Different types of oscillations (Free, Damped, Forced Oscillation and Resonance) Questions in Gujarati

(B) અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે બાહ્ય પ્રેરક બળની આવૃત્તિ સિસ્ટમની કુદરતી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે.
અલગ-અલગ મૂળભૂત આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે વાયોલિનના તાર માટે,એક તારના કંપનો બીજા તારની કુદરતી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતા નથી.
તેમની આવૃત્તિઓ અલગ હોવાથી,બે તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) સમય સાથે સતત બદલાતો રહેશે.
તેથી,તેઓ અનુનાદ માટે જરૂરી શરત જાળવી શકતા નથી.

(N/A) અનુનાદ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં જ્યારે કોઈ બાહ્ય આવર્તક બળ અથવા કંપન કરતી સિસ્ટમની આવૃત્તિ,બીજી સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,ત્યારે તે સિસ્ટમ મોટા કંપનવિસ્તાર સાથે દોલનો કરવા લાગે છે.
ઉદાહરણ: હિંચકા પર બેઠેલા બાળકનો વિચાર કરો. હિંચકાની એક ચોક્કસ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ હોય છે. જો બાળક (અથવા હિંચકો નાખનાર વ્યક્તિ) નિયમિત અંતરે એવી રીતે બળ લગાડે કે જેથી ધક્કા મારવાની આવૃત્તિ હિંચકાની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય,તો હિંચકાના દોલનોનો કંપનવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે. આ યાંત્રિક અનુનાદનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે.

(N/A) જ્યારે વાહનની ઝડપ વધે છે,ત્યારે ખરબચડા રસ્તાની સપાટી પરથી મળતા આવર્તિત આંચકાઓની આવૃત્તિ વધે છે.
જ્યારે આ આવૃત્તિ વાહનની સસ્પેન્શન સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે સમાન થાય છે,ત્યારે અનુનાદ (resonance) ની ઘટના સર્જાય છે.
અનુનાદને કારણે,દોલનોનો કંપવિસ્તાર ખૂબ જ વધી જાય છે,જેના કારણે વાહન નોંધપાત્ર રીતે ઉછળે છે.

(D) અવમંદિત દોલનોમાં,અવમંદન બળ (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધ) ની હાજરીને કારણે દોલકનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
સરળ આવર્ત દોલક માટે,ફેઝ સ્પેસ ટ્રેજેક્ટરી (વેગ $v$ વિરુદ્ધ સ્થાન $x$) એક લંબગોળ હોય છે.
જોકે,અવમંદિત દોલનોમાં,કંપવિસ્તાર $A$ સમય સાથે ઘટતો હોવાથી,ગતિપથ પોતાની જાતે બંધ થતો નથી.
તેના બદલે,જેમ જેમ સિસ્ટમની ઉર્જા વ્યય થાય છે,તેમ તેમ ગતિપથ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરફ અંદરની તરફ સર્પાકાર (spiral) આકારે વળે છે.
તેથી,અવમંદિત દોલનો માટે વેગ અને સ્થાન વચ્ચેનો આલેખ સર્પાકાર હોય છે.

(C) અવમંદિત દોલનોમાં,ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધ જેવા ક્ષયકારી બળોને કારણે તંત્ર સમય જતાં ઉર્જા ગુમાવે છે. પરિણામે,દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે સતત ઘટતો જાય છે. ફેઝ સ્પેસ ટ્રેજેક્ટરી,જે વેગ $(V)$ અને સ્થાન $(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,તે સરળ આવર્ત ગતિ માટે લંબગોળ હોય છે. જોકે,અવમંદિત દોલનોમાં કંપવિસ્તારમાં સતત ઘટાડો થવાને કારણે,જેમ તંત્ર અંતે સ્થિર થાય છે તેમ તેનો માર્ગ ઉગમબિંદુ $(x=0, V=0)$ તરફ સર્પાકાર રીતે અંદરની તરફ જાય છે. તેથી,સાચો આલેખ ઉગમબિંદુ તરફ જતો સર્પાકાર છે.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $t$ સમયે $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $E(t) = \frac{E_0}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-bt/m}$.
બંને બાજુ $E_0$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{2} = e^{-bt/m}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -bt/m$.
કારણ કે $\ln(1/2) = -\ln 2$, તેથી $-\ln 2 = -bt/m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{m}{b} \ln 2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, વિકલ્પ $D$ એ સાચો જવાબ ગણવામાં આવે છે.

