Method to determine Time Period and Frequency for diffrent type of Object of SHM Questions in Gujarati

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x = 1 \ cm$ અને કંપનવિસ્તાર $A = 2 \ cm$ પર વેગનું મૂલ્ય પ્રવેગના મૂલ્ય જેટલું છે:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega (1) = \sqrt{2^2 - 1^2}$
$\omega = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$.

(B) $SHM$ ના પથની લંબાઈ $2a$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે,$2a = 4 \, cm$,તેથી કંપવિસ્તાર $a = 2 \, cm$.
$SHM$ માં કણનો મહત્તમ વેગ મધ્યમાન સ્થાન (કેન્દ્ર) પર હોય છે અને તે $v_{max} = \omega a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$v_{max} = 12 \, cm/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $v_{max} = \frac{2\pi a}{T}$.
આવર્તકાળ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$T = \frac{2\pi a}{v_{max}}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14159 \times 2}{12} = \frac{12.566}{12} \approx 1.047 \, s$.

(A) ધારો કે $m$ દળનો પદાર્થ પૃથ્વીના વ્યાસ પર ખોદવામાં આવેલી ટનલમાં કેન્દ્રથી $y$ અંતરે છે. પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર $y$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાયેલા પૃથ્વીના દળને કારણે હોય છે.
કેન્દ્રથી $y$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{g y}{R_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પદાર્થ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m g' = -m \left( \frac{g}{R_e} \right) y$ છે.
કારણ કે $F = -k y$,જ્યાં $k = \frac{m g}{R_e}$ એ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક છે,તેથી આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{m g / R_e}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ છે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U(x) = k|x|^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ છે.
$m$ દળ ધરાવતો કણ જે $a$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,તેની કુલ ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે અંતિમ સ્થાને $(x = a)$ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$E = U(a) = ka^3$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,ઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$ છે.
આમ,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$.
ધારો કે $x = ay$,તો $dx = a dy$. જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=a, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$.
આ સંકલન એક અચળાંક હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$.

(A) ધારો કે પિસ્ટનને ડાબી તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે ખસેડવામાં આવે છે. વાયુનું કદ ઘટે છે અને તેનું દબાણ વધે છે. ધારો કે દબાણમાં વધારો $\Delta P$ છે અને કદમાં ઘટાડો $\Delta V$ છે. પ્રક્રિયા સમતાપી છે તેમ ધારતા,આપણી પાસે $P_1V_1 = P_2V_2$ છે.
$PV = (P + \Delta P)(V - \Delta V)$
$PV = PV - P\Delta V + \Delta P V - \Delta P \Delta V$
નાના પદ $\Delta P \Delta V$ ને અવગણતા,આપણને $P \Delta V = \Delta P V$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta V = A x$ અને $V = A h$,તેથી $P(Ax) = \Delta P(Ah)$.
$\Delta P = \frac{Px}{h}$.
આ વધારાનું દબાણ $M$ દળ ધરાવતા પિસ્ટન પર પુનઃસ્થાપક બળ $F$ ઉત્પન્ન કરે છે:
$F = -(\Delta P)A = -\left(\frac{PA}{h}\right)x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને બળ અચળાંક $k = \frac{PA}{h}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{PA}{Mh}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{PA}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે ગોળાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાનું કેન્દ્ર $(R - r)$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.
ગોળા પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ છે.
$\theta$ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{R - r}$,જ્યાં $x$ એ રેખીય સ્થાનાંતર છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \left( \frac{x}{R - r} \right)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = -\left( \frac{g}{R - r} \right) x$ છે.
આને પ્રમાણિત $S.H.M.$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R - r}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{g}{R - r}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R - r}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) જો પ્રવાહીના સ્તરને એક બાજુ $y$ જેટલું નીચે દબાવવામાં આવે, તો બીજી બાજુ પ્રવાહીનું સ્તર પ્રથમ બાજુ કરતા $2y$ જેટલું ઊંચું જશે, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે。
$2y$ ઊંચાઈ ધરાવતા વધારાના પ્રવાહીના સ્તંભનું વજન એ પુનઃસ્થાપક બળ (restoring force) તરીકે કાર્ય કરે છે。
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(\text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ $F = Ma$, તેથી $Ma = -2Adgy$, જે પ્રવેગ $a = -(\frac{2Adg}{M})y$ આપે છે。
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $(a = -\omega^2 y)$ છે, જ્યાં $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}}$ છે。
$\omega^2$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ મળે છે.

