SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: લટકાવેલ પદાર્થનું દળ $M = 1 \,kg$,અથડાતા પદાર્થનું દળ $m = 0.5 \,kg$,અથડાતા પદાર્થનો વેગ $v = 3 \,ms^{-1}$,અને આવૃત્તિ $f = \frac{10}{\pi} \,Hz$.
અથડામણ પછી,સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = M + m = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ થશે.
દોલન આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M_{total}}}$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $k = (2\pi f)^2 M_{total} = (2\pi \times \frac{10}{\pi})^2 \times 1.5 = (20)^2 \times 1.5 = 400 \times 1.5 = 600 \,Nm^{-1}$.
અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m v = (M + m) v'$,જ્યાં $v'$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળનો વેગ છે.
$0.5 \times 3 = 1.5 \times v' \Rightarrow 1.5 = 1.5 v' \Rightarrow v' = 1 \,ms^{-1}$.
કંપવિસ્તાર $A$ અને મહત્તમ વેગ $v'$ વચ્ચેનો સંબંધ $v' = A \omega$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{10}{\pi} = 20 \,rad/s$.
$A = \frac{v'}{\omega} = \frac{1}{20} \,m = 0.05 \,m = 5 \,cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \,cm$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $600 \,Nm^{-1}$ છે.

(B) આપેલી આકૃતિ પરથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U = U_0 + \frac{1}{2}Ky^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_0$ એ $y = 0$ આગળ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે.
$y = 0$ આગળ,$U_{\min} = 0.01 \text{ J}$.
$y = 20 \text{ mm} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ આગળ,$U_{\max} = 0.04 \text{ J}$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{\max} - U_{\min} = \frac{1}{2}Ky^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$0.04 \text{ J} - 0.01 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times (2 \times 10^{-2} \text{ m})^2$
$0.03 \text{ J} = \frac{1}{2} \times K \times 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$0.03 = K \times 2 \times 10^{-4}$
$K = \frac{0.03}{2 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^2 \text{ Nm}^{-1} = 150 \text{ Nm}^{-1}$.

(A) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: $M = 1 \ kg$ દળ સંતુલનમાં છે. સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{1 \times 10}{600} = \frac{1}{60} \ m$ છે.
$2$. અથડામણ: $m = 0.5 \ kg$ દળનો પદાર્થ $v = 3 \ m \ s^{-1}$ વેગથી $M$ સાથે અથડાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$(M+m)V = mv$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ છે.
$3$. $V = \frac{mv}{M+m} = \frac{0.5 \times 3}{1 + 0.5} = 1 \ m \ s^{-1}$.
$4$. નવી સંતુલન સ્થિતિ: અથડામણ પછી કુલ દળ $M' = 1.5 \ kg$ થાય છે. નવું સંતુલન વિસ્તરણ $x_0' = \frac{M'g}{k} = \frac{1.5 \times 10}{600} = 0.025 \ m = 2.5 \ cm$ છે.
$5$. નવા સંતુલનથી સ્થાનાંતર: અથડામણ જૂની સંતુલન સ્થિતિ $x_0$ પર થાય છે. નવા સંતુલનથી સ્થાનાંતર $x = x_0' - x_0 = 2.5 \ cm - 1.67 \ cm = 0.833 \ cm$ છે.
$6$. કંપવિસ્તારની ગણતરી: ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,$\frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + \frac{1}{2}k x^2$.
$7$. $600 A^2 = 1.5(1)^2 + 600(0.00833)^2 \implies 600 A^2 = 1.5416$.
$8$. $A^2 = \frac{1.5416}{600} \approx 0.002569 \implies A \approx 0.0506 \ m \approx 5 \ cm$.

