Adiabatic Process Questions in Gujarati

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$,તેથી $\gamma - 1 = 2/3$.
$(a)$ કિંમતો મૂકતા: $300 \times V^{2/3} = T_2 \times (2V)^{2/3}$.
$T_2 = 300 / (2^{2/3}) \approx 300 / 1.5874 \approx 189 \ K$.
$(b)$ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = (3/2)R$.
$\Delta U = 2 \times (3/2) \times 8.314 \times (189 - 300) \approx 3 \times 8.314 \times (-111) \approx -2768 \ J \approx -2.7 \ kJ$.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $p V^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho$ એ $\rho = \frac{m}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ થાય.
આ કિંમતને એડિયાબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$p \left( \frac{m}{\rho} \right)^{\gamma} = \text{constant}$.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,$m^{\gamma}$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,$p \cdot \frac{1}{\rho^{\gamma}} = \text{constant}$.
આને $p \rho^{-\gamma} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCA$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{ABCA} = 0$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q_{ABCA} = W_{ABCA}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $Q_{A \to B} + Q_{B \to C} + Q_{C \to A} = W_{A \to B} + W_{B \to C} + W_{C \to A} \quad (1)$.
આપેલ છે કે પથ $B \to C \to A$ પર ઉષ્માનો વિનિમય એ પથ $A \to B \to C$ પર થયેલા કાર્ય જેટલો છે,તેથી:
$Q_{B \to C} + Q_{C \to A} = W_{A \to B} + W_{B \to C} \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$Q_{A \to B} = W_{C \to A}$.
$P-V$ આકૃતિ પરથી,પ્રક્રિયા $C \to A$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_{C \to A} = 0$.
તેથી,$Q_{A \to B} = 0$.
જે પ્રક્રિયામાં ઉષ્માનો વિનિમય શૂન્ય હોય તેને એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવાય છે. આમ,પ્રક્રિયા $A \to B$ એ એડિબેટિક છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ: $T P^{-2/5} = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $T (\frac{nRT}{V})^{-2/5} = \text{અચળ}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T \cdot T^{-2/5} \cdot V^{2/5} = \text{અચળ}$, જે $T^{3/5} V^{2/5} = \text{અચળ}$ આપે છે.
બંને બાજુ $5/3$ ઘાત લેતા, આપણને $T V^{2/3} = \text{અચળ}$ મળે છે.
$T \propto PV$ હોવાથી, $(PV) V^{2/3} = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $P V^{5/3} = \text{અચળ}$.
આ એક એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે જેમાં એડિબેટિક સૂચકાંક $\gamma = 5/3$ છે (હિલિયમ માટે, જે એક પરમાણ્વીય વાયુ છે).
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, આપેલ ઉષ્મા $Q = 0$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિયાબેટિક વિસ્તરણમાં,તંત્ર તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન $(T)$ પર આધારિત હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી તાપમાન $(T)$ માં ઘટાડો થાય છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,જો એડિયાબેટિક વિસ્તરણ દરમિયાન તાપમાન $(T)$ ઘટે છે,તો $PV$ નો ગુણાકાર પણ ઘટવો જોઈએ.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dP}{dV} V^{\gamma} + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે.
આમ, ઢાળ $m = \frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$.
આકૃતિ પરથી, વક્ર $B$ ના ઢાળનું મૂલ્ય વક્ર $A$ ના ઢાળના મૂલ્ય કરતા વધારે છે $(|m_B| > |m_A|)$.
તેથી, $\gamma_B > \gamma_A$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુઓ (જેમ કે $He$, $Ar$) માટે, $\gamma = 1.67$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ (જેમ કે $O_2$) માટે, $\gamma = 1.4$.
જેમ કે $\gamma_B > \gamma_A$, વક્ર $B$ એક-પરમાણ્વીય વાયુ દર્શાવે છે અને વક્ર $A$ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ દર્શાવે છે.
આમ, $A$ એ $O_2$ માટે છે અને $B$ એ $He$ (અથવા $Ar$) માટે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $A$ એ $O_2$ અને $B$ એ $He$ છે જે શરતને સંતોષે છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{d}.$
આ કિંમત સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left(\frac{1}{d}\right)^{\gamma} = \text{અચળ},$ અથવા $P \propto d^{\gamma}.$
તેથી,$\frac{P'}{P} = \left(\frac{d'}{d}\right)^{\gamma}.$
અહીં $\gamma = 7/5$ અને $\frac{d'}{d} = 32$ આપેલ છે.
$\frac{P'}{P} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^{5 \times (7/5)} = 2^7.$
ગણતરી કરતા,$2^7 = 128$ મળે.
આમ,$\frac{P'}{P} = 128$ થાય.

