Method to determine Time Period and Frequency for diffrent type of Object of SHM Questions in Gujarati

(D) $r$ ત્રિજ્યાનો દડો $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર બાઉલમાં સરક્યા વિના ગબડતો હોય ત્યારે,લોલકની અસરકારક લંબાઈ $(R-r)$ થાય છે.
આવા દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{cm} + mr^2}{mgr^2}} \times \sqrt{R-r} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}mr^2 + mr^2}{mgr^2}} \times \sqrt{R-r} = 2\pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}$
અહીં $T \propto \sqrt{R-r}$ હોવાથી,જો દડાની ત્રિજ્યા $r$ વધારવામાં આવે,તો $(R-r)$ પદ ઘટે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T$ થોડો ઘટે છે.

(B) દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા,મણકા પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -2 T \sin \theta$ મળે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (l/2)^2}}$.
નાના સ્થાનાંતર $x$ માટે,જ્યાં $x \ll l/2$,આપણે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{l/2} = \frac{2x}{l}$ લઈ શકીએ.
આમ,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -2 T \left( \frac{2x}{l} \right) = -\left( \frac{4T}{ml} \right) m x$ થાય.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{4T}{ml}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{4T}{ml}}$ છે.
તેથી,દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4T}{ml}}$ થાય.

(A) કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} k x^2 - V_0 \cos \left( \frac{x}{a} \right) \right) = -\left( kx + \frac{V_0}{a} \sin \left( \frac{x}{a} \right) \right)$.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $a$ કરતા ઘણો નાનો હોવાથી,$x \ll a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{a} \ll 1$. નાના $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \left( \frac{x}{a} \right) \approx \frac{x}{a}$ મળે છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \approx -\left( kx + \frac{V_0}{a} \cdot \frac{x}{a} \right) = -\left( k + \frac{V_0}{a^2} \right) x$.
આ $F = -K_{eff} x$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $K_{eff} = k + \frac{V_0}{a^2}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{k + \frac{V_0}{a^2}}{m}} = \sqrt{\frac{k a^2 + V_0}{m a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m a^2}{k a^2 + V_0}}$ થાય છે.

(D) ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ (આધારબિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સુધીનું અંતર છે.
એક છેડેથી લટકાવેલા $\ell$ લંબાઈના સળિયા માટે:
$I = \frac{m\ell^2}{3}$ અને $d = \frac{\ell}{2}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m\ell^2/3}{mg\ell/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2\ell}{3g}} \quad \dots(i)$
જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે પરિઘ $\ell = 2 \pi R$ થાય છે,તેથી $R = \frac{\ell}{2 \pi}$.
પરિઘ પરના બિંદુથી લટકાવેલી રિંગ માટે,પીવટની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ છે (સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).
પીવટથી $COM$ સુધીનું અંતર $d' = R$ છે.
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \quad \dots(ii)$
$R = \frac{\ell}{2 \pi}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{\ell}{2 \pi}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi g}}$.
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{2 \pi \sqrt{2R/g}}{2 \pi \sqrt{2\ell/3g}} = \sqrt{\frac{2R}{g} \cdot \frac{3g}{2\ell}} = \sqrt{\frac{3R}{\ell}} = \sqrt{\frac{3(\ell/2\pi)}{\ell}} = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}}$.
આમ,$T' = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} T$.

(D) સ્ટ્રોમાં રહેલા પ્રવાહીના દળને ધ્યાનમાં લો. પ્રવાહી સ્તંભની કુલ લંબાઈ $(y+d)$ છે.
ધારો કે $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $A$ એ સ્ટ્રોનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહી સ્તંભનું દળ $m = \rho A(y+d)$ છે.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહી સ્તંભ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રોના તળિયે આસપાસના પાણીને કારણે દબાણ બળ: $F_P = P_{atm}A + \rho g d A$.
$2$. સ્ટ્રોની ટોચ પર વાતાવરણીય દબાણ બળ: $F_{atm} = -P_{atm}A$.
$3$. પ્રવાહી સ્તંભનું વજન: $F_g = -mg = -\rho A(y+d)g$.
$4$. સ્ટ્રોના તળિયે $\dot{y}$ વેગ સાથે પ્રવેશતા પાણીને કારણે થ્રસ્ટ બળ: $F_{thrust} = -\dot{m}v_{rel} = -(\rho A \dot{y})\dot{y} = -\rho A \dot{y}^2$.
આ બળોનો સરવાળો કરતા: $F_{net} = \frac{d}{dt}(mv) = \frac{d}{dt}(\rho A(y+d)\dot{y}) = \rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2)$.
$F_{net}$ ને બળોના સરવાળા સાથે સરખાવતા:
$\rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2) = P_{atm}A + \rho g d A - P_{atm}A - \rho A(y+d)g - \rho A \dot{y}^2$.
$\rho A$ વડે ભાગતા:
$(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 = gd - g(y+d) - \dot{y}^2$.
$(y+d)\ddot{y} + 2\dot{y}^2 + gy = 0$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પ $(D)$ એ $(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 + gy = 0$ છે,જે આ સમસ્યા માટે પ્રમાણિત પરિણામ છે.