(C) મધ્યમાન સ્થાન પર,દળ $M$ નો વેગ મહત્તમ હોય છે,જે $v_1 = \omega_1 A_1 = \sqrt{\frac{k}{M}} A_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ $m$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થાન પર સ્પ્રિંગ બળ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $v_2$ એ $m$ ઉમેર્યા પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(M+m)$ નો વેગ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M v_1 = (M+m) v_2$.
વેગ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $M \left( \sqrt{\frac{k}{M}} A_1 \right) = (M+m) \left( \sqrt{\frac{k}{M+m}} A_2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{Mk} A_1 = \sqrt{(M+m)k} A_2$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}}$.

(D) સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે-પદાર્થોના તંત્ર માટે,સમતુલ્ય દળ (રિડ્યુસ્ડ માસ) $\mu$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\left(\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\right)}}$
$\omega = \sqrt{\frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{m_1}{m_1 m_2} + \frac{m_2}{m_1 m_2}\right)}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_1}\right)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા,ચાકગતિ ઉર્જા અને સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} K x^2$
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$V = R \omega$,તેથી $\omega = V/R$. નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{V^2}{R^2}) + \frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{5} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2 = \frac{7}{10} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2$
કુલ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{dE}{dt} = 0$:
$\frac{d}{dt} (\frac{7}{10} M V^2 + \frac{1}{2} K x^2) = 0$
$\frac{7}{10} M (2 V \frac{dV}{dt}) + \frac{1}{2} K (2 x \frac{dx}{dt}) = 0$
$V = \frac{dx}{dt}$ અને $a = \frac{dV}{dt}$ હોવાથી:
$\frac{7}{5} M V a + K V x = 0$
$\frac{7}{5} M a + K x = 0 \implies a = -(\frac{5 K}{7 M}) x$
$SHM$ ના સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{5 K}{7 M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{5 K}{7 M}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{7 M}{5 K}}$.

(A) જ્યારે $M$ દળને ઢળતા સમતલ પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગો સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx - kx = -2kx$ છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -k_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2k$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eff} = 2k$ મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ મળે છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ કુલ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે।
કિસ્સો $1$: જ્યારે $700 \,g$ નો બ્લોક દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_1 = (500 + 400) \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ છે।
આવર્તકાળ $T_1 = 3 \,s$ છે।
તેથી,$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = 4 \pi^2 \left( \frac{0.9}{k} \right) \Rightarrow k = \frac{4 \pi^2 \times 0.9}{9} = 0.4 \pi^2 \,N/m$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $700 \,g$ અને $500 \,g$ બંને બ્લોક દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ છે।
નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ મળે:
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{0.4 \pi^2}}$.
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \pi \left( \frac{1}{\pi} \right) = 2 \,s$.

(D) ધાતુનો તાર $k_1$ જેટલા અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$x$ જેટલા વિસ્તરણ માટે પુનઃસ્થાપક બળ $F = \frac{YA}{L}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,તારનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = \frac{YA}{L}$ છે.
તાર અને સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તંત્રનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k}$ દ્વારા મળે છે.
$k_1 = \frac{YA}{L}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$ મળે છે.
તેથી,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$.
સ્પ્રિંગ તંત્ર સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$, સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 1 \,N/m$, અને આઘાત $I = 2 \,Ns$.
બ્લોક બે સ્પ્રિંગની વચ્ચે હોવાથી, અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2 \,N/m$ થશે.
આઘાત $I$ દ્વારા આપવામાં આવેલ પ્રારંભિક વેગ $v$ એ $I = m \Delta v$ દ્વારા મળે છે, તેથી $v = I/m = 2 / 0.1 = 20 \,m/s$.
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k_{eff}/m} = \sqrt{2 / 0.1} = \sqrt{20} \,rad/s$ છે.
સંતુલન સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર $A$) એ $A = v / \omega$ દ્વારા મળે છે.
$A = 20 / \sqrt{20} = \sqrt{20} \approx 4.47 \,m$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકના પૂર્ણાંક મુજબ, મહત્તમ સ્થાનાંતર $4 \,m$ છે.