(A) અવમંદિત આવર્ત ગતિ માટે,$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થાય,એટલે કે $A = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$.
આથી $\frac{1}{2} = e^{-\frac{bt}{2m}}$,અથવા $2 = e^{\frac{bt}{2m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln 2 = \frac{bt}{2m}$.
$t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{2m}{b} \ln 2$.
અહીં $m = 500 \, g$,$b = 20 \, g/s$,અને $\ln 2 = 0.693$ આપેલ છે:
$t = \frac{2 \times 500}{20} \times 0.693 = 50 \times 0.693 = 34.65 \, s$.

(D) ડેમ્પિંગ દોલકનો કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $A_0 = 12 \, cm$, $A(t) = 6 \, cm$, $m = 1 \, kg$, $t = 2 \, \text{મિનિટ }= 120 \, s$.
કિંમતો મૂકતા: $6 = 12 e^{-(b / (2 \times 1)) \times 120}$.
$0.5 = e^{-60b}$, જેનો અર્થ છે કે $e^{60b} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $60b = \ln 2$.
આપેલ છે કે $\ln 2 = 0.693$, તેથી $60b = 0.693$.
$b = 0.693 / 60 = 0.01155 \, kg \, s^{-1}$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, $b \approx 1.16 \times 10^{-2} \, kg \, s^{-1}$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$
અહીં પદ $\left(\frac{b}{2m}\right)^2$ ધન હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\omega^{\prime} < \omega_0$.
જ્યાં $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ એ કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,અવમંદિત દોલનની આવૃત્તિ $f^{\prime}$ પણ કુદરતી આવૃત્તિ $f_0$ કરતા ઓછી હશે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
બળજબરીપૂર્વકના દોલનોમાં,તંત્ર પર એક બાહ્ય આવર્તક ચાલક બળ લગાડવામાં આવે છે.
ભલે તંત્રની પોતાની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ હોય,પરંતુ બાહ્ય ચાલક બળ તંત્રને સ્થાયી અવસ્થામાં લાગુ કરેલા બળની આવૃત્તિ પર દોલન કરવા માટે મજબૂર કરે છે.
તેથી,કણ ચાલક બળની આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.

(A) અવમંદિત દોલકનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $t = 1 \, s$ સમયે,કંપવિસ્તાર $A = \frac{A_0}{2}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-b(1)}$.
આથી $e^{-b} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,આપણે $t = 2 \, s$ સમયે કંપવિસ્તાર શોધવો છે.
$A(2) = A_0 e^{-b(2)} = A_0 (e^{-b})^2$.
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $A(2) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{A_0}{4}$.

(A) બળજબરીપૂર્વકના દોલનોમાં,તંત્ર પર એક બાહ્ય આવર્તક બળ લગાડવામાં આવે છે.
શરૂઆતની અસ્થાયી અસરો દૂર થયા પછી,તંત્ર બાહ્ય ચાલક બળની આવૃત્તિ સાથે દોલનો કરે છે.
તેથી,કણ ચાલક બળની આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.

(D) અવમંદિત આવર્ત ગતિમાં,ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધ જેવા વિસર્પી બળોને કારણે દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
આકૃતિ $(i)$ સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે જેમાં દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય જતાં ઘટે છે,જે અવમંદિત આવર્ત ગતિનું લાક્ષણિક વર્તન છે.
આકૃતિ $(iv)$ કંપવિસ્તાર-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે જેમાં કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,જે અવમંદિત આવર્ત ગતિમાં કંપવિસ્તારનો ઘટાડો પણ દર્શાવે છે.
તેથી,આકૃતિ $(i)$ અને આકૃતિ $(iv)$ બંને અવમંદિત આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટેનું સમીકરણ $x(t) = A e^{-bt/2m} \cos(\omega' t + \delta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે,$b$ એ અવમંદન અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે,$\omega'$ એ અવમંદિત કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\delta$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
અવમંદન દરમિયાન,કંપવિસ્તાર $A e^{-bt/2m}$ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
અવમંદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ એ કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ કરતા અલગ હોય છે,અને આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ પણ બદલાય છે.
પ્રારંભિક કળા $\delta$ એ પ્રારંભિક શરતો (સમય $t = 0$ પર સ્થાન અને વેગ) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને અવમંદન પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લીધા વિના તે અચળ રહે છે.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ પર,$A(2) = \frac{1}{3} A_0$.
તેથી,$\frac{1}{3} A_0 = A_0 e^{-b(2)/2m} \implies e^{-b/m} = \frac{1}{3}$.
આપણે $t = 6 \ s$ પર કંપવિસ્તાર શોધવો છે,જે $A(6) = A_0 e^{-b(6)/2m} = A_0 (e^{-b/m})^3$ છે.
$e^{-b/m}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{27}\right)$ મળે છે.
આને $A(6) = \frac{1}{n} A_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 27$ મળે છે.

