Polytropic Process Questions in Gujarati

(B) આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^2 = K$ છે (જ્યાં $K$ અચળાંક છે).
પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં $P = \frac{nRT}{V}$ મૂકતા, આપણને $(\frac{nRT}{V})V^2 = K$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $TV = \frac{K}{nR} = \text{constant}$ થાય છે.
અહીં $T \propto \frac{1}{V}$ હોવાથી, જેમ વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે, તેમ કદ $V$ વધે છે.
કદ $V$ વધતું હોવાથી, તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી, વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ ઠંડો થાય છે.

(C) $P-V$ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto V$,અથવા $P = kV$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આને $PV^{-1} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય,જે $PV^x = \text{constant}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = -1$ છે.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{R}{1.4 - 1} + \frac{R}{1 - (-1)} = \frac{R}{0.4} + \frac{R}{2} = 2.5R + 0.5R = 3R$.

(D) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,$P = \frac{\mu RT}{V}$ મળે.
આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ $VP^2 = K$ (જ્યાં $K$ અચળ છે).
આ નિયમમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $V \left( \frac{\mu RT}{V} \right)^2 = K$.
$V \cdot \frac{\mu^2 R^2 T^2}{V^2} = K$.
$\frac{T^2}{V} = \frac{K}{\mu^2 R^2} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $T^2 \propto V$,અથવા $T \propto \sqrt{V}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
અહીં $V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને $T_1 = T$ આપેલ છે.
$\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{2V}{V}} = \sqrt{2}$.
$T_2 = \sqrt{2} T$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $PV^3 = \text{constant}$ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ છે.
આ $PV^n = \text{constant}$ સ્વરૂપની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે, જ્યાં $n = 3$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે, પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયાની મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_v + \frac{R}{1 - n}$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર ઉષ્માધારિતા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
સૂત્રમાં $C_v = \frac{3}{2}R$ અને $n = 3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1 - 3}$
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{-2}$
$C = \frac{3}{2}R - \frac{1}{2}R = R$.
તેથી, આ પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુની ઉષ્માધારિતા $R$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $V = \frac{b}{T}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $VT = b$ (અચળ).
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 1$ મોલ માટે,$T = \frac{PV}{R}$ મળે.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા: $V \left( \frac{PV}{R} \right) = b$,જેનું સાદું રૂપ $PV^2 = bR = \text{અચળ}$ થાય છે.
આ $PV^x = \text{અચળ}$ પ્રકારની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે,જ્યાં $x = 2$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ મૂકતા: $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - 2} = \frac{R}{\gamma - 1} - R = R \left( \frac{1 - (\gamma - 1)}{\gamma - 1} \right) = R \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right)$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = nC \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$n = 1$ માટે,$Q = \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right) R \Delta T$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ: $VP^3 = k$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = \mu RT$ પરથી, આપણે $P = \frac{\mu RT}{V}$ લખી શકીએ.
$P$ ની કિંમત પ્રક્રિયા સમીકરણમાં મૂકતા: $V \left( \frac{\mu RT}{V} \right)^3 = k$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $V \cdot \frac{(\mu R)^3 T^3}{V^3} = k$, જે દર્શાવે છે કે $\frac{T^3}{V^2} = \text{constant}$.
તેથી, $\frac{T_1^3}{V_1^2} = \frac{T_2^3}{V_2^2}$.
અહીં $T_1 = T$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 27V$ આપેલ છે, આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T^3}{V^2} = \frac{T_2^3}{(27V)^2}$.
$\frac{T^3}{V^2} = \frac{T_2^3}{729V^2}$.
$T_2^3 = 729T^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, $T_2 = \sqrt[3]{729} T = 9T$.

(B) વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ ( $1$ મોલ માટે) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P = \frac{RT}{V}$ મળે છે.
તેથી,$W = \int \frac{RT}{V} dV$.
આપેલ સંબંધ $V = k T^{2/3}$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} dT$.
$dV$ ના પદમાં $k = \frac{V}{T^{2/3}}$ મૂકતા:
$dV = \left( \frac{V}{T^{2/3}} \right) \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} dT = \frac{2}{3} \frac{V}{T} dT$.
તેથી,$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$.
આ કિંમતને કાર્યના સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int_{T_1}^{T_2} R T \left( \frac{2}{3} \frac{dT}{T} \right) = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} R dT$.
$W = \frac{2}{3} R (T_2 - T_1)$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 30^{\circ}C = 30 \ K$ આપેલ છે:
$W = \frac{2}{3} R (30) = 20 R$.

