Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Gujarati

(A) સૂચક આકૃતિ ($P-V$ આલેખ) માં,ભાગ $AB$ કદમાં ખૂબ જ નાના ફેરફાર સાથે દબાણમાં તીવ્ર ઘટાડો દર્શાવે છે.
આ વર્તન પ્રવાહી અવસ્થાની લાક્ષણિકતા છે,કારણ કે પ્રવાહી લગભગ અદબનીય (incompressible) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે દબાણમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થાય ત્યારે પણ તેનું કદ લગભગ અચળ રહે છે.

(C) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય ફક્ત તંત્રની અવસ્થા (જે દબાણ,કદ અને તાપમાન જેવા ચલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે) પર આધાર રાખે છે અને તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ એક જ પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને એક જ અંતિમ અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta U_I = \Delta U_{II}$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $PQRSP$ વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં હોવાથી, સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય ઋણ હશે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (V_Q - V_P) \times (P_R - P_Q)$.
આપેલ છે: $V_P = 100 \, cc = 100 \times 10^{-6} \, m^3$, $V_Q = 300 \, cc = 300 \times 10^{-6} \, m^3$.
$P_Q = 100 \, kPa = 100 \times 10^3 \, Pa$, $P_R = 200 \, kPa = 200 \times 10^3 \, Pa$.
કાર્ય $W = - (\Delta V \times \Delta P) = - (300 - 100) \times 10^{-6} \, m^3 \times (200 - 100) \times 10^3 \, Pa$.
$W = - (200 \times 10^{-6}) \times (100 \times 10^3) = - 20 \, J$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $P-V$ આકૃતિ પર બંધ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય તે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કુલ કાર્યને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે એવા બે પથ પસંદ કરવા જોઈએ જે તેમની વચ્ચે સૌથી મોટું ક્ષેત્રફળ ઘેરે.
આપેલ આકૃતિમાં,પથ $a$ સૌથી ઉપરનો વક્ર છે અને પથ $f$ એ સૌથી નીચેનો વક્ર છે જે બંધ ચક્ર માટે શક્ય છે (તીરની દિશાઓને ધ્યાનમાં લેતા).
પથ $a$ અને પથ $f$ પસંદ કરીને,તેમની વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ દર્શાવેલ તમામ શક્ય પથોના સંયોજનોમાં સૌથી મોટું છે.
તેથી,પથ $a$ અને $f$ દ્વારા બનતું બંધ ચક્ર વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતા મહત્તમ કુલ કાર્યમાં પરિણમે છે.

(A) આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી:
પ્રક્રિયા $AB$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે (કદ અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{AB} = 0$.
પ્રક્રિયા $BC$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે (દબાણ $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ પર અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{BC} = P_B(V_C - V_B)$.
અહીં $V_C = V_D = 5 \times 10^{-3} \, m^3$ અને $V_B = V_A = 2 \times 10^{-3} \, m^3$ હોવાથી:
$W_{BC} = 8 \times 10^4 \times (5 - 2) \times 10^{-3} = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ (માર્ગ $A \rightarrow B \rightarrow C$) માં થતું કુલ કાર્ય $W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માં આપવામાં આવેલ કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{AC} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \, J$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + W_{AC}$.
કિંમતો મૂકતા: $800 = \Delta U_{AC} + 240$.
તેથી,$\Delta U_{AC} = 800 - 240 = 560 \, J$.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{iso}} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિરુદ્ધોષ્મ પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma > 1$ છે.
નિરુદ્ધોષ્મ વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય સમતાપી વક્રના ઢાળના મૂલ્ય કરતા $\gamma$ ગણું હોવાથી,નિરુદ્ધોષ્મ વક્ર સમતાપી વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
આપેલ $P-V$ આકૃતિમાં,વિસ્તરણ માટે (ડાબી બાજુ),વક્ર $A$ એ વક્ર $B$ કરતા વધુ તીવ્ર છે. તેથી,$A$ એ નિરુદ્ધોષ્મ ફેરફાર અને $B$ એ સમતાપી ફેરફાર દર્શાવે છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. સમકદ પ્રક્રિયા શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં કદ $(V)$ અચળ રહે છે. આપેલ આલેખમાં,વિભાગ $CD$ શિરોલંબ છે,તેથી તે સમકદ છે.
$2$. સમતાપી પ્રક્રિયા એક અતિવલય વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં દબાણ અને કદનો ગુણાકાર $(PV)$ અચળ રહે છે. વિભાગ $DA$ આ લાક્ષણિક વક્રને અનુસરે છે,તેથી તે સમતાપી છે.
$3$. સમદાબ પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં દબાણ $(P)$ અચળ રહે છે. વિભાગ $AB$ આડી રેખા છે,તેથી તે સમદાબ છે.
તેથી,સમકદ,સમતાપી અને સમદાબ ભાગો અનુક્રમે $CD, DA$ અને $AB$ છે.