(D) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{Mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ પીવટ બિંદુ (આધાર બિંદુ) ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કિનારી પરથી લટકાવેલી તકતી માટે,કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કિનારી પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_0 = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.
અહીં,$d = R$ છે. આ કિંમતોને સૂત્રમાં મુકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.
$l$ લંબાઈના સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને આવર્તકાળને સરખાવતા:
$2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $l = \frac{3}{2}R$ મળે છે.

(D) સળિયો એક છેડેથી લટકાવેલ ભૌતિક લોલક તરીકે વર્તે છે. ભૌતિક લોલક માટે આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ (આધારબિંદુ) ની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$m$ એ દળ છે,અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$L$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે જે એક છેડેથી લટકાવેલ છે,$I = \frac{1}{3}mL^2$ અને $d = \frac{L}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg(L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
અહીં $L = 2.0 \, m$ અને $g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{2 \times 2.0}{3 \times 9.8}} = 6.28 \times \sqrt{\frac{4}{29.4}} = 6.28 \times \sqrt{0.136} \approx 6.28 \times 0.3688 \approx 2.316 \, s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આવર્તકાળ આશરે $2.4 \, s$ છે.

(A) $m$ દળ અને $l$ બાજુવાળા ઘન પદાર્થની દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને ધારને સમાંતર ધરી પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{6}ml^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ધાર પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ થાય,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધાર સુધીનું અંતર છે. ઘન માટે,$d = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$I = \frac{1}{6}ml^2 + m(\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{6}ml^2 + \frac{1}{2}ml^2 = \frac{2}{3}ml^2$.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgR}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ આધારબિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે,જે $R = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{3}ml^2}{mg(\frac{l}{\sqrt{2}})}} = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{3} \frac{l}{g}}$.

(D) ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ છે.
અહીં,$I$ એ ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધરી સુધીનું અંતર છે.
પરિઘ પર જડેલી રીંગ માટે,ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ થાય.
કેન્દ્રથી ધરી સુધીનું અંતર $d = R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
આપેલ છે કે વ્યાસ $D = 2R = 1 \ m$,તેથી $R = 0.5 \ m$.
$g = \pi^2 \approx 9.8 \ m/s^2$ લેતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
જો આપણે $g = \pi^2$ લઈએ,તો $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \ s$ મળે.

(B) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$m$ એ દળ છે અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધરીનું અંતર છે.
તકતી માટે,કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{1}{2}mR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રથી $l$ અંતરે આવેલા બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = I_{cm} + ml^2 = \frac{1}{2}mR^2 + ml^2$ થાય.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2 + ml^2}{mgl}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2/2 + l^2}{gl}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{R^2}{2l} + l \right)}$.
$T$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $L = \frac{R^2}{2l} + l$ પદને ન્યૂનતમ કરવું પડે.
$l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય લેતા: $\frac{dL}{dl} = -\frac{R^2}{2l^2} + 1 = 0$.
$l$ માટે ઉકેલતા: $l^2 = \frac{R^2}{2} \implies l = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીમાં ડૂબેલા બ્લોકની લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે બ્લોક તરે છે,ત્યારે બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg = A l \rho g$
જો બ્લોકને નીચેની તરફ થોડું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y$ આપવામાં આવે,તો ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ:
$F_{restoring} = -(A(l+y)\rho g - mg) = -(Al\rho g + Ay\rho g - mg)$
કારણ કે $mg = Al\rho g$,તેથી આપણને મળે છે:
$F_{restoring} = -A\rho g y$
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $F = -ky$ છે,જ્યાં સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = A\rho g$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A\rho g}}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$.

(A) ધારો કે $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ સરળ આવર્ત ગતિની કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $\alpha = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $(i)$.
મહત્તમ વેગ $\beta = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{(\alpha / \beta)} = \frac{2\pi \beta}{\alpha}$.

(B) હિંચકો $L$ લંબાઈના બે દોરડા અને આધાર બિંદુઓ વચ્ચેના $L$ અંતર સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આધાર બિંદુઓને જોડતી રેખાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (માણસ) ની ઊંચાઈ $h = \sqrt{L^2 - (L/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ છે.
હિંચકાના સમતલને લંબ દિશામાં થતા નાના દોલનો માટે,આ તંત્ર ભૌતિક લોલક તરીકે વર્તે છે. પરિભ્રમણની ધરી (આધાર બિંદુઓને જોડતી રેખા) ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M h^2 = M (\frac{\sqrt{3}}{2} L)^2 = \frac{3}{4} M L^2$ છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{4} M L^2}{Mg (\frac{\sqrt{3}}{2} L)}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 L^2 / 4}{\sqrt{3} g L / 2}} = 2\pi \sqrt{\frac{3 L}{2 \sqrt{3} g}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{3} L}{2g}}$.