(C) અવમંદિત આવર્ત દોલક માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ છે.
પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ અને અવમંદન અચળાંક $r = \frac{b}{2m}$ લેતા,અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - r^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$

(B) ડેમ્પ્ડ $SHM$ માં,ડેમ્પિંગ બળ $F_d$ એ ઓસિલેટરના વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $F_d = -bv$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે.
તેથી,ડેમ્પિંગ અચળાંક $b = \frac{F_d}{v}$ થાય.
બળ $F_d$ નો $SI$ એકમ $Newton$ $(N)$ અથવા $kg \cdot m/s^2$ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m/s$ છે.
આમ,ડેમ્પિંગ અચળાંક $b$ નો $SI$ એકમ $\frac{kg \cdot m/s^2}{m/s} = kg/s$ થાય.
તેથી,ડેમ્પિંગ અચળાંકનો $SI$ એકમ $kg/s$ છે.

(A) અવમંદિત દોલક માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2 x}{d t^2} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.
અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ છે. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
અવમંદિત દોલકનું સ્થાનાંતર $x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega^{\prime}t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને વિકલ્પ $A$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વિકલ્પ $A$ માં ઘાતાંક $-\frac{b}{m}$ છે,જ્યારે તે $-\frac{b}{2m}$ હોવો જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
અવમંદિત દોલકની ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-\frac{b}{m}t} = \frac{1}{2} k A^2 e^{-\frac{b}{m}t}$ મુજબ ઘટે છે. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,$t$ સમયે કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર છે અને $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,$A_1 = A_0 e^{-2b} \implies \frac{A_1}{A_0} = e^{-2b}$.
$t = 4 \ s$ સમયે,$A_2 = A_0 e^{-4b} \implies \frac{A_2}{A_0} = e^{-4b}$.
આપણે $e^{-4b} = (e^{-2b})^2$ લખી શકીએ છીએ.
$e^{-2b}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{A_2}{A_0} = \left(\frac{A_1}{A_0}\right)^2$.
$\frac{A_2}{A_0} = \frac{A_1^2}{A_0^2}$.
$A_2 = \frac{A_1^2}{A_0}$.
$A_1^2 = A_0 A_2 \implies A_1 = \sqrt{A_0 A_2}$.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t$ સમયે $A(t) = 0.25 A_0 = \frac{A_0}{4}$,તેથી:
$\frac{A_0}{4} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}} \implies \frac{1}{4} = e^{-\frac{bt}{2m}} \implies 4 = e^{\frac{bt}{2m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(4) = \frac{bt}{2m} \implies 2\ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{4m \ln(2)}{b} \quad ... (1)$
ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-\frac{bt}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t'$ સમયે $E(t') = 0.5 E_0 = \frac{E_0}{2}$,તેથી:
$\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-\frac{bt'}{m}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\frac{bt'}{m}} \implies 2 = e^{\frac{bt'}{m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(2) = \frac{bt'}{m} \implies t' = \frac{m \ln(2)}{b} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{t'}{t} = \frac{m \ln(2) / b}{4m \ln(2) / b} = \frac{1}{4} \implies t' = \frac{t}{4}$.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,$E = E_0/2$.
તેથી,$E_0/2 = E_0 e^{-4b/m} \Rightarrow e^{-4b/m} = 1/2 \Rightarrow e^{4b/m} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$4b/m = \ln 2$,તેથી $b/m = (\ln 2)/4$.
સમય $T = 4 + t$ પર,ઉર્જા $12.5 \% E_0 = (1/8) E_0$ છે.
તેથી,$E_0/8 = E_0 e^{-b(4+t)/m} \Rightarrow e^{-b(4+t)/m} = 1/8 \Rightarrow e^{b(4+t)/m} = 8 = 2^3$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$b(4+t)/m = 3 \ln 2$.
$b/m = (\ln 2)/4$ મૂકતા,આપણને $[(\ln 2)/4] \times (4+t) = 3 \ln 2$ મળે છે.
$\ln 2$ વડે ભાગતા,$(4+t)/4 = 3 \Rightarrow 4+t = 12 \Rightarrow t = 8 \ s$ મળે છે.

