Adiabatic Process Questions in Gujarati

(D) એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા જેમાં સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ગરમીની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેને એડિયાબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $dQ = 0$ હોય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,તેથી એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$dU = -dW$ થાય છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તંત્ર તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે આસપાસ પર કાર્ય કરે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન $(U = n C_v T)$ પર આધારિત હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાનો અર્થ એ છે કે તાપમાન $(T)$ માં ઘટાડો થાય છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$p V = n R T$.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ છે અને એડિબેટિક વિસ્તરણ દરમિયાન તાપમાન $T$ ઘટે છે,તેથી ગુણાકાર $p V$ પણ ઘટવો જોઈએ.

(D) $(i)$ વક્ર $OA$ સમદાબ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે (કારણ કે દબાણ અચળ છે).
(ii) વક્ર $OB$ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
(iii) વક્ર $OC$ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,કારણ કે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધારે હોય છે.
(iv) વક્ર $OD$ સમકદ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે (કારણ કે કદ અચળ છે).

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
આપેલ છે કે દબાણનો ઘન એ કદના ચોથા ઘાત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે, તેથી $P^3 \propto V^{-4}$, જેનો અર્થ થાય છે $P^3 V^4 = \text{constant}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, આપણને $(P^3 V^4)^{1/3} = \text{constant}^{1/3}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $P V^{4/3} = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત એડિબેટિક સમીકરણ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે કરતા, આપણને $\gamma = 4/3$ મળે છે.
આમ, વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = 1.33$ છે.

(B) જ્યારે સાયકલનું ટાયર અચાનક ફાટી જાય છે,ત્યારે તે પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે હવાના વિસ્તરણની પ્રક્રિયા ખૂબ જ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે સિસ્ટમ (ટાયરની અંદરની હવા) અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે સમય મળતો નથી.
તેથી,$dQ = 0$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાની શરતનું પાલન કરે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P^2 \propto T^3$,તેથી આપણે લખી શકીએ $P \propto T^{3/2}$,જેનો અર્થ છે $P T^{-3/2} = \text{constant}$.
$P T^{-3/2} = \text{constant}$ ને $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા,આપણે આપેલ સંબંધને $P^{1} T^{-3/2} = \text{constant}$ તરીકે લખીએ છીએ.
ઘાત $\frac{1}{1-\gamma}$ લેતા,આપણને $P T^{\frac{-3/2}{1-\gamma}} = \text{constant}$ મળે છે.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
$2\gamma = -3(1-\gamma) \implies 2\gamma = -3 + 3\gamma \implies \gamma = 3$.
આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
$\gamma = 3$ મૂકતા,આપણને $C_V = \frac{R}{3-1} = \frac{R}{2}$ મળે છે.

(A) સમોષ્મી સંકોચનમાં,વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,જે તેની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(U \propto T)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,વાયુનું તાપમાન વધે છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ વધે છે.
ગતિઊર્જામાં આ વધારો એટલા માટે થાય છે કારણ કે સંકોચન દરમિયાન,અણુઓ ગતિશીલ પિસ્ટન (દીવાલ) સાથે અથડાય છે. જ્યારે કોઈ અણુ તેની તરફ આવતી દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણને કારણે અણુની ઝડપ (અને તેથી ગતિઊર્જા) વધે છે,જે ગતિશીલ બેટ સાથે અથડાતા દડા જેવું છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ ને $1 \text{ mole}$ વાયુનું તાપમાન $1 \text{ K}$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના વાતાવરણથી થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પર્યાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી.
તેથી,ઉષ્મામાં ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $C = \frac{0}{n \Delta T} = 0$ મળે છે.
આમ,એડિયાબેટિક ફેરફારમાંથી પસાર થતા વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $0$ હોય છે.