(C) રીંગની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,પરિઘમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ થાય.
સંયુક્ત લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $(h = r)$ છે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{3/2 mr^2}{mgr}} = 2\pi \sqrt{\frac{3r}{2g}}$.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eq}}{g}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $L_{eq} = \frac{3}{2}r$ મળે છે.
અહીં વ્યાસ $d = 2 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \ m$ થાય.
તેથી,$L_{eq} = \frac{3}{2} \times 1 = 1.5 \ m$.

(B) સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = -ax^2 + bx^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થાન શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = -2ax + 4bx^3 = 0$
$2x(2bx^2 - a) = 0$
આનાથી સંતુલન બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \pm \sqrt{\frac{a}{2b}}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ છીએ: $\frac{d^2U}{dx^2} = -2a + 12bx^2$.
$x = 0$ પાસે,$\frac{d^2U}{dx^2} = -2a < 0$ (અસ્થાયી સંતુલન).
$x = \pm \sqrt{\frac{a}{2b}}$ પાસે,$\frac{d^2U}{dx^2} = -2a + 12b(\frac{a}{2b}) = -2a + 6a = 4a > 0$ (સ્થાયી સંતુલન).
ન્યૂનતમ બિંદુએ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{d^2U}{dx^2} = 4a$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 4a$ મૂકતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{4a}{m}} = 2\sqrt{\frac{a}{m}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $m$ દળના બ્લોકનું સ્થાનાંતર નીચેની તરફ $x$ છે.
બ્લોક બે દોરીના ભાગો દ્વારા આધારિત છે,જેમાં દરેકનું તણાવ $T$ છે,તેથી સંતુલનમાં બ્લોક પરનું કુલ ઉપરનું બળ $2T = mg$ છે.
નીચેની ગરગડી બ્લોક સાથે જોડાયેલી છે. જો બ્લોક $x$ જેટલો નીચે જાય,તો નીચેની ગરગડીની જમણી બાજુની દોરી સ્થિર છે,તેથી ડાબી બાજુની દોરી $2x$ જેટલી નીચે જશે.
આ દોરી ઉપરની ગરગડી પરથી પસાર થાય છે. જો દોરી $2x$ જેટલી ખસે,તો ઉપરની ગરગડી સાથે જોડાયેલી સ્પ્રિંગ $4x$ જેટલી ખેંચાશે કારણ કે ગરગડીની ગોઠવણી યાંત્રિક લાભ આપે છે.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}$ એ $F = k_{eff} x$ સંબંધ દ્વારા નક્કી થાય છે. અહીં,પુનઃસ્થાપક બળ $F = 4k(4x) = 16kx$ છે.
તેથી,$k_{eff} = 16k$.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{16k}} = 2\pi \frac{1}{4} \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}}$.

(B) પારાનું કુલ દળ $M = 9 \ kg$ છે. ઘનતા $\rho = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$ છે. આંતરિક વ્યાસ $d = 1.2 \ cm = 0.012 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.006 \ m$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.006)^2 \approx 1.131 \times 10^{-4} \ m^2$.
પારાના સ્તંભની કુલ લંબાઈ $L = \frac{M}{\rho A} = \frac{9}{13.6 \times 10^3 \times 1.131 \times 10^{-4}} \approx 5.85 \ m$.
જ્યારે પારો તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg = -(\text{સ્થાનાંતરિત સ્તંભનું દળ})g = -(\rho A (2x))g = -2 \rho A g x$ થાય છે.
ગતિનું સમીકરણ $M \frac{d^2x}{dt^2} = -2 \rho A g x$ છે.
$M = \rho A L$ હોવાથી,આપણને $\rho A L \frac{d^2x}{dt^2} = -2 \rho A g x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{2g}{L} x$ થાય છે.
આને $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{2g}{L}}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = 2\pi \sqrt{\frac{5.85}{2 \times 9.8}} \approx 2\pi \sqrt{0.298} \approx 2\pi \times 0.546 \approx 3.43 \ s$.
આમ,દોલનનો આવર્તકાળ આશરે $3.4 \ s$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 40y$ છે,જે $y = \frac{x^2}{40}$ આપે છે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{40} = \frac{x}{20}$ છે.
નાના સ્થાનાંતર માટે,સ્પર્શક સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નાનો હોય છે,તેથી $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{20}$.
કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta \approx -mg \tan \theta$ છે.
$\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = -mg \left(\frac{x}{20}\right)$ મળે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma$,તેથી $ma = -mg \left(\frac{x}{20}\right)$,જેનું સાદું રૂપ $a = -\left(\frac{g}{20}\right)x$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{20}$ મળે છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$\omega^2 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\omega = \frac{1}{\sqrt{2}} \ rad/s$.