(A) જ્યારે આદર્શ વાયુનું કદ અચાનક ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) હોય છે કારણ કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી $(Q = 0)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. વાયુનું સંકોચન થતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(W < 0)$,જે આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરે છે $(\Delta U > 0)$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,વાયુનું તાપમાન વધે છે. તેથી,વિધાન $III$ ખોટું છે.
વાયુના પરમાણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા નિરપેક્ષ તાપમાનના પ્રમાણમાં હોય છે $(KE_{avg} = \frac{3}{2}kT)$,તેથી ગતિઊર્જા વધે છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
કદ ઘટવાને કારણે અને પરમાણુઓની ઝડપ વધવાને કારણે,પરમાણુઓ સિલિન્ડરની દીવાલો સાથે વધુ વાર અથડાય છે,જેનાથી દબાણમાં વધારો થાય છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $I$ અને $II$ સાચા છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 1 \, mol$,$\gamma = 1.4$,$R = 8.3 \, J/mol/K$,$T_1 = 27\,^{\circ}C = 300 \, K$,$T_2 = 35\,^{\circ}C = 308 \, K$.
$\Delta T = T_2 - T_1 = 308 - 300 = 8 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times 8$
$\Delta U = \frac{8.3}{0.4} \times 8$
$\Delta U = 8.3 \times 20 = 166 \, J$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
$1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$V = \frac{RT}{P}$ લખી શકાય.
આ કિંમતને સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left( \frac{RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ થાય છે.
તેથી,$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$.
$T_2$ માટે ગોઠવતા: $\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\gamma} = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{1-\gamma} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\gamma - 1}$.
બંને બાજુ $\gamma$-મૂળ લેતા: $T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dP}{dV} V^{\gamma} + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે.
આમ, $P-V$ વક્રનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ છે.
ઢાળનું મૂલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ના પ્રમાણમાં છે (એટલે કે, $|\text{slope}| \propto \gamma$).
આકૃતિ પરથી, વક્ર $2$ નો ઢાળ વક્ર $1$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે (કોઈપણ આપેલ $V$ પર).
તેથી, $\gamma_2 > \gamma_1$.
$He$ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 1.67$, અને $O_2$ જેવા દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 1.4$ છે.
કારણ કે $\gamma_{mono} > \gamma_{dia}$, વક્ર $2$ એ એકપરમાણ્વીય વાયુ $(He)$ ને અનુરૂપ છે અને વક્ર $1$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $(O_2)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ, આલેખ $1$ અને $2$ અનુક્રમે $O_2$ અને $He$ ને અનુરૂપ છે.

(D) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે.
ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_2$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{8}$ છે.
એડિયાબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/8} \right)^{5/3} = P_1 (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$, તેથી $P_2 = P_1 (2^3)^{5/3} = P_1 (2^5) = 32 P_1$.
આમ, દબાણ પ્રારંભિક દબાણ કરતા $32$ ગણું થશે.