(A) પ્રક્રિયા માટેનો સંબંધ $PV^{2/3} = \text{constant}$ આપેલ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ કે $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{2/3} = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T V^{-1/3} = \text{constant}$, અથવા $T = \text{constant} \times V^{1/3}$ મળે છે.
વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી, કદ $V$ વધે છે.
જેમ $V$ વધે છે, તેમ $V^{1/3}$ પણ વધે છે, જેનો અર્થ એ છે કે તાપમાન $T$ પણ વધવું જોઈએ.

(B) આપેલ અવસ્થાનું સમીકરણ: $P^2V = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ પરથી, $P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})^2 V = K$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \cdot V = K$, એટલે કે $\frac{n^2 R^2 T^2}{V} = K$.
તેથી, $T^2 \propto V$, અથવા $T \propto \sqrt{V}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(T_1, V_1) = (T, V)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(T_2, V_2) = (T', 2V)$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
આમ, $T' = \sqrt{2} T$ થાય.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આપેલ સંબંધ $PV^{3/2} = \text{અચળ}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $P = \frac{RT}{V}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા: $\left(\frac{RT}{V}\right) V^{3/2} = \text{અચળ}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $TV^{1/2} = \text{અચળ}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T$ અને $V_2 = \frac{V_1}{2}$.
સંબંધ $T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T \cdot V_1^{1/2} = T_2 \cdot \left(\frac{V_1}{2}\right)^{1/2}$.
$T = T_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = \sqrt{2}T$.

(A) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $P V^x = \text{constant}$ માટે, મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ $P/V = \text{constant}$ છે, જેને $P V^{-1} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય.
આમ, પોલિટ્રોપિક ઘાતાંક $x = -1$ છે.
આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1-(-1)} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2 R$.
આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 1$ મોલ અને $\Delta T = 2 T_0 - T_0 = T_0$ છે.
તેથી, $\Delta Q = 1 \times (2 R) \times T_0 = 2 R T_0$.

(D) $PV^m = \text{અચળ}$ પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $C = C_V + \frac{R}{1-m}$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
આપેલ છે કે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = R$,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1-m}$.
બંને બાજુથી $\frac{5}{2}R$ બાદ કરતા:
$R - \frac{5}{2}R = \frac{R}{1-m}$.
$-\frac{3}{2}R = \frac{R}{1-m}$.
$R$ વડે ભાગતા:
$-\frac{3}{2} = \frac{1}{1-m}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$-\frac{2}{3} = 1 - m$.
$m$ માટે ગોઠવતા:
$m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$m$ નું મૂલ્ય $5/3$ છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $\frac{P}{V^2} = a$ છે,જે $PV^n = K$ સ્વરૂપની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે,જ્યાં $n = -2$ છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ($n \neq 1$ માટે) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$
અહીં,$n = -2$,$n_{mole} = 1$,અને $\Delta T = T_2 - T_1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1 \cdot R(T_2 - T_1)}{1 - (-2)}$
$W = \frac{R(T_2 - T_1)}{1 + 2}$
$W = \frac{1}{3}R(T_2 - T_1)$

(D) આપેલ પ્રક્રિયા $\frac{PT^2}{V} = \text{અચળ}$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર ઉષ્માધારિતા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $T = \frac{PV}{nR}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $T \propto PV$.
આપેલ પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{P(PV)^2}{V} = \text{અચળ} \implies \frac{P^3V^2}{V} = \text{અચળ} \implies P^3V = \text{અચળ}$.
ઘનમૂળ લેતા, $PV^{1/3} = \text{અચળ}$ મળે છે.
આ $PV^x = \text{અચળ}$ સ્વરૂપની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે, જ્યાં $x = 1/3$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્માધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}R + \frac{R}{2/3} = \frac{5}{2}R + \frac{3}{2}R = \frac{8}{2}R = 4R$.