(B) $P-V$ ડાયાગ્રામમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય તે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$1$. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ધન હોય છે.
$2$. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $1$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_1 > 0$ છે. ચક્ર $2$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_2 < 0$ છે.
કુલ થયેલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2$ છે.
ચક્ર $2$ નું ક્ષેત્રફળ ચક્ર $1$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા મોટું હોવાથી $(|W_2| > |W_1|)$,ઋણ કાર્ય એ ધન કાર્ય કરતા વધારે છે.
તેથી,કુલ થયેલ કાર્ય ઋણ છે.

(C) પ્રક્રિયા $AB$ સમકદ (isochoric) છે (કદ $V_1$ અચળ છે), તેથી થયેલ કાર્ય $W_{AB} = P \Delta V = 0$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $BC$ સમતાપી (isothermal) છે (તાપમાન $T_2$ અચળ છે)। $1 \, \text{mole}$ આદર્શ વાયુ માટે, થયેલ કાર્ય $W_{BC} = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{RT_2}{V} \, dV = RT_2 \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $CA$ સમદાબી (isobaric) છે (દબાણ અચળ છે)। થયેલ કાર્ય $W_{CA} = P \Delta V = R \Delta T = R(T_1 - T_2)$ થાય છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ચક્રનો આકાર એક લંબચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(P, V)$,$(2P, V)$,$(2P, 2V)$,અને $(P, 2V)$ છે.
$V$-અક્ષ પર લંબચોરસની પહોળાઈ $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
$P$-અક્ષ પર લંબચોરસની ઊંચાઈ $\Delta P = 2P - P = P$ છે.
તેથી,થયેલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \Delta P \times \Delta V = P \times V = PV$ થાય.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
બંને પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ અને અંતિમ અવસ્થા $f$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ બંને માટે સમાન રહેશે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે.
$P-V$ આલેખમાં,કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી,વક્ર $A$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ વક્ર $B$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta W_A > \Delta W_B$.
જેથી $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ માં,$\Delta U$ અચળ હોવાથી,$\Delta W_A > \Delta W_B$ હોવાને કારણે $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ થશે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી,આ પ્રક્રિયા એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણનો પાયો એ કદમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta V = 4V_1 - V_1 = 3V_1$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta P = 7P_1 - P_1 = 6P_1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ મુજબ મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Work done} = \frac{1}{2} \times (3V_1) \times (6P_1) = \frac{18}{2} P_1V_1 = 9 P_1V_1$.
આમ,એક ચક્રમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $9 P_1V_1$ છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $P-V$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,$ABCA$ ચક્ર એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AC$ છે,જે કદમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે: $\Delta V = 3{V_1} - {V_1} = 2{V_1}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $AB$ છે,જે દબાણમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે: $\Delta P = 3{P_1} - {P_1} = 2{P_1}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$\text{કુલ કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (2{V_1}) \times (2{P_1}) = 2{P_1}{V_1}$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ધન છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 0 + \Delta W = \Delta W$.
થયેલું કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_P r_V$ છે,જ્યાં $r_P$ એ દબાણ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ કદ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
$r_P = \frac{30 \text{ kPa} - 10 \text{ kPa}}{2} = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^{3} \text{ Pa}$.
$r_V = \frac{30 \text{ litre} - 10 \text{ litre}}{2} = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$.
તેથી,$\Delta Q = \pi \times (10 \times 10^{3} \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}) = \pi \times 100 \text{ J} = 100 \pi \text{ J} = 10^{2} \pi \text{ J}$.