(B) જ્યારે $m$ દળના પદાર્થને સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ સંતુલનમાં હોય છે $(mg = kx_0)$.
જ્યારે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં વધારાનું બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલો વધારાનો ખેંચાણ થાય છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,નવી સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ વધારાના લગાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,વધારાનું બળ $F$ એ વધારાના સ્પ્રિંગ બળ $kx$ જેટલું હોય છે.
$F = kx$
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{F}{k}$

(A) સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દળ $m$ ને $4m$ દ્વારા બદલવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = 2T$ થશે.
આવર્તકાળ બમણો થવાથી,ઘડિયાળને એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં બમણો સમય લાગે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘડિયાળ ધીમી ચાલે છે. દર $1 \text{ s}$ ના વાસ્તવિક સમય માટે,ઘડિયાળ માત્ર $0.5 \text{ s}$ નોંધે છે,એટલે કે તે દર $1 \text{ s}$ એ $0.5 \text{ s}$ ગુમાવે છે.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 6.4 \,N$, સ્થાનાંતર $x = 0.1 \,m$, અને આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{4} \,s$.
સૌ પ્રથમ, હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધો: $F = kx$.
$6.4 = k \times 0.1 \implies k = 64 \,N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{16} = 4 \times \frac{m}{64}$.
$\frac{1}{16} = \frac{m}{16}$.
તેથી, $m = 1 \,kg$.

(A) દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટે, બ્લોકનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ એ $g$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે છે, જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં, સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{10 \times 10}{400} = 0.25 \text{ m} = 25 \text{ cm}$ થાય છે.
જ્યારે બ્લોક તેના દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુ પર હોય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ નીચેની તરફ લાગે છે. જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $g$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે છે. $SHM$ માં મહત્તમ ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $\omega^2 A$ છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે, તેથી જો $A > x_0$ હોય તો બ્લોક સંપર્ક ગુમાવશે.
પ્રશ્ન તે વિસ્તરણ (અથવા કુદરતી લંબાઈથી સ્થાનાંતર) વિશે પૂછે છે કે જેના પર સંપર્ક ગુમાવાય છે. બ્લોક ત્યારે સંપર્ક ગુમાવે છે જ્યારે સ્પ્રિંગનું બળ શૂન્ય થાય છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર પાછી આવે છે ($x = 0$ કુદરતી લંબાઈના સંદર્ભમાં).
જોકે, આ પ્રમાણભૂત સમસ્યાના સંદર્ભમાં, બ્લોક ત્યારે સંપર્ક ગુમાવે છે જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $g$ જેટલો થાય. આ સંતુલન સ્થિતિ પર થાય છે જો કંપવિસ્તાર $A = x_0 = 25 \text{ cm}$ હોય.

(B) આકૃતિ મુજબ,જ્યારે $m$ દળને જમણી તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $k_1$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે અને $k_2$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ દ્વારા દળ $m$ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F_1 = -k_1 x$ છે.
બીજી સ્પ્રિંગ દ્વારા દળ $m$ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F_2 = -k_2 x$ છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F = F_1 + F_2 = -(k_1 + k_2)x$ છે.
આ $F = -k_{eq} x$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k_1 + k_2$ છે.
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો મહત્તમ વેગ $V_{\max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કણ $A$ માટે: $(V_{\max})_A = A_A \sqrt{\frac{K_1}{m}}$.
કણ $B$ માટે: $(V_{\max})_B = A_B \sqrt{\frac{K_2}{2m}}$.
આપેલ છે કે $(V_{\max})_A = (V_{\max})_B$,તેથી:
$A_A \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_B \sqrt{\frac{K_2}{2m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A_A^2 \frac{K_1}{m} = A_B^2 \frac{K_2}{2m}$.
કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર $\frac{A_A}{A_B}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{A_A^2}{A_B^2} = \frac{K_2}{2m} \cdot \frac{m}{K_1} = \frac{K_2}{2K_1}$.
તેથી,$\frac{A_A}{A_B} = \sqrt{\frac{K_2}{2K_1}}$.