(C) આપેલ છે: વાયુ પર થયેલ કાર્ય,$W = -830 \ J$ (કારણ કે કાર્ય સિસ્ટમ પર થાય છે).
મોલની સંખ્યા,$\mu = 2$.
દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1.4$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્યનું સૂત્ર:
$W = \frac{\mu R (T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = -\frac{\mu R \Delta T}{\gamma - 1}$
કિંમતો મૂકતા:
$-830 = -\frac{2 \times 8.3 \times \Delta T}{1.4 - 1}$
$830 = \frac{16.6 \times \Delta T}{0.4}$
$830 = 41.5 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{830}{41.5} = 20 \ K$
આમ,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $20 \ K$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto \rho^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \text{ atm}$ અને અંતિમ દબાણ $P_2 = 128 \text{ atm}$ છે.
ઘનતા $\rho$ થી બદલાઈને $\rho' = 32\rho$ થાય છે.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{128}{1} = (32)^{\gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $128 = 2^7$ અને $32 = 2^5$ છે.
તેથી,$2^7 = (2^5)^{\gamma} = 2^{5\gamma}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $7 = 5\gamma$.
તેથી,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
તેથી,$0 = \Delta U + W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -W$ અથવા $W = -\Delta U$.
આનો અર્થ એ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્યના ઋણ મૂલ્ય જેટલો (અથવા વાયુ પર થયેલા કાર્ય જેટલો) હોય છે. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન બદલાય છે કારણ કે કાર્ય થવાને કારણે આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે. તેથી,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{4}$ છે અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$ છે.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T (V)^{1.5-1} = T_2 (\frac{V}{4})^{1.5-1}$
$T (V)^{0.5} = T_2 (\frac{V}{4})^{0.5}$
બંને બાજુ $V^{0.5}$ વડે ભાગતા:
$T = T_2 (\frac{1}{4})^{0.5}$
$T = T_2 (\frac{1}{2})$
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_2 = 2T$ થશે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} =$ અચળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $TV^x =$ અચળ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \gamma - 1$ મળે છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક આદર્શ વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ના સમીકરણમાં $\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{constant}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,આપણને $V = \frac{\mu RT}{P}$ મળે છે.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left( \frac{\mu RT}{P} \right)^\gamma = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$,અથવા $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ મળે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 7/5 = 1.4$ છે.
તેથી,$C = \frac{\gamma}{\gamma-1} = \frac{7/5}{7/5 - 1} = \frac{7/5}{2/5} = 7/2$.