(B) સળિયો અને બે દોરીઓ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી લટકાવવાના બિંદુથી સળિયા સુધીનું અંતર $d = l \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ છે.
પાનાના સમતલમાં દોલન માટે (ભૌતિક લોલક),લટકાવવાના બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ml^2\left(\frac{1}{12} + \frac{3}{4}\right) = \frac{5ml^2}{6}$ છે.
આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} = 2\pi \sqrt{\frac{5ml^2/6}{mg(l\sqrt{3}/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{5l}{3\sqrt{3}g}}$ છે.
સમતલને લંબ દોલન માટે,સળિયો $d = \frac{l\sqrt{3}}{2}$ લંબાઈના સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે.
આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{d}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l\sqrt{3}}{2g}}$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{5l / (3\sqrt{3}g)}{l\sqrt{3} / (2g)} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{9}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $SHM$ કરે ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ $F = m \omega^2 x$ હોય છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આથી,$F = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 x = \frac{4\pi^2 m}{T^2} x$.
આ સૂચવે છે કે $F \propto \frac{1}{T^2}$,અથવા $F = kx$ જ્યાં $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$ છે.
બળ $F_1$ માટે,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ અને બળ $F_2$ માટે,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ છે.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
તેથી,$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
આ સમીકરણ $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 4/5 \ s$ અને $T_2 = 3/5 \ s$,તેથી $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{(4/5)^2} + \frac{1}{(3/5)^2} = \frac{25}{16} + \frac{25}{9}$ થાય.
$\frac{1}{T^2} = 25 \left( \frac{9 + 16}{144} \right) = 25 \left( \frac{25}{144} \right) = \frac{625}{144}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{1}{T} = \frac{25}{12}$,તેથી $T = \frac{12}{25} \ s$ મળે છે.

(B) આ તંત્ર બિંદુ $P$ ની આસપાસ દોલન કરતા ભૌતિક લોલક તરીકે વર્તે છે. ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_P}{mgd}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_P$ એ બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $P$ થી અંતર છે.
અહીં,ચાપ $P$ બિંદુથી $l$ લંબાઈની દોરીઓ દ્વારા લટકાવેલ છે,તેથી તે $P$ ની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $P$ થી અંતર $d = l \cos(45^\circ) = l/\sqrt{2}$ છે.
$P$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = ml^2$ છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{mg(l/\sqrt{2})}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/\sqrt{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}l}{g}}$.

(B) ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mg\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ ધરીની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\ell$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ થી ધરીનું અંતર છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{COM} + m\ell^2 = \frac{1}{2}mR^2 + m\ell^2$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2 + m\ell^2}{mg\ell}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2 + 2\ell^2}{2g\ell}}$.
$T$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,પદ $f(\ell) = \frac{R^2 + 2\ell^2}{\ell} = \frac{R^2}{\ell} + 2\ell$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$\ell$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $\frac{df}{d\ell} = -\frac{R^2}{\ell^2} + 2 = 0$.
$\ell$ માટે ઉકેલતા: $2\ell^2 = R^2 \implies \ell = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y = \frac{x^2}{5}$ છે.
નાના દોલનો માટે,ઢાળ $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{5}$ છે.
$\theta$ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{2x}{5}$.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta = -mg \left( \frac{2x}{5} \right)$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg \left( \frac{2x}{5} \right)$.
$\frac{d^2x}{dt^2} = -\left( \frac{2g}{5} \right) x$.
આને $SHM$ ના સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{2g}{5}$ મળે છે.
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $\omega^2 = \frac{2 \times 10}{5} = 4$.
તેથી,$\omega = 2 \ rad/s$.