(D) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી, આપણી પાસે $P = \frac{nRT}{V}$ છે。
આ કિંમતને આપેલ પ્રક્રિયાના સમીકરણ $PV^2 = K$ (જ્યાં $K$ અચળ છે) માં મૂકતા:
$(\frac{nRT}{V})V^2 = K$
$nRTV = K$
$TV = \frac{K}{nR} = \text{અચળ}$。
અહીં $T \propto \frac{1}{V}$ હોવાથી, જેમ વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે તેમ કદ $V$ વધે છે。
કદ $V$ વધતું હોવાથી, $TV$ નો ગુણાકાર અચળ રાખવા માટે તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ。
તેથી, આ વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ ઠંડો પડે છે。
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે。

(D) આપેલ શરત $VP^2 = \text{constant}$ છે。
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી, $V = nRT/P$.
આ કિંમતને આપેલી શરતમાં મૂકતા: $(nRT/P) \cdot P^2 = \text{constant} \implies TP = \text{constant}$.
આમ, $P \propto 1/T$, જે $P-T$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય દર્શાવે છે。
$VP^2 = \text{constant}$ હોવાથી, $P^2 \propto 1/V$, જેનો અર્થ છે કે $P \propto 1/\sqrt{V}$.
જો કદ $V$ વધીને $4V$ થાય, તો નવું દબાણ $P'$ એ $P' \propto 1/\sqrt{4V} = (1/2) \cdot (1/\sqrt{V}) = P/2$ થશે.
તેથી, બંને વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે: $n = 2$, $V_f = 2V_i$, $T_i = 300\, K$, પ્રક્રિયા $P/V = k$ (પોલિટ્રોપિક ઘાતાંક $x = -1$).
$PV = nRT$ અને $P = kV$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $kV^2 = nRT$ મળે છે, તેથી $T \propto V^2$.
$T_f = T_i (V_f/V_i)^2 = 300 \times (2)^2 = 1200\, K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_f - T_i = 1200 - 300 = 900\, K$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV = \int_V^{2V} kV dV = k [V^2/2]_V^{2V} = k/2 (4V^2 - V^2) = 3/2 kV^2 = 3/2 PV = 3/2 nRT$.
પ્રારંભિક સ્થિતિએ, $W_i = 3/2 nRT_i = 3/2 \times 2 \times R \times 300 = 900\, R$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = 2 \times (3/2 R) \times 900 = 2700\, R$.
આપેલ ઉષ્મા $\Delta Q = \Delta U + W = 2700\, R + 900\, R = 3600\, R$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી, વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = C_v + \frac{R}{1 - n}$.
$n$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$C - C_v = \frac{R}{1 - n}$
$1 - n = \frac{R}{C - C_v}$
$n = 1 - \frac{R}{C - C_v}$
મેયરના સંબંધ $R = C_p - C_v$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{C - C_v - (C_p - C_v)}{C - C_v}$
$n = \frac{C - C_v - C_p + C_v}{C - C_v}$
$n = \frac{C - C_p}{C - C_v}$.

(C) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{અચળ}$ માટે, થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં, $x = 2$ છે, તેથી $W = \frac{nR \Delta T}{1-2} = -nR \Delta T$.
$H_2$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n \left( \frac{5}{2}R \right) \Delta T = 2.5 nR \Delta T$ છે。
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR \Delta T}{2.5 nR \Delta T} = -\frac{1}{2.5} = -0.4$ છે。

(B) આપેલ શરત $V \propto T^{2/3}$ પરથી,આપણે $V = k T^{2/3}$ લખી શકીએ.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,$P = \frac{nRT}{k T^{2/3}} = \frac{nR}{k} T^{1/3}$ મળે.
અહીં $T \propto V^{3/2}$ હોવાથી,$P \propto (V^{3/2})^{1/3} = V^{1/2}$ થાય.
આ એક પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ છે જ્યાં $P V^{-1/2} = \text{constant}$,તેથી $x = -1/2$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,$R = 1.99 \ cal/mol-K$,અને $x = -1/2$ છે.
$W = \frac{1 \times 1.99 \times 30}{1 - (-1/2)} = \frac{59.7}{1.5} = 39.8 \ cal$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \ cal \approx 4.184 \ J)$: $W = 39.8 \times 4.184 \approx 166.5 \ J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $167 \ J$ મળે છે.