(C) જ્યારે ટાયર અચાનક ફાટે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે કારણ કે વિસ્તરણ ખૂબ જ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_1^{\gamma} P_1^{1-\gamma} = T_2^{\gamma} P_2^{1-\gamma}$,જેને $T_2 = T_1 (P_1/P_2)^{(1-\gamma)/\gamma}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27\,^{\circ}C = 300\,K$,$P_1 = 2\,atm$,$P_2 = 1\,atm$ (વાતાવરણીય દબાણ),અને $\gamma = 1.4$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 300 \times (2/1)^{(1-1.4)/1.4} = 300 \times (2)^{-0.4/1.4} = 300 \times (2)^{-2/7}$.
ગણતરી કરતા: $T_2 \approx 300 / 1.219 \approx 246\,K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2 = 246 - 273 = -27\,^{\circ}C$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ મળે છે.
ઢાળનું મૂલ્ય $|\text{slope}| = \gamma \frac{P}{V}$ છે.
આમ, ઢાળ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આપેલ આલેખ પરથી, વક્ર $(2)$ ના ઢાળનું મૂલ્ય વક્ર $(1)$ ના ઢાળના મૂલ્ય કરતા વધારે છે.
તેથી, $\gamma_2 > \gamma_1$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ ($He$ જેવા) માટે, $\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ ($O_2$ જેવા) માટે, $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.
કારણ કે $\gamma_{\text{mono}} > \gamma_{\text{dia}}$, વક્ર $(2)$ એ એકપરમાણ્વીય વાયુ $(He)$ ને અનુરૂપ છે અને વક્ર $(1)$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $(O_2)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ, આલેખ $(1)$ અને $(2)$ અનુક્રમે $O_2$ અને $He$ ને દર્શાવે છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$.
આપેલ છે કે $\frac{dP}{P} = \frac{2}{3}\% $ અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3}\% = -\frac{3}{2} \frac{dV}{V}$.
કદમાં થતા ટકાવારી ફેરફાર માટે ઉકેલતા: $\frac{dV}{V} = -\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\% = -\frac{4}{9}\%$.
ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,કદમાં $\frac{4}{9}\% $ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન લેતા, આપણને $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ મળે છે.
$P-V$ વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ના સમપ્રમાણમાં છે, જ્યાં $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ (જેમ કે $He$) માટે, $\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ (જેમ કે $O_2$) માટે, $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.
વક્ર $(2)$ નો ઢાળ વક્ર $(1)$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી, વક્ર $(2)$ એ ઉચ્ચ $\gamma$ મૂલ્ય ધરાવતા વાયુ (એકપરમાણ્વીય વાયુ, $He$) ને અનુરૂપ છે અને વક્ર $(1)$ એ નીચા $\gamma$ મૂલ્ય ધરાવતા વાયુ (દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ, $O_2$) ને અનુરૂપ છે.
તેથી, આલેખ $(1)$ અને $(2)$ અનુક્રમે $O_2$ અને $He$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,$STP$ પર મોલની સંખ્યા $n = \frac{V}{22.4} = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 = \frac{1}{4} \, mol$ છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4 T_1$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંકોચન હોવાથી,કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $|W| = \frac{(1/4) R (4 T_1 - T_1)}{(5/3) - 1} = \frac{(1/4) R (3 T_1)}{2/3} = \frac{3/4 R T_1}{2/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} R T_1 = \frac{9}{8} R T_1$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી આપણે $P = k T^3$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $P T^{-3} = k$.
$P T^{-3} = k$ ની સરખામણી એડિબેટિક સંબંધ $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = k$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = 3/2$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_0$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 27 + 273 = 300 \, K$ છે।
અંતિમ કદ $V = V_0 / 4$ છે।
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$, તેથી $\gamma - 1 = 0.4$.
સમોષ્મી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T V^{\gamma-1}$.
$300 \times V_0^{0.4} = T \times (V_0 / 4)^{0.4}$.
$300 \times V_0^{0.4} = T \times V_0^{0.4} \times (1/4)^{0.4}$.
$300 = T \times (4^{-1})^{0.4}$.
$300 = T \times 4^{-0.4}$.
$T = 300 \times 4^{0.4} \, K$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,કદ $V$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V \propto \frac{1}{T^3}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $V T^3 = \text{constant}$.
આ સમીકરણની $1/3$ ઘાત લેતા,આપણને $V^{1/3} T = \text{constant}$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત એડિબેટિક સમીકરણ $V^{\gamma-1} T = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\gamma - 1 = 1/3$ મળે છે.
તેથી,$\gamma = 1 + 1/3 = 4/3$.
આમ,$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $4/3 \approx 1.33$ થાય છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એડિયાબેટિક સંકોચન દરમિયાન કદ $V$ ઘટે છે, ત્યારે અચળ ગુણાકાર જાળવી રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
તે જ રીતે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, $\gamma - 1 > 0$ થાય છે. જેમ કદ $V$ ઘટે છે, તેમ ગુણાકારને અચળ રાખવા માટે તાપમાન $T$ વધવું જોઈએ.
તેથી, એડિયાબેટિક સંકોચનમાં તાપમાન અને દબાણ બંનેમાં વધારો થાય છે.