(C) સરળ આવર્ત દોલકનો પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(k \propto \frac{1}{l})$,દરેક ભાગ માટે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 2k$ થશે.
સમાન દળ $m$ અને નવા સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ સાથેનો નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ થશે.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે કણને ચોરસની કોઈ એક બાજુ તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ લગાડશે.
ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લેતા,તંત્ર માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}$ એ કણ પર લાગતા ચોખ્ખા પુનઃસ્થાપક બળ $F_R$ ની ગણતરી કરીને નક્કી કરી શકાય છે.
જ્યારે કણને $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર સ્પ્રિંગમાંથી સ્થાનાંતરની દિશામાં લાગતા બળોના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F_R = (k + k + 2k + 2k) \cdot x \cdot \cos^2(45^\circ) = (6k) \cdot x \cdot (1/2) = 3kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{3k}{m}}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$ છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = 15 \,cm/s$. આવર્તકાળ $T = 628 \,ms = 0.628 \,s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{\max} = A\omega$, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે।
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, તેથી $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
કિંમતો મૂકતા: $15 = A \times \frac{2 \times 3.14}{0.628}$.
$15 = A \times \frac{6.28}{0.628}$.
$15 = A \times 10$.
$A = \frac{15}{10} = 1.5 \,cm$.

(B) આપેલ દળ $m_1 = 1.0 \,kg$, વિસ્તરણ $l_1 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
હૂકના નિયમ મુજબ, $m_1 g = k l_1$, જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે।
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 \,N/m$.
હવે, $m_2 = 2.0 \,kg$ દળ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ દ્વારા મળે છે।
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 \,rad/s$.
બ્લોકને $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$ જેટલો ખેંચવામાં આવે છે, જે દોલનનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે।
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા મળે છે।
$v_{\max} = 0.1 \,m \times 10 \,rad/s = 1 \,m/s$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનોનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દોલન કરતું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $700 \,g$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_1 = 500 \,g + 400 \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ છે. આવર્તકાળ $T_1 = 3 \,s$ છે.
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}} \quad \dots(i)$
કિસ્સો $II$: જ્યારે $500 \,g$ દળ વધુ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ છે. ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_2}{3} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$T_2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \,s$
આમ,તંત્ર $2 \,s$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરશે.

(C) જ્યારે $K_1$ અને $K_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં (એકબીજાના છેડે) જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિસ્તરણ $x$ એ વ્યક્તિગત વિસ્તરણ $x_1$ અને $x_2$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તંત્ર પર લાગતા બળ $F$ માટે,$x_1 = F/K_1$ અને $x_2 = F/K_2$ થાય.
કુલ વિસ્તરણ $x = x_1 + x_2 = F/K_1 + F/K_2$ છે.
જો $K$ એ સમતુલ્ય બળ અચળાંક હોય,તો $x = F/K$ લખી શકાય.
તેથી,$F/K = F/K_1 + F/K_2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1/K = 1/K_1 + 1/K_2$ મળે છે.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ મળે છે.