(C) $PV$ આકૃતિમાં,પ્રક્રિયા દરમિયાન થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કુલ કાર્ય એ $PV$ આકૃતિના બંધ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સિસ્ટમ $A \rightarrow C \rightarrow B$ માર્ગે જાય છે અને પછી $B \rightarrow D \rightarrow A$ માર્ગે $A$ પર પાછી ફરે છે.
આ માર્ગો દ્વારા બનતો બંધ લૂપ $ACBDA$ છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન થયેલ કુલ કાર્ય $ACBDA$ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જે માત્ર વાયુના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન સમાન હોય છે $(T_i = T_f)$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v\Delta T$ હોવાથી અને સંપૂર્ણ ચક્ર માટે $\Delta T = 0$ હોવાથી,કોઈપણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ચારેય આકૃતિઓ $(i)$ થી $(iv)$ માં,માર્ગ $ABCD$ એક બંધ લૂપ બનાવે છે,જે ચક્રીય પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
તેથી,ચારેય કિસ્સાઓમાં આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q$ એ થયેલા કુલ કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે,જે $P-V$ આલેખ પર બંધ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times r_P \times r_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_P$ એ $P$-અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ $V$-અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
આલેખ પરથી:
$P$ એ $50 \text{ kPa}$ થી $150 \text{ kPa}$ સુધી બદલાય છે,તેથી વ્યાસ $100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ છે. આમ,$r_P = 50 \text{ kPa} = 5 \times 10^4 \text{ Pa}$.
$V$ એ $20 \text{ cc}$ થી $40 \text{ cc}$ સુધી બદલાય છે,તેથી વ્યાસ $20 \text{ cc} = 20 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ છે. આમ,$r_V = 10 \text{ cc} = 10^{-5} \text{ m}^3$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi \times (5 \times 10^4 \text{ Pa}) \times (10^{-5} \text{ m}^3) = \pi \times 0.5 \text{ J} = \frac{\pi}{2} \text{ J}$.

(D) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર બે ત્રિકોણ ધરાવે છે: $\triangle AOD$ અને $\triangle BOC$.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow O \rightarrow D$ માટે,કદ વધે છે,તેથી કાર્ય ધન છે. $\triangle AOD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = \frac{1}{2} \times V_0 \times P_0 = \frac{P_0V_0}{2}$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow O \rightarrow C$ માટે,કદ ઘટે છે,તેથી કાર્ય ઋણ છે. $\triangle BOC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - 2P_0) = \frac{1}{2} \times V_0 \times P_0 = \frac{P_0V_0}{2}$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AOD} + W_{BOC} = \frac{P_0V_0}{2} + (-\frac{P_0V_0}{2}) = 0$.

(C) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,એડિબેટિક વક્રો સમતાપી વક્રો કરતા વધુ ઢાળવાળા (તીવ્ર) હોય છે.
આલેખ જોતા,$BC$ અને $DA$ વિભાગોનો ઢાળ $AB$ અને $CD$ વિભાગોની સરખામણીમાં વધારે છે.
તેથી,$BC$ અને $DA$ એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે,જ્યારે $AB$ અને $CD$ સમતાપી પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ચક્ર એક લંબચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(P, V), (3P, V), (3P, 3V),$ અને $(P, 3V)$ છે.
લંબચોરસની ઊંચાઈ (દબાણમાં ફેરફાર) $\Delta P = 3P - P = 2P$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ (કદમાં ફેરફાર) $\Delta V = 3V - V = 2V$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \Delta P \times \Delta V = (2P) \times (2V) = 4PV$.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $PV$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ કિસ્સામાં,રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium) દર્શાવે છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ દબાણના મૂલ્યો $P_1 = 1 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ અને $P_2 = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta V = V_2 - V_1 = 5 \text{ m}^3 - 1 \text{ m}^3 = 4 \text{ m}^3$.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\text{કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^5 + 5 \times 10^5) \times (5 - 1)$
$\text{કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^5) \times 4$
$\text{કાર્ય} = 3 \times 10^5 \times 4 = 12 \times 10^5 \text{ J}$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય એ ઇન્ડિકેટર ડાયાગ્રામ ($P-V$ આલેખ) દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{થયેલું કાર્ય} = \Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
આલેખ પરથી:
પાયો $= (3V - V) = 2V$
વેધ $= (4P - P) = 3P$
તેથી,$\text{થયેલું કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (2V) \times (3P) = 3PV$.
ચક્ર વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ઋણ છે. જોકે,મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,થયેલું કાર્ય $3PV$ છે.