(B) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $TV^n = \text{constant}$ માટે, મોલર ઉષ્માધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-n} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta Q = n_{m} C \Delta T$, જ્યાં $n_{m} = 0.5 \text{ mole}$ અને $\Delta T = 227^{\circ}\text{C} - 27^{\circ}\text{C} = 200 \text{ K}$.
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = 15 \times 10^3 \text{ J}$.
$15000 = 0.5 \times \left( \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n} \right) \times 200$.
$15000 = 100 \times \left( \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n} \right) \implies 150 = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n}$.
$R = \frac{25}{3} \text{ J/mol K}$ લેતા, $150 = \frac{3}{2} \times \frac{25}{3} + \frac{25/3}{1-n} = 12.5 + \frac{25}{3(1-n)}$.
$137.5 = \frac{25}{3(1-n)} \implies 5.5 = \frac{1}{3(1-n)}$.
$16.5(1-n) = 1 \implies 1 - n = \frac{1}{16.5} = \frac{2}{33}$.
$n = 1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$.
પ્રક્રિયા સમીકરણ $TV^n = \text{constant}$ છે. પ્રમાણિત પોલિટ્રોપિક સ્વરૂપ $PV^x = \text{constant}$ છે, જેનો અર્થ છે $TV^{x-1} = \text{constant}$. તેથી $n = x-1$. $C = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-x} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-x}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$150 = 12.5 + \frac{25}{3(1-x)}$ પરથી, $1-x = \frac{25}{3 \times 137.5} = \frac{2}{33}$.
$x = 1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$. કારણ કે $n = x-1$, તેથી $n = \frac{31}{33} - 1 = \frac{-2}{33}$.

(B) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે મોલર ઉષ્માધારિતાનું સૂત્ર $C = C_v + \frac{R}{1-n}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, $C_v = \frac{3}{2}R$ થાય.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી, પ્રક્રિયા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, તેથી $P \propto V$, જેનો અર્થ છે કે $P = kV$ અથવા $PV^{-1} = \text{constant}$.
આને $PV^n = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = -1$ મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1 - (-1)}$
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2}$
$C = \frac{3R + R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R$.
આમ, મોલર ઉષ્માધારિતા $2R$ છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા $VT = \text{અચળ}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
આ કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $V \left( \frac{PV}{nR} \right) = \text{અચળ} \implies PV^2 = \text{અચળ}$.
આ એક પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{અચળ}$ છે,જ્યાં $x = 2$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5R}{2}$ છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
$C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{5R}{2} - R = \frac{3R}{2} \text{ J/mol-K}$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_2 - T_1)}{1-x}$ છે.
અહીં $n = 2$,$T_1 = 300 \text{ K}$,$T_2 = 500 \text{ K}$,અને $x = 2$ આપેલ છે:
$W = \frac{2R(500 - 300)}{1-2} = \frac{2R(200)}{-1} = -400R \text{ J}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ: $TP^{-1/3} = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $T \propto PV$ મળે, તેથી $PV \cdot P^{-1/3} = \text{constant}$, જેનું સાદું રૂપ $P^{2/3}V = \text{constant}$ થાય છે.
બંને બાજુ $3/2$ ઘાત લેતા, આપણને $PV^{3/2} = \text{constant}$ મળે છે.
આ એક પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ છે જ્યાં $x = 3/2$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{R}{5/3 - 1} + \frac{R}{1 - 3/2} = \frac{R}{2/3} + \frac{R}{-1/2} = \frac{3R}{2} - 2R = -\frac{R}{2}$.
અહીં મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ ઋણ હોવાથી, $\Delta Q = nC\Delta T$ સંબંધ મુજબ, જો વાયુને ઉષ્મા આપવામાં આવે $(\Delta Q > 0)$, તો $\Delta T$ ઋણ હોવું જોઈએ $(\Delta T < 0)$.
તેથી, વાયુનું તાપમાન ઘટશે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{n - 1}$
નિશ્ચિત પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થા માટે, થયેલ કાર્ય $n$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.
જો આપણે કદમાં આપેલ ફેરફાર માટે થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ, તો જ્યારે $n = \infty$ (સમકદ પ્રક્રિયા, $\Delta V = 0$) હોય ત્યારે કાર્ય શૂન્ય થાય છે.
આમ, $n = \infty$ માટે થયેલ કાર્ય ન્યૂનતમ (શૂન્ય) છે.

