Different types of oscillations (Free, Damped, Forced Oscillation and Resonance) Questions in Gujarati

(D) બળજબરીપૂર્વકના દોલનોમાં,અનુનાદ સમયે દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + b^2\omega^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
જ્યારે અવમંદન બળ નાનું હોય (એટલે કે $b$ નાનું હોય),ત્યારે અનુનાદ સમયે છેદ ખૂબ જ નાનો બને છે (જ્યાં $\omega \approx \omega_0$),જેના પરિણામે કંપવિસ્તાર ખૂબ મોટો મળે છે.
વધુમાં,અનુનાદ વક્રની તીક્ષ્ણતા એ અવમંદનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. નાનું અવમંદન બળ વધુ સાંકડો અને ઊંચો અનુનાદ શિખર આપે છે,જે અનુનાદ વક્રને વધુ તીક્ષ્ણ બનાવે છે.

(B) જ્યારે દોલનનો કંપવિસ્તાર અનંત $(A \to \infty)$ થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
કંપવિસ્તાર માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $A = \frac{c}{a + b - c}$.
$A$ અનંત બને તે માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$a + b - c = 0$.
જો આપણે $b = 0$ લઈએ,તો શરત $a - c = 0$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
તેથી,અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે $b = 0$ અને $a = c$ હોય.

(B) અવમંદિત દોલક માટે,કંપવિસ્તાર $A = \frac{F/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (b\omega/m)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે છેદ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે,જે $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2(b/2m)^2}$ પર થાય છે. તેથી,$\omega_1 \neq \omega_0$.
દોલકની ઉર્જા કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે શોષાયેલી પાવર સાથે પણ સંબંધિત છે. કણની ઉર્જા વેગ અનુનાદ આવૃત્તિ પર મહત્તમ હોય છે,જે $\omega_2 = \omega_0$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\omega_1 \neq \omega_0$ અને $\omega_2 = \omega_0$ છે.

(A) વાસ્તવિક વાતાવરણમાં દોલન કરતું સાદું લોલક અવરોધક બળોનો અનુભવ કરે છે,જે મુખ્યત્વે હવાનો અવરોધ (અથવા હવાનું ઘર્ષણ) છે.
આ અવરોધક બળો ગોળાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આના કારણે સિસ્ટમની યાંત્રિક ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય પામે છે,જેના પરિણામે અવમંદિત દોલનો (damped oscillations) થાય છે.
જેમ જેમ સમય જતાં દોલનનો કંપવિસ્તાર ઘટતો જાય છે,તેમ લોલક અંતે સ્થિર થઈ જાય છે.

(C) હવામાં દોલન કરતું સાદું લોલક હવાના અવરોધ (અવમંદન બળ) નો અનુભવ કરે છે.
અવમંદન બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે સમય જતાં દોલકની ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ ધીમે ધીમે ઘટે છે.
અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - b^2/4m^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે. જેમ અવમંદન થાય છે,તેમ અસરકારક આવૃત્તિ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
તેથી,જેમ સમય પસાર થાય છે,$T$ વધે છે અને $A$ ઘટે છે.

(A) અનુનાદ માટે,કંપવિસ્તાર $a_m$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે છેદ $f(\omega) = a\omega^2 - b\omega + c$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય.
એકલ અનુનાદિત આવૃત્તિ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $a\omega^2 - b\omega + c = 0$ ને $\omega$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વિવેચક (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ શૂન્ય હોય.
તેથી,એકલ અનુનાદિત આવૃત્તિ માટેની શરત $b^2 = 4ac$ છે.

(B) બળપૂર્વકના દોલનો (forced oscillation) માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos \omega t$ છે.
$x = x_0 \cos \omega t$ લેતા,આપણને $-m \omega^2 x_0 + k x_0 = F_0$ મળે છે.
પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ હોવાથી,$k = m \omega_0^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$m x_0 (\omega_0^2 - \omega^2) = F_0$ મળે છે.
આમ,કંપવિસ્તાર $x_0 = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ થાય.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $\frac{1}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર સમીકરણ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે,$\lambda$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે અને $t$ એ સમય છે.
આપેલ છે કે $t = 1 \text{ મિનિટ}$ પર,કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે:
$\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\lambda(1)}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda} \Rightarrow e^{\lambda} = 2$.
હવે,$t = 3 \text{ મિનિટ}$ માટે,કંપવિસ્તાર $A$ છે:
$A = A_0 e^{-\lambda(3)} = A_0 (e^{-\lambda})^3 = A_0 \left(\frac{1}{e^{\lambda}}\right)^3$
$e^{\lambda} = 2$ મૂકતા:
$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{A_0}{2^3}$.
આને $\frac{A_0}{X}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 2^3$ મળે છે.

