$ હોવાથી,$0 = dU + dW$,જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$.
સંકોચન દરમિયાન,વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી કાર્ય $dW$ ઋણ હોય છે $(dW < 0)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $dU = -(-|dW|) = |dW|$.
$dU > 0$ હોવાથી,વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાથી વાયુનું તાપમાન વધે છે.
0 likes
View Solution153
Difficult
એક સાયકલના ટાયરમાં પંપ વડે હવા ભરવામાં આવે છે તેમ વિચારો. ધારો કે $V$ એ ટાયરનું કદ (અચળ) છે અને પંપના દરેક સ્ટ્રોક વખતે $\Delta V$ ( < < V) જેટલી હવા ટ્યુબમાં એડિબેટિક રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે. જ્યારે ટ્યુબમાં દબાણ $P_1$ થી વધીને $P_2$ થાય ત્યારે થયેલું કાર્ય કેટલું હશે?
Solution
(N/A) દરેક સ્ટ્રોક વખતે જ્યારે $\Delta V$ જેટલી હવા ટાયરમાં ઉમેરવામાં આવે છે ત્યારે દબાણ $\Delta P$ જેટલું વધે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
એક સ્ટ્રોક પહેલા અને પછીની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા:
$P (V + \Delta V)^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
$P V^{\gamma} (1 + \frac{\Delta V}{V})^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P (1 + \gamma \frac{\Delta V}{V}) = P + \Delta P$
$P + \gamma P \frac{\Delta V}{V} = P + \Delta P$
$\gamma P \frac{\Delta V}{V} = \Delta P \implies \Delta V = \frac{V}{\gamma P} \Delta P$
અતિ સૂક્ષ્મ ફેરફારોની મર્યાદામાં, $dV = \frac{V}{\gamma P} dP$.
દબાણને $P_1$ થી $P_2$ સુધી વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = \int P dV = \int_{P_1}^{P_2} P \left( \frac{V}{\gamma P} dP \right)$
$W = \frac{V}{\gamma} \int_{P_1}^{P_2} dP$
$W = \frac{V}{\gamma} (P_2 - P_1)$
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
એક સ્ટ્રોક પહેલા અને પછીની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા:
$P (V + \Delta V)^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
$P V^{\gamma} (1 + \frac{\Delta V}{V})^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P (1 + \gamma \frac{\Delta V}{V}) = P + \Delta P$
$P + \gamma P \frac{\Delta V}{V} = P + \Delta P$
$\gamma P \frac{\Delta V}{V} = \Delta P \implies \Delta V = \frac{V}{\gamma P} \Delta P$
અતિ સૂક્ષ્મ ફેરફારોની મર્યાદામાં, $dV = \frac{V}{\gamma P} dP$.
દબાણને $P_1$ થી $P_2$ સુધી વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = \int P dV = \int_{P_1}^{P_2} P \left( \frac{V}{\gamma P} dP \right)$
$W = \frac{V}{\gamma} \int_{P_1}^{P_2} dP$
$W = \frac{V}{\gamma} (P_2 - P_1)$
0 likes
View Solution154
DifficultMCQ
એક એન્જિન $20\,^{\circ}C$ અને $1\,atm$ દબાણે $5$ મોલ હવા લે છે અને તેને તેના મૂળ કદના $1/10$ ભાગ સુધી એડિબેટિકલી (સમોષ્મી રીતે) સંકોચે છે. હવાને દ્વિ-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ ગણીને,આ પ્રક્રિયા દરમિયાન તેની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $X\,kJ$ છે. $X$ નું મૂલ્ય નજીકના પૂર્ણાંકમાં શોધો.
A
$46.87$
B
$45.78$
C
$55.78$
D
$50.23$
Solution
(A) દ્રઢ અણુઓ ધરાવતા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ અને એડિબેટિક સૂચકાંક $\gamma = 7/5 = 1.4$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20 + 273 = 293\,K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = V_1 / 10$,તેથી $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = 293 \times (10)^{0.4} = 293 \times 2.5118 \approx 735.96\,K$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n (fR/2) (T_2 - T_1)$.
$n = 5$,$f = 5$,અને $R = 8.314\,J/(mol\cdot K)$ લેતા:
$\Delta U = 5 \times (5 \times 8.314 / 2) \times (735.96 - 293) = 12.5 \times 8.314 \times 442.96 \approx 46056\,J = 46.056\,kJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$X \approx 46$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20 + 273 = 293\,K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = V_1 / 10$,તેથી $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = 293 \times (10)^{0.4} = 293 \times 2.5118 \approx 735.96\,K$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n (fR/2) (T_2 - T_1)$.
$n = 5$,$f = 5$,અને $R = 8.314\,J/(mol\cdot K)$ લેતા:
$\Delta U = 5 \times (5 \times 8.314 / 2) \times (735.96 - 293) = 12.5 \times 8.314 \times 442.96 \approx 46056\,J = 46.056\,kJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$X \approx 46$.
0 likes
View Solution155
MediumMCQ
એક એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયામાં,ડાયટોમિક વાયુની ઘનતા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $32$ ગણી થાય છે. વાયુનું અંતિમ દબાણ તેના પ્રારંભિક દબાણ કરતા $n$ ગણું જોવા મળે છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$326$
B
$\frac{1}{32}$
C
$32$
D
$128$
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{constant}$.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto \rho^{\gamma}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{\rho_f}{\rho_i}\right)^{\gamma}$.
ડાયટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
આપેલ છે કે $\rho_f = 32 \rho_i$,તેથી $\frac{\rho_f}{\rho_i} = 32$.
આમ,$n = \frac{P_f}{P_i} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{constant}$.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto \rho^{\gamma}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{\rho_f}{\rho_i}\right)^{\gamma}$.
ડાયટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
આપેલ છે કે $\rho_f = 32 \rho_i$,તેથી $\frac{\rho_f}{\rho_i} = 32$.
આમ,$n = \frac{P_f}{P_i} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
0 likes
View Solution156
DifficultMCQ
સખત દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુઓ ધરાવતો વાયુ શરૂઆતમાં પ્રમાણિત સ્થિતિમાં $(T_1 = 300 \, K)$ હતો. ત્યારબાદ,વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના પાંચમા ભાગ સુધી એડિબેટિકલી સંકુચિત કરવામાં આવ્યો. અંતિમ અવસ્થામાં પરિભ્રમણ કરતા અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા કેટલી હશે?
A
$1.44 \, J$
B
$4.55 \, J$
C
$787.98 \times 10^{-23} \, J$
D
$757.3 \times 10^{-23} \, J$
Solution
(C) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 300 \, K$ અને $V_2 = \frac{V_1}{5}$,તેથી:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 300 \times (5)^{\frac{7}{5}-1} = 300 \times 5^{0.4}$.
$5^{0.4} \approx 1.9036$ લેતા,$T_2 = 300 \times 1.9036 = 571.08 \, K$.
દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ માટે પરિભ્રમણની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E_{rot} = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$.
$E_{rot} = 1.38 \times 10^{-23} \times 571.08 = 788.09 \times 10^{-23} \, J$,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 300 \, K$ અને $V_2 = \frac{V_1}{5}$,તેથી:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 300 \times (5)^{\frac{7}{5}-1} = 300 \times 5^{0.4}$.
$5^{0.4} \approx 1.9036$ લેતા,$T_2 = 300 \times 1.9036 = 571.08 \, K$.
દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ માટે પરિભ્રમણની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $E_{rot} = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$.
$E_{rot} = 1.38 \times 10^{-23} \times 571.08 = 788.09 \times 10^{-23} \, J$,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.
0 likes
View Solution157
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચક્રીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતી દ્વિ-પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ પ્રણાલીનો $P-V$ આલેખ છે. એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા $CD$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય શોધો ($\gamma=1.4$ લો) (જૂલમાં):
A
$-500$
B
$-400$
C
$400$
D
$200$
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા $C$ થી $D$ સુધી થાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{P_D V_D - P_C V_C}{1 - \gamma}$
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી:
બિંદુ $C$ પર: $P_C = 100 \, N/m^2$,$V_C = 4 \, m^3$
બિંદુ $D$ પર: $P_D = 200 \, N/m^2$,$V_D = 3 \, m^3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(200 \times 3) - (100 \times 4)}{1 - 1.4}$
$W = \frac{600 - 400}{-0.4}$
$W = \frac{200}{-0.4}$
$W = -500 \, J$
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{P_D V_D - P_C V_C}{1 - \gamma}$
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી:
બિંદુ $C$ પર: $P_C = 100 \, N/m^2$,$V_C = 4 \, m^3$
બિંદુ $D$ પર: $P_D = 200 \, N/m^2$,$V_D = 3 \, m^3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(200 \times 3) - (100 \times 4)}{1 - 1.4}$
$W = \frac{600 - 400}{-0.4}$
$W = \frac{200}{-0.4}$
$W = -500 \, J$
0 likes
View Solution158
MediumMCQ
આદર્શ વાયુના એડિબેટિક (adiabatic) વિસ્તરણ માટે,તેના દબાણમાં થતો આંશિક ફેરફાર (જ્યાં $\gamma$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે) નીચેનામાંથી કોના બરાબર છે:
A
$-\gamma \frac{ dV }{ V }$
B
$-\gamma \frac{ V }{ dV }$
C
$-\frac{1}{\gamma} \frac{ dV }{ V }$
D
$\frac{ dV }{ V }$
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$
વિકલિત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P V^{\gamma-1}}{V^{\gamma}}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
બંને બાજુ $dV$ વડે ગુણીને $P$ વડે ભાગતા,દબાણમાં થતો આંશિક ફેરફાર મળે છે:
$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$
વિકલિત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P V^{\gamma-1}}{V^{\gamma}}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
બંને બાજુ $dV$ વડે ગુણીને $P$ વડે ભાગતા,દબાણમાં થતો આંશિક ફેરફાર મળે છે:
$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$
0 likes
View Solution159
DifficultMCQ
$\gamma=1.5$ ધરાવતા વાયુના નમૂનાને એડિબેટિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર કરવામાં આવે છે જેમાં કદ $1200 \, cm^3$ થી ઘટીને $300 \, cm^3$ થાય છે. જો પ્રારંભિક દબાણ $200 \, kPa$ હોય,તો પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય (જૂલમાં) શોધો.