(A) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I$ એ નિલંબન બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ દળ છે,અને $L$ એ નિલંબન બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,જે તેના પરિઘ પરના બિંદુથી લટકાવેલ છે,નિલંબન બિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $L = R$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,નિલંબન બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mR^2$ થાય.
રીંગ માટે $I_{cm} = mR^2$ હોવાથી,$I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ મળે છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.

(D) આપેલ છે:
દળ $m = 4 \,kg$
આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \,m$ પર મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{max} = 1.0 \,J$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
$x = A = 0.2 \,m$ માટે,$U = U_{max} = 1.0 \,J$.
$1.0 = \frac{1}{2} \times k \times (0.2)^2$
$1.0 = \frac{1}{2} \times k \times 0.04$
$1.0 = k \times 0.02$
$k = \frac{1.0}{0.02} = 50 \,N/m$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{4}{50}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{25}} = 2 \pi \times \frac{\sqrt{2}}{5} = \frac{2 \pi \sqrt{2}}{5} \,s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) આ એક ભૌતિક લોલક (physical pendulum) નો કિસ્સો છે.
ભૌતિક લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g d}}$ છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ દળ છે,અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે જે તેના છેડા પરથી લટકાવેલ છે:
$1$. છેડાની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{3}$ છે.
$2$. પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{l}{2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{m l^2}{3}}{m g (\frac{l}{2})}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m l^2}{3} \cdot \frac{2}{m g l}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2 l}{3 g}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ ભૌતિક લોલક (physical pendulum) નો કિસ્સો છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M g L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ આધારબિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $L$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને આધારબિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન તકતી માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેના પરિઘ પરના બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{cm}} + M R^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી આધારબિંદુ સુધીનું અંતર $L = R$ છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2} M R^2}{M g R}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3 R}{2 g}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $A = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$,સ્થાનાંતર $x = 1 \,cm = 1 \times 10^{-2} \,m$.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S.H.M.$ માં વેગનું મૂલ્ય $|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|a| = |v|$,તેથી:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા ($\omega \neq 0$ ધારીને):
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2}$
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{(4 - 1) \times 10^{-4}}$
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{3} \times 10^{-2}$
$\omega = \sqrt{3} \,rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$.

(C) $U$-ટ્યુબમાં દોલન કરતા પ્રવાહી સ્તંભનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}}$
જ્યાં $h$ એ સંતુલન સ્થિતિમાં એક બાજુના પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે:
$h = 0.3 \ m$
$g = 9.8 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.3}{9.8}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0306}$
$T = 6.28 \times 0.175$
$T \approx 1.1 \ s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે સળિયાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સ્પ્રિંગના છેડાનું સ્થાનાંતર $x = \frac{L}{2} \sin \theta \approx \frac{L}{2} \theta$ થાય છે (નાના $\theta$ માટે).
દરેક સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ લગાડે છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા મળતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ છે.
બે સ્પ્રિંગ હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ થાય.
ભ્રમણીય દોલન માટે ગતિનું સમીકરણ $\tau = I \alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{M L^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ છે.

(A) જ્યારે સમઘનને $x$ જેટલા નાના સ્થાનાંતરથી નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = A \rho g x$ છે,જ્યાં $A = L^2$ એ સમઘનના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
સમઘન હલકો હોવાથી અને પાણીમાં તરતો હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -L^2 \rho g x$ થશે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -L^2 \rho g x$,જે આપણને $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{L^2 \rho g}{m}) x$ આપે છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{L^2 \rho g}{m}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{L^2 \rho g}}$ છે.
અહીં $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{(0.1)^2 \times 10^3 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{0.01 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{10^2}} = 2 \pi \sqrt{10^{-4}} = 2 \pi \times 10^{-2} \ s$.
આને $y \pi \times 10^{-2} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = 2$ મળે છે.