(A) મંદિત લોલક માટે ગતિનું સમીકરણ $I \alpha = -mg \ell \theta - b' v \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b'$ એ મંદન અચળાંક છે. ગોળાકાર પદાર્થ માટે,ડ્રેગ ફોર્સ $F_d = -bv$ છે. કોણીય સ્થાનાંતર $\theta(t) = \theta_0 e^{-(b/2m)t} \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ છે કે કંપનવિસ્તાર $A(t) = \theta_0 e^{-(b/2m)t}$ મુજબ ઘટે છે,આપણે સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને તે સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જ્યારે કંપનવિસ્તાર પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર $\theta_0$ ના $1/e$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$\theta_0/e = \theta_0 e^{-(b/2m)\tau}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 = (b/2m)\tau$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ પ્રમાણસરતા અચળાંક $b$ એ એકમ દળ દીઠ મંદન પરિબળ (જેને ઘણીવાર $b/m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) સૂચવે છે તેમ ધારીએ તો,સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 2/b$ થાય છે.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 5 \ s$ પર,$A = 0.9 A_0$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.9 A_0 = A_0 e^{-b(5)/2m} \implies e^{-5b/2m} = 0.9$.
આપણે બીજા $10 \ s$ પછીનો કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ સમય $t = 5 + 10 = 15 \ s$ પર.
$A(15) = A_0 e^{-b(15)/2m} = A_0 (e^{-5b/2m})^3$.
$e^{-5b/2m} = 0.9$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(15) = A_0 (0.9)^3 = A_0 (0.729)$.
આમ,$\alpha = 0.729$.

(A) $1$. અવમંદન અચળાંક $b$ ની ગણતરી: બળ $F = bv$ હોવાથી,$b = F/v = 120/1 = 120 \ kg/s$.
$2$. અવમંદન પેરામીટર $r$ ની ગણતરી: $r = b / (2m) = 120 / (2 \times 700) = 120 / 1400 = 6/70 \approx 0.0857 \ s^{-1}$.
$3$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ની ગણતરી: $F = kx$ પરથી,$k = 450 / 2 = 225 \ N/m$.
$4$. કુદરતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ ની ગણતરી: $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{225/700} = \sqrt{9/28} \approx 0.5669 \ rad/s$.
$5$. અવમંદિત $SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ ની ગણતરી: $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - r^2} = \sqrt{225/700 - (6/70)^2} = \sqrt{22500/70000 - 36/4900} = \sqrt{225/700 - 36/4900} = \sqrt{(1575 - 36)/4900} = \sqrt{1539}/70 \approx 39.23 / 70 \approx 0.56 \ rad/s$.