(D) $S.H.M.$ માં બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,જ્યારે $x = -2.0\, m$ હોય,ત્યારે $F = 8.0\, N$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $8.0 = -k(-2.0) \implies 8.0 = 2.0k \implies k = 4.0\, N/m$.
$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં દળ $m = 0.01\, kg$ અને $k = 4.0\, N/m$ આપેલ છે,તેથી:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.01}{4.0}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi \times 0.05$.
$T = 0.1\pi \approx 0.1 \times 3.14 = 0.314\, s$.
આમ,આવર્તકાળ આશરે $0.31\, s$ છે.

(C) જ્યારે સળિયાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સ્પ્રિંગ $x = \frac{L}{2} \theta$ અંતર જેટલી ખેંચાય છે (અથવા દબાય છે).
દરેક સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = Kx = K \left( \frac{L}{2} \theta \right)$ છે.
દરેક સ્પ્રિંગ ધરીની આસપાસ $\tau = F \cdot d = \left( K \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{KL^2}{4} \theta$ જેટલું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક લગાડે છે.
બંને સ્પ્રિંગો સ્થાનાંતરનો વિરોધ કરવા માટે સમાન દિશામાં ટોર્ક લગાડતી હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_{total} = 2 \times \left( \frac{KL^2}{4} \theta \right) = \frac{KL^2}{2} \theta$ થાય છે.
ભ્રમણીય ગતિનું સમીકરણ $\tau_{total} = -I \alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{KL^2}{2} \theta = \left( \frac{ML^2}{12} \right) \alpha$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\alpha = -\left( \frac{KL^2}{2} \times \frac{12}{ML^2} \right) \theta = -\left( \frac{6K}{M} \right) \theta$.
આને કોણીય $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6K}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6K}{M}}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6K}{M}}$ છે.

(C) ધારો કે સળિયાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે. છેડા $A$ નું સ્થાનાંતર $x = \frac{l}{2} \theta$ છે.
દરેક સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \left( \frac{l}{2} \theta \right)$ છે.
કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = 2 \times (F \times \frac{l}{2}) = 2 \times (k \frac{l}{2} \theta) \times \frac{l}{2} = \frac{kl^2}{2} \theta$ છે.
ભ્રમણીય દોલન માટે ગતિનું સમીકરણ $\tau = I \alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$\frac{kl^2}{2} \theta = I \alpha = \frac{ml^2}{12} \alpha$.
આના પરથી $\alpha = \frac{6k}{m} \theta$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\alpha = \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6k}{m}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6k}{m}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{6k}} = \pi \sqrt{\frac{4m}{6k}} = \pi \sqrt{\frac{2m}{3k}}$.

(D) $S.H.M.$ માં બળ $F$ એ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$F-x$ રેખાનો ઢાળ $k = \frac{F}{x} = \frac{8 \ N}{2 \ m} = 4 \ N/m$ છે.
પદાર્થનું દળ $m = 0.01 \ kg$ છે.
$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.01}{4}}$.
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0025} = 6.28 \times 0.05$.
$T = 0.314 \ s \approx 0.31 \ s$.

(A) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ આધાર બિંદુની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $l$ એ આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેની ધાર પરના બિંદુ $S$ થી લટકાવવામાં આવે ત્યારે સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ થાય છે.
આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $l = R$ છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
અહીં $T = 1 \, s$ અને $g = \pi^2$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{2R}}{\pi} = 2\sqrt{2R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = 4(2R) = 8R$.
તેથી,$R = 1/8 = 0.125 \, m$.
નોંધ: જો પ્રશ્નમાં $T=2s$ લેવામાં આવે,તો $R = 0.5 \, m$ મળે છે,જે વિકલ્પ $A$ મુજબ છે.

(C) ટોર્સનલ દોલનોની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કેન્દ્રમાંથી લટકાવેલા $M$ દળ અને $2L$ લંબાઈના સળિયા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ છે.
તેથી,$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{ML^2/3}}$.
જ્યારે કેન્દ્રથી $L/2$ અંતરે $m$ દળના બે પદાર્થો જોડવામાં આવે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + 2 \times m(L/2)^2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{mL^2}{2}$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 0.20f = 0.8f$ છે.
તેથી,$0.8f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{C}{I_2}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f}{0.8f} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} \Rightarrow \frac{1}{0.8} = \sqrt{\frac{ML^2/3 + mL^2/2}{ML^2/3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{0.64} = 1 + \frac{3m}{2M} \Rightarrow 1.5625 = 1 + \frac{3m}{2M}$.
$\frac{3m}{2M} = 0.5625 \Rightarrow \frac{m}{M} = 0.5625 \times \frac{2}{3} = 0.375$.
આમ,$m/M$ ગુણોત્તર $0.37$ ની નજીક છે.

