Adiabatic Process Questions in Gujarati

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = -45 \,J$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \Delta U + (-45 \,J)$
$\Delta U = 45 \,J$.
આમ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $45 \,J$ છે અને વાયુમાં દાખલ થતી ઉષ્મા $0$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના $1/8$ ભાગ સુધી સંકુચિત કરવામાં આવે છે,તેથી $V_1 = V$ અને $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_1 V^{\frac{5}{3}-1} = T_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}-1}$.
$T_1 V^{\frac{2}{3}} = T_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{2}{3}}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle E \rangle = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $\langle E \rangle \propto T$.
તેથી,$\frac{\langle E_2 \rangle}{\langle E_1 \rangle} = \frac{T_2}{T_1} = 4$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dU = n C_v dT$
અહીં $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી, સૂત્ર આ મુજબ બનશે:
$dU = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$dU = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$dU = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$dU = 5 \times 8.3 \times 1000$
$dU = 41500 \, J$
કિલો જૂલમાં ફેરવતા:
$dU = 41.50 \, kJ$

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma = C_p / C_V$ છે।
આપેલ છે કે $p \propto T^3$, તેથી આપણે $p = k T^3$ લખી શકીએ।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $T = \frac{pV}{nR}$ મળે છે।
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા:
$p = k \left( \frac{pV}{nR} \right)^3$
$p = k \frac{p^3 V^3}{(nR)^3}$
$1 = \left( \frac{k}{(nR)^3} \right) p^2 V^3$
$p^2 V^3 = \text{constant}'$
$p V^{3/2} = \text{constant}''$
આને પ્રમાણિત એડિબેટિક સમીકરણ $pV^\gamma = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\gamma = 3/2$ મળે છે।
આમ, $C_p / C_V$ નું મૂલ્ય $3/2$ છે।

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $p V^\gamma = \text{constant}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $V = \frac{nRT}{p}$ ને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$p \left( \frac{nRT}{p} \right)^\gamma = \text{constant}$
$p \cdot p^{-\gamma} \cdot T^\gamma = \text{constant}$
$p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ સંકોચન દરમિયાન કદ $V$ ઘટે છે,તેમ ગુણાકાર અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ મુજબ,કારણ કે $P$ વધે છે અને $V$ ઘટે છે,તાપમાન $T$ વધવું જોઈએ કારણ કે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે ($Q = 0$,$\Delta U = -W$).
તેથી,એડિયાબેટિક સંકોચનમાં,તાપમાન અને દબાણ બંને વધે છે.

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે કરતું નથી,તેથી $Q = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -W$ મળે છે.
એડિયાબેટિક વિસ્તરણમાં,વાયુ આસપાસ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $W > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta U < 0$,જેનો અર્થ છે કે તંત્રની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી તંત્રનું તાપમાન ઘટે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ (અથવા $d$) વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto \rho^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
આપેલ છે કે $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
$2^7 = 128$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ નું સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 5 \ mol$,$\gamma = \frac{7}{5}$,$R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
કિલો-જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $41.55 \ kJ$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{7}{5}$ અને $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$.
આપણી પાસે સંબંધ છે: $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $2^7 = 128$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P^{\prime}}{P}$ એ $128$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
આપેલ છે: $P_1 = 2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$,$V_1 = 2 \ m^3$,$V_2 = 0.5 \ m^3$.
એડિબેટિક સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 2 \times 10^5 \times \left(\frac{2}{0.5}\right)^{1.4} = 2 \times 10^5 \times (4)^{1.4}$.
આપેલ છે $(4)^{1.4} = 6.96$,તેથી $P_2 = 2 \times 10^5 \times 6.96 = 13.92 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
હવે,આ કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 2) - (13.92 \times 10^5 \times 0.5)}{1.4 - 1}$
$W = \frac{4 \times 10^5 - 6.96 \times 10^5}{0.4} = \frac{-2.96 \times 10^5}{0.4} = -7.4 \times 10^5 \ J$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે સંકોચન દરમિયાન વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવ્યું છે.