(C) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $3 \ s$ માં કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે:
$A(3) = A_0 e^{-3b} = \frac{A_0}{2}$
$e^{-3b} = \frac{1}{2} \quad \dots (i)$
આગળની $6 \ s$ માં,કુલ સમય $3 \ s + 6 \ s = 9 \ s$ થાય છે. $t = 9 \ s$ સમયે કંપવિસ્તાર:
$A(9) = A_0 e^{-9b} = A_0 (e^{-3b})^3$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(9) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = A_0 \left(\frac{1}{8}\right)$
કંપવિસ્તાર પ્રારંભિક કંપવિસ્તારના $1/x$ ગણો થાય છે,તેથી $1/x = 1/8$,જેનો અર્થ છે કે $x = 8 = 2^3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે લોલક પાણી જેવા માધ્યમમાં દોલન કરે છે,ત્યારે તે માધ્યમની સ્નિગ્ધતાને કારણે અવમંદન બળ અનુભવે છે. આ અવમંદન બળને કારણે દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે કંપવિસ્તાર $A$ એ $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ મુજબ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,તેથી કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ પણ $E(t) = E_0 e^{-2\gamma t}$ સંબંધ મુજબ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. આ ઘાતાંકીય ઘટાડો એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ સમય વધે છે તેમ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આકૃતિ $C$ સમય સાથે ઉર્જાનો આ ઘાતાંકીય ઘટાડો યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ટર્મિનલ વેગ પર,ડ્રેગ ફોર્સ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $mg = bv_{t}$.
આપેલ છે $m = 3 \ kg$,$v_{t} = 25 \ m/s$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$3 \times 10 = b \times 25$,તેથી $b = \frac{30}{25} = 1.2 \ kg/s$.
અવમંદન અચળાંક $\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{1.2}{2 \times 3} = 0.2 \ s^{-1}$.
અવમંદિત $SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
$\omega_0 = \sqrt{\frac{300}{3}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
$\omega' = \sqrt{10^2 - (0.2)^2} = \sqrt{100 - 0.04} = \sqrt{99.96}$.
દ્વિપદી અંદાજ $\sqrt{x^2 - a} \approx x - \frac{a}{2x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega' \approx 10 - \frac{0.04}{20} = 10 - 0.002 = 9.998 \ rad/s$.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપનવિસ્તાર $\tau = \frac{2m}{b}$ સમય અચળાંક સાથે ઘટે છે.
આપેલ છે કે બંને સિસ્ટમ સમાન ક્ષય સમય ધરાવે છે,તેથી $\tau_A = \tau_B$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2m_A}{b_A} = \frac{2m_B}{b_B}$.
કારણ કે $m_A = 2m_B$,આપણે આ કિંમત મૂકતા $\frac{2(2m_B)}{b_A} = \frac{2m_B}{b_B}$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $b_A = 2b_B$ મળે છે.

(C) જ્યારે લોલક પાણી જેવા માધ્યમમાં દોલન કરે છે,ત્યારે તે તેના વેગના પ્રમાણમાં અવરોધક બળ (અવમંદન બળ) અનુભવે છે. આનાથી અવમંદિત દોલનો થાય છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર અવમંદિત દોલકની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = E_0 e^{-\gamma t}$,જ્યાં $E_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે અને $\gamma$ એ અવમંદન અચળાંક છે. આ સમીકરણ સમય સાથે ઉર્જાનો ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ સમય $t$ વધવાની સાથે ઉર્જા $E$ માં ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે તે આલેખ $C$ છે.

(D) અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\frac{K}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T = \frac{\pi}{12} \ s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/12} = 24 \ rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં $K = 1250 \ N/m$,$m = 2 \ kg$,અને $\omega' = 24 \ rad/s$ ની કિંમતો મૂકતા:
$24 = \sqrt{\frac{1250}{2} - \frac{b^2}{4(2^2)}}$
$24 = \sqrt{625 - \frac{b^2}{16}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$576 = 625 - \frac{b^2}{16}$
$\frac{b^2}{16} = 625 - 576 = 49$
$b^2 = 49 \times 16 = 784$
$b = \sqrt{784} = 28 \ kg/s$.

(B) અવમંદિત દોલનોમાં,કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,જે $a = a_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે અને $t$ એ સમય છે.
ધારો કે $T$ એ એક દોલનનો સમયગાળો છે. $n$ દોલનો પછી,વીતેલો સમય $t = nT$ છે.
શરૂઆતમાં,$100$ દોલનો પછી,કંપવિસ્તાર $a = \frac{a_0}{3}$ છે.
તેથી,$\frac{a_0}{3} = a_0 e^{-b(100T)}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-100bT} = \frac{1}{3}$.
$200$ દોલનો પછી,વીતેલો સમય $t = 200T$ છે.
નવો કંપવિસ્તાર $a'$ એ $a' = a_0 e^{-b(200T)}$ થશે.
આને $a' = a_0 (e^{-100bT})^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રથમ પગલામાંથી કિંમત મૂકતા: $a' = a_0 (\frac{1}{3})^2 = \frac{a_0}{9}$.
આમ,કંપવિસ્તાર પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{9}$ જેટલો થાય છે.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,$t$ સમયે યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટે છે,તેથી $E(t) = E_0 / 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 / 2 = E_0 e^{-bt/m}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1/2 = e^{-bt/m}$,અથવા $2 = e^{bt/m}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(2) = bt/m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (m/b) \ln(2)$.
અહીં $m = 0.1\, kg$ અને $b = 10^{-2}\, kg\,s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $m/b = 0.1 / 10^{-2} = 10\, s$.
આમ,$t = 10 \times \ln(2) \approx 10 \times 0.693 = 6.93\, s$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી નજીકનું મૂલ્ય $7\, s$ છે.