(B) આપેલ સંબંધ $V = KT^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા: $V = K \left( \frac{PV}{nR} \right)^{2/3}$.
બંને બાજુ $3/2$ ઘાત લેતા: $V^{3/2} = K^{3/2} \frac{PV}{nR}$.
પદોને ગોઠવતા: $V^{3/2} / V = \frac{K^{3/2}}{nR} P \Rightarrow V^{1/2} = \frac{K^{3/2}}{nR} P$.
આને $P V^{-1/2} = \text{અચળ}$ તરીકે લખી શકાય.
આને પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયાના સમીકરણ $PV^x = \text{અચળ}$ સાથે સરખાવતા, $x = -1/2$ મળે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ છે.
કિંમતો $n = 1$, $\Delta T = 30$, અને $x = -1/2$ મૂકતા:
$W = \frac{1 \times R \times 30}{1 - (-1/2)} = \frac{30R}{3/2} = 20R$.

(B) પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $P V^x = \text{અચળ}$ છે.
બિંદુ $A$ પર, $P_1 = 16 P_0$ અને $V_1 = V_0$.
બિંદુ $B$ પર, $P_2 = P_0$ અને $V_2 = 2 V_0$.
આ કિંમતોને પોલીટ્રોપિક સમીકરણમાં મૂકતા: $P_1 V_1^x = P_2 V_2^x$.
$16 P_0 (V_0)^x = P_0 (2 V_0)^x$.
$16 = 2^x \implies 2^4 = 2^x \implies x = 4$.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{x - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = \frac{(16 P_0)(V_0) - (P_0)(2 V_0)}{4 - 1}$.
$W = \frac{16 P_0 V_0 - 2 P_0 V_0}{3} = \frac{14}{3} P_0 V_0$.

(D) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $PV^2 = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{અચળ}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $nRT \cdot V = \text{અચળ}$ મળે છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, $TV = \text{અચળ}$ અથવા $T \propto \frac{1}{V}$ મળે છે.
$T$ વિરુદ્ધ $V$ નો આલેખ એ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે, પરવલય કે સીધી રેખા નથી.
વિસ્તરણ માટે, $V$ વધે છે. કારણ કે $T \propto \frac{1}{V}$, તેથી જેમ $V$ વધે તેમ $T$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી, આવું વિસ્તરણ માત્ર ઠંડુ પાડવાથી જ શક્ય છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા સંબંધ: $VT = K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
આ કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $V \left( \frac{PV}{nR} \right) = K$.
આથી $PV^2 = nRK$ મળે,જે $PV^x = \text{constant}$ પ્રકારની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે,જ્યાં $x = 2$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = C_v + \frac{R}{1-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1-2} = \frac{3}{2} R - R = \frac{1}{2} R$.
$n$ મોલ વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C \Delta T$ છે.
અહીં $n = 1$ હોવાથી,$\Delta Q = 1 \times \left( \frac{1}{2} R \right) \times \Delta T = \frac{1}{2} R \Delta T$ મળે.

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ $P/V = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે) હોવાથી, $P = KV$ મળે.
આ કિંમત કાર્યના સંકલનમાં મૂકતા: $W = \int_{V_1}^{V_2} KV \, dV = \frac{1}{2} K(V_2^2 - V_1^2)$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = RT$ માં $P = KV$ મૂકતા, $(KV)V = RT$ મળે, એટલે કે $KV^2 = RT$.
તેથી, $K V_2^2 = RT_2$ અને $K V_1^2 = RT_1$.
આ કિંમતોને કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W = \frac{1}{2} (KV_2^2 - KV_1^2) = \frac{1}{2} (RT_2 - RT_1) = \frac{R}{2}(T_2 - T_1)$.

(B) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$P = KV$ પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
આપેલ છે $P = KV$,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$. $P = KV$ મૂકતા,આપણને $KV^2 = nRT$ મળે છે,તેથી $V^2 \propto T$.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે,આપણી પાસે $T V^{x-1} = \text{constant}$ છે.
કારણ કે $V^2 \propto T$,તેથી $T V^{-2} = \text{constant}$,જેનો અર્થ છે કે $x - 1 = -2$,તેથી $x = -1$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = C_v + \frac{R}{1-x} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1-(-1)} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2} = 2R$ મળે છે.
આપેલી ઉષ્મા $Q = nC\Delta T = 1 \times (2R) \times (2T_0 - T_0) = 2RT_0$ થાય છે.

(B) વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ ($1 \, \text{mole}$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{RT}{V}$ મળે.
આપેલ સંબંધ $V = KT^{2/3} \dots (i)$ છે.
$T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$dV = K \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \, dT \dots (ii)$ મળે.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$ મળે.
કાર્યના સંકલનમાં $P = \frac{RT}{V}$ મૂકતા: $W = \int \frac{RT}{V} dV$.
$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$ મૂકતા,$W = \int R T \left( \frac{2}{3} \frac{dT}{T} \right) = \int \frac{2}{3} R \, dT$ મળે.
તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T = 30^oC$ માટે સંકલન કરતા,$W = \frac{2}{3} R \Delta T$ મળે.
$W = \frac{2}{3} \times 30R = 20R$.