(C) હવા પંચર દ્વારા અચાનક બહાર નીકળે છે,તેથી આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (adiabatic) છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
જેમ હવા બહાર નીકળતી વખતે વિસ્તરે છે,તેમ અંતિમ કદ $V_2$ એ પ્રારંભિક કદ $V_1$ કરતા વધારે હોય છે $(V_2 > V_1)$.
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_2$ એ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ $(T_1 > T_2)$.
આમ,અંદરની હવા ઠંડી થવા લાગે છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે કદને $V = \frac{nRT}{P}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
$V$ માટેના આ સમીકરણને એડિયાબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આપણને $P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{અચળ}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $P^{1 - \gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે $Q = \Delta U + W$. પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી, $Q = 0$, તેથી $\Delta U = -W$.
આપેલ છે કે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = 6 \, R \, \text{J}$ છે, તેથી $\Delta U = -6 \, R$.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma = \frac{5}{3}$ ધરાવતા વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{R}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{R}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $-6 \, R = 1 \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times (T_{final} - T)$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા, $-6 = \frac{3}{2} (T_{final} - T)$.
તાપમાનમાં ફેરફાર માટે ઉકેલતા: $T_{final} - T = -6 \times \frac{2}{3} = -4$.
તેથી, $T_{final} = (T - 4) \, K$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,એટલે કે $dQ = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
એડિબેટિક સંકોચન માટે,તંત્ર પર કાર્ય થાય છે,તેથી $dW < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $dU = -dW > 0$,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જા $U$ માં વધારો થાય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તાપમાનનું વિધેય હોવાથી $(U \propto T)$,તંત્રનું તાપમાન પણ વધે છે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે ઝડપી પ્રક્રિયાઓ હોય છે જેથી આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન ન થાય.
તેથી,$Reason$ પણ ખોટું છે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા છે.

(A) જ્યારે ઠંડા કાર્બોનેટેડ પીણાની બોટલ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે બોટલની અંદર રહેલો ઉચ્ચ દબાણવાળો વાયુ વાતાવરણમાં ઝડપથી વિસ્તરે છે.
આ ઝડપી વિસ્તરણ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે કારણ કે તે એટલી ઝડપથી થાય છે કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,એડિબેટિક વિસ્તરણ $(dQ = 0)$ માટે,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(dW > 0)$ આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો $(dU < 0)$ લાવે છે,જે તાપમાનમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરે છે.
આ અચાનક ઠંડકને કારણે,મુખની નજીકની હવામાં રહેલી પાણીની વરાળ ઘનીભૂત થઈને નાના પ્રવાહી ટીપાંમાં ફેરવાય છે,જે દૃશ્યમાન ધુમ્મસ બનાવે છે.

(A) જ્યારે ફુગ્ગામાંથી હવા ઝડપથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એટલી ઝડપથી થાય છે કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી,તેથી તે એડિબેટિક પ્રક્રિયા બને છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,હવા બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણની વિરુદ્ધ વિસ્તરણ પામે છે.
હવા તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે કાર્ય કરતી હોવાથી,તેનું તાપમાન ઘટે છે,જેના કારણે હવા ઠંડી થઈ જાય છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ થાય.
એડિબેટિક વિસ્તરણમાં, કદ $V$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ. આમ, વિધાન સાચું છે.
જોકે, કારણ જણાવે છે કે કદ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(V \propto 1/T)$, જે ખોટું છે. સાચો સંબંધ $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે પણ કારણ ખોટું છે.

(B) એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના પર્યાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ (insulated) હોય છે.
તેથી,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્ર દ્વારા શોષાયેલી કે મુક્ત થયેલી ઉષ્મા શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\Delta Q = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) સરેરાશ અથડામણ સમય $\tau$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{RMS}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$\tau = \frac{\lambda}{v_{RMS}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda \propto V$ છે.
વળી,$v_{RMS} \propto \sqrt{T}$ અને $T \propto PV$ હોવાથી,$v_{RMS} \propto \sqrt{PV}$ થાય.
તેથી,$\tau \propto \frac{V}{\sqrt{PV}} = \sqrt{\frac{V}{P}}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$PV^{\gamma} = \text{constant}$,એટલે કે $P \propto V^{-\gamma}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\tau \propto \sqrt{\frac{V}{V^{-\gamma}}} = V^{\frac{1+\gamma}{2}}$.
જ્યારે કદ $V_1$ થી $V_2 = 2V_1$ થાય,ત્યારે $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\frac{1+\gamma}{2}} = (2)^{\frac{1+\gamma}{2}}$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$STP$ પર,$P_1 = 1.013 \times 10^5 \; Pa$ અને $V_1 = 1 \; L = 10^{-3} \; m^3$ છે.
સમોષ્મી સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = P_1 \left(\frac{1}{3}\right)^{1.4}$ મળે છે.
કાર્યના સૂત્રમાં $P_2$ ની કિંમત મૂકતા: $W = \frac{P_1 V_1 - P_1 V_1 (1/3)^{1.4} \times 3}{\gamma - 1} = \frac{P_1 V_1 [1 - 3 \times (1/3)^{1.4}]}{0.4}$.
આપેલ છે કે $3^{1.4} = 4.6555$,તેથી $(1/3)^{1.4} = 1/4.6555 \approx 0.2148$.
$W = \frac{1.013 \times 10^5 \times 10^{-3} \times [1 - 3 \times 0.2148]}{0.4} = \frac{101.3 \times [1 - 0.6444]}{0.4} = \frac{101.3 \times 0.3556}{0.4} \approx 90.04 \; J$.
આપેલા વિકલ્પોની નજીકની કિંમત લેતા,થયેલ કાર્ય આશરે $90.5 \; J$ છે.