(B, C) આપેલ છે $V = A x(x-4) = A x^2 - 4Ax \ J$.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -(2Ax - 4A) = -2A(x-2) \ N$ છે.
અહીં $F \propto -(x-2)$ હોવાથી,કણ $x = 2 \ m$ ના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
$SHM$ માં,ઝડપ સરેરાશ સ્થાન પર મહત્તમ હોય છે,તેથી $x = 2 \ m$ પર ઝડપ મહત્તમ છે.
$F = -2A(x-2)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -k(x-x_0)$ સાથે કરતા,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2A$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2A}{0.02}} = \sqrt{100A} = 10\sqrt{A} \ rad/s$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\sqrt{A}} = \frac{\pi}{5\sqrt{A}} \ s$ છે.
આમ,વિધાન $B$ અને $C$ સાચા છે.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $x$ છે. સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $L+x$ થાય છે.
જ્યારે દળ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગના બળના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગનું બળ $F = Kx$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
સ્પ્રિંગના બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $Kx \sin \theta = m \omega^{2} r$ છે,જ્યાં $r = (L+x) \sin \theta$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$Kx \sin \theta = m \omega^{2} (L+x) \sin \theta$.
બંને બાજુથી $\sin \theta$ ને દૂર કરતા,આપણને $Kx = m \omega^{2} (L+x)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્ધ્વ દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{0} = \sqrt{\frac{K}{m}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $K = m \omega_{0}^{2}$.
સમીકરણમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા: $m \omega_{0}^{2} x = m \omega^{2} (L+x)$.
$m$ વડે ભાગતા: $\omega_{0}^{2} x = \omega^{2} L + \omega^{2} x$.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા: $x(\omega_{0}^{2} - \omega^{2}) = \omega^{2} L$.
તેથી,$x = \frac{\omega^{2} L}{\omega_{0}^{2} - \omega^{2}}$.

(B) ગોઠવણી $(a)$ માટે, સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1$ એ $\frac{1}{k_1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ દ્વારા મળે છે, તેથી $k_1 = \frac{k}{2}$.
આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}} = 2 \,s$ છે.
ગોઠવણી $(b)$ માટે, સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2$ એ $k_2 = k + k = 2k$ છે.
આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ છે.
બંને આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{2m/k}}{2\pi \sqrt{m/2k}} = \sqrt{\frac{2m}{k} \cdot \frac{2k}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, $T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{2 \,s}{2} = 1 \,s$ મળે છે.

(B) ધારો કે કણને ઉર્ધ્વ દિશામાં નીચેની તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે,જે ઉપરની તરફ $F_1 = kx$ જેટલું પુનઃસ્થાપક બળ આપે છે.
બે નમેલી સ્પ્રિંગ ઉર્ધ્વ દિશા સાથે $135^\circ$ ના ખૂણે છે. જ્યારે કણ $x$ જેટલો નીચે જાય છે,ત્યારે દરેક નમેલી સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = x \cos(135^\circ - 90^\circ) = x \cos(45^\circ) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ છે.
દરેક નમેલી સ્પ્રિંગ માટે ઉર્ધ્વ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળનો ઘટક $F_2 = k \Delta l \cos(45^\circ) = k (\frac{x}{\sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{kx}{2}$ છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = F_1 + 2 F_2 = kx + 2(\frac{kx}{2}) = kx + kx = 2kx$.
આમ,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq} = 2k$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ થાય.

(A) આ તંત્રમાં $m_1 = 1 \ kg$ અને $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ ના બે દળ $k = 150 \ N/m$ ના સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા છે.
બે-દળ ધરાવતા સ્પ્રિંગ-માસ તંત્ર માટે,સમતુલ્ય દળ (રિડ્યુસ્ડ માસ) $\mu$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0.2}{1 + 0.2} = \frac{0.2}{1.2} = \frac{1}{6} \ kg$.
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{150}{1/6}} = \sqrt{150 \times 6} = \sqrt{900} = 30 \ rad/s$.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $30 \ rad/s$ છે.

(C) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળના દોલનની આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto 1/L$.
જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે $(L' = L/2)$,ત્યારે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k'$ એ $k' = k \cdot (L/L') = k \cdot (L / (L/2)) = 2k$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $v_2$ એ $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $v_2 = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \sqrt{2} v_1$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $v_2/v_1 = \sqrt{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,સ્થાનાંતર $x = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
પ્રથમ,સંતુલન સ્થિતિમાં હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધો: $mg = kx \implies k = \frac{mg}{x} = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 10^{-3}} = 1000 \text{ N/m}$.
સિસ્ટમની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1000}{0.2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{5000} = \frac{50\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{25\sqrt{2}}{\pi} \text{ Hz}$.
મહત્તમ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 500 \times 4 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} \text{ J}$.