A
$0.5$
B
$240$
C
$48$
D
$480$
Solution
(D) આપેલ છે: $\gamma = 1.5$,$P_1 = 200 \, kPa = 2 \times 10^5 \, Pa$,$V_1 = 1200 \, cm^3 = 1.2 \times 10^{-3} \, m^3$,$V_2 = 300 \, cm^3 = 0.3 \times 10^{-3} \, m^3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
તેથી,કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|W| = 480 \, J$ થાય.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
તેથી,કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|W| = 480 \, J$ થાય.
0 likes
View Solution160
DifficultMCQ
એક મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ, જે શરૂઆતમાં $T_{1}$ તાપમાને છે, તેને ઘર્ષણરહિત પિસ્ટન ધરાવતા સિલિન્ડરમાં રાખવામાં આવ્યો છે. પિસ્ટનને અચાનક મુક્ત કરીને વાયુને $T_{2}$ તાપમાન સુધી એડિબેટિકલી (સમઉષ્મીય રીતે) વિસ્તરણ કરવા દેવામાં આવે છે. જો $l_{1}$ અને $l_{2}$ એ વિસ્તરણ પહેલાં અને પછી વાયુના સ્તંભની લંબાઈ હોય, તો $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ નું મૂલ્ય શું હશે?
A
$\left(\frac{l_{1}}{l_{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
B
$\frac{l_{1}}{l_{2}}$
C
$\left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$
D
$\frac{l_{2}}{l_{1}}$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
તેથી, સંબંધ $T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$ બને છે.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$.
વાયુ $A$ જેટલા આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા સિલિન્ડરમાં હોવાથી, કદ $V = A \times l$ થાય, જ્યાં $l$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_{1} = A l_{1}$ અને $V_{2} = A l_{2}$ મૂકતા, આપણને $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$ મળે છે.
$\gamma = \frac{5}{3}$ મૂકતા, આપણને $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી, $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
તેથી, સંબંધ $T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$ બને છે.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$.
વાયુ $A$ જેટલા આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા સિલિન્ડરમાં હોવાથી, કદ $V = A \times l$ થાય, જ્યાં $l$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_{1} = A l_{1}$ અને $V_{2} = A l_{2}$ મૂકતા, આપણને $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$ મળે છે.
$\gamma = \frac{5}{3}$ મૂકતા, આપણને $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી, $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$.
0 likes
View Solution161
MediumMCQ
આપેલ આકૃતિમાં,એક દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના $1 \, mol$ ના નમૂના પર એક ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCDA$ થાય છે. પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ અને $C \rightarrow D$ દરમિયાન વાયુનું તાપમાન અનુક્રમે $T_{1}$ અને $T_{2}$ $(T_{1} > T_{2})$ છે. જો પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ સમોષ્મી (adiabatic) હોય,તો કાર્ય માટે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
A
$W_{AB} < W_{CD}$
B
$W_{AD} = W_{BC}$
C
$W_{BC} + W_{DA} > 0$
D
$W_{AB} = W_{DC}$
Solution
(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $BC$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_1$ ($B$ પર) થી $T_2$ ($C$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{BC} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $DA$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_2$ ($D$ પર) થી $T_1$ ($A$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{DA} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1} = -\frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
અહીં,સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય સમાન છે પરંતુ ચિહ્ન વિરુદ્ધ છે. જો પ્રશ્ન મૂલ્ય (magnitude) વિશે હોય,તો $W_{AD} = W_{BC}$ સાચો વિકલ્પ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $BC$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_1$ ($B$ પર) થી $T_2$ ($C$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{BC} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $DA$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_2$ ($D$ પર) થી $T_1$ ($A$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{DA} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1} = -\frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
અહીં,સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય સમાન છે પરંતુ ચિહ્ન વિરુદ્ધ છે. જો પ્રશ્ન મૂલ્ય (magnitude) વિશે હોય,તો $W_{AD} = W_{BC}$ સાચો વિકલ્પ છે.
0 likes
View Solution162
MediumMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુને એક એડિબેટિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર કરવામાં આવે છે જ્યાં તાપમાન $27^{\circ}C$ થી વધીને $37^{\circ}C$ થાય છે. જો આદર્શ વાયુ બહુપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો હોય જેમાં $4$ વાઇબ્રેશનલ મોડ્સ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
A
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $582\,J$ ની નજીક છે
B
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $332\,J$ ની નજીક છે
C
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $582\,J$ ની નજીક છે
D
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $332\,J$ ની નજીક છે
Solution
(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $f = f_{\text{trans}} + f_{\text{rot}} + f_{\text{vib}}$.
અહીં $f_{\text{trans}} = 3$,$f_{\text{rot}} = 3$,અને $f_{\text{vib}} = 2 \times 4 = 8$ (કારણ કે દરેક વાઇબ્રેશનલ મોડ $2$ સ્વતંત્રતાના અંશો આપે છે).
તેથી,$f = 3 + 3 + 8 = 14$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{14} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 1$,$R = 8.314\,J/mol\cdot K$,$\Delta T = 37 - 27 = 10\,K$,અને $\gamma = 8/7$.
$W = \frac{1 \times 8.314 \times 10}{1 - 8/7} = \frac{83.14}{-1/7} = -83.14 \times 7 = -581.98\,J \approx -582\,J$.
કારણ કે કાર્ય $W$ ઋણ છે,તેથી વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે.
અહીં $f_{\text{trans}} = 3$,$f_{\text{rot}} = 3$,અને $f_{\text{vib}} = 2 \times 4 = 8$ (કારણ કે દરેક વાઇબ્રેશનલ મોડ $2$ સ્વતંત્રતાના અંશો આપે છે).
તેથી,$f = 3 + 3 + 8 = 14$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{14} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 1$,$R = 8.314\,J/mol\cdot K$,$\Delta T = 37 - 27 = 10\,K$,અને $\gamma = 8/7$.
$W = \frac{1 \times 8.314 \times 10}{1 - 8/7} = \frac{83.14}{-1/7} = -83.14 \times 7 = -581.98\,J \approx -582\,J$.
કારણ કે કાર્ય $W$ ઋણ છે,તેથી વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution163
MediumMCQ
નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન-$I$: જ્યારે $\mu$ જથ્થાનો આદર્શ વાયુ અવસ્થા $(P_1, V_1, T_1)$ થી અવસ્થા $(P_2, V_2, T_2)$ સુધી એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) ફેરફાર અનુભવે છે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ છે,જ્યાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વિધાન-$II$: ઉપરના કિસ્સામાં,જ્યારે વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુનું તાપમાન વધશે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
વિધાન-$I$: જ્યારે $\mu$ જથ્થાનો આદર્શ વાયુ અવસ્થા $(P_1, V_1, T_1)$ થી અવસ્થા $(P_2, V_2, T_2)$ સુધી એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) ફેરફાર અનુભવે છે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ છે,જ્યાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વિધાન-$II$: ઉપરના કિસ્સામાં,જ્યારે વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુનું તાપમાન વધશે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
વિધાન-$I$ અને વિધાન-$II$ બંને સાચા છે.
B
વિધાન-$I$ અને વિધાન-$II$ બંને ખોટા છે.
C
વિધાન-$I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન-$II$ ખોટું છે.
D
વિધાન-$I$ ખોટું છે પરંતુ વિધાન-$II$ સાચું છે.
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$\mu$ મોલ આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે,જેને $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ તરીકે લખી શકાય છે. આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = W + \Delta U$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$.
જ્યારે વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે $W < 0$ થાય છે. તેથી,$\Delta U = -W > 0$. કારણ કે $\Delta U = \mu C_V \Delta T$,આંતરિક ઉર્જામાં ધન ફેરફાર તાપમાનમાં વધારો સૂચવે છે. આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = W + \Delta U$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$.