(C) ડૅમ્પિંગ ફોર્સ $F_d$ એ સંબંધ $F_d = -bv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ ડૅમ્પિંગ અચળાંક છે અને $v$ એ ઓસિલેટરનો વેગ છે.
ઋણ નિશાનીને કારણે,ડૅમ્પિંગ ફોર્સ હંમેશા પદાર્થના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,એવું વિધાન કે ડૅમ્પિંગ ફોર્સ વેગની દિશામાં કાર્ય કરે છે તે ખોટું છે.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = e^{-0.1 t} \cos(10 \pi t + \varphi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-0.1 t}$ મળે છે,જ્યાં $A_0 = 1$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થાય,એટલે કે $A(t) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમતને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-0.1 t}$.
બંને બાજુ $A_0$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} = e^{-0.1 t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(0.5) = -0.1 t$.
કારણ કે $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,તેથી: $-0.693 = -0.1 t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \ s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$t \approx 7 \ s$ મળે છે.

(D) હાર્મોનિક ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેના કંપનવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કંપનવિસ્તારમાં થતા નાના ફેરફાર માટે,ઉર્જામાં થતો આંશિક ફેરફાર વિકલન દ્વારા મળે છે:
$\frac{dE}{E} = \frac{d(A^2)}{A^2} = \frac{2A dA}{A^2} = 2 \frac{dA}{A}$.
આપેલ છે કે કંપનવિસ્તાર $1.5 \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{dA}{A} = 1.5 \%$.
આ કિંમતને ઉર્જામાં થતા આંશિક ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dE}{E} = 2 \times 1.5 \% = 3 \%$.
આમ,દરેક ચક્રમાં ગુમાવેલી યાંત્રિક ઉર્જા $3 \%$ છે.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 5 \,s$ સમયે, $A(5) = 0.9 A_0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.9 A_0 = A_0 e^{-5\alpha}$, જેનો અર્થ છે કે $e^{-5\alpha} = 0.9$.
આપણે બીજા $20 \,s$ પછીનો કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે, એટલે કે કુલ સમય $t_2 = 5 \,s + 20 \,s = 25 \,s$ પર.
ધારો કે $t_2 = 25 \,s$ પર કંપવિસ્તાર $A'$ છે.
$A' = A_0 e^{-25\alpha} = A_0 (e^{-5\alpha})^5$.
$e^{-5\alpha} = 0.9$ મૂકતા:
$A' = A_0 (0.9)^5 = A_0 \times 0.59049$.
આમ, કંપવિસ્તાર તેના મૂળ કંપવિસ્તારના આશરે $0.59$ ગણો થઈ જશે.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેશનમાં,$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = a_0 e^{-bt}$
જ્યાં $a_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $1$ મિનિટમાં ($t = 1$ મિનિટ) કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે:
$\frac{a_0}{2} = a_0 e^{-b(1)}$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$
આપણે $3$ મિનિટ પછી ($t = 3$ મિનિટ) કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે,જે $\frac{a_0}{x}$ તરીકે આપેલ છે:
$\frac{a_0}{x} = a_0 e^{-b(3)}$
$\frac{1}{x} = (e^{-b})^3$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{x} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
તેથી,$x = 8$.

(B) અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે $A(t) = A_0 e^{-\alpha t}$ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $\alpha = \frac{b}{2m}$ છે。
આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થાય છે, તેથી $A(t) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\alpha t} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-\alpha t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.5) = -\alpha t \Rightarrow -\ln 2 = -\alpha t \Rightarrow \ln 2 = \alpha t$.
અહીં $b = 69.3 \,g \,s^{-1}$ અને $m = 100 \,g$ આપેલ છે。
$\alpha = \frac{b}{2m} = \frac{69.3}{2 \times 100} = \frac{69.3}{200} = 0.3465 \,s^{-1}$.
$\ln 2 = 0.693$ આપેલ છે, તેથી $0.693 = 0.3465 \times t$.
સમય $t = \frac{0.693}{0.3465} = 2 \,s$ મળે છે.