(A) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડો તેટલી જ ઝડપ $v = \sqrt{2gh}$ સાથે પાછો ફરે છે અને સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચે છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન (ઉપર અને નીચે) માટેનો કુલ આવર્તકાળ $T = 2t = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{2h}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $x$-અક્ષ પર અનુક્રમે $(-d, 0, 0)$ અને $(d, 0, 0)$ પર છે. દળ $m$ એ $xy$-સમતલમાં બિંદુ $R$ પર $(0, -h, 0)$ પર છે,જ્યાં $h = \sqrt{L^2 - d^2}$ છે.
જ્યારે દળને સમતલમાંથી થોડું બહારની તરફ ($z$-દિશામાં) $z$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે $P$ અને $Q$ થી દળનું નવું અંતર $L' = \sqrt{h^2 + z^2 + d^2} = \sqrt{L^2 + z^2}$ થાય છે.
દરેક દોરીમાં તણાવ $T = \frac{mg}{2 \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{h}{L'}$.
$z$-દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -2T \sin \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ દોરી અને $xy$-સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે,$\sin \phi = \frac{z}{L'}$.
આમ,$F = -2 \left( \frac{mg}{2(h/L')} \right) \left( \frac{z}{L'} \right) = -\frac{mgz}{h}$.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{h} = \frac{mg}{\sqrt{L^2 - d^2}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/\sqrt{L^2 - d^2}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{L^2 - d^2}}{g}}$ થાય.

(C) જ્યારે '$r$' ત્રિજ્યાનો એક નાનો દડો '$R$' ત્રિજ્યાની વક્ર સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે દડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર '$(R-r)$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
નાના દોલનો માટે,આ ગતિ '$L_{eff} = R-r$' અસરકારક લંબાઈ ધરાવતા સાદા લોલકને સમતુલ્ય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અસરકારક લંબાઈ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ મળે છે.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $\sqrt{\frac{R-r}{g}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) જ્યારે પ્રવાહીના સ્તંભને એક બાજુ '$y$' જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, ત્યારે બીજી બાજુ પ્રવાહીનું સ્તર '$y$' જેટલું ઊંચું જાય છે. આમ, બંને ભુજાઓમાં પ્રવાહીના સ્તર વચ્ચેનો કુલ તફાવત '$2y$' થાય છે.
આ વધારાના પ્રવાહી સ્તંભનું વજન પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(\text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$.
ચૂકવણી $F = Ma$ હોવાથી, જ્યાં '$M$' એ પ્રવાહીનું કુલ દળ છે, આપણને $Ma = -2Adgy$ મળે છે.
તેથી, પ્રવેગ $a = -(\frac{2Adg}{M})y$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 y$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$ મળે છે.
આવર્તકાળ '$T$' નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ થાય છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહીના સ્તંભને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બાજુઓમાં પ્રવાહીની સપાટીની ઊંચાઈમાં તફાવતને કારણે પુનઃસ્થાપક બળ ઉદભવે છે.
બંને બાજુઓ વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $2y$ થાય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $2y$ ઊંચાઈ ધરાવતા વધારાના પ્રવાહીના સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે: $F = -(A \cdot 2y \cdot \rho \cdot g)$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
પ્રવાહીના સ્તંભનું દળ $m = A \cdot L \cdot \rho$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$:
$A \cdot L \cdot \rho \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = -2y \cdot A \cdot \rho \cdot g$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -(\frac{2g}{L})y$
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y$ સાથે કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{2g}{L}$ મળે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $A = 4 \ cm$,સ્થાનાંતર $x = 3 \ cm$.
$S.H.M.$ માં વેગનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગનું સૂત્ર $a = \omega^2 x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગનું મૂલ્ય અને પ્રવેગનું મૂલ્ય સમાન છે: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3 \omega$.
$\sqrt{7} = 3 \omega$.
$\omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2 \pi}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{6 \pi}{\sqrt{7}} \ s$.

(A) રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,$x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ ની વચ્ચે છે,તેથી $x = \frac{A}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગ અને પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $v = a$.
સમીકરણોમાં કિંમત મૂકતા: $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા: $\omega \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2} = \omega^2 (\frac{A}{2})$.
$\omega \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2} \Rightarrow \omega \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
$\omega \frac{\sqrt{3}A}{2} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{\omega A}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\omega = \sqrt{3}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$ મળે છે.