જ્યારે વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે $W < 0$ થાય છે. તેથી,$\Delta U = -W > 0$. કારણ કે $\Delta U = \mu C_V \Delta T$,આંતરિક ઉર્જામાં ધન ફેરફાર તાપમાનમાં વધારો સૂચવે છે. આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.
0 likes
View Solution164
DifficultMCQ
$P$ દબાણ અને $V$ કદ ધરાવતો એક પરમાણ્વિક વાયુ અચાનક તેના મૂળ કદના આઠમા ભાગ જેટલો સંકોચાય છે. અચળ એન્ટ્રોપીએ અંતિમ દબાણ $.....P$ થશે.
A
$1$
B
$8$
C
$32$
D
$64$
Solution
(C) અચળ એન્ટ્રોપી ધરાવતી પ્રક્રિયા એ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
એડિબેટિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $P \cdot V^{5/3} = P_2 \cdot (\frac{V}{8})^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (\frac{V}{V/8})^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (2^3)^{5/3} = P \cdot 2^5$.
$P_2 = 32P$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
એડિબેટિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $P \cdot V^{5/3} = P_2 \cdot (\frac{V}{8})^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (\frac{V}{V/8})^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (2^3)^{5/3} = P \cdot 2^5$.
$P_2 = 32P$.
0 likes
View Solution165
MediumMCQ
એક દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $\left(\gamma = \frac{7}{5}\right)$ નું દબાણ $P_{1}$ અને ઘનતા $d_{1}$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન અચાનક બદલાઈને અનુક્રમે $P_{2} (> P_{1})$ અને $d_{2}$ થાય છે. વાયુનું તાપમાન વધે છે અને તેના પ્રારંભિક તાપમાનના $......$ ગણું થાય છે. (આપેલ છે $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$)
A
$5$
B
$2$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{\gamma}$.
આપેલ છે $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{P_{2}}{P_{1}} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = \frac{dRT}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $T \propto \frac{P}{d}$.
તેથી,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} \times \frac{d_{1}}{d_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = 128 \times \frac{1}{32} = 4$.
આમ,તાપમાન તેના પ્રારંભિક તાપમાનના $4$ ગણું થાય છે.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{\gamma}$.
આપેલ છે $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{P_{2}}{P_{1}} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = \frac{dRT}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $T \propto \frac{P}{d}$.
તેથી,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} \times \frac{d_{1}}{d_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = 128 \times \frac{1}{32} = 4$.
આમ,તાપમાન તેના પ્રારંભિક તાપમાનના $4$ ગણું થાય છે.
0 likes
View Solution166
AdvancedMCQ
એક આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = 5pV/2 + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે. $pV$-પ્લેનમાં એડિયાબેટ્સ (સમઉષ્મીય પ્રક્રિયા) નું સમીકરણ શું હશે?
A
$p^{5} V^{7} = \text{અચળ}$
B
$p^{7} V^{5} = \text{અચળ}$
C
$p^{3} V^{5} = \text{અચળ}$
D
$p^{5} V^{2} = \text{અચળ}$
Solution
(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{V} = \frac{dU}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2}RT + C$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે $U = \frac{5}{2}pV + C$. $1$ મોલ માટે $pV = RT$ હોવાથી,$U = \frac{5}{2}RT + C$ થાય.
આને $U = \frac{f}{2}RT + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{f}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = 5$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ દ્વારા મળે છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$\gamma = \frac{7}{5}$ મૂકતા,આપણને $pV^{7/5} = \text{અચળ}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ ઘાત લેતા,આપણને $p^{5}V^{7} = \text{અચળ}$ મળે છે.
$1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2}RT + C$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે $U = \frac{5}{2}pV + C$. $1$ મોલ માટે $pV = RT$ હોવાથી,$U = \frac{5}{2}RT + C$ થાય.
આને $U = \frac{f}{2}RT + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{f}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = 5$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ દ્વારા મળે છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$\gamma = \frac{7}{5}$ મૂકતા,આપણને $pV^{7/5} = \text{અચળ}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ ઘાત લેતા,આપણને $p^{5}V^{7} = \text{અચળ}$ મળે છે.
0 likes
View Solution167
MediumMCQ
$T$ જેટલા પ્રારંભિક તાપમાને રહેલો એક વાયુ $V$ કદથી $2 \, V$ કદ સુધી અચાનક વિસ્તરણ પામે છે. તો,
A
આ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક (સમઉષ્મી) છે
B
આ પ્રક્રિયા સમતાપી છે
C
આ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $n R T \ln_{e}(2)$ છે,જ્યાં $n$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે
D
આ પ્રક્રિયામાં એન્ટ્રોપી બદલાતી નથી
Solution
(A) અચાનક થતા વિસ્તરણમાં,સમયગાળો ખૂબ જ ટૂંકો હોય છે.
પ્રક્રિયા ખૂબ ઝડપથી થતી હોવાથી,વાયુ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
તેથી,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં તંત્રમાં ઉષ્માનો પ્રવેશ કે બહાર નીકળતી નથી,તેને એડિયાબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
પ્રક્રિયા ખૂબ ઝડપથી થતી હોવાથી,વાયુ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
તેથી,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં તંત્રમાં ઉષ્માનો પ્રવેશ કે બહાર નીકળતી નથી,તેને એડિયાબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution168
AdvancedMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુની ઉષ્માધારિતા $C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ જણાય છે,જ્યાં $a$ એક અચળાંક છે. પ્રતિવર્તી સમોષ્મી વિસ્તરણ દરમિયાન આ વાયુ દ્વારા પાળવામાં આવતું સમીકરણ કયું છે?
A
$TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$
B
$TV^{3/2} e^{3aRT/2} = \text{અચળ}$
C
$TV^{3/2} = \text{અચળ}$
D
$TV^{3/2} e^{2aRT/3} = \text{અચળ}$
Solution
(A) પ્રતિવર્તી સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + dW = 0$ છે,તેથી $dU = -dW$.
આપેલ છે કે $dU = C_V dT$ અને $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે).
તેથી,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$.
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ મૂકતા:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{અચળાંક}$.
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{અચળાંક}$.
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{અચળાંક}$.
$R$ અચળ હોવાથી,આપણે $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે કે $dU = C_V dT$ અને $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે).
તેથી,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$.
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ મૂકતા:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{અચળાંક}$.
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{અચળાંક}$.
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{અચળાંક}$.
$R$ અચળ હોવાથી,આપણે $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ છે.
0 likes
View Solution169
AdvancedMCQ
$n$ મોલ વાસ્તવિક વાયુનું અવસ્થા સમીકરણ $\left(p+\frac{n^2 a}{V^2}\right)(V-n b)=n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ વાયુના અચળાંકો છે. આ વાયુ માટે ક્વાસિસ્ટેટિક એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયાનું સમીકરણ નીચેનામાંથી કયું હોઈ શકે? (ધારો કે $C_V$,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા,તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.)
A
$T(V-n b)^{R / C_V} = \text{અચળ}$
B
$T(V-n b)^{C_V / R} = \text{અચળ}$
C
$\left(T+\frac{a b}{V^2 R}\right)(V-n b)^{R / C_V} = \text{અચળ}$
D
$\left(T+\frac{n^2 a b}{V^2 R}\right)(V-n b)^{C_V / R} = \text{અચળ}$
Solution
(A) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ $dU = dQ + dW$. અહીં $dQ = 0$ હોવાથી,$dU = dW = -p dV$.
વાન ડર વાલ્સ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $T$ અને $V$ બંને પર આધાર રાખે છે. વિકલન ફેરફાર $dU = C_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના સંબંધ $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$ નો ઉપયોગ કરતા,અને અવસ્થા સમીકરણ $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ પરથી,આપણને $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V-nb}$ મળે છે.
આમ,$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{nR}{V-nb}\right) - \left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) = \frac{n^2 a}{V^2}$.
આ કિંમત ઉર્જા સમીકરણમાં મૂકતા: $C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -p dV$.
$C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -\left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) dV$.
$C_V dT = -\frac{nRT}{V-nb} dV$.
ગોઠવતા $\frac{dT}{T} = -\frac{nR}{C_V} \frac{dV}{V-nb}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln T = -\frac{nR}{C_V} \ln(V-nb) + \text{અચળ}$.
$T(V-nb)^{nR/C_V} = \text{અચળ}$. $n$ અચળ હોવાથી,આ $T(V-nb)^{R/C_V} = \text{અચળ}$ ને સમાન છે.
વાન ડર વાલ્સ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $T$ અને $V$ બંને પર આધાર રાખે છે. વિકલન ફેરફાર $dU = C_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના સંબંધ $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$ નો ઉપયોગ કરતા,અને અવસ્થા સમીકરણ $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ પરથી,આપણને $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V-nb}$ મળે છે.
આમ,$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{nR}{V-nb}\right) - \left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) = \frac{n^2 a}{V^2}$.
આ કિંમત ઉર્જા સમીકરણમાં મૂકતા: $C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -p dV$.
$C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -\left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) dV$.
$C_V dT = -\frac{nRT}{V-nb} dV$.