(B) આપેલ આકૃતિ મુજબ,લોલક $A$ અને $C$ ની લંબાઈ સમાન છે.
સામાન્ય લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી આવર્તકાળ $T$ ફક્ત લંબાઈ $l$ પર આધાર રાખે છે ($g$ અચળ છે તેમ ધારતા).
તેથી,લોલક $A$ અને $C$ ની દોલનની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન છે.
જ્યારે લોલક $A$ ને ગતિમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થિતિસ્થાપક આધાર માટે ડ્રાઈવર તરીકે કાર્ય કરે છે,જે બદલામાં અન્ય લોલકોને ગતિ આપે છે.
અનુનાદના સિદ્ધાંતને કારણે,જે લોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ ડ્રાઈવિંગ આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે તે મહત્તમ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરશે.
$A$ અને $C$ ની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન હોવાથી,લોલક $C$ મહત્તમ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરશે.

(B) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 12 \ s$ પર,$A(t_1) = 0.5 A_0$.
તેથી,$0.5 A_0 = A_0 e^{-b(12)/2m}$,જે સૂચવે છે કે $e^{-6b/m} = 0.5$.
આપણે $t_2 = 36 \ s$ પર $A_0$ ના ટકાવારી તરીકે કંપવિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે.
$A(36) = A_0 e^{-b(36)/2m} = A_0 (e^{-6b/m})^3$.
$e^{-6b/m} = 0.5$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને મળે છે $A(36) = A_0 (0.5)^3 = A_0 (0.125) = 12.5 \% A_0$.
આમ,$x = 12.5$.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A_0 e^{-bt} \cos(\omega' t + \Phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt}$ એ $t$ સમયે કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = \exp(-0.2 t) \cos(3.2 t + \Phi)$ પરથી,$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A_0 = 1$ છે.
$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = e^{-0.2 t}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક કંપવિસ્તારના $\frac{1}{e^{1.2}}$ ગણો થાય.
તેથી,$A(t) = \frac{1}{e^{1.2}} \times A_0 = e^{-1.2} \times 1 = e^{-1.2}$.
કંપવિસ્તાર માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $e^{-0.2 t} = e^{-1.2}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $-0.2 t = -1.2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{1.2}{0.2} = 6 \ s$.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-kt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{b}{2m}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ સમયે,$A(2) = \frac{A_0}{e}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_0}{e} = A_0 e^{-k(2)} \Rightarrow e^{-1} = e^{-2k} \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = 0.5 \ s^{-1}$.
આપણે પછીની બે સેકન્ડ પછી,એટલે કે $t = 4 \ s$ સમયે કંપવિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે.
$A(4) = A_0 e^{-k(4)} = A_0 e^{-0.5 \times 4} = A_0 e^{-2} = \frac{A_0}{e^2}$.

(B) જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ પર બાહ્ય આવર્તક બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રણોદિત દોલનો અનુભવે છે.
આ પ્રણોદિત દોલનોનો કંપવિસ્તાર બાહ્ય બળની આવૃત્તિ $\omega_d$ અને સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ જેમ બાહ્ય આવૃત્તિ $\omega_d$ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ દોલનોનો કંપવિસ્તાર વધે છે.
જ્યારે $\omega_d = \omega$ થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં પહોંચે છે,જ્યાં દોલનોનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે.
તેથી,મહત્તમ કંપવિસ્તાર માટેની શરત $\omega_d = \omega$ છે.