(A) આપેલ સમીકરણ $PV^n = C$ છે,જ્યાં $n = 1.4$ છે.
આ એક પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$P = \frac{C}{V^{1.4}}$ હોવાથી,જેમ કદ $V$ વધે છે,તેમ દબાણ $P$ અરેખીય રીતે ઘટે છે.
આ સંબંધ $P \propto V^{-1.4}$ એક વક્ર દર્શાવે છે જે સમતાપી પ્રક્રિયા $(n=1)$ કરતા વધુ તીવ્ર છે અને તે એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા $(n=\gamma=1.4)$ ની લાક્ષણિકતા છે.
આલેખ $A$ આ વ્યસ્ત અરેખીય સંબંધ (હાયપરબોલા જેવો વક્ર) દર્શાવે છે,જે $PV^{1.4} = C$ માટે સાચું નિરૂપણ છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $P^2V = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{nRT}{V})^2 V = \text{constant}$
$\frac{T^2}{V^2} \cdot V = \text{constant}$
$\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
આથી,$\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$ થાય.
અહીં $T_1 = T_0$,$V_1 = V_0$,અને $V_2 = 2V_0$ આપેલ છે:
$\frac{T_0^2}{V_0} = \frac{T_2^2}{2V_0}$
$T_2^2 = 2T_0^2$
$T_2 = \sqrt{2} T_0$.

(A) આપેલ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^{2.5} = 0.40$ છે.
$P-V$ વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dP}{dV}$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
પ્રથમ,$P$ ને $V$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવો:
$P = 0.40 V^{-2.5}$
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dV} = 0.40 \times (-2.5) \times V^{-2.5-1}$
$\frac{dP}{dV} = -1.0 \times V^{-3.5}$
હવે,$V = 1 \, m^3$ પર ઢાળની કિંમત શોધો:
$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{V=1} = -1.0 \times (1)^{-3.5}$
$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{V=1} = -1 \, Pa/m^3$
આમ,$V = 1 \, m^3$ પર $P-V$ વક્રનો ઢાળ $-1$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. આપેલ છે કે $P = kV$ અને $n = 1$,તેથી $kV^2 = RT$,જે સૂચવે છે કે $V^2 \propto T$.
$P = kV$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^{-1} = k$ છે. આમ,પોલિટ્રોપિક ઘાતાંક $x = -1$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3R}{2} \cdot (2T_0 - T_0) = \frac{3RT_0}{2}$ છે.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR \Delta T}{1-x} = \frac{1 \cdot R \cdot (2T_0 - T_0)}{1 - (-1)} = \frac{RT_0}{2}$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W = \frac{3RT_0}{2} + \frac{RT_0}{2} = 2RT_0$ થાય.

(A) આપેલ વાયુ માટેનો સંબંધ $P^2V = \text{constant}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, દબાણને $P = \frac{nRT}{V}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right)^2 V = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n^2R^2T^2}{V^2} \cdot V = \text{constant}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
બે અવસ્થાઓ માટે, $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$ થાય.
અહીં $T_1 = T_0$, $V_1 = V_0$, અને $V_2 = 2V_0$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{T_0^2}{V_0} = \frac{T_2^2}{2V_0}$.
બંને બાજુથી $V_0$ દૂર કરતા, $T_2^2 = 2T_0^2$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા, અંતિમ તાપમાન $T_2 = \sqrt{2} T_0$ મળે છે.

(D) આપેલ વાયુ માટેનો નિયમ $P^2V = C$ (અચળ) છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$,જેનો અર્થ છે કે $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ નિયમમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})^2 V = C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \cdot V = C$,અથવા $\frac{T^2}{V} = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી,$T^2 \propto V$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે,$T_0^2 \propto V_0$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,ધારો કે તાપમાન $T_f$ અને કદ $3V_0$ છે,તેથી $T_f^2 \propto 3V_0$.
બંને સંબંધોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_f^2}{T_0^2} = \frac{3V_0}{V_0} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $T_f = \sqrt{3} T_0$ મળે છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા $P = aV^2$ છે, જેને $PV^{-2} = a$ તરીકે લખી શકાય છે।
આને પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયાના સમીકરણ $PV^x = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = -2$ મળે છે।
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્માધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે।
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર ઉષ્માધારિતા $C_V = \frac{5R}{2}$ છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને $C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{1 - (-2)}$ મળે છે।
$C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{3} = \frac{15R + 2R}{6} = \frac{17R}{6}$.