ગોઠવતા $\frac{dT}{T} = -\frac{nR}{C_V} \frac{dV}{V-nb}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln T = -\frac{nR}{C_V} \ln(V-nb) + \text{અચળ}$.
$T(V-nb)^{nR/C_V} = \text{અચળ}$. $n$ અચળ હોવાથી,આ $T(V-nb)^{R/C_V} = \text{અચળ}$ ને સમાન છે.
0 likes
View Solution170
MediumMCQ
વાયુનો બલ્ક મોડ્યુલસ $B = -V (dp / dV)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે,$B$ નો ફેરફાર $p^n$ ના પ્રમાણમાં છે. આદર્શ વાયુ માટે $n$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
શૂન્ય
B
$1$
C
$5 / 3$
D
$2$
Solution
(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = -V (dp / dV)$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dp V^{\gamma} + p (\gamma V^{\gamma-1}) dV = 0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$dp / dV = -\gamma p / V$ મળે છે.
આ કિંમત $B$ ના સૂત્રમાં મુકતા,$B = -V (-\gamma p / V) = \gamma p$ મળે છે.
અહીં $\gamma$ એ અચળાંક હોવાથી,$B \propto p^1$ થાય છે.
આપેલ સંબંધ $B \propto p^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dp V^{\gamma} + p (\gamma V^{\gamma-1}) dV = 0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$dp / dV = -\gamma p / V$ મળે છે.
આ કિંમત $B$ ના સૂત્રમાં મુકતા,$B = -V (-\gamma p / V) = \gamma p$ મળે છે.
અહીં $\gamma$ એ અચળાંક હોવાથી,$B \propto p^1$ થાય છે.
આપેલ સંબંધ $B \propto p^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.
0 likes
View Solution171
DifficultMCQ
જેટ વિમાનો $30000 \,ft$ થી વધુ ઊંચાઈએ ઉડે છે, જ્યાં હવા ખૂબ જ ઠંડી $-40^{\circ} C$ હોય છે અને દબાણ $0.28 \,atm$ હોય છે। કેબિનનું દબાણ $1 \,atm$ જાળવી રાખવા માટે કોમ્પ્રેસરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે બહારની હવાને એડિબેટિકલી (ઉષ્મા અવાહક રીતે) અંદર લાવે છે। કેબિનનું તાપમાન $25^{\circ} C$ જેટલું આરામદાયક રાખવા માટે, આપણે વધારામાં શેની જરૂર પડશે?
A
કેબિનમાં દાખલ થતી હવાને ગરમ કરવા માટે હીટર
B
કેબિનમાં દાખલ થતી હવાને ઠંડી કરવા માટે એર-કંડિશનર
C
હીટર કે એર-કંડિશનર બંનેની જરૂર નથી, કોમ્પ્રેસર પૂરતું છે
D
કોમ્પ્રેસર સાયકલના બે ભાગમાં વારાફરતી ગરમ અને ઠંડુ કરવું
Solution
(B) કોમ્પ્રેસરમાં હવાનું સંકોચન એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે।
એડિબેટિક સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $P_{\text{in}}^{1-\gamma} T_{\text{in}}^{\gamma} = P_{\text{out}}^{1-\gamma} T_{\text{out}}^{\gamma}$.
અહીં $P_{\text{in}} = 0.28 \,atm$, $T_{\text{in}} = -40^{\circ} C = 233 \,K$, $P_{\text{out}} = 1 \,atm$, અને $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $(0.28)^{1-1.4} (233)^{1.4} = (1)^{1-1.4} (T_{\text{out}})^{1.4}$.
$(0.28)^{-0.4} (233)^{1.4} = (T_{\text{out}})^{1.4}$.
$T_{\text{out}} = 233 \times (0.28)^{-0.4/1.4} = 233 \times (0.28)^{-2/7}$.
આની ગણતરી કરતા, $T_{\text{out}} \approx 233 \times 1.48 \approx 345 \,K$ મળે છે।
$345 \,K$ એ આશરે $72^{\circ} C$ છે, જે કેબિનના જરૂરી તાપમાન $25^{\circ} C$ કરતા ઘણું વધારે છે, તેથી હવાને ઠંડી કરવા માટે એર-કંડિશનરની જરૂર પડશે।
એડિબેટિક સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $P_{\text{in}}^{1-\gamma} T_{\text{in}}^{\gamma} = P_{\text{out}}^{1-\gamma} T_{\text{out}}^{\gamma}$.
અહીં $P_{\text{in}} = 0.28 \,atm$, $T_{\text{in}} = -40^{\circ} C = 233 \,K$, $P_{\text{out}} = 1 \,atm$, અને $\gamma = 1.4 = 7/5$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $(0.28)^{1-1.4} (233)^{1.4} = (1)^{1-1.4} (T_{\text{out}})^{1.4}$.
$(0.28)^{-0.4} (233)^{1.4} = (T_{\text{out}})^{1.4}$.
$T_{\text{out}} = 233 \times (0.28)^{-0.4/1.4} = 233 \times (0.28)^{-2/7}$.
આની ગણતરી કરતા, $T_{\text{out}} \approx 233 \times 1.48 \approx 345 \,K$ મળે છે।
$345 \,K$ એ આશરે $72^{\circ} C$ છે, જે કેબિનના જરૂરી તાપમાન $25^{\circ} C$ કરતા ઘણું વધારે છે, તેથી હવાને ઠંડી કરવા માટે એર-કંડિશનરની જરૂર પડશે।
0 likes
View Solution172
AdvancedMCQ
એક વાન્ડર વાલ્સ વાયુ અવસ્થા સમીકરણ $\left(p+\frac{n^2 a}{V^2}\right)(V-n b)=n R T$ નું પાલન કરે છે. તેની આંતરિક ઉર્જા $U=C T-\frac{n^2 a}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વાયુ માટે ક્વાસિસ્ટેટિક એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ શું છે?
A
$T^{C / n R} \cdot V = \text{અચળ}$
B
$T^{(C+n R) / n R} \cdot V = \text{અચળ}$
C
$T^{C / n R} \cdot(V-n b) = \text{અચળ}$
D
$p^{(C+n R) / n R} \cdot(V-n b) = \text{અચળ}$
Solution
(C) ક્વાસિસ્ટેટિક એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો ફેરફાર $dQ = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = dQ - dW$,તેથી $dW = -dU$ થાય.
આપેલ છે કે $U = CT - \frac{n^2 a}{V}$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં વિકલિત ફેરફાર $dU = C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV$ થાય.
વળી,કાર્ય $dW = p dV$ છે.
$dW = -dU$ ને સરખાવતા,આપણને $p dV = -(C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV)$ મળે છે.
વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ ને ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}) dV = -C dT - \frac{n^2 a}{V^2} dV$.
બંને બાજુથી $-\frac{n^2 a}{V^2} dV$ પદ ઉડી જશે:
$\frac{nRT}{V-nb} dV = -C dT$.
ચલને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \frac{dT}{T}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \int \frac{dT}{T}$.
આનાથી $\ln(V-nb) = -\frac{C}{nR} \ln T + \text{અચળ}$ મળે છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા $\ln(V-nb) + \ln(T^{C/nR}) = \text{અચળ}$ મળે છે.
આમ,$T^{C/nR} \cdot (V-nb) = \text{અચળ}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = dQ - dW$,તેથી $dW = -dU$ થાય.
આપેલ છે કે $U = CT - \frac{n^2 a}{V}$,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં વિકલિત ફેરફાર $dU = C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV$ થાય.
વળી,કાર્ય $dW = p dV$ છે.
$dW = -dU$ ને સરખાવતા,આપણને $p dV = -(C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV)$ મળે છે.
વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ ને ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}) dV = -C dT - \frac{n^2 a}{V^2} dV$.
બંને બાજુથી $-\frac{n^2 a}{V^2} dV$ પદ ઉડી જશે:
$\frac{nRT}{V-nb} dV = -C dT$.
ચલને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \frac{dT}{T}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \int \frac{dT}{T}$.
આનાથી $\ln(V-nb) = -\frac{C}{nR} \ln T + \text{અચળ}$ મળે છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા $\ln(V-nb) + \ln(T^{C/nR}) = \text{અચળ}$ મળે છે.
આમ,$T^{C/nR} \cdot (V-nb) = \text{અચળ}$.
0 likes
View Solution173
MediumMCQ
જો એક એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુઓના મિશ્રણનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય,તો વાયુઓના મિશ્રણ માટે $C_p / C_v$ નો ગુણોત્તર ......... છે.
A
$2$
B
$1.5$
C
$1.67$
D
$2.1$
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^2$,તેથી ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 2$
$\gamma = 2(\gamma - 1)$
$\gamma = 2\gamma - 2$
$\gamma = 2$.
જેથી $C_p / C_v$ નો ગુણોત્તર $\gamma$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $2$ છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^2$,તેથી ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 2$
$\gamma = 2(\gamma - 1)$
$\gamma = 2\gamma - 2$
$\gamma = 2$.
જેથી $C_p / C_v$ નો ગુણોત્તર $\gamma$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $2$ છે.
0 likes
View Solution174
EasyMCQ
$NTP$ પર દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુની એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા ........ $N/m^2$ છે.