(B) વાયુનું અચાનક સંકોચન એ એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર) છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 400 \ cc$
અંતિમ કદ $V_2 = 100 \ cc$
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5 = 3/2$
એડિબેટિક સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$P \times (400)^{3/2} = P_2 \times (100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (400/100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (4)^{3/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{3/2}$
$P_2 = P \times 2^3$
$P_2 = 8P$
તેથી,અંતિમ દબાણ $8P$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $Q = \Delta U + W$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા હોવાથી $Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
આપેલ છે: $n = 3$ મોલ,$\Delta T = -50^{\circ} C$ (તાપમાનમાં ઘટાડો થતો હોવાથી).
તેથી,$\Delta U = 3 \times (\frac{5}{2} R) \times (-50) = 3 \times 2.5 R \times (-50) = -375 R$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U = -(-375 R) = 375 R$ થાય.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા, આપણને $\log P + \gamma \log V = \text{અચળ}$ મળે છે, જેને $\log P = -\gamma \log V + C$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે, જ્યાં ઢાળ $m = -\gamma$ છે.
આલેખ પરથી, ઢાળની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$m = \frac{\log P_2 - \log P_1}{\log V_2 - \log V_1} = \frac{2.20 - 2.48}{1.4 - 1.2} = \frac{-0.28}{0.2} = -1.4$.
કારણ કે $m = -\gamma$, તેથી $-\gamma = -1.4$, જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.4$.
તેથી, વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $1.4$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
તેથી,દબાણમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$ થાય.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
કદમાં વધારો $\frac{dV}{V} = 0.5 \% = 0.005$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dP}{P} = -1.4 \times 0.5 \% = -0.7 \%$.
આમ,દબાણમાં થતો ફેરફાર $-0.7 \%$ છે.

(A) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. $STP$ પર,$1$ મોલ વાયુ $22.4$ લિટર જગ્યા રોકે છે. તેથી,મોલની સંખ્યા $n = 5.6 / 22.4 = 0.25$ મોલ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
અહીં $V_1 = 5.6$ $L$,$V_2 = 0.7$ $L$,અને $T_1 = 273$ $K$ આપેલ છે.
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (5.6/0.7)^{5/3-1} = 273 \times (8)^{2/3} = 273 \times 4 = 1092$ $K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U = -n C_v (T_2 - T_1)$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_v = 3R/2$ છે.
$W = -0.25 \times (3R/2) \times (1092 - 273) = -0.375 R \times 819 = -307.125 R$.
વાયુ પર થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય આશરે $307 R$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ છે.
$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ હોવાથી, $P_f = P_i (V_i / V_f)^\gamma$ મળે.
અહીં $V_f = 8 V_i$ અને એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ છે, તેથી $P_f = P_i (1/8)^{5/3} = P_i / 32$ મળે.
આ કિંમતો કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{P_i V_i - (P_i / 32)(8 V_i)}{5/3 - 1} = \frac{P_i V_i - P_i V_i / 4}{2/3} = \frac{(3/4) P_i V_i}{2/3} = \frac{9}{8} P_i V_i$.
આપેલ છે કે $W = 180 \text{ J}$ અને $P_i = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$, તેથી $180 = \frac{9}{8} \times 10^5 \times V_i$.
$V_i = \frac{180 \times 8}{9 \times 10^5} = \frac{160}{10^5} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
તેને $\text{cm}^3$ માં ફેરવતા: $1.6 \times 10^{-3} \times 10^6 \text{ cm}^3 = 1600 \text{ cm}^3$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2V_1$,અને $\gamma = 1.5$.
સમોષ્મી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times (V_1)^{1.5-1} = T_2 \times (2V_1)^{1.5-1}$.
$300 \times (V_1)^{0.5} = T_2 \times (2)^{0.5} \times (V_1)^{0.5}$.
$T_2 = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300}{1.414} \approx 212.13 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ઘટાડો $\Delta T = T_1 - T_2 = 300 - 212.13 = 87.87 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાનમાં થતો ઘટાડો આશરે $88 \ K$ છે.

(B) આપેલ છે: $P_1 = 10^5 \text{ Nm}^{-2}$,$V_1 = 16 \text{ L} = 16 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$V_2 = 2 \text{ L} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$C_v = \frac{3R}{2}$.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_p = C_v + R = \frac{3R}{2} + R = \frac{5R}{2}$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = 10^5 \left( \frac{16}{2} \right)^{5/3} = 10^5 \times (8)^{5/3} = 10^5 \times (2^3)^{5/3} = 10^5 \times 2^5 = 32 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$.
$W = \frac{(10^5 \times 16 \times 10^{-3}) - (32 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3})}{5/3 - 1} = \frac{1600 - 6400}{2/3} = \frac{-4800}{2/3} = -4800 \times \frac{3}{2} = -7200 \text{ J} = -7.2 \text{ kJ}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-7.2 \text{ kJ}$ હોવાથી,વાયુ પર થયેલ કાર્ય $7.2 \text{ kJ}$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U = -\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{f}{2} nR (T_i - T_f)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $n_1 = 2$,$f_1 = 3$,$T_{i1} = 80^{\circ} C$,$T_{f1} = 50^{\circ} C$.
$W = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times (80 - 50) = 3R \times 30 = 90R$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $n_2 = 3$,$f_2 = 5$,$T_{i2} = 50^{\circ} C$,$T_{f2} = 20^{\circ} C$.
$W' = \frac{5}{2} \times 3 \times R \times (50 - 20) = \frac{15}{2} R \times 30 = 15R \times 15 = 225R$.
હવે,ગુણોત્તર શોધતા: $\frac{W'}{W} = \frac{225R}{90R} = \frac{225}{90} = 2.5$.
તેથી,$W' = 2.5 W$.