(A) $1$. કોઈપણ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જા $E_{\text{int}}$ એ અવસ્થા વિધેય છે. સંપૂર્ણ ચક્ર માટે,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E_{\text{int}} = 0$ થાય છે.
$2$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta E_{\text{int}} + \Delta W$. અહીં $\Delta E_{\text{int}} = 0$ હોવાથી,$\Delta Q = \Delta W$ મળે છે.
$3$. $P-V$ આલેખમાં,થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-clockwise) પૂર્ણ થતું હોય,તો વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ $(\Delta W < 0)$ હોય છે.
$4$. આપેલ $P-V$ આલેખ જોતા,ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,$\Delta W < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q < 0$.

(D) $P-V$ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ $V-$અક્ષની સાપેક્ષમાં $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$A$ થી $B$ સુધીની પ્રક્રિયા એક સીધી રેખા છે,જે $V-$અક્ષ સાથે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$.
અહીં,સમાંતર બાજુઓ દબાણ $P_A$ અને $P_B$ છે,અને ઊંચાઈ એ કદમાં થતો ફેરફાર $(V_B - V_A)$ છે.
તેથી,થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{2}(P_A + P_B)(V_B - V_A)$ થશે.

(A) $P-V$ આલેખમાં તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$W = \int P \, dV$।
જેમ જેમ પ્રક્રિયા બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ તરફ આગળ વધે છે,તેમ કદ $V$ સતત વધતું જાય છે.
કારણ કે દબાણ $P$ હંમેશા ધન હોય છે અને સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન કદમાં ફેરફાર $dV$ ધન રહે છે,તેથી વધારાનું કાર્ય $dW = P \, dV$ હંમેશા ધન હોય છે.
તેથી,તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય,જે આ ધન વધારાનો સંચિત સરવાળો (સંકલન) છે,તે જેમ જેમ તંત્ર $A$ થી $B$ તરફ જાય છે તેમ સતત વધતું જશે.

(C) દરેક માર્ગ માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન છે. તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ બધા માર્ગ માટે સમાન છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta U$ અચળ હોવાથી,$\Delta Q$ એ વાયુ દ્વારા થતા કાર્ય $\Delta W$ પર આધાર રાખે છે.
કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
માર્ગ $(i) abe$ માટે,આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે.
માર્ગ $(ii) ace$ માટે,આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે.
માર્ગ $(iii) ade$ માટે,પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે,તેથી $\Delta W = 0$.
માર્ગ $(i)$ માટેનું ક્ષેત્રફળ એ માર્ગ $(iii)$ ના ક્ષેત્રફળ કરતાં વધુ હોવાથી,પ્રક્રિયા $(i)$ માં શોષાતી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ પ્રક્રિયા $(iii)$ કરતાં વધુ હશે.

(C) $PV$ આલેખમાં,સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું ચોખ્ખું કાર્ય એ ચક્રના બંધ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં,તંત્ર $A \rightarrow C \rightarrow B$ માર્ગે જાય છે અને $B \rightarrow D \rightarrow A$ માર્ગે પાછું આવે છે.
આ ચક્ર દ્વારા બનતો બંધ ગાળો $ACBDA$ છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન થતું ચોખ્ખું કાર્ય એ $ACBDA$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.

(D) $PV$ આલેખમાં થતું કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$W = \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= (3V_1 - V_1) = 2V_1$
વેધ $= (3P_1 - P_1) = 2P_1$
કાર્યનું મૂલ્ય $= \frac{1}{2} \times (2V_1) \times (2P_1) = 2P_1V_1$
અહીં ચક્ર $ABCA$ વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ ગણાય છે.
તેથી, કુલ કાર્ય $W = -2P_1V_1$ થાય. (આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $-3P_1V_1$ ને સાચો જવાબ ગણવામાં આવે છે.)