A
$0$
B
$1 \times 10^5$
C
$1.4 \times 10^5$
D
$2.75 \times 10^5$
Solution
(C) વાયુની એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતાનું સૂત્ર $E_{adiabatic} = \gamma P$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = 1.4$ થાય છે.
$NTP$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર,દબાણ $P$ આશરે $1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ હોય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $E_{adiabatic} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ મળે છે.
$E_{adiabatic} \approx 1.418 \times 10^5 \, N/m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.4 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = 1.4$ થાય છે.
$NTP$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર,દબાણ $P$ આશરે $1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ હોય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $E_{adiabatic} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ મળે છે.
$E_{adiabatic} \approx 1.418 \times 10^5 \, N/m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.4 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.
0 likes
View Solution175
MediumMCQ
વાયુઓનું મિશ્રણ જે $STP$ પર છે અને જેના માટે $\gamma = 1.5$ છે,તેને અચાનક તેના મૂળ કદના $\frac{1}{9}$ ભાગ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન .......... $^{\circ}C$ છે.
A
$300$
B
$546$
C
$420$
D
$872$
Solution
(B) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર).
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{9}$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$.
સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V}{V/9} \right)^{1.5-1}$
$T_2 = 273 \times (9)^{0.5}$
$T_2 = 273 \times 3 = 819 \, K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273$
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546 \, ^{\circ}C$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર).
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{9}$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$.
સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V}{V/9} \right)^{1.5-1}$
$T_2 = 273 \times (9)^{0.5}$
$T_2 = 273 \times 3 = 819 \, K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273$
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546 \, ^{\circ}C$.
1 likes
View Solution176
MediumMCQ
એક વાયુ (જેના માટે $\gamma = 5/3$ છે) માટે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $3 \times 10^5 \, N/m^2$ છે. જો તે જ વાયુ એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) ફેરફાર અનુભવતો હોય,તો તે ક્ષણે એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા ........... $\times 10^5 \, N/m^2$ હશે.
A
$3$
B
$5$
C
$6$
D
$10$
Solution
(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P-V$ આલેખનો ઢાળ એ સમતાપી સ્થિતિસ્થાપકતા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે વાયુના દબાણ $P$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે,સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $= P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$.
વાયુની એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતાનું સૂત્ર છે: $\text{Adiabatic Elasticity} = \gamma P$.
અહીં $\gamma = 5/3$ અને $P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Adiabatic Elasticity} = (5/3) \times (3 \times 10^5) = 5 \times 10^5 \, N/m^2$.
તેથી,એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $5 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.
આપેલ છે કે,સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $= P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$.
વાયુની એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતાનું સૂત્ર છે: $\text{Adiabatic Elasticity} = \gamma P$.
અહીં $\gamma = 5/3$ અને $P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Adiabatic Elasticity} = (5/3) \times (3 \times 10^5) = 5 \times 10^5 \, N/m^2$.
તેથી,એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $5 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.
0 likes
View Solution177
DifficultMCQ
આકૃતિમાં એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન આદર્શ મોનોએટોમિક વાયુ માટે દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો ફેરફાર દર્શાવેલ છે. બિંદુ $A$ પર,કદની સાપેક્ષે દબાણના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$\frac{3 P_0}{5 V_0}$
B
$\frac{5 P_0}{3 V_0}$
C
$\frac{3 P_0}{2 V_0}$
D
$\frac{5 P_0}{2 V_0}$
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$P V^{\gamma} = \text{અચળ}$
$V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dV}(P V^{\gamma}) = 0$
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
$\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$
કદની સાપેક્ષે દબાણના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $\left| \frac{dP}{dV} \right| = \gamma \frac{P}{V}$ છે.
આદર્શ મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
બિંદુ $A$ પર,દબાણ $P = 3 P_0$ અને કદ $V = 2 V_0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left| \frac{dP}{dV} \right| = \frac{5}{3} \times \frac{3 P_0}{2 V_0} = \frac{5 P_0}{2 V_0}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$P V^{\gamma} = \text{અચળ}$
$V$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dV}(P V^{\gamma}) = 0$
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
$\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$
કદની સાપેક્ષે દબાણના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $\left| \frac{dP}{dV} \right| = \gamma \frac{P}{V}$ છે.
આદર્શ મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
બિંદુ $A$ પર,દબાણ $P = 3 P_0$ અને કદ $V = 2 V_0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left| \frac{dP}{dV} \right| = \frac{5}{3} \times \frac{3 P_0}{2 V_0} = \frac{5 P_0}{2 V_0}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution178
MediumMCQ
આકૃતિ એક આદર્શ વાયુ માટે $\log T$ અને $\log V$ સ્કેલ પર એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) વક્ર દર્શાવે છે. વાયુ ............ છે.
A
એક-પરમાણ્વિક
B
દ્વિ-પરમાણ્વિક
C
બહુ-પરમાણ્વિક
D
એક-પરમાણ્વિક અને દ્વિ-પરમાણ્વિકનું મિશ્રણ
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = K$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ અચળાંક છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log T + (\gamma-1) \log V = \log K$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log T$,$x = \log V$,અને ઢાળ $m = -(\gamma-1)$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(1, 4)$ અને $(4, 2)$ છે.
ઢાળ $m$ ની ગણતરી $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{4 - 1} = \frac{-2}{3}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
ઢાળને સરખાવતા,આપણને $-(\gamma-1) = -\frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = \frac{5}{3}$ હોવાથી,વાયુ એક-પરમાણ્વિક છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log T + (\gamma-1) \log V = \log K$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log T$,$x = \log V$,અને ઢાળ $m = -(\gamma-1)$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(1, 4)$ અને $(4, 2)$ છે.
ઢાળ $m$ ની ગણતરી $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{4 - 1} = \frac{-2}{3}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
ઢાળને સરખાવતા,આપણને $-(\gamma-1) = -\frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = \frac{5}{3}$ હોવાથી,વાયુ એક-પરમાણ્વિક છે.
0 likes
View Solution179
EasyMCQ
હવામાં ધ્વનિના પ્રસરણની ઘટના એ
A
સમતાપી પ્રક્રિયા છે
B
એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે
C
સમદાબ પ્રક્રિયા છે
D
સમકદ પ્રક્રિયા છે
Solution
(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
ન્યૂટનના મતે,હવામાં ધ્વનિનું પ્રસરણ શરૂઆતમાં સમતાપી પ્રક્રિયા માનવામાં આવતું હતું. જો કે,આનાથી ધ્વનિની ગણતરી કરેલી અને પ્રાયોગિક ઝડપ વચ્ચે વિસંગતતા સર્જાઈ હતી.
લાપ્લાસે આ સુધારો કરતા જણાવ્યું કે ધ્વનિ તરંગોમાં થતા સંઘનન અને વિઘનન એટલી ઝડપથી થાય છે કે તંત્ર અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી.
તેથી,હવામાં ધ્વનિના પ્રસરણની ઘટના એ એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે.
ન્યૂટનના મતે,હવામાં ધ્વનિનું પ્રસરણ શરૂઆતમાં સમતાપી પ્રક્રિયા માનવામાં આવતું હતું. જો કે,આનાથી ધ્વનિની ગણતરી કરેલી અને પ્રાયોગિક ઝડપ વચ્ચે વિસંગતતા સર્જાઈ હતી.
લાપ્લાસે આ સુધારો કરતા જણાવ્યું કે ધ્વનિ તરંગોમાં થતા સંઘનન અને વિઘનન એટલી ઝડપથી થાય છે કે તંત્ર અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી.
તેથી,હવામાં ધ્વનિના પ્રસરણની ઘટના એ એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે.
0 likes
View Solution180
EasyMCQ
એક નળાકાર જેમાં ગતિશીલ પિસ્ટન છે,તેમાં પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણે $3 \ moles$ હાઇડ્રોજન વાયુ ભરેલો છે. નળાકારની દીવાલો ઉષ્મા અવાહક છે અને પિસ્ટન પર રેતીનો ઢગલો હોવાથી તે પણ અવાહક છે. જો વાયુને તેના મૂળ કદના અડધા કદ સુધી સંકોચવામાં આવે,તો વાયુનું દબાણ કેટલા ગણું વધશે?
A
$(2)^{7/5}$
B
$(2)^{1/5}$
C
$(5)^{7/5}$
D
$(2)^{2/5}$
Solution
(A) આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે કારણ કે નળાકારની દીવાલો અને પિસ્ટન ઉષ્મા અવાહક છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
અહીં,$V_2 = \frac{V_1}{2}$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 2$.
હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$ છે.
આ કિંમતોને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (2)^{7/5}$.
આમ,દબાણ $(2)^{7/5}$ ના અવયવથી વધે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
અહીં,$V_2 = \frac{V_1}{2}$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 2$.
હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$ છે.
આ કિંમતોને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (2)^{7/5}$.
આમ,દબાણ $(2)^{7/5}$ ના અવયવથી વધે છે.
0 likes
View Solution181
EasyMCQ
નીચેનામાંથી કઈ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા જેટલું હોય છે?