(D) એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f=3$ છે।
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ થાય।
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે।
અહીં $T_1 = 630 \,K$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 27V$ આપેલ છે।
આ કિંમતો મૂકતા:
$630 \times V^{\frac{5}{3}-1} = T_2 \times (27V)^{\frac{5}{3}-1}$
$630 = T_2 \times (27)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times (3^3)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times 3^2$
$630 = T_2 \times 9$
$T_2 = \frac{630}{9} = 70 \,K$.

(B) તંત્ર પર થયેલ કાર્ય,$W = 166.28 \ J$.
તાપમાનમાં વધારો,$\Delta T = 8^{\circ} C = 8 \ K$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \ mol$ અને $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $166.28 = \frac{1 \times 8.314 \times 8}{\gamma - 1}$.
$\gamma - 1 = \frac{66.512}{166.28} = 0.4$.
$\gamma = 1.4$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે હોય છે,તેથી વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$,જેનો અર્થ છે કે $V = \frac{nRT}{P}$.
$V$ માટેના આ પદને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$.
અહીં $n$ અને $R$ અચળાંક હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{અચળ}$.
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ અને તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $(\Delta W)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \Delta U + \Delta W$
તેથી,$\Delta U = -\Delta W$.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(dQ = 0)$.
આદર્શ વાયુ માટે રિવર્સિબલ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $C_p/C_v$) છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે દબાણને $P = \frac{nRT}{V}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિયાબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{nRT}{V})V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
અહીં $nR$ અચળ હોવાથી,આપણને $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ મળે છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 37^{\circ} C = 310.15 \text{ K}$,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$,અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 310.15 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.5-1} = 310.15 \times (2)^{0.5} = 310.15 \times \sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,આપણને $T_2 = 310.15 \times 1.414 \approx 438.55 \text{ K}$ મળે છે.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2(^{\circ} C) = 438.55 - 273.15 = 165.4^{\circ} C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અંતિમ તાપમાન આશરે $165.3^{\circ} C$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$.
$p_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$p_2 = p_1 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}$.
આપેલ કિંમતો: $p_1 = 4 \text{ atm} = 2^2 \text{ atm}$,$\gamma = 5/3$,$T_1 = 27^{\circ} \text{C} = 300 \text{ K}$,અને $T_2 = 327^{\circ} \text{C} = 600 \text{ K}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$p_2 = 2^2 \left(\frac{300}{600}\right)^{\frac{5/3}{1-5/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5/3}{-2/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{-5/2} = 2^2 \times 2^{5/2}$.
$p_2 = 2^{2 + 5/2} = 2^{9/2} \text{ atm}$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી, $\Delta U = -\Delta W$ મળે।
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = 83 \,J$ આપેલ છે, તેથી $\Delta U = -83 \,J$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે।
અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{11}{10} R$ આપેલ છે, તેથી $C_V = C_p - R = \frac{11}{10} R - R = \frac{1}{10} R$.
કિંમતો મૂકતા: $-83 = 1 \times (\frac{1}{10} \times 8.3) \times (T_f - 125)$.
$-83 = 0.83 \times (T_f - 125)$.
$T_f - 125 = \frac{-83}{0.83} = -100$.
તેથી, $T_f = 125 - 100 = 25^{\circ} C$.