(2.639) નળાકાર તેની આસપાસના વાતાવરણથી સંપૂર્ણપણે અવાહક છે. પરિણામે,તંત્ર (નળાકાર) અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી. તેથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મી) છે.
નળાકારની અંદરનું પ્રારંભિક દબાણ $= P_1$
નળાકારની અંદરનું અંતિમ દબાણ $= P_2$
નળાકારની અંદરનું પ્રારંભિક કદ $= V_1$
નળાકારની અંદરનું અંતિમ કદ $= V_2 = V_1 / 2$
હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર,$\gamma = 1.4$
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P_1 V_1^{1.4} = P_2 (V_1 / 2)^{1.4}$
$P_2 / P_1 = (V_1 / (V_1 / 2))^{1.4}$
$P_2 / P_1 = 2^{1.4}$
$P_2 / P_1 \approx 2.639$
આમ,વાયુનું દબાણ $2.639$ ના અવયવથી વધે છે.

(A) હા,ગેસમાં ઉષ્મા ઉમેર્યા સિવાય તેનું તાપમાન વધારવું શક્ય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. જો આપણે ગેસનું એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) સંકોચન કરીએ,તો $\Delta Q = 0$ થાય છે. આ કિસ્સામાં,$\Delta U = -\Delta W$ થાય. ગેસ પર કાર્ય કરવામાં આવતું હોવાથી $(\Delta W < 0)$,આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ માં વધારો થાય છે. આદર્શ ગેસની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાથી ગેસનું તાપમાન વધે છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં,વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = \frac{P_{i}V_{i} - P_{f}V_{f}}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્યૂબનું કદ $V$ સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $V_{i} = V_{f} = V$ છે.
પ્રારંભિક દબાણ $P_{1}$ છે અને અંતિમ દબાણ $P_{2}$ છે.
આ કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $W = \frac{P_{1}V - P_{2}V}{\gamma - 1}$ મળે છે.
જોકે,વાયુ પર (પમ્પ દ્વારા) કરવામાં આવેલું કાર્ય એ વાયુ દ્વારા થતા કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે.
તેથી,દબાણ વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W_{ext} = -W = -\left(\frac{P_{1}V - P_{2}V}{\gamma - 1}\right) = \frac{P_{2}V - P_{1}V}{\gamma - 1}$ થાય.