(N/A) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = K$ માં થતું કાર્ય $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $n = 1/2$. તેથી, $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1/2 - 1} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{-1/2} = 2(P_2V_2 - P_1V_1)$.
$P_1V_1^{1/2} = P_2V_2^{1/2}$ હોવાથી, $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{1/2}$ મળે.
આમ, $W = 2[P_1(V_1/V_2)^{1/2}V_2 - P_1V_1] = 2P_1V_1[(V_2/V_1)^{1/2} - 1]$.
$(b)$ આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = RT$ ($1$ મોલ માટે) નો ઉપયોગ કરતા, $P = RT/V$.
$PV^{1/2} = K$ માં કિંમત મૂકતા, $(RT/V)V^{1/2} = K$, તેથી $TV^{-1/2} = \text{અચળ}$.
તેથી, $T_1V_1^{-1/2} = T_2V_2^{-1/2} \implies \frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{V_2})^{1/2}$.
$V_2 = 2V_1$ આપેલ હોવાથી, $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{2V_1})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1)$.
$T_2 = \sqrt{2}T_1$ હોવાથી, $\Delta U = \frac{3}{2}R(\sqrt{2}T_1 - T_1) = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$W = 2(P_2V_2 - P_1V_1) = 2R(T_2 - T_1) = 2RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1) + 2RT_1(\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.

(N/A) આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $PV^{\frac{1}{2}} = K$ (અચળ) ને અનુસરે છે.
$(a)$ અવસ્થા $1$ થી $2$ સુધીની પ્રક્રિયા માટે થયેલ કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{\sqrt{V}} \, dV = K \left[ \frac{V^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{V_1}^{V_2} = 2K(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1})$.
કારણ કે $K = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$,તેથી $W = 2P_1 V_1^{\frac{1}{2}}(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1}) = 2P_1 V_1 (\sqrt{\frac{V_2}{V_1}} - 1)$.
$V_2 = 2V_1$ આપેલ હોવાથી,$W = 2P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$(b)$ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ અને $P = \frac{K}{\sqrt{V}}$ પરથી,આપણને $T = \frac{PV}{nR} = \frac{K\sqrt{V}}{nR}$ મળે છે.
આમ,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V_1}{2V_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(P_2 V_2 - P_1 V_1)$.
$P_2 V_2^{\frac{1}{2}} = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$ હોવાથી,$P_2 = P_1 \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \frac{P_1}{\sqrt{2}}$.
$P_2 V_2 = \frac{P_1}{\sqrt{2}} (2V_1) = P_1 V_1 \sqrt{2}$.
$\Delta U = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) + 2 P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{x} = \text{અચળ}$ છે.
અહીં આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^{1/2} = \text{અચળ}$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{1/2} = \text{અચળ}$
$T V^{-1} V^{1/2} = \text{અચળ}$
$T V^{-1/2} = \text{અચળ}$
આમ, $T_{1} V_{1}^{-1/2} = T_{2} V_{2}^{-1/2}$.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{-1/2} = \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{1/2}$.
આપેલ છે કે $V_{2} = 2V_{1}$, તેથી $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $p V^2 = \beta$ છે.
વાયુ આદર્શ હોવાથી,તે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $p V = n R T$ નું પાલન કરે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી,$p = \frac{n R T}{V}$ લખી શકાય.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{n R T}{V}\right) V^2 = \beta$,જેનું સાદું રૂપ $n R T V = \beta$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 0.02 \, mol$
$R = 8.31 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$T = 20^{\circ} C = 293 \, K$
$V = 1500 \, cm^3 = 1.5 \times 10^{-3} \, m^3$.
હવે,$\beta$ ની ગણતરી કરતા:
$\beta = n R T V = (0.02) \times (8.31) \times (293) \times (1.5 \times 10^{-3})$.
$\beta = 0.02 \times 8.31 \times 293 \times 0.0015 \approx 0.0729 \, Pa \cdot m^6$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\beta$ નું મૂલ્ય આશરે $7.5 \times 10^{-2} \, Pa \cdot m^6$ છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $p V^2 = C$.
આદર્શ વાયુ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $p V = n R T$,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{n R T}{V}$.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{n R T}{V}\right) V^2 = C$
$n R T V = C$
અહીં $n, R,$ અને $C$ અચળાંક હોવાથી,$T V = \text{અચળ}$,અથવા $T \propto \frac{1}{V}$ મળે છે.
જો $V_2 > V_1$ હોય,તો $T \propto \frac{1}{V}$ ના સંબંધ મુજબ,તાપમાન $T_2$ એ $T_1$ કરતા ઓછું હશે $(T_2 < T_1)$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $p V^x = C$ માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{process}$ નું સૂત્ર $C_{process} = C_V + \frac{R}{1 - x}$ છે.
અહીં,આપેલી પ્રક્રિયા $p V^3 = C$ છે,તેથી $x = 3$ છે.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_{process} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1 - 3}$
$C_{process} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{-2}$
$C_{process} = \frac{3}{2} R - \frac{1}{2} R = R$.
આમ,પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુની ઉષ્મા ધારિતા $R$ છે.