(D) જ્યારે સંકોચનની પ્રક્રિયા અચાનક અથવા ત્વરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી; તેથી,આ પ્રક્રિયા એ એડિબેટિક (સમઉષ્મી) સંકોચન પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણના ગુણોત્તર માટે: $\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^\gamma$.
અહીં $V_f = \frac{V_i}{4}$ અને $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_i / 4} \right)^{1.5} = (4)^{1.5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન $(dQ = 0)$ થતું નથી.
આ સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે,પાત્ર સંપૂર્ણ ઉષ્મા અવાહક હોવું જોઈએ.
થર્મોસ ફ્લાસ્ક ખાસ કરીને ઉષ્માના વહન,ઉષ્મા નયન અને વિકિરણ દ્વારા થતા ઉષ્માના સ્થાનાંતરણને ઘટાડવા માટે બનાવવામાં આવે છે,તેથી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી તે શ્રેષ્ઠ પસંદગી છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે કે સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું છે,તેથી $\Delta W = -\Delta U$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U + \Delta W = 0$.
આ કિંમત પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta Q = 0$ મળે છે.
જે પ્રક્રિયામાં આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(\Delta Q = 0)$,તેને એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સિસ્ટમમાં એડિબેટિક ફેરફાર થયો હશે.

(C) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 5$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર), અંતિમ તાપમાન $T_2 = 673 \, K$, વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$.
આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ નું સૂત્ર: $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી, સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_2 - T_1)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{1.4 - 1} \right) \times (673 - 273)$.
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{0.4} \right) \times 400$.
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$.
$\Delta U = 41500 \, J = 41.5 \, kJ$.
આમ, આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $41.5 \, kJ$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
શરૂઆતમાં, ભાગ $A$ માટે: $p_A = p$, $V_A = 5V$. ભાગ $B$ માટે: $p_B = 8p$, $V_B = V$.
જ્યારે પિસ્ટનને મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ત્યાં સુધી ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી બંને ભાગોમાં દબાણ સમાન ન થાય. ધારો કે અંતિમ દબાણ $p_f$ છે અને અંતિમ કદ $V_A'$ અને $V_B'$ છે.
કુલ કદ અચળ હોવાથી, $V_A' + V_B' = 5V + V = 6V$.
સમોષ્મી વિસ્તરણ/સંકોચન માટે: $p(5V)^{\gamma} = p_f(V_A')^{\gamma}$ અને $(8p)(V)^{\gamma} = p_f(V_B')^{\gamma}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{p(5V)^{\gamma}}{(8p)V^{\gamma}} = \frac{p_f(V_A')^{\gamma}}{p_f(V_B')^{\gamma}} \implies \frac{5^{\gamma}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{\gamma}$.
અહીં $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ આપેલ છે, તેથી $\frac{5^{3/2}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $\left(\frac{5^{3/2}}{8}\right)^{2/3} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{8^{2/3}} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{4} = \frac{V_A'}{V_B'}$.
આમ, $V_A' = \frac{5}{4}V_B'$.
$V_A' + V_B' = 6V$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{5}{4}V_B' + V_B' = 6V \implies \frac{9}{4}V_B' = 6V \implies V_B' = \frac{24}{9}V = \frac{8}{3}V$.
તેથી $V_A' = 6V - \frac{8}{3}V = \frac{18-8}{3}V = \frac{10}{3}V$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા $p V^{3/2} = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 3/2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_i = V$ છે.
વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના અડધા કદ સુધી સંકોચવામાં આવે છે, તેથી $V_f = V/2$.
સંબંધ $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_f = T_i \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^{\gamma-1}$
કિંમતો મૂકતા: $T_f = T \left( \frac{V}{V/2} \right)^{3/2 - 1}$
$T_f = T (2)^{1/2} = \sqrt{2} T$.