(C) બળયુક્ત આવર્ત દોલક માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + m \omega^2 x = F(t)$ છે.
અહીં $\omega = 2 \, rad \, s^{-1}$ અને $F(t) = \sin(t)$ આપેલ છે,તેથી $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = \frac{1}{m} \sin(t)$.
પ્રમાણસરતા માટે $m = 1$ લેતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x_p = A \sin(t)$ સ્વરૂપમાં મળે.
વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $-A \sin(t) + 4A \sin(t) = \sin(t) \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = 1/3$.
પ્રારંભિક શરતો $x(0) = 0$ અને $v(0) = 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા,સામાન્ય ઉકેલ $x(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$ છે.
$x(0) = 0$ મૂકતા $c_1 = 0$ મળે છે.
$v(0) = 0$ મૂકતા $v(t) = 2c_2 \cos(2t) + \frac{1}{3} \cos(t) \Rightarrow 2c_2 + 1/3 = 0 \Rightarrow c_2 = -1/6$.
આમ,$x(t) = \frac{1}{3} \sin(t) - \frac{1}{6} \sin(2t) = \frac{1}{3} (\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$.
તેથી,સ્થાન $\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t)$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) અવમંદિત દોલકની $t$ સમયે ઉર્જાનું સૂત્ર $E(t) = E_0 e^{-\gamma t}$ છે,જ્યાં $\gamma = \frac{b}{m}$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક ઉર્જા $E_0 = 45\, J$ અને અંતિમ ઉર્જા $E = 15\, J$ છે.
$T = 1\, s$ ના આવર્તકાળ સાથે $15$ દોલનો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 15 \times T = 15 \times 1 = 15\, s$ થાય.
કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $15 = 45 e^{-\gamma (15)}$.
$45$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{3} = e^{-15\gamma}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/3) = -15\gamma$.
$-\ln 3 = -15\gamma$.
તેથી,$\gamma = \frac{1}{15} \ln 3\, s^{-1}$.

(C) અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે. સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$b = 6\pi \eta r$,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
હવા માટે: $8 = 10 e^{-(b_{air}/2m) \cdot 40} \implies 0.8 = e^{-(b_{air}/2m) \cdot 40}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.8) = -(b_{air}/2m) \cdot 40 \implies \ln(4/5) = -(b_{air}/2m) \cdot 40 \implies \ln(5/4) = (b_{air}/2m) \cdot 40$.
તેથી,$(b_{air}/2m) = \frac{\ln(1.25)}{40} = \frac{0.223}{40} = 0.005575 \ s^{-1}$.
આપેલ છે કે $\frac{\eta_{air}}{\eta_{CO_2}} = 1.3$,તેથી $b_{CO_2} = \frac{b_{air}}{1.3}$.
આમ,$(b_{CO_2}/2m) = \frac{b_{air}}{1.3 \cdot 2m} = \frac{0.005575}{1.3} \approx 0.004288 \ s^{-1}$.
$CO_2$ માટે: $5 = 10 e^{-(b_{CO_2}/2m) \cdot t} \implies 0.5 = e^{-(0.004288)t}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.5) = -0.004288 \cdot t \implies -0.693 = -0.004288 \cdot t$.
$t = \frac{0.693}{0.004288} \approx 161.6 \ s$.
તેથી,સમય આશરે $161 \ s$ ની નજીક છે.