(C) ધારો કે સળિયાને નાના ખૂણા $\theta$ થી ફેરવવામાં આવે છે. સળિયાના દરેક છેડાનું સ્થાનાંતર $x = \frac{l}{2} \theta$ છે.
દરેક સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \frac{l}{2} \theta$ લગાડે છે.
કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = 2 \times (F \times \frac{l}{2}) = 2 \times (k \frac{l}{2} \theta \times \frac{l}{2}) = \frac{k l^2}{2} \theta$ છે.
સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = -I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\frac{k l^2}{2} \theta = -(\frac{ml^2}{12}) \alpha \implies \alpha = -(\frac{6k}{m}) \theta$.
આને કોણીય સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6k}{m}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6k}{m}}$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $k$ બળ અચળાંક સાથે $SHM$ કરે છે,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$.
જ્યારે પ્રથમ બળ કાર્ય કરે છે,ત્યારે $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$.
જ્યારે બીજું બળ કાર્ય કરે છે,ત્યારે $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
$k$ માટેના સમીકરણો મૂકતા,$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
$4\pi^2 m$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ મળે છે.
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} \, s$ મળે છે.

(C) આપેલ દળ $m = 1\,kg$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = 4(1 - \cos 2x)\,J$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx} [4(1 - \cos 2x)] = -4(0 - (-\sin 2x) \cdot 2) = -8 \sin 2x$.
નાના દોલનો માટે,$x$ ખૂબ નાનું હોવાથી $\sin 2x \approx 2x$ લઈ શકાય.
તેથી,$F \approx -8(2x) = -16x$.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,બળ અચળાંક $k = 16\,N/m$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{16}{1}} = 4\,rad/s$ થાય.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,sec$ મળે છે.

(C) $SHM$ કરતા કણ માટે,મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના મૂલ્યો સમાન છે: $V_{\max} = a_{\max}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\omega A = \omega^2 A$.
બંને બાજુ $\omega A$ વડે ભાગતા ($A \neq 0$ અને $\omega \neq 0$ ધારીને),આપણને $\omega = 1 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega = 1$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ s}$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીમાંથી પસાર થતી ટનલમાં કણની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા કણ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -(\frac{GMm}{R_e^3})r$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kr$ તરીકે કાર્ય કરે છે, જ્યાં $k = \frac{GMm}{R_e^3}$ છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R_e^3}} = \sqrt{\frac{g}{R_e}}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ છે.
આવર્તકાળ $T$ માત્ર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે, તેથી તે દોલનના કંપવિસ્તાર (જે અંતરથી કણને મુક્ત કરવામાં આવે છે) થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી, $T_1 = T_2$.

(A) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $L$ એ આધારબિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,જે તેના પરિઘમાંથી પસાર થતી ધરી પર દોલન કરે છે,આધારબિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $L = R$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પરિઘ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mR^2 = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ થાય છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.

(A) દળ સપાટી સાથે સંપર્કમાં રહે તે માટે,સપાટીનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે,આપણે $a_{max} \leq g$ ની જરૂર છે.
$\omega = 2 \pi f$ મૂકતા,આપણને $(2 \pi f)^2 A \leq g$ મળે છે.
અહીં $A = 1 \, cm = 0.01 \, m$ અને $g \approx 10 \, m/s^2$ લેતા:
$4 \pi^2 f^2 (0.01) = 10$
$f^2 = \frac{10}{4 \pi^2 \times 0.01} = \frac{10}{0.04 \pi^2} = \frac{250}{\pi^2}$
$f = \sqrt{\frac{250}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{250}}{\pi} \approx \frac{15.81}{3.14} \approx 5.03 \, Hz$.
આમ,મહત્તમ આવૃત્તિ આશરે $5 \, Hz$ છે.