(D) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જો $rms$ ઝડપ અડધી થાય,તો તાપમાન $T$ પ્રારંભિક તાપમાનના $(1/2)^2 = 1/4$ ગણું થાય.
માટે,$T_f = \frac{T_i}{4}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i (200)^{\gamma-1} = \frac{T_i}{4} (V_f)^{\gamma-1}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
$200^{1/2} = \frac{1}{4} V_f^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $200 = \frac{1}{16} V_f$.
$V_f = 200 \times 16 = 3200 \ cc$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે $Q = \Delta U + W$. પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી, $Q = 0$, જેનો અર્થ છે કે $W = -\Delta U$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $n = 1 \,mol$, $C_v = 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1}$ (મોલર ઉષ્મા ધારતા).
તેથી, $\Delta U = 1 \,mol \times 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1} \times (250 \,K - 200 \,K) = 0.8 \times 50 = 40 \,kJ$.
કારણ કે $W = -\Delta U$, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $40 \,kJ$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી $\gamma = 5/3$.
$STP$ પર,$1 \ mole$ વાયુ $22.4 \ L$ જગ્યા રોકે છે. આપેલ $V_i = 5.6 \ L$ હોવાથી,મોલની સંખ્યા $n = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 \ mole = \frac{1}{4} \ mole$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{5.6}{0.7}\right)^{(5/3)-1} = T(8)^{2/3} = T(2^3)^{2/3} = 4T$.
હવે,$W = \frac{n R (T - 4T)}{(5/3) - 1} = \frac{(1/4) R (-3T)}{2/3} = \frac{-3/4 RT}{2/3} = -\frac{9}{8} RT$.
વાયુનું સંકોચન થતું હોવાથી,વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપણી પાસે સમીકરણ $dQ = dU + dW$ છે।
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં, આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી, તેથી $dQ = 0$।
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $0 = dU + dW$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$।
અહીં આપેલ છે કે વાયુ $4.5 \,J$ જેટલું બાહ્ય કાર્ય કરે છે, તેથી $dW = 4.5 \,J$।
તેથી, $dU = -4.5 \,J$।
આમ, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU$ ઋણ હોવાથી, આંતરિક ઉર્જા $4.5 \,J$ જેટલી ઘટશે।

(B) અચાનક થતું સંકોચન એ એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$.
આપેલ છે કે $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 900 \ K - 400 \ K = 500 \ K$ છે.

(B) કમ્પ્રેશન રેશિયો $r = V_1/V_2 = 20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$V_2 = V_1/20 = (10^{-3}/20) \ m^3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma$.
તેથી,$p_2 = p_1 (V_1/V_2)^\gamma = 10^5 \times (20)^{1.4} = 10^5 \times 66.3 = 66.3 \times 10^5 \ Pa$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{(10^5 \times 10^{-3}) - (66.3 \times 10^5 \times 10^{-3} / 20)}{1.4 - 1}$.
$W = \frac{100 - 331.5}{0.4} = \frac{-231.5}{0.4} = -578.75 \ J \approx -579 \ J$.
કાર્ય વાયુ પર કરવામાં આવે છે,તેથી મૂલ્ય ઋણ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^\gamma = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
આથી $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dP}{P}$ મળે.
આપેલ છે કે દબાણ $0.1 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે, તેથી $\frac{dP}{P} = -0.001$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ આપેલ હોવાથી, આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{V} = -\frac{1}{5/3} \times (-0.001) = \frac{3}{5} \times 0.001 = 0.6 \times 0.001 = 0.0006$.
તેને ટકામાં ફેરવતા: $0.0006 \times 100 \% = 0.06 \%$.
આમ, કદમાં $0.06 \%$ નો વધારો થશે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = 3V$,અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ છે.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ છે.
સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$
$\frac{T_2}{300} = \left(\frac{V}{3V}\right)^{\frac{5}{3}-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 300 \times (3)^{-\frac{2}{3}} = 300 \times \frac{1}{3^{0.666}} \approx 300 \times 0.4807 \approx 144.2 \text{ K}$.

(A) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 2$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 327 + 273 = 600 \ K$,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{4}{3}$.
કદમાં $700 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $V_2 = V_1 + 7V_1 = 8V_1$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{4}{3}-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{1/3} = 600 \times \frac{1}{2} = 300 \ K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{2 \times 8.3 \times 300}{1/3} = 2 \times 8.3 \times 300 \times 3 = 14940 \ J = 14.94 \ kJ$.

(D) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\gamma = 1.5$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 2T_1$ અને $\gamma = 1.5$.
સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_1 V_1^{1.5-1} = 2T_1 V_2^{1.5-1}$
$V_1^{0.5} = 2 V_2^{0.5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V_1 = 4 V_2$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{4} = 0.25 V_1$.
કદમાં થતો ઘટાડો $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.25 V_1 = 0.75 V_1$ છે.
પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU$ એ $dU = dQ - dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dQ$ એ તંત્રને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે કે તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું છે,તેથી $dW = -dU$ થાય.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$dU = dQ - (-dU)$
$dU = dQ + dU$
$dQ = 0$
જેથી ઉષ્માનો વિનિમય $dQ$ શૂન્ય હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = (T/2) (4V)^{\gamma-1}$.
બંને બાજુ $T V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = (1/2) (4)^{\gamma-1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 = 4^{\gamma-1}$.
કારણ કે $4 = 2^2$,તેથી $2^1 = (2^2)^{\gamma-1} = 2^{2\gamma-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $1 = 2\gamma - 2$,તેથી $2\gamma = 3$,જે $\gamma = 3/2$ આપે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$T_1 = T$,$T_2 = T/2$,અને $\gamma = 3/2$ મૂકતા: $W = \frac{nR(T - T/2)}{3/2 - 1} = \frac{nR(T/2)}{1/2} = nRT$.
આદર્શ વાયુ માટે $PV = nRT$ હોવાથી,$W = PV$ મળે છે.
$W = \alpha PV$ ને $W = PV$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T/2$ છે.
આ કિંમતોને સમોષ્મી સંબંધમાં મૂકતા:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T \cdot V^{\gamma-1} = (T/2) \cdot (2V)^{\gamma-1}$
બંને બાજુને $T \cdot V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = (1/2) \cdot 2^{\gamma-1}$
$2 = 2^{\gamma-1}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1 = \gamma - 1$
$\gamma = 2$.