(A) જ્યારે બ્લોકને ઉર્ધ્વ દિશામાં $x$ જેટલું નાનું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = - (A x \rho) g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = -kx$,જ્યાં $k = A \rho g$ એ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ છે.
આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$.

(B) આપેલ દળ $m = 0.04 \text{ kg}$ છે.
બળ-સ્થાનાંતરના આલેખ પરથી,બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ સાથે $F = -kx$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આલેખનો ઢાળ બળ અચળાંક $k$ આપે છે.
$k = |\frac{F}{x}| = |\frac{-8}{2}| = 4 \text{ N/m}$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{4}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.01}$
$T = 2 \pi \times 0.1$
$T = 0.2 \pi \text{ s}$.

(A) પુનઃસ્થાપક બળ $F$ હેઠળ દોલન કરતા પદાર્થ માટે,$F = kx$,જ્યાં $k = m\omega^2$.
આમ,$\omega^2 = \frac{F}{mx}$.
પ્રથમ બળ $F_1$ માટે,$\omega_1^2 = \frac{F_1}{mx}$.
બીજા બળ $F_2$ માટે,$\omega_2^2 = \frac{F_2}{mx}$.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે કાર્ય કરે છે,ત્યારે પરિણામી બળ $F_{res} = F_1 + F_2$ થાય છે.
પરિણામી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે,$\omega^2 = \frac{F_1 + F_2}{mx} = \frac{F_1}{mx} + \frac{F_2}{mx} = \omega_1^2 + \omega_2^2$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2 + \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2$.
$4\pi^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ મળે છે.
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
તેથી,$T = \sqrt{\frac{T_1^2 T_2^2}{T_1^2 + T_2^2}}$.

(B) જ્યારે ગોળાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાનું કેન્દ્ર $(R-r)$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ માર્ગના સ્પર્શક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
વક્રતા કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
$\tau = -mg(R-r) \sin \theta$
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau \approx -mg(R-r) \theta$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના રોટેશનલ એનાલોગનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $I$ એ $O$ માંથી પસાર થતી પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$O$ ની આસપાસ અસરકારક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + m(R-r)^2 = \frac{2}{5}mr^2 + m(R-r)^2$ છે.
જો કે,સરળ દોલન સમસ્યા માટે જ્યાં આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $F_{restoring} = -mg \sin \theta = m a_{cm}$.
કારણ કે $a_{cm} = (R-r) \alpha$,તેથી $m(R-r) \alpha = -mg \theta$.
$\alpha = -\left(\frac{g}{R-r}\right) \theta$.
આને $S$.$H$.$M$. ના સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R-r}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ છે.

(C) પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ હેઠળ $S.H.M.$ કરતા પદાર્થ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$.
આપેલ છે કે $F_1 = k_1 x$ અને $F_2 = k_2 x$,તેથી $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ અને $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ થાય.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$,તેથી $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$.
$k_1$ અને $k_2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$ મળે છે.
તેથી,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$.

(C) સિસ્ટમનું કુલ દળ $m = 6 \ g + 10 \ g = 16 \ g = 0.016 \ kg$ છે.
જ્યારે ટ્યુબને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \rho A x g$ છે,જ્યાં $\rho$ પાણીની ઘનતા $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2)$ અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળનો અચળાંક $k = \frac{F}{x} = \rho A g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \ N/m$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.016}{10}} = 2 \pi \sqrt{0.0016} = 2 \pi \times 0.04 = 0.08 \pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$T \approx 0.08 \times 3.14 \approx 0.25 \ s$ મળે છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $500 F + \pi^2 y = 0$.
$F = ma$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ: $500 ma + \pi^2 y = 0$.
$500 m$ વડે ભાગતા: $a + \left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y = 0$.
આમ, $a = -\left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y$ ... $(i)$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે, પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 y$ છે ... (ii).
$(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા, આપણને $\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 m}$ મળે છે.
$m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{\pi^2}{1} = \pi^2$.
તેથી, $\omega = \pi$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$ મળે છે.