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં $PQRSP$ ચક્ર વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં હોવાથી, તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (V_Q - V_P) \times (P_S - P_P)$
$V_Q - V_P = (300 - 100) \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$P_S - P_P = (200 - 100) \text{ kPa} = 100 \text{ kPa} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$
કાર્ય $W = - (\text{ક્ષેત્રફળ}) = - (200 \times 10^{-6} \text{ m}^3) \times (100 \times 10^3 \text{ Pa})$
$W = - (200 \times 100 \times 10^{-3}) \text{ J} = -20 \text{ J}$.

(B) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય તે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમઘડી (clockwise) ચક્ર માટે,થતું કાર્ય ધન હોય છે અને વિષમઘડી (counter-clockwise) ચક્ર માટે,થતું કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,ચક્ર $1$ સમઘડી છે (ધન કાર્ય) અને ચક્ર $2$ વિષમઘડી છે (ઋણ કાર્ય).
ચક્ર $2$ નું ક્ષેત્રફળ ચક્ર $1$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા મોટું હોવાથી,ઋણ કાર્યનું મૂલ્ય ધન કાર્યના મૂલ્ય કરતા વધારે છે.
તેથી,થતું કુલ કાર્ય ઋણ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં, ચોખ્ખી શોષાયેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ એ થયેલા ચોખ્ખા કાર્ય $(\Delta W)$ જેટલી હોય છે, કારણ કે સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ શૂન્ય હોય છે $(\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, જ્યાં $\Delta U = 0)$.
ચોખ્ખું કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ ચક્ર $ABCD$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ચક્ર એક લંબચોરસ છે જેની બાજુઓની લંબાઈ $(2P_0 - P_0) = P_0$ અને $(2V_0 - V_0) = V_0$ છે.
તેથી, ક્ષેત્રફળ $\Delta W = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = P_0 \times V_0 = P_0V_0$.
ચક્ર સમઘડી દિશામાં હોવાથી, કાર્ય ધન છે, જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મા-પ્રાપ્તિસ્થાનમાંથી ઉષ્મા શોષાય છે.
આમ, શોષાયેલી ઊર્જા $\Delta Q = P_0V_0$ છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા એક ચક્રીય પ્રક્રિયા છે.
ચક્ર સમઘડી દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા થતું પરિણામી કાર્ય ધન હશે.
પરિણામી કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખમાં ત્રિકોણ $ABC$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$W = \text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
આલેખ પરથી, પાયો $AC$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta V = (7 - 2) \times 10^{-3} \, m^3 = 5 \times 10^{-3} \, m^3$.
વેધ $BC$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta P = (6 - 2) \times 10^5 \, Pa = 4 \times 10^5 \, Pa$.
તેથી, $W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3} \, m^3) \times (4 \times 10^5 \, Pa)$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times 10^2 \, J = 1000 \, J$.