(B) ટાયર ફાટવાની પ્રક્રિયા એ એડિબેટિક વિસ્તરણ પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_1^\gamma P_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma P_2^{1-\gamma}$.
આપેલ છે: $P_1 = 2 \text{ atm}$,$P_2 = 1 \text{ atm}$ (વાતાવરણીય દબાણ),$T_1 = T$,અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{1 - \frac{3}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}} (1)^{1 - \frac{3}{2}}$
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{-\frac{1}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{3}}$
$T_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} T$.

(B) જે પ્રક્રિયામાં ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$,તેને એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 V^{2(\gamma-1)} = \text{અચળ}$ મળે છે.
આને આપેલા નિયમ $T^2 V^\alpha = \text{અચળ}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2(\gamma-1)$ મળે છે.
બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ સામાન્ય રીતે $\frac{4}{3}$ હોય છે.
$\alpha$ ના સૂત્રમાં $\gamma = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$\alpha = 2 \left( \frac{4}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $p V^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,અવસ્થાઓ $(2p_0, V_0)$ અને $(p_0, V_1)$ છે.
તેથી,$(2p_0) V_0^\gamma = p_0 V_1^\gamma$.
$p_0$ વડે ભાગતા,આપણને $2 V_0^\gamma = V_1^\gamma$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = 2^{1/\gamma} V_0$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ $W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma - 1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(2p_0)(V_0) - (p_0)(V_1)}{\gamma - 1} = \frac{2p_0 V_0 - p_0 (2^{1/\gamma} V_0)}{\gamma - 1}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $W = \frac{p_0 V_0 (2 - 2^{1/\gamma})}{\gamma - 1} = \frac{p_0 V_0 (2^{1/\gamma} - 2)}{1 - \gamma}$ મળે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta W = \frac{\mu R \Delta T}{\gamma - 1}$.
$1$ મોલ મોનોએટોમિક વાયુ માટે $(\mu = 1)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 5/3$. તેથી,$W = \frac{1 \times R \times 20}{(5/3 - 1)} = \frac{20R}{2/3} = 30R$ ... $(i)$.
$6$ મોલ રિજિડ ડાયટોમિક વાયુ માટે $(\mu = 6)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 7/5$. કાર્ય $W'$ નીચે મુજબ મળે છે: $W' = \frac{6 \times R \times 20}{(7/5 - 1)} = \frac{120R}{2/5} = \frac{120R \times 5}{2} = 300R$.
$W'$ ની $W$ સાથે સરખામણી કરતા: $W' = 300R = 10 \times (30R) = 10W$.

(D) આદર્શ વાયુની એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્ર અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી,તેને એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $dQ = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = dQ - dW$,જે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે $dU = -dW$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ છે કે,$1$ મોલ $N_2$ વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300 \,K$ છે। વાયુનું પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = p$ અને અંતિમ દબાણ $p_2 = 10p$ છે। સખત દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 7/5 = 1.4$ છે।
દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો એડિબેટિક સંબંધ વાપરતા: $T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$.
$T_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $(T_2/T_1)^\gamma = (p_1/p_2)^{1-\gamma} = (p_2/p_1)^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \times (p_2/p_1)^{(\gamma-1)/\gamma} = 300 \times (10p/p)^{(1.4-1)/1.4} = 300 \times 10^{2/7}$.
અહીં $10^{2/7} = (10^2)^{1/7} = 100^{1/7} = 1.9$ હોવાથી,$T_2 = 300 \times 1.9 = 570 \,K$ મળે છે.