(D) આપેલ દળ $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$.
સ્થિતિઊર્જા $U(x) = 50x^2 + 100 \ J$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx}(50x^2 + 100) = -100x$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
$ma = -100x \Rightarrow a = -\frac{100}{m}x$.
$m = 10^{-2} \ kg$ મૂકતા:
$a = -\frac{100}{10^{-2}}x = -10^4 x$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 10^4$ મળે છે.
$\omega = \sqrt{10^4} = 100 \ rad/s$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ s^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે શંકુની ઘનતા $\rho_C$ એ પાણીની ઘનતા $\rho_W$ કરતા અડધી છે,તેથી $\rho_C = \frac{1}{2} \rho_W$.
ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં પાણીમાં ડૂબેલા શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે. તરવા માટે,શંકુનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$\frac{1}{3} \pi R^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi r^2 h \rho_W$
કારણ કે $\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\frac{R}{H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $r = \frac{h}{\sqrt{3}}$ અને $R = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \pi (\frac{H}{\sqrt{3}})^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 h \rho_W$
$\frac{H^3}{3} \rho_C = \frac{h^3}{3} \rho_W \Rightarrow \frac{h^3}{H^3} = \frac{\rho_C}{\rho_W} = \frac{1}{2} \Rightarrow h = H (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$.
જ્યારે શંકુને થોડા અંતર $\delta$ નીચે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \pi r^2 \rho_W g \delta$ થાય છે.
પુનઃસ્થાપક બળનો અચળાંક $k = \pi r^2 \rho_W g$ છે.
શંકુનું દળ $M = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi (\frac{H}{\sqrt{3}})^2 H (\frac{1}{2} \rho_W) = \frac{1}{18} \pi H^3 \rho_W$.
સરળ આવર્ત ગતિની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ છે.
$k = \pi (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 \rho_W g = \frac{\pi h^2 \rho_W g}{3} = \frac{\pi H^2 (1/2)^{2/3} \rho_W g}{3}$.
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi H^2 (1/2)^{2/3} \rho_W g / 3}{\pi H^3 \rho_W / 18}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 g (1/2)^{2/3}}{H}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 g}{H} \frac{1}{4^{1/3}}}$.

(A) પ્રવાહી સ્તંભનું દળ $M = 9 \text{ kg}$ છે.
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho = 900 \text{ kg/m}^3$ છે.
ટ્યુબનો આંતરિક વ્યાસ $D = 2 \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ થાય.
ટ્યુબનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\sqrt{\frac{\pi}{5}}\right)^2 = \frac{\pi^2}{5} \text{ m}^2$ છે.
પ્રવાહી સ્તંભની કુલ લંબાઈ $L$ એ $M = \rho A L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 = 900 \times \frac{\pi^2}{5} \times L$.
$9 = 180 \pi^2 L \implies L = \frac{9}{180 \pi^2} = \frac{1}{20 \pi^2} \text{ m}$.
$U$-ટ્યુબ માટે,દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ છે.
$L = \frac{1}{20 \pi^2}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1 / (20 \pi^2)}{2 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{400 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{2}{20} = 0.1 \text{ s}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $F = -kx$ બળ હેઠળ $SHM$ કરે ત્યારે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
$F = kx$ હોવાથી,$k = \frac{F}{x}$ મળે,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $T^2 \propto \frac{1}{F}$,અથવા $F \propto \frac{1}{T^2}$.
ધારો કે $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ અને $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,ત્યારે પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 + F_2$ થાય.
નવો આવર્તકાળ $T$ માટે $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$.
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$.

(B) સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = A(1 - \cos px)$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx}$ છે.
$F = -\frac{d}{dx} [A(1 - \cos px)] = -A(p \sin px) = -Ap \sin px$.
નાના દોલનો માટે,$x$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\sin px \approx px$ લઈ શકાય.
તેથી,$F \approx -Ap(px) = -Ap^2 x$.
આને પુનઃસ્થાપક બળના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = Ap^2$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{Ap^2}{m}} = p \sqrt{\frac{A}{m}}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{Ap^2}}$ થાય છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$\rho A h g = M g$
જ્યાં $h$ એ ડૂબેલી ઊંડાઈ છે.
જ્યારે બ્લોકને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = \rho A x g$ છે.
આ બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\rho A x g$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$M a = -\rho A x g$,જે પ્રવેગ $a = -\left(\frac{\rho A g}{M}\right) x$ આપે છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{\rho A g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) તકતી ભૌતિક લોલક તરીકે દોલનો કરે છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પીવટ પોઈન્ટ સુધીનું અંતર છે.
ધાર $A$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પીવટ પોઈન્ટ $A$ સુધીનું અંતર $d = R$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.