(A) સ્થિતિઊર્જા $V(x) = k|x|^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ છે.
$m$ દળનો કણ જે $a$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,તેની કુલ ઊર્જા $E$ અચળ હોય છે અને તે અંતિમ સ્થાને સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $E = V(a) = ka^3$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$.
તેથી,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$.
આવર્તકાળ $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $x = ay$,તો $dx = a dy$. સીમાઓ $0$ થી $1$ માં બદલાય છે.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$.
આ સંકલન એક અચળાંક હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $U$-ટ્યુબના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પારાની ઘનતા $\rho$ છે.
જ્યારે પારો એક ભુજામાં $h$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે, ત્યારે બીજી ભુજામાં પણ સ્તર $h$ જેટલું બદલાય છે, જે $2h$ નો કુલ ઊંચાઈનો તફાવત બનાવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $2h$ ઊંચાઈના વધારાના પારાના સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે.
$F = -(\text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g) = -(A \times 2h \times \rho \times g) = -2A\rho gh$.
આ બળ સ્થાનાંતર $h$ ના પ્રમાણમાં છે, એટલે કે $F = -kh$, જ્યાં $k = 2A\rho g$ એ બળ અચળાંક છે.
પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી અને સંતુલન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત હોવાથી, ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
પારાના સ્તંભનું દળ $m$ એ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = A \times l \times \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ પારાના સ્તંભની કુલ લંબાઈ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{Al\rho}{2A\rho g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, પારાનો સ્તંભ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.

(N/A) હવાના ચેમ્બરનું કદ $= V$
ગરદનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= a$
દડાનું દળ $= m$
ચેમ્બરની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું છે.
ધારો કે દડાને $x$ એકમ જેટલો નીચે દબાવવામાં આવે છે. આ દબાણને કારણે,ચેમ્બરની અંદરના કદમાં ઘટાડો અને દબાણમાં વધારો થાય છે.
હવાના ચેમ્બરના કદમાં ઘટાડો,$\Delta V = a x$
કદ વિકૃતિ $= \frac{\text{કદમાં ફેરફાર}}{\text{મૂળ કદ}} = \frac{\Delta V}{V} = \frac{a x}{V}$
હવાનો બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{-p}{\frac{a x}{V}}$
અહીં,પ્રતિબળ એ દબાણમાં થતો વધારો છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે કદમાં ઘટાડો થવાથી દબાણ વધે છે. તેથી,$p = \frac{-B a x}{V}$.
દડા પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = p \times a = \frac{-B a x}{V} \cdot a = \frac{-B a^2 x}{V} \dots (i)$
સરળ આવર્ત ગતિમાં,પુનઃસ્થાપક બળનું સમીકરણ $F = -k x \dots (ii)$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $k = \frac{B a^2}{V}$ મળે છે.
દોલનોનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{V m}{B a^2}}$ છે.

(A) વર્તુળાકાર તકતીનું દળ,$m = 10 \; kg$.
તકતીની ત્રિજ્યા,$r = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
ટોર્સનલ દોલનોનો આવર્તકાળ $T = 1.5 \; s$ છે.
તકતીની તેના કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.15)^2 = 5 \times 0.0225 = 0.1125 \; kg \; m^2$.
ટોર્સનલ દોલનો માટે આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{\alpha}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{\alpha}$,જે પરથી $\alpha = \frac{4 \pi^2 I}{T^2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{4 \times (3.14159)^2 \times 0.1125}{(1.5)^2}$.
$\alpha = \frac{4 \times 9.8696 \times 0.1125}{2.25} = \frac{4.4413}{2.25} \approx 1.974 \; N \; m \; rad^{-1}$.
આમ,તારનો ટોર્સનલ સ્પ્રિંગ અચળાંક આશરે $1.97 \; N \; m \; rad^{-1}$ છે.

(B) પદાર્થના દોલનની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ તેના ભૌતિક ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$(1)$ પદાર્થના દ્રવ્યના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો,જે પુનઃસ્થાપક બળ અચળાંક $(k)$ નક્કી કરે છે.
$(2)$ પદાર્થના પરિમાણો અને દળનું વિતરણ,જે તેની જડત્વ ($m$ અથવા $I$) નક્કી કરે છે.
એક સાદી સિસ્ટમ માટે,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા પર આધાર રાખે છે અને $m$ એ પદાર્થના પરિમાણો અને ઘનતા પર આધાર રાખે છે.