(N/A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્ર અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,એટલે કે $\Delta Q = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = \Delta U + W$
કારણ કે $\Delta Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = K$ (અચળ) છે,જ્યાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
સ્થિતિ $(P_1, V_1)$ થી $(P_2, V_2)$ સુધીના વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P = K V^{-\gamma}$ હોવાથી,આપણે તેને સંકલનમાં મૂકીએ છીએ:
$W = \int_{V_1}^{V_2} K V^{-\gamma} \, dV = K \left[ \frac{V^{-\gamma+1}}{-\gamma+1} \right]_{V_1}^{V_2}$
$W = \frac{K}{1-\gamma} (V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma})$
$K = P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$W = \frac{1}{1-\gamma} (P_2 V_2^{\gamma} V_2^{1-\gamma} - P_1 V_1^{\gamma} V_1^{1-\gamma})$
$W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-\gamma} = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આ સૂત્રને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $dQ = 0$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,જ્યાં $dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે અને $dW$ એ થયેલું કાર્ય છે.
$dQ = 0$ હોવાથી,$0 = dU + dW$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$.
જ્યારે વાયુ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે $dW > 0$ હોય છે.
તેથી,$dU = -dW < 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં $(U \propto T)$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા એટલે એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્ર અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
જો $Q = 0$ હોય,તો $\Delta U = -W$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્ર દ્વારા અથવા તંત્ર પર થયેલા કાર્યને કારણે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ થઈ શકે છે.
તેથી,જો કાર્ય શૂન્ય ન હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર એ એડિબેટિક પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતા છે.

(A) હા,વાયુની અલગ કરેલી (isolated) સિસ્ટમનું તાપમાન બદલી શકાય છે.
અલગ કરેલી સિસ્ટમ એટલે એવી સિસ્ટમ જે તેની આસપાસના વાતાવરણ સાથે દ્રવ્ય કે ઉષ્માનો વિનિમય કરતી નથી.
જોકે,સિસ્ટમ પર અથવા સિસ્ટમ દ્વારા કાર્ય હજુ પણ થઈ શકે છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
અલગ કરેલી સિસ્ટમ માટે,$Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$.
જો વાયુનું એડિબેટિક સંકોચન કરવામાં આવે $(W < 0)$,તો આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ વધે છે,જેનાથી તાપમાનમાં વધારો થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,જો વાયુનું એડિબેટિક વિસ્તરણ થાય $(W > 0)$,તો આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે,જેનાથી તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.

(A) જ્યારે સાયકલની ટ્યુબનો વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ટ્યુબની અંદરની દબાયેલી હવા ઝડપથી બહારના વાતાવરણમાં વિસ્તરે છે. આ પ્રક્રિયા એટલી ઝડપથી થાય છે કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી,તેથી આ એક એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી,$dQ = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$. જેમ હવા બહારના વાતાવરણીય દબાણ સામે વિસ્તરણ કરીને કાર્ય $(dW > 0)$ કરે છે,તેમ તેની આંતરિક ઉર્જા $(dU)$ ઘટે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે,જેના કારણે બહાર નીકળતી હવા ઠંડી લાગે છે.

(N/A) જેમ હવા ઉપર જાય છે,તેમ વાતાવરણીય દબાણ ઘટે છે. દબાણમાં આ ઘટાડાને કારણે,હવાનો જથ્થો વિસ્તરે છે. આ વિસ્તરણ ઝડપથી થતું હોવાથી,તેને એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) પ્રક્રિયા ગણી શકાય,જેમાં હવા તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$dQ = 0$,તેથી $dU = -dW$. હવા ધન કાર્ય કરતી હોવાથી $(dW > 0)$,તેની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે $(dU < 0)$,જેના પરિણામે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.

(C) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એ એક એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી.
તેથી,પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમની કુલ ઉષ્મા $(Q)$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = 0$.

(N/A) જ્યારે પાણી શાવરના નાના છિદ્રોમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનું ઝડપી વિસ્તરણ થાય છે. થર્મોડાયનેમિક્સના સિદ્ધાંત મુજબ,આ ઝડપી વિસ્તરણ એ લગભગ એક એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક વિસ્તરણ દરમિયાન,વાયુ અથવા પ્રવાહીની આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે,જેના પરિણામે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે. ઉનાળામાં,આસપાસનું તાપમાન ઊંચું હોય છે,તેથી પાણીની ઠંડકની અસર તેને સુખદ બનાવે છે. જો કે,શિયાળામાં,આસપાસનું તાપમાન પહેલેથી જ ઓછું હોય છે,અને એડિબેટિક વિસ્તરણને કારણે થતી વધારાની ઠંડકને લીધે પાણી અસહ્ય રીતે ઠંડું લાગે છે.