(B) આપેલ આંતરિક ઉર્જા $U = A P^2 V$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + dW = 0$ જણાવે છે, જેનો અર્થ છે $dU = -dW = -P dV$.
આમ, $dU = -P dV$.
$U$ નું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $dU = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$dU$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-P dV = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$P$ વડે ભાગતા (ધારો કે $P \neq 0$): $-dV = A P dV + 2 A V dP$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $-dV - A P dV = 2 A V dP \Rightarrow -(1 + A P) dV = 2 A V dP$.
ચલને અલગ કરતા: $-\frac{dV}{V} = \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int \frac{dV}{V} = \int \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
$-\ln V = 2 \ln(1 + A P) + C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln V + \ln(1 + A P)^2 = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી, $V(1 + A P)^2 = \text{અચળ}$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે એડિબેટિક સંકોચન પછીનું તાપમાન $T$ છે. તો,$T_{0} V_{0}^{\gamma-1} = T \left(\frac{V_{0}}{2}\right)^{\gamma-1}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = T_{0} 2^{\gamma-1}$ મળે છે.
જ્યારે વાયુને $\frac{V_{0}}{2}$ જેટલા અચળ કદ પર આસપાસના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલનમાં આવવા દેવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $\Delta Q = n C_{V} \Delta T$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ અને આદર્શ વાયુના નિયમ $n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta Q = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T - T_{0}) = \frac{n R T_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$.
$n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ મૂકતા,મુક્ત થતી ઉષ્મા $\frac{p_{0} V_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$ થાય છે.

(D) પ્રતિવર્તી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે: $V_2 = 8V_1$ અને $T_2 = T_1/4$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = (T_1/4) (8V_1)^{\gamma-1}$.
બંને બાજુ $T_1 V_1^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા: $1 = (1/4) \cdot 8^{\gamma-1}$.
$4 = 8^{\gamma-1}$.
$2$ ના આધારમાં દર્શાવતા: $2^2 = (2^3)^{\gamma-1} = 2^{3\gamma-3}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2 = 3\gamma - 3$.
$3\gamma = 5$, જે આપે છે $\gamma = 5/3$.
$\gamma = 5/3$ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વિક (monoatomic) વાયુ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, હિલિયમ (He) એકપરમાણ્વિક વાયુ છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જમણી બાજુનો ભાગ એડિઆબેટિક સંકોચન અનુભવે છે કારણ કે પિસ્ટન એડિઆબેટિક અને ઘર્ષણરહિત છે.
એડિઆબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.5 = 3/2$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P, V_1 = 9)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(P_2 = \frac{27}{8}P, V_2)$ છે.
પિસ્ટન ઘર્ષણરહિત હોવાથી,સંતુલન સમયે બંને બાજુનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ. તેથી,જમણી બાજુનું અંતિમ દબાણ પણ $\frac{27}{8}P$ થશે.
એડિઆબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P(9)^{3/2} = \frac{27}{8}P(V_2)^{3/2}$.
$(9)^{3/2} = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$27 = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$V_2^{3/2} = 8$.
$V_2 = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4 \text{ litres}$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P, V_1 = V$.
અંતિમ કદ: $V_2 = 27V$.
એડિબેટિક સંબંધ $P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતિમ દબાણ $P_2$ શોધીએ છીએ:
$P_2 = P(V_1/V_2)^\gamma = P(V/27V)^{5/3} = P(1/27)^{5/3} = P(1/3^3)^{5/3} = P(1/3^5) = P/243$.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} (P_2V_2 - P_1V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$f = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3}{2} ((\frac{P}{243}) \cdot 27V - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P}{9} - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P - 9P}{9}) = \frac{3}{2} (\frac{-8P}{9}) = -\frac{4}{3}PV$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = c_p / c_v = 3R / 2R = 1.5$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_i = 8 \ \text{bar} = 8 \times 10^5 \ \text{Pa}$,$V_i = 0.15 \ \text{m}^3$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_f = 1 \ \text{bar} = 1 \times 10^5 \ \text{Pa}$.
એડિબેટિક સંબંધ $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતિમ કદ $V_f$ શોધીએ છીએ:
$V_f = V_i (P_i / P_f)^{1/\gamma} = 0.15 \times (8/1)^{1/1.5} = 0.15 \times (8)^{2/3} = 0.15 \times 4 = 0.6 \ \text{m}^3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = \frac{(8 \times 10^5 \times 0.15) - (1 \times 10^5 \times 0.6)}{1.5 - 1} = \frac{120000 - 60000}{0.5} = \frac{60000}{0.5} = 120000 \ \text{J} = 120 \ \text{kJ}$.