(D) ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = U_0 (1 - \cos \alpha x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જા સાથે $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} [U_0 (1 - \cos \alpha x)] = U_0 \alpha \sin \alpha x$.
તેથી,$F = -U_0 \alpha \sin \alpha x$.
નાના દોલનો માટે,$\alpha x$ ખૂબ નાનું છે,તેથી $\sin \alpha x \approx \alpha x$.
આમ,$F \approx -U_0 \alpha (\alpha x) = -U_0 \alpha^2 x$.
આ $F = -k x$ સ્વરૂપની સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નું સમીકરણ છે,જ્યાં અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = U_0 \alpha^2$ છે.
$SHM$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{U_0 \alpha^2}{m}} = \alpha \sqrt{\frac{U_0}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\alpha \sqrt{\frac{U_0}{m}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{U_0 \alpha^2}}$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે લાકડાના ટુકડાને $y$ જેટલા સ્થાનાંતરથી નીચેની તરફ દબાવવામાં આવે છે. ટુકડા દ્વારા વિસ્થાપિત વધારાનું પ્રવાહીનું કદ $V_{disp} = A \times y$ થશે.
આ વધારાના વિસ્થાપિત કદને કારણે ટુકડા પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_b = V_{disp} \times \rho \times g = (A \times y) \times \rho \times g = (A \rho g) y$.
આ ઉત્પ્લાવક બળ સ્થાનાંતર $y$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$F = - (A \rho g) y$.
આ સમીકરણ $F = -ky$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k = A \rho g$ એ અસરકારક બળ અચળાંક છે.
પુનઃસ્થાપક બળ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સંતુલન સ્થાન તરફ હોવાથી,લાકડાના ટુકડાની ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ છે.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
સૂત્રમાં $k = A \rho g$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}}$.
આમ,સાબિત થાય છે કે લાકડાનો ટુકડો આપેલ આવર્તકાળ સાથે $SHM$ કરે છે.

(N/A) હા,પારો સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.
ધારો કે પારાના સ્તંભની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને ટ્યુબનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. ધારો કે સંતુલન સ્થિતિથી ટ્યુબની સાથે પારાના સ્તરનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ બે બાજુઓમાં પારાના સ્તંભોની ઊંચાઈમાં તફાવતને કારણે છે.
ઊંચાઈમાં તફાવત $h = h_1 - h_2 = (l+x)\sin 45^{\circ} - (l-x)\sin 45^{\circ} = 2x \sin 45^{\circ} = 2x(1/\sqrt{2}) = x\sqrt{2}$.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg = -(\text{સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું દળ})g = -(\rho A h)g = -\rho A g (x\sqrt{2})$.
પારાનું કુલ દળ $M = \rho A L$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = Ma$,તેથી $Ma = -\rho A g \sqrt{2} x$.
$(\rho A L) \frac{d^2x}{dt^2} = -\rho A g \sqrt{2} x$.
$\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{g\sqrt{2}}{L})x$.
આ $SHM$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $\omega^2 = \frac{g\sqrt{2}}{L}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\sqrt{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \sqrt{2}}}$.

(A) ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,$d = R$ છે.
કિસ્સો $(i)$: રીંગ તેના પોતાના સમતલમાં દોલન કરે છે. પરિભ્રમણની ધરી રીંગની ધાર પર,રીંગના સમતલને લંબ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{1} = I_{cm} + MR^{2} = MR^{2} + MR^{2} = 2MR^{2}$.
તેથી,$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{2MR^{2}}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
કિસ્સો $(ii)$: રીંગ તેના સમતલને લંબ દિશામાં આગળ-પાછળ દોલન કરે છે. પરિભ્રમણની ધરી રીંગની ધાર પર,રીંગના સમતલમાં છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{2} = I_{cm} + MR^{2} = \frac{1}{2}MR^{2} + MR^{2} = \frac{3}{2}MR^{2}$.
તેથી,$T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^{2}}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{2MR^{2}}{\frac{3}{2}MR^{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3/2}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg = A l \rho g \Rightarrow m = A \rho l$
જ્યાં $l$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા ભાગની લંબાઈ છે.
જ્યારે બ્લોકને નીચેની તરફ $y$ જેટલું નાનું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ (પુનઃસ્થાપક બળ) છે:
$F = -[A(l+y) \rho g - mg]$
$F = -[A l \rho g + A y \rho g - mg]$
કારણ કે $mg = A l \rho g$,સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$F = -A \rho g y$
આ દર્શાવે છે કે $F \propto -y$,જે $SHM$ માટેની શરત છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = A \rho g$ છે અને જડત્વનો અવયવ $m$ છે.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\text{જડત્વનો અવયવ}}{\text{સ્પ્રિંગ અચળાંક}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{m}{A \rho g}$
આમ,$T^{2} \propto \frac{1}{\rho}$.