(C) પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $p V^{\alpha} = K$ (અચળ) છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$pV = nRT$,તેથી $p = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\alpha} = K \Rightarrow T V^{\alpha-1} = \text{અચળ}$.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $p V^{\alpha} = K$ માં થયેલ કાર્ય $\Delta W = \int p dV = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{1-\alpha} = \frac{nR \Delta T}{1-\alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q = C \Delta T$ અને $\Delta U = C_V \Delta T$.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $C \Delta T = C_V \Delta T + \frac{nR \Delta T}{1-\alpha}$.
$\Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_V + \frac{nR}{1-\alpha}$ મળે છે.

(C) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ એ $C = C_V + \frac{R}{1-N}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_V$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $N$ એ પોલિટ્રોપિક ઇન્ડેક્સ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,$C_V = \frac{R}{\gamma-1}$ થાય છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $C = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-N}$ મળે છે.
આને $C = \frac{R}{\gamma-1} - \frac{R}{N-1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા એ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે જે $P \propto V^{-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જેને $P V^2 = \text{અચળ}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને સામાન્ય પોલીટ્રોપિક સમીકરણ $P V^n = \text{અચળ}$ સાથે સરખાવતા, આપણને પોલીટ્રોપિક ઇન્ડેક્સ $n = 2$ મળે છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = \frac{\mu R (T_1 - T_2)}{n - 1}$ અથવા $W = \frac{\mu R \Delta T}{1 - n}$ છે.
આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $\mu = 2$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300 \, K$, અંતિમ તાપમાન $T_2 = 400 \, K$, અને $n = 2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{2 \times R \times (400 - 300)}{1 - 2}$
$W = \frac{2 \times R \times 100}{-1}$
$W = -200 \, R$.
આમ, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-200 \, R$ છે.

(B) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^n = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા પરવલયાકાર છે,$P \propto V^2$,જેનો અર્થ છે કે $P = aV^2$. જોકે,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $PV^n = K$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે તેને $P V^{-2} = K$ તરીકે લખીએ છીએ,તેથી $n = -2$.
આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{R}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{R}{1 - (-2)} = \frac{R}{\frac{2}{5}} + \frac{R}{3} = \frac{5R}{2} + \frac{R}{3}$.
સરવાળો ગણતા: $C = \frac{15R + 2R}{6} = \frac{17R}{6}$.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = K$ માટે, મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_v + \frac{R}{1-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $C_v = \frac{5}{2}R$. આપેલ છે $n = 1.3$, તેથી $C = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1-1.3} = 2.5R - 3.33R = -0.83R$.
$C < 0$ હોવાથી, જ્યારે વાયુ વિસ્તરણ પામે છે ત્યારે તે ઉષ્માનું શોષણ કરે છે.
વિધાન $A$: વાયુ વિસ્તરણ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ કરે છે. આ સાચું છે.
વિધાન $B$: વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ ઠંડો પડે છે. આ સાચું છે કારણ કે $T \propto V^{1-n} = V^{-0.3}$.
વિધાન $C$: વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ધન હોય છે, તેથી આસપાસના વાતાવરણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ઋણ હોય છે. આ સાચું છે.
આમ, બધા વિધાનો $A$, $B$, અને $C$ સાચા હોવાથી, ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ પણ નહીં' છે.