(A) અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{r^2}{4m^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{4mk}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1-x)^n \approx 1-nx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega \approx \omega_0 (1 - \frac{r^2}{8mk})$ મળે છે.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T \approx T_0 (1 - \frac{r^2}{8mk})^{-1} \approx T_0 (1 + \frac{r^2}{8mk})$ થાય.
સમયગાળામાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T_0} = \frac{T - T_0}{T_0} = \frac{r^2}{8mk}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{r^2}{mk} = 8\% = 0.08$,તેથી $\frac{\Delta T}{T_0} = \frac{0.08}{8} = 0.01 = 1\%$.
આ મૂલ્ય ધન હોવાથી,સમયગાળો $1\%$ વધે છે.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 5 \text{ Hz}$ છે,તેથી એક દોલનનો સમયગાળો $T = \frac{1}{f} = 0.2 \text{ s}$ છે.
$10$ દોલનો માટે લાગતો સમય $t_{10} = 10 \times 0.2 = 2 \text{ s}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,કંપવિસ્તાર અડધો થઈ જાય છે,તેથી $A(2) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\gamma(2)} \implies 2 = e^{2\gamma} \implies \gamma = \frac{\ln 2}{2}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $A(t) = \frac{A_0}{1000}$ થાય.
$\frac{A_0}{1000} = A_0 e^{-\gamma t} \implies 1000 = e^{\gamma t} \implies \ln(1000) = \gamma t$.
$3 \ln(10) = \left(\frac{\ln 2}{2}\right) t$.
$t = \frac{6 \ln(10)}{\ln 2} \approx \frac{6 \times 2.303}{0.693} \approx 19.94 \text{ s}$.
આમ,$t \approx 20 \text{ s}$.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = e^{-0.1t} \cos(10\pi t + \varphi)$ સાથે સરખાવતા,આપણે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-0.1t}$ તરીકે ઓળખીએ છીએ,જ્યાં $A_0 = 1$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાની જરૂર છે જ્યારે કંપવિસ્તાર $A(t)$ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય $A_0$ ના અડધા થાય.
$A(t) = \frac{A_0}{2}$ લેતા,આપણને $A_0 e^{-0.1t} = \frac{A_0}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $A_0$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{-0.1t} = \frac{1}{2}$ અથવા $e^{0.1t} = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $0.1t = \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0.1t = 0.693$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $t \approx 7 \, s$ મળે છે.

(B) ફોર્સ્ડ ઓસિલેટર માટે,એમ્પ્લિટ્યુડ $A$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે: $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_d^2)^2 + (b\omega_d)^2}}$,જ્યાં $F_0$ એ ડ્રાઇવિંગ ફોર્સનું એમ્પ્લિટ્યુડ છે,$m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કુદરતી ફ્રીક્વન્સી છે,$\omega_d$ એ ડ્રાઇવિંગ ફ્રીક્વન્સી છે અને $b$ એ ડેમ્પિંગ કોન્સ્ટન્ટ છે.
જ્યારે ડ્રાઇવિંગ ફ્રીક્વન્સી $\omega_d$ એ કુદરતી ફ્રીક્વન્સી $\omega$ ની નજીક હોય,ત્યારે પદ $(\omega^2 - \omega_d^2)$ ખૂબ નાનું થઈ જાય છે અને શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
આ સ્થિતિમાં,એમ્પ્લિટ્યુડ મુખ્યત્વે ડેમ્પિંગ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે: $A \approx \frac{F_0}{\sqrt{(b\omega_d)^2}} = \frac{F_0}{b\omega_d}$.
આમ,મહત્તમ શક્ય એમ્પ્લિટ્યુડ $\frac{F_0}{b\omega_d}$ છે.

(A) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર સમય $t$ પર $A(t) = A_0 e^{-\left(\frac{b}{2m}\right)t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 200 \, g = 0.2 \, kg$,$b = 40 \, g \, s^{-1} = 0.04 \, kg \, s^{-1}$.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $A(t) = \frac{A_0}{2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\left(\frac{0.04}{2 \times 0.2}\right)t}$.
$\frac{1}{2} = e^{-\left(\frac{0.04}{0.4}\right)t} = e^{-0.1t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.5) = -0.1t$.
$-0.693 = -0.1t$.
$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s \approx 7 \, s$.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \, s$ સમયે,કંપવિસ્તાર મૂળ કંપવિસ્તાર $A_0$ ના $1/3$ થાય છે:
$\frac{A_0}{3} = A_0 e^{-\frac{b(2)}{2m}}$
$\frac{1}{3} = e^{-\frac{b}{m}}$
હવે,આપણે $t = 6 \, s$ સમયે કંપવિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે:
$A(6) = A_0 e^{-\frac{b(6)}{2m}} = A_0 (e^{-\frac{b}{m}})^3$
$e^{-\frac{b}{m}} = 1/3$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(6) = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$
આપેલ છે કે $A(6) = \frac{A_0}{n}$,તેથી:
$\frac{A_0}{n} = \frac{A_0}{27}$
$n = 27 = 3^3$.