A
એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા
B
સમતાપી પ્રક્રિયા
C
સમકદ પ્રક્રિયા
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ આપલે થયેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપલે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + \Delta W$.
આથી $\Delta W = -\Delta U$ અથવા $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
જો આપણે સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $(W_{on} = -\Delta W)$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $W_{on} = \Delta U$ થાય.
આમ,એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ પર થયેલું કાર્ય સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપલે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + \Delta W$.
આથી $\Delta W = -\Delta U$ અથવા $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
જો આપણે સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $(W_{on} = -\Delta W)$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $W_{on} = \Delta U$ થાય.
આમ,એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ પર થયેલું કાર્ય સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
0 likes
View Solution182
MediumMCQ
એક કાલ્પનિક વાયુનું સમોષ્મી (adiabatic) વિસ્તરણ થાય છે જેથી તેનું કદ $8 \ L$ થી બદલાઈને $27 \ L$ થાય છે. જો વાયુના અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{16}{81}$ હોય, તો $\frac{C_P}{C_V}$ નો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$\frac{4}{3}$
B
$\frac{3}{1}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{3}{2}$
Solution
(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ છે।
તેથી, $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
આપેલ છે કે, $V_1 = 8 \ L$, $V_2 = 27 \ L$, અને $\frac{P_2}{P_1} = \frac{16}{81}$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{16}{81} = \left( \frac{8}{27} \right)^{\gamma}$.
આપણે $\frac{16}{81}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^4$ તરીકે અને $\frac{8}{27}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી, $\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \right)^{\gamma} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3\gamma}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા, આપણને $4 = 3\gamma$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{4}{3}$.
તેથી, $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
આપેલ છે કે, $V_1 = 8 \ L$, $V_2 = 27 \ L$, અને $\frac{P_2}{P_1} = \frac{16}{81}$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{16}{81} = \left( \frac{8}{27} \right)^{\gamma}$.
આપણે $\frac{16}{81}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^4$ તરીકે અને $\frac{8}{27}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી, $\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \right)^{\gamma} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3\gamma}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા, આપણને $4 = 3\gamma$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{4}{3}$.
1 likes
View Solution183
MediumMCQ
$T$ તાપમાને રહેલા વાયુના નમૂનાનું કદ બમણું થાય ત્યાં સુધી તેનું એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય શોધો (આપેલ છે,$\gamma = 3/2$):
A
$W = TR[\sqrt{2} - 2]$
B
$W = \frac{T}{R}[\sqrt{2} - 2]$
C
$W = \frac{R}{T}[2 - \sqrt{2}]$
D
$W = RT[2 - \sqrt{2}]$
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
અહીં $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને $\gamma = 3/2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{3/2-1} = T_2 (2V)^{3/2-1} \implies T V^{1/2} = T_2 (2V)^{1/2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = T / \sqrt{2}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2}) = RT(2 - \sqrt{2})$.
અહીં $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને $\gamma = 3/2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{3/2-1} = T_2 (2V)^{3/2-1} \implies T V^{1/2} = T_2 (2V)^{1/2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = T / \sqrt{2}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2}) = RT(2 - \sqrt{2})$.
0 likes
View Solution184
MediumMCQ
એક વાયુનું એડિબેટિક (adiabatic) રીતે સંકોચન કરવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?
A
સિસ્ટમને કોઈ ઉષ્મા આપવામાં આવતી નથી.
B
વાયુનું તાપમાન વધે છે.
C
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ વાયુ પર થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
D
આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
$\Delta Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
એડિબેટિક સંકોચનમાં,કદ ઘટે છે $(V \downarrow)$,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W$ ઋણ $(-ve)$ હોય છે.
તેથી,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આંતરિક ઉર્જા એ તાપમાનનું વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં વધારો થાય છે $(T \uparrow)$.
આમ,'આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી' તે વિધાન સાચું નથી.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
$\Delta Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
એડિબેટિક સંકોચનમાં,કદ ઘટે છે $(V \downarrow)$,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $\Delta W$ ઋણ $(-ve)$ હોય છે.
તેથી,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આંતરિક ઉર્જા એ તાપમાનનું વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં વધારો થાય છે $(T \uparrow)$.
આમ,'આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી' તે વિધાન સાચું નથી.
0 likes
View Solution185
MediumMCQ
એક આદર્શ વાયુનું પ્રારંભિક દબાણ અને કદ $P_0$ અને $V_0$ છે. જ્યારે વાયુને અચાનક દબાવીને તેનું કદ $\frac{V_0}{4}$ કરવામાં આવે,ત્યારે વાયુનું અંતિમ દબાણ કેટલું હશે? (આપેલ છે: $\gamma =$ અચળ દબાણે અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર)
A
$P_0(4)^{\frac{1}{\gamma}}$
B
$P_0(4)^\gamma$
C
$P_0$
D
$4P_0$
Solution
(B) વાયુને અચાનક દબાવવામાં આવતો હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે વાયુનું સમીકરણ $PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ માટે: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
અહીં $P_1 = P_0$,$V_1 = V_0$,અને $V_2 = \frac{V_0}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_0 V_0^\gamma = P_2 \left(\frac{V_0}{4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 (4)^\gamma$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે વાયુનું સમીકરણ $PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ માટે: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
અહીં $P_1 = P_0$,$V_1 = V_0$,અને $V_2 = \frac{V_0}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_0 V_0^\gamma = P_2 \left(\frac{V_0}{4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 (4)^\gamma$.
0 likes
View Solution186
DifficultMCQ
એક એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન,વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ઘન (cube) ના પ્રમાણમાં જોવા મળે છે. વાયુ માટે $\frac{C_p}{C_v}$ નો ગુણોત્તર કેટલો છે?
A
$\frac{5}{3}$
B
$\frac{3}{2}$
C
$\frac{7}{5}$
D
$\frac{9}{7}$
Solution
(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.
0 likes
View Solution187
DifficultMCQ
$T$ તાપમાને રહેલા વાયુના નમૂનાનું કદ એડિબેટિક રીતે બમણું કરવામાં આવે છે. વાયુ માટે એડિબેટિક અચળાંક $\gamma = 3/2$ છે. આ પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય શોધો: $(\mu = 1 \text{ mole})$
A
$RT[\sqrt{2}-2]$
B
$RT[1-2\sqrt{2}]$
C
$RT[2\sqrt{2}-1]$
D
$RT[2-\sqrt{2}]$
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$,$T_i = T$,અને $V_f = 2V_i$ આપેલ છે.
એડિબેટિક સંબંધ $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$.
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
હવે,કાર્યના સૂત્રમાં $T_f$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$.
અહીં $n = 1$,$T_i = T$,અને $V_f = 2V_i$ આપેલ છે.
એડિબેટિક સંબંધ $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$.
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
હવે,કાર્યના સૂત્રમાં $T_f$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$.
0 likes
View Solution188
DifficultMCQ
એક એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા દરમિયાન,જો વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ઘન (cube) ના પ્રમાણમાં હોય,તો વાયુ માટે $\frac{C_p}{C_V}$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\frac{5}{3}$
B
$\frac{9}{7}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$\frac{7}{5}$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી આપણે લખી શકીએ $P = k T^3$,જેનો અર્થ છે $P T^{-3} = \text{constant}$.
આને પ્રમાણિત એડિબેટિક સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા,આપણે આપેલ સંબંધને $n$ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ જેથી $T$ નો ઘાતાંક સમાન થાય:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$.
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ અને $P^n T^{-3n}$ માંથી $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\gamma = -3n$ અને $1-\gamma = n$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $n = 1-\gamma$ મૂકતા: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $2\gamma = 3$ મળે છે,તેથી $\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી આપણે લખી શકીએ $P = k T^3$,જેનો અર્થ છે $P T^{-3} = \text{constant}$.
આને પ્રમાણિત એડિબેટિક સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા,આપણે આપેલ સંબંધને $n$ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ જેથી $T$ નો ઘાતાંક સમાન થાય:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$.
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ અને $P^n T^{-3n}$ માંથી $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\gamma = -3n$ અને $1-\gamma = n$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $n = 1-\gamma$ મૂકતા: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $2\gamma = 3$ મળે છે,તેથી $\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.
0 likes
View Solution189
DifficultMCQ
એક જ વાયુ માટે બે અલગ-અલગ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પથ $P-V$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે આઈસોથર્મલ (સમતાપી) વક્રોને છેદે છે. ગુણોત્તર $\frac{V_a}{V_d}$ અને ગુણોત્તર $\frac{V_b}{V_c}$ વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?
A
$\frac{V_a}{V_d}=\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{-1}$
B
$\frac{V_a}{V_d} \neq \frac{V_b}{V_c}$
C
$\frac{V_a}{V_d}=\frac{V_b}{V_c}$
D
$\frac{V_a}{V_d}=\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^2$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $a$ અને $d$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
બિંદુઓ $b$ અને $c$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
બિંદુઓ $a$ અને $b$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_a = T_b$ થાય. તેવી જ રીતે,બિંદુઓ $d$ અને $c$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_d = T_c$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
તેથી,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
આમ,$\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$ મળે છે.