(B) અનુનાદ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં જ્યારે બાહ્ય રીતે લાગુ પાડવામાં આવેલા આવર્તક બળની આવૃત્તિ સિસ્ટમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,ત્યારે દોલનોનો કંપવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
બળજબરીપૂર્વકના દોલન તંત્રમાં,અનુનાદ વક્રની તીક્ષ્ણતા સિસ્ટમમાં હાજર અવમંદન (damping) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અનુનાદની તીક્ષ્ણતા એ અવમંદન ગુણાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે અવમંદન બળ નાનું હોય છે,ત્યારે પ્રતિ ચક્ર ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ હોય છે,જે ખૂબ જ તીક્ષ્ણ અને ઉચ્ચ કંપવિસ્તાર ધરાવતા અનુનાદ શિખર તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt / 2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,$E \propto A^2$.
તેથી,$E(t) = E_0 e^{-bt / m}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $E(t) = E_0 / 4$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 / 4 = E_0 e^{-bt / m}$.
આનું સાદું રૂપ $1/4 = e^{-bt / m}$ અથવા $2^{-2} = e^{-bt / m}$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-2 \ln 2 = -bt / m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (2m \ln 2) / b$.
અહીં $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$b = 70 \text{ g/s} = 0.07 \text{ kg/s}$,અને $\ln 2 = 0.7$ આપેલ છે.
$t = (2 \times 0.2 \times 0.7) / 0.07 = 0.28 / 0.07 = 4 \text{ s}$.

(C) અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $n = 100$ દોલનો પછી,કંપવિસ્તાર $A_0/e$ થાય છે,તેથી $e^{-(b/2m)T \cdot n} = e^{-1}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આમ,$\frac{b}{2m} T \cdot n = 1$. કારણ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$,આપણને $\frac{b}{2m} \cdot \frac{2\pi}{\omega} \cdot 100 = 1$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $\frac{b}{2m\omega} = \frac{1}{200\pi}$.
અવમંદિત આવૃત્તિ $\omega^{\prime} = \omega \sqrt{1 - \frac{b^2}{4m^2\omega^2}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1-x)^{1/2} \approx 1 - x/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega^{\prime} \approx \omega \left(1 - \frac{b^2}{8m^2\omega^2}\right)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{b^2}{8m^2\omega^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2m\omega}\right)^2$.
મૂલ્ય મૂકતા,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{200\pi}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40000\pi^2} = \frac{1}{80000\pi^2}$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{1}{80000\pi^2} \times 100 = \frac{1}{800\pi^2} \%$.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 10 \ s$ સમયે,$A(t) = A_0/2$.
તેથી,$A_0/2 = A_0 e^{-b(10)/2m} \implies 1/2 = e^{-5b/m} \implies \ln(2) = 5b/m$.
ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = \frac{1}{2} k A(t)^2 = \frac{1}{2} k A_0^2 e^{-bt/m} = E_0 e^{-bt/m}$ છે.
આપણે તે સમય $t'$ શોધવો છે જેના માટે $E(t') = E_0/2$ થાય.
તેથી,$E_0/2 = E_0 e^{-bt'/m} \implies 1/2 = e^{-bt'/m} \implies \ln(2) = bt'/m$.
$\ln(2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $5b/m = bt'/m \implies t' = 5 \ s$.

(D) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કોઈપણ સમયે $t$ કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ $t=0$ સમયે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
$t_1$ સમયે,કંપવિસ્તાર $A_1 = A_0 e^{-bt_1/2m}$ છે. તેથી,$e^{-bt_1/2m} = \frac{A_1}{A_0}$.
$t_2$ સમયે,કંપવિસ્તાર $A_2 = A_0 e^{-bt_2/2m}$ છે. તેથી,$e^{-bt_2/2m} = \frac{A_2}{A_0}$.
આપણે $t = t_1 + t_2$ સમયે કંપવિસ્તાર $A$ શોધવો છે,જે $A(t_1+t_2) = A_0 e^{-b(t_1+t_2)/2m}$ છે.
આને $A(t_1+t_2) = A_0 (e^{-bt_1/2m}) (e^{-bt_2/2m})$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઘાતાંકીય પદો માટેના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $A(t_1+t_2) = A_0 \left(\frac{A_1}{A_0}\right) \left(\frac{A_2}{A_0}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $A(t_1+t_2) = \frac{A_1 A_2}{A_0}$ મળે છે.

(C) સમય $t$ પર ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમય $t$ પર,$A(t) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-bt}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-bt} = \frac{1}{2}$.
ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto A^2$.
તેથી,સમય $t$ પર ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-2bt}$ છે,જ્યાં $E_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે.
$e^{-bt} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $E(t) = E_0 (e^{-bt})^2 = E_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{E_0}{4}$.
યાંત્રિક ઉર્જામાં ઘટાડો $\Delta E = E_0 - E(t) = E_0 - \frac{E_0}{4} = \frac{3E_0}{4}$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો = $\frac{\Delta E}{E_0} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$.