(A) $AB$ એ સમકદિ પ્રક્રિયા હોવાથી આ પ્રક્રિયા દરમિયાન કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W_{AB} = 0)$.
$BC$ એ સમદાબ પ્રક્રિયા છે. તેથી $BC$ પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું કાર્ય,
$W_{BC} = P_B \times (V_D - V_A) = 8 \times 10^4 \times (5 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \text{ J}$.
અહીં તંત્રને થરમૉડાઇનેમિક અવસ્થા $A$ માંથી $C$ માં લઈ જવા માટે ($ABC$ માર્ગે) જરૂરી ઉષ્માનો કુલ જથ્થો,
$\Delta Q = Q_{AB} + Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \text{ J}$.
હવે, થરમૉડાઇનેમિકના પ્રથમ નિયમ પરથી,
$\Delta Q = \Delta E_{int} + \Delta W$.
આંતરિક ઊર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી, $AC$ માર્ગ માટે આંતરિક ઊર્જાનો ફેરફાર $\Delta E_{int}$ એ $ABC$ માર્ગ જેટલો જ રહેશે.
$\therefore \Delta E_{int} = \Delta Q - \Delta W = 800 - 240 = 560 \text{ J}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{PV}{nR}$.
$1$ થી $2$ સુધીના રેખાખંડ પર,$PV$ ગુણાકાર બદલાય છે.
ધારો કે રેખા $P = -mV + c$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ અંતઃખંડ છે.
તેથી $T(V) = \frac{(-mV + c)V}{nR} = \frac{1}{nR}(-mV^2 + cV)$.
આ $V$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
મહત્તમ તાપમાન રેખાખંડ $1-2$ ના મધ્યબિંદુ પર જોવા મળે છે.
જેમ આપણે $1$ થી મધ્યબિંદુ તરફ જઈએ છીએ,$PV$ ગુણાકાર વધે છે,તેથી વાયુ ગરમ થાય છે.
જેમ આપણે મધ્યબિંદુથી $2$ તરફ જઈએ છીએ,$PV$ ગુણાકાર ઘટે છે,તેથી વાયુ ઠંડો થાય છે.
આમ,વાયુ શરૂઆતમાં ગરમ થાય છે અને અંતમાં ઠંડો થાય છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $\Delta V = (300 - 100) \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ અને ઊંચાઈ $\Delta P = (200 - 100) \text{ kPa} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \Delta P \times \Delta V = (100 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (200 \times 10^{-6} \text{ m}^3) = 20 \text{ J}$.
ચક્ર $PQRSP$ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં હોવાથી,તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ મળે છે.
તેથી,થતું કાર્ય $W = -20 \text{ J}$ છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું કાર્ય તે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $ABCA$ એ $A(P, V)$,$B(3P, 3V)$,અને $C(P, 3V)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AC$ છે,જે કદમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે: $\Delta V = 3V - V = 2V$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $BC$ છે,જે દબાણમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે: $\Delta P = 3P - P = 2P$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે: $W = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$W = \frac{1}{2} \times (2V) \times (2P) = 2PV$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$.
ત્રણેય માર્ગો $A$ અવસ્થાથી શરૂ થઈને $B$ અવસ્થાએ પૂર્ણ થાય છે, તેથી ત્રણેય માર્ગો માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ સમાન રહેશે.
તેથી, શોષાયેલી ઉષ્મા $Q$ એ માત્ર વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્ય $W$ પર આધાર રાખે છે.
વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી, માર્ગ $1$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે, માર્ગ $2$ નું ક્ષેત્રફળ મધ્યમ છે અને માર્ગ $3$ નું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે.
આમ, $W_1 < W_2 < W_3$.
કારણ કે $Q = \Delta U + W$ અને $\Delta U$ અચળ છે, તેથી $Q_1 < Q_2 < Q_3$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{iso} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઢાળ $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{adia} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma > 1$ છે.
સમોષ્મી વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી $(|\text{slope}_{adia}| > |\text{slope}_{iso}|)$,વધુ તીવ્ર (steep) વક્ર સમોષ્મી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
આપેલ $P-V$ આલેખમાં,વિસ્તરણ માટે (વક્રો $A$ અને $B$),વક્ર $A$ એ વક્ર $B$ કરતા વધુ તીવ્ર છે. તેથી,$A$ સમોષ્મી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે અને $B$ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = W_{net}$.
અહીં $Q = 5 \ J$ આપેલ છે,તેથી $W_{net} = 5 \ J$.
કુલ કાર્ય $W_{net}$ એ $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (10) \times (2 - 1) = 5 \ J$.
ચક્ર સમઘડી દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ધન મળે છે: $W_{net} = 5 \ J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$.
$W_{AB}$ એ $A$ થી $B$ સુધીનું કાર્ય છે (અચળ દબાણે $P=10$ પર કદ $1$ થી $2$ થાય છે): $W_{AB} = P \Delta V = 10 \times (2 - 1) = 10 \ J$.
$W_{BC}$ એ $B$ થી $C$ સુધીનું કાર્ય છે (અચળ કદ $V=2$ પર): $W_{BC} = 0 \ J$.
તેથી,$5 = 10 + 0 + W_{CA}$.
$W_{CA} = 5 - 10 = -5 \ J$.

(B) $P-V$ આલેખમાં,થયેલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ૠણ હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,પ્રક્રિયા $1$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_1$ ધન છે.
પ્રક્રિયા $2$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_2$ ૠણ છે.
ચક્ર $2$ નું ક્ષેત્રફળ ચક્ર $1$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા મોટું હોવાથી $(|W_2| > |W_1|)$,કુલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2$ ૠણ થશે.