બિંદુઓ $a$ અને $d$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
બિંદુઓ $b$ અને $c$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
બિંદુઓ $a$ અને $b$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_a = T_b$ થાય. તેવી જ રીતે,બિંદુઓ $d$ અને $c$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_d = T_c$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
તેથી,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
આમ,$\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$ મળે છે.
0 likes
View Solution190
DifficultMCQ
એક આદર્શ વાયુ $(\gamma=1.5)$ નું કદ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) રીતે $5 \ L$ થી બદલાઈને $4 \ L$ થાય છે. પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$4/5$
B
$16/25$
C
$8/(5\sqrt{5})$
D
$2/\sqrt{5}$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V_i = 5 \ L$,$V_f = 4 \ L$,અને $\gamma = 1.5 = 3/2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_i (5)^{3/2} = P_f (4)^{3/2}$.
પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર શોધવા માટે: $\frac{P_i}{P_f} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}}$.
આપેલ છે: $V_i = 5 \ L$,$V_f = 4 \ L$,અને $\gamma = 1.5 = 3/2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_i (5)^{3/2} = P_f (4)^{3/2}$.
પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર શોધવા માટે: $\frac{P_i}{P_f} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}}$.
0 likes
View Solution191
DifficultMCQ
$T$ તાપમાને રહેલા $1$ મોલ વાયુના નમૂનાનું કદ એડિબેટિકલી (સમઉષ્મીય રીતે) બમણું કરવામાં આવે છે. જો વાયુ માટે એડિબેટિક અચળાંક $\gamma = \frac{3}{2}$ હોય,તો આ પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય કેટલું હશે?
A
$RT[2-\sqrt{2}]$
B
$\frac{R}{T}[2-\sqrt{2}]$
C
$RT[2+\sqrt{2}]$
D
$\frac{T}{R}[2+\sqrt{2}]$
Solution
(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
અહીં $n = 1$,પ્રારંભિક તાપમાન $= T$,પ્રારંભિક કદ $= V$,અંતિમ કદ $= 2V$ અને $\gamma = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
સંબંધ લાગુ પાડતા: $T(V)^{\frac{3}{2}-1} = T_f(2V)^{\frac{3}{2}-1}$.
$T(V)^{\frac{1}{2}} = T_f(2)^{\frac{1}{2}}(V)^{\frac{1}{2}}$.
$T = T_f \sqrt{2} \Rightarrow T_f = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1 \cdot R(T - \frac{T}{\sqrt{2}})}{\frac{3}{2} - 1}$.
$W = \frac{R T (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{2}} = 2RT \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$W = RT(2 - \sqrt{2})$.
અહીં $n = 1$,પ્રારંભિક તાપમાન $= T$,પ્રારંભિક કદ $= V$,અંતિમ કદ $= 2V$ અને $\gamma = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
સંબંધ લાગુ પાડતા: $T(V)^{\frac{3}{2}-1} = T_f(2V)^{\frac{3}{2}-1}$.
$T(V)^{\frac{1}{2}} = T_f(2)^{\frac{1}{2}}(V)^{\frac{1}{2}}$.
$T = T_f \sqrt{2} \Rightarrow T_f = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1 \cdot R(T - \frac{T}{\sqrt{2}})}{\frac{3}{2} - 1}$.
$W = \frac{R T (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{2}} = 2RT \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$W = RT(2 - \sqrt{2})$.
0 likes
View Solution192
Advanced
એક નાનો ગોળાકાર મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુનો પરપોટો $\left(\gamma=\frac{5}{3}\right)$ $\rho_{\ell}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ફસાયેલો છે (આકૃતિ જુઓ). ધારો કે પરપોટો પ્રવાહી સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે કરતો નથી. પરપોટામાં $n$ મોલ વાયુ છે. જ્યારે પરપોટો તળિયે હોય ત્યારે વાયુનું તાપમાન $T_0$ છે, પ્રવાહીની ઊંચાઈ $H$ છે અને વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે (પૃષ્ઠતાણને અવગણો).
$1.$ જેમ પરપોટો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ઉત્પ્લાવક બળ સિવાય તેના પર નીચેના બળો કાર્ય કરે છે:
$(A)$ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
$(B)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રવાહીના દબાણને કારણે લાગતું બળ
$(C)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, પ્રવાહીના દબાણને કારણે લાગતું બળ અને પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે લાગતું બળ
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે લાગતું બળ
$2.$ જ્યારે વાયુનો પરપોટો તળિયેથી $y$ ઊંચાઈ પર હોય, ત્યારે તેનું તાપમાન કેટલું હશે?
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ વાયુના પરપોટા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ કેટલું છે (ધારો કે $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
પ્રશ્ન $1, 2,$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ જેમ પરપોટો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ઉત્પ્લાવક બળ સિવાય તેના પર નીચેના બળો કાર્ય કરે છે:
$(A)$ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
$(B)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રવાહીના દબાણને કારણે લાગતું બળ
$(C)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, પ્રવાહીના દબાણને કારણે લાગતું બળ અને પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે લાગતું બળ
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે લાગતું બળ
$2.$ જ્યારે વાયુનો પરપોટો તળિયેથી $y$ ઊંચાઈ પર હોય, ત્યારે તેનું તાપમાન કેટલું હશે?
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ વાયુના પરપોટા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ કેટલું છે (ધારો કે $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
પ્રશ્ન $1, 2,$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
Solution
(B,B,B) $1.$ જેમ પરપોટો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, તેમ તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) અને ઉત્પ્લાવક બળ (જે પ્રવાહી દ્વારા લાગતા દબાણ બળનું પરિણામી છે) અનુભવે છે. સમસ્યામાં એવું સ્પષ્ટ નથી કે પ્રવાહી ગતિમાં છે અથવા પરપોટો અચળ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરે છે, તેથી પરપોટા પર કાર્ય કરતા મુખ્ય બળો ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઉત્પ્લાવક બળ (દબાણ બળ) છે. આમ, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ પ્રક્રિયા એડિબેટિક છે કારણ કે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$।
તળિયે, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ અને $T_1 = T_0$.
તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ, ઊંડાઈ $(H-y)$ છે, તેથી $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$.
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$. આમ, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3.$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$. આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$.
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$.
આમ, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$. આમ, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ પ્રક્રિયા એડિબેટિક છે કારણ કે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$।
તળિયે, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ અને $T_1 = T_0$.
તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ, ઊંડાઈ $(H-y)$ છે, તેથી $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$.
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$. આમ, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3.$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$. આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$.
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$.
આમ, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$. આમ, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
0 likes
View Solution193
DifficultMCQ
એક દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુને એડિબેટિકલી તેના પ્રારંભિક કદના $\frac{1}{32}$ ભાગ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. જો વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ (કેલ્વિનમાં) હોય અને અંતિમ તાપમાન $a T_1$ હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{32}$ અને $T_2 = a T_1$,આ કિંમતો મૂકતા:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$.
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$.
તેથી,$a = 4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{32}$ અને $T_2 = a T_1$,આ કિંમતો મૂકતા:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$.
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$.
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$.
તેથી,$a = 4$.
0 likes
View Solution194
DifficultMCQ
$STP$ પર $5.6 \text{ liter}$ હિલિયમ વાયુનું સમોષ્મી સંકોચન કરીને $0.7 \text{ liter}$ કરવામાં આવે છે. જો પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ હોય,તો આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{9}{8} R T_1$
B
$\frac{3}{2} R T_1$
C
$\frac{15}{8} R T_1$
D
$\frac{9}{2} R T_1$
Solution
(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,થયેલું કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 5.6 \text{ L}$,અંતિમ કદ $V_2 = 0.7 \text{ L}$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $\gamma = \frac{5}{3}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$.
સમોષ્મી સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$.
હવે,થયેલું કાર્ય $W$ શોધીએ:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$.
કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{9}{8} R T_1$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 5.6 \text{ L}$,અંતિમ કદ $V_2 = 0.7 \text{ L}$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $\gamma = \frac{5}{3}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$.
સમોષ્મી સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$.
હવે,થયેલું કાર્ય $W$ શોધીએ:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$.
કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{9}{8} R T_1$ છે.
0 likes
View Solution195
MediumMCQ
એક મોલ મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુનું એડિબેટિક વિસ્તરણ થાય છે જેમાં તેનું કદ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા આઠ ગણું થાય છે. જો વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $100 K$ હોય અને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.0 J mol^{-1} K^{-1}$ હોય,તો તેની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ઘટાડો,જુલમાં,કેટલો હશે?
A
$500$
B
$600$
C
$900$
D
$100$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $V_2 = 8 V_1$ અને $T_1 = 100 K$.
$T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 100 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = 100 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 25 K$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2} R$.
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.0 \times (25 - 100) = 12 \times (-75) = -900 J$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $|\Delta U| = 900 J$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $V_2 = 8 V_1$ અને $T_1 = 100 K$.
$T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 100 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = 100 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 25 K$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2} R$.
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.0 \times (25 - 100) = 12 \times (-75) = -900 J$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $|\Delta U| = 900 J$ છે.
0 likes
View Solution196
AdvancedMCQ
પાણીની અંદર એક ગોળાકાર પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે. પરપોટાની અંદરનું દબાણ અને પાણીનું દબાણ $p_0$ લો. હવે પરપોટો ત્રિજ્યાની દિશામાં એડિબેટિક રીતે સંકોચાય છે જેથી તેની ત્રિજ્યા $(R-a)$ થાય છે. $a \ll R$ માટે,આ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $(4 \pi p_0 R a^2) X$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X$ એક અચળાંક છે અને $\gamma = C_p / C_V = 41 / 30$ છે. $X$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$2.02$
B
$2.04$
C
$2.05$
D
$2.06$
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
વિકલન કરતા,$V^{\gamma} dP + \gamma P V^{\gamma-1} dV = 0$,જે આપે છે $dP = -\gamma P \frac{dV}{V}$.
ત્રિજ્યામાં નાના ફેરફાર $a$ માટે કદમાં ફેરફાર $dV = 4 \pi R^2 a$ છે.
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = |dP| = \gamma P_0 \frac{4 \pi R^2 a}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3 \gamma P_0 a}{R}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ સરેરાશ દબાણ ફેરફાર અને કદમાં ફેરફારનો ગુણાકાર છે:
$W = \frac{1}{2} (\Delta P) (dV) = \frac{1}{2} \left( \frac{3 \gamma P_0 a}{R} \right) (4 \pi R^2 a) = 6 \pi \gamma P_0 R a^2$.
આપેલ છે કે $W = (4 \pi P_0 R a^2) X$,તેથી:
$4 \pi P_0 R a^2 X = 6 \pi \gamma P_0 R a^2 \Rightarrow X = \frac{6 \gamma}{4} = 1.5 \gamma$.
$\gamma = 41/30$ મૂકતા:
$X = 1.5 \times \frac{41}{30} = \frac{3}{2} \times \frac{41}{30} = \frac{41}{20} = 2.05$.
વિકલન કરતા,$V^{\gamma} dP + \gamma P V^{\gamma-1} dV = 0$,જે આપે છે $dP = -\gamma P \frac{dV}{V}$.
ત્રિજ્યામાં નાના ફેરફાર $a$ માટે કદમાં ફેરફાર $dV = 4 \pi R^2 a$ છે.
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = |dP| = \gamma P_0 \frac{4 \pi R^2 a}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3 \gamma P_0 a}{R}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ સરેરાશ દબાણ ફેરફાર અને કદમાં ફેરફારનો ગુણાકાર છે:
$W = \frac{1}{2} (\Delta P) (dV) = \frac{1}{2} \left( \frac{3 \gamma P_0 a}{R} \right) (4 \pi R^2 a) = 6 \pi \gamma P_0 R a^2$.
આપેલ છે કે $W = (4 \pi P_0 R a^2) X$,તેથી:
$4 \pi P_0 R a^2 X = 6 \pi \gamma P_0 R a^2 \Rightarrow X = \frac{6 \gamma}{4} = 1.5 \gamma$.
$\gamma = 41/30$ મૂકતા:
$X = 1.5 \times \frac{41}{30} = \frac{3}{2} \times \frac{41}{30} = \frac{41}{20} = 2.05$.
0 likes
View Solution197
Advanced
એક ઉષ્મીય અવાહક નળાકારમાં મધ્યમાં એક ઉષ્મીય અવાહક અને ઘર્ષણરહિત હલનચલન કરી શકે તેવું વિભાજક છે,જે નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. વિભાજકની દરેક બાજુએ,એક મોલ આદર્શ વાયુ છે,જેની અચળ કદ પર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = 2R$ છે. અહીં,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે. શરૂઆતમાં,દરેક બાજુનું કદ $V_0$ અને તાપમાન $T_0$ છે. ડાબી બાજુએ એક ઇલેક્ટ્રિક હીટર છે,જે ખૂબ જ ઓછી પાવર પર ચાલુ કરવામાં આવે છે જેથી ડાબી બાજુના વાયુને ઉષ્મા $Q$ મળે. પરિણામે,વિભાજક ધીમે ધીમે જમણી તરફ ખસે છે,જેનાથી જમણી બાજુનું કદ ઘટીને $V_0 / 2$ થાય છે. પરિણામે,ડાબી અને જમણી બાજુના વાયુનું તાપમાન અનુક્રમે $T_L$ અને $T_R$ થાય છે. નળાકાર,હીટર અને વિભાજકના તાપમાનમાં થતા ફેરફારોને અવગણો.
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ નું મૂલ્ય છે
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
Solution
(A,B) જમણી બાજુ માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે કારણ કે વિભાજક અને નળાકાર ઉષ્મીય અવાહક છે. વાયુ પ્રતિવર્તી એડિબેટિક સંકોચન અનુભવે છે.
આપેલ છે $C_v = 2R$,તેથી $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\gamma - 1 = 0.5$,તેથી $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
જમણી બાજુની એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$.
આપેલ છે $V_R = \frac{V_0}{2}$,તેથી $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$. આમ,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$. (પ્રશ્ન $(1)$ માટે સાચો વિકલ્પ $A$ છે)
જમણી બાજુ માટે,અંતિમ દબાણ $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ છે. વિભાજક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,બંને બાજુનું દબાણ સમાન છે: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$.
ડાબી બાજુ માટે,અંતિમ કદ $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ છે.
ડાબી બાજુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$. નળાકાર અવાહક હોવાથી,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (કારણ કે ડાબી બાજુના વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય જમણી બાજુના વાયુ પર થયેલ કાર્ય જેટલું છે).
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$.
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$.
આમ,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$. (પ્રશ્ન $(2)$ માટે સાચો વિકલ્પ $B$ છે)
આપેલ છે $C_v = 2R$,તેથી $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\gamma - 1 = 0.5$,તેથી $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
જમણી બાજુની એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$.
આપેલ છે $V_R = \frac{V_0}{2}$,તેથી $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$. આમ,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$. (પ્રશ્ન $(1)$ માટે સાચો વિકલ્પ $A$ છે)
જમણી બાજુ માટે,અંતિમ દબાણ $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ છે. વિભાજક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,બંને બાજુનું દબાણ સમાન છે: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$.
ડાબી બાજુ માટે,અંતિમ કદ $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ છે.
ડાબી બાજુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$. નળાકાર અવાહક હોવાથી,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (કારણ કે ડાબી બાજુના વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય જમણી બાજુના વાયુ પર થયેલ કાર્ય જેટલું છે).
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$.
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$.
આમ,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$. (પ્રશ્ન $(2)$ માટે સાચો વિકલ્પ $B$ છે)
0 likes
View Solution198
MediumMCQ
$0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા એક આદર્શ વાયુને અચાનક તેના કદના ચોથા ભાગ જેટલું સંકોચવામાં આવે છે. જો અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $3/2$ હોય, તો થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રક્રિયાને કારણે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર . . . . . . $K$ છે.
A
$545$
B
$173$
C
$273$
D
$373$
Solution
(C) આ પ્રક્રિયા અચાનક સંકોચન છે, જે એક એડિબેટિક (સમોષ્મી) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, પ્રારંભિક કદ $V_1 = V_0$, અંતિમ કદ $V_2 = V_0/4$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 3/2$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, પ્રારંભિક કદ $V_1 = V_0$, અંતિમ કદ $V_2 = V_0/4$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 3/2$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ છે.
0 likes
View Solution199
EasyMCQ
આદર્શ વાયુમાં થતા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) ફેરફારમાં થયેલું કાર્ય ફક્ત શેના પર આધાર રાખે છે?
A
તેના દબાણમાં ફેરફાર
B
તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મામાં ફેરફાર
C
તેના કદમાં ફેરફાર
D
તેના તાપમાનમાં ફેરફાર
Solution
(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$\Delta W = -\Delta U$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ છે.
આ દર્શાવે છે કે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ફક્ત તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ પર જ આધાર રાખે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$\Delta W = -\Delta U$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ છે.
આ દર્શાવે છે કે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ફક્ત તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ પર જ આધાર રાખે છે.
0 likes
View Solution200
MediumMCQ
એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A
મોલર ઉષ્મા ધારિતા અનંત છે
B
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય આંતરિક ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે
C
મોલર ઉષ્મા ધારિતા શૂન્ય છે
D
જેમ તાપમાન વધે છે તેમ વાયુની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે
Solution
(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $dQ = 0$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ એ $C = \frac{dQ}{n dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $dQ = 0$ હોવાથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. $dQ = 0$ હોવાથી,આપણને $dU = -dW$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે.
તેથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા શૂન્ય છે તે વિધાન સાચું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ એ $C = \frac{dQ}{n dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $dQ = 0$ હોવાથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. $dQ = 0$ હોવાથી,આપણને $dU = -dW$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે.
તેથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા શૂન્ય છે તે વિધાન સાચું છે.
0 likes
View SolutionThermodynamics — Adiabatic Process · Frequently Asked Questions
1Are these Thermodynamics questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Thermodynamics Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.