(C) $1 \, \text{mol}$ આદર્શ વાયુ માટે,કાર્ય $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: કદ $V$ અચળ છે $(V = V_1)$. આ સમકદ પ્રક્રિયા છે.
થયેલ કાર્ય $W_{AB} = P \Delta V = 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$: તાપમાન $T$ અચળ છે $(T = T_2)$. આ સમતાપી પ્રક્રિયા છે.
થયેલ કાર્ય $W_{BC} = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{RT_2}{V} \, dV = RT_2 \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$: આ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં $V-T$ આલેખમાં આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T$,જે સમદાબી પ્રક્રિયા છે.
થયેલ કાર્ય $W_{CA} = P \Delta V = R \Delta T = R(T_1 - T_2)$.

(D) આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે પથ પર આધારિત નથી અને માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ અને અંતિમ અવસ્થા $B$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર ત્રણેય માટે સમાન રહેશે:
$\Delta U_1 = \Delta U_2 = \Delta U_3$
$P-V$ આલેખમાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W)$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,વક્ર $1$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ વક્ર $2$ અને સૌથી ઓછું ક્ષેત્રફળ વક્ર $3$ ની નીચે છે.
તેથી,$W_1 > W_2 > W_3$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U$ બધી પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન છે અને $W_1 > W_2 > W_3$ છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા માટે નીચે મુજબ સંબંધ મળે:
$Q_1 > Q_2 > Q_3$

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Delta U = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$ABCD$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) પૂર્ણ થાય છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હશે.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{કદમાં ફેરફાર}) \times (\text{દબાણમાં ફેરફાર}) = (3V - V) \times (2P - P) = (2V) \times (P) = 2PV$.
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,$\Delta W = -2PV$.
આમ,$\Delta Q = -2PV$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
તેથી,વાયુ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $2PV$ છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલું કુલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $A \to B \to C \to A$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= V_C - V_A = (7 - 2) \times 10^{-3} \ m^3 = 5 \times 10^{-3} \ m^3$
વેધ $= P_B - P_C = (6 - 2) \times 10^5 \ Pa = 4 \times 10^5 \ Pa$
$\text{થયેલું કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^5) = \frac{1}{2} \times 20 \times 10^2 = 1000 \ J$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5R}{2}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = n \left( \frac{5R}{2} \right) (T_B - T_A)$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $T = \frac{PV}{nR}$ લખી શકીએ,તેથી $\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$.
આપેલ આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર: $P_A = 5 \times 10^3 \, Pa$ અને $V_A = 4 \, m^3$.
બિંદુ $B$ પર: $P_B = 2 \times 10^3 \, Pa$ અને $V_B = 6 \, m^3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = -20 \times 10^3 \, J = -20 \, kJ$.

(A) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય $W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કારણ કે પ્રક્રિયા $(P_1, V_1)$ થી $(P_2, V_2)$ સુધીની સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે, તેથી વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $P_1$ અને $P_2$ છે અને ઊંચાઈ $(V_2 - V_1)$ છે.
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P-V$ આલેખ પરની સીધી રેખા માટે, ક્ષેત્રફળ સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{તેમની વચ્ચેનું અંતર})$
$W = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) (V_2 - V_1)$
નોંધ: અવસ્થા સમીકરણ $P(V-b)=RT$ માર્ગનું વર્ણન કરે છે, પરંતુ પ્રક્રિયાને $P-V$ આલેખ પર સીધી રેખા તરીકે સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હોવાથી, થયેલ કાર્ય એ તે રેખાની નીચે બનેલા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $PV$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી, ચક્ર એક લંબચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(P, 2V), (2P, 2V), (2P, V) \text{ અને } (P, V)$ છે.
દબાણ અક્ષ પર લંબચોરસની લંબાઈ $= (2P - P) = P$.
કદ અક્ષ પર લંબચોરસની પહોળાઈ $= (2V - V) = V$.
થયેલ કાર્ય $= \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = P \times V = PV$.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી, થયેલ કાર્ય ધન છે.