(D) ડેમ્પ્ડ ફોર્સ્ડ ઓસિલેટર માટે,કંપનવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + b^2\omega^2}}$ છે.
કંપનવિસ્તાર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે છેદ ન્યૂનતમ હોય,જે $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ પર થાય છે,જ્યાં $\gamma = \frac{b}{2m}$ છે.
ઓસિલેટરની ઉર્જા કંપનવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto A^2)$.
ઉર્જા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે કંપનવિસ્તાર મહત્તમ હોય,જે પાવર શોષણના સંદર્ભમાં $\omega_2 = \omega_0$ (કુદરતી આવૃત્તિ) પર થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $\omega_1 < \omega_0$.
તેથી,$\omega_1 < \omega_2$.

(B) અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ તંત્ર પર બાહ્ય આવર્તક બળ એવી રીતે લગાડવામાં આવે કે જેથી બાહ્ય બળની આવૃત્તિ તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતી હોય.
અનુનાદમાં બાહ્ય પ્રેરક બળનો સમાવેશ થતો હોવાથી,જે તંત્રને ચોક્કસ આવૃત્તિ પર દોલન કરવા માટે મજબૂર કરે છે,તે પ્રણોદિત દોલનનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.
તેથી,અનુનાદ એ પ્રણોદિત દોલનનું ઉદાહરણ છે.

(C) હવાના અવરોધ (ડૅમ્પિંગ) ને કારણે દોલન કરતા લોલકનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘટે છે. આને અવમંદિત દોલન કહેવામાં આવે છે.
જોકે,દોલન કરતા લોલકની આવૃત્તિ તેની લંબાઈ $L$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,જેનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
ગતિ દરમિયાન $g$ અને $L$ અચળ રહેતા હોવાથી,લોલકની આવૃત્તિ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) $Assertion$ સાચું છે. અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે બાહ્ય બળની આવૃત્તિ $(\omega)$ એ તંત્રની કુદરતી આવૃત્તિ $(\omega_{0})$ જેટલી હોય,જેના પરિણામે કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે.
$Reason$ ખોટું છે. બળપૂર્વકના દોલનનો કંપવિસ્તાર બાહ્ય બળની આવૃત્તિ વધવાથી સતત વધતો નથી. કંપવિસ્તાર અનુનાદ વક્રને અનુસરે છે; તે ત્યારે વધે છે જ્યારે બાહ્ય આવૃત્તિ કુદરતી આવૃત્તિની નજીક પહોંચે છે અને જ્યારે તે તેનાથી દૂર જાય છે ત્યારે ઘટે છે.
બળપૂર્વકના,અવમંદિત દોલક માટે કંપવિસ્તારનું સૂત્ર:
$A = \frac{F_{0} / m}{\sqrt{(\omega^{2} - \omega_{0}^{2})^{2} + (b \omega / m)^{2}}}$
જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે અને $\omega_{0} = \sqrt{k / m}$ એ કુદરતી આવૃત્તિ છે. જેમ $\omega$ એ $\omega_{0}$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ છેદની કિંમત ઘટે છે,જેના કારણે કંપવિસ્તાર $A$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

(N/A) આપેલ છે: $m = 200 \; g = 0.2 \; kg$,$k = 90 \; N m^{-1}$,$b = 40 \; g s^{-1} = 0.04 \; kg s^{-1}$.
આપણે હળવા ડેમ્પિંગ માટેની શરત તપાસીએ: $\sqrt{km} = \sqrt{90 \times 0.2} = \sqrt{18} \approx 4.243 \; kg s^{-1}$.
$b \ll \sqrt{km}$ હોવાથી,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{90}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{450}} = \frac{2\pi}{21.21} \approx 0.296 \; s \approx 0.3 \; s$.
$(b)$ કંપવિસ્તાર $A(t)$ એ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ મુજબ ઘટે છે. $A(t) = A_0/2$ માટે:
$\frac{1}{2} = e^{-bt/2m} \implies \ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{2m \ln(2)}{b}$.
$t = \frac{2 \times 0.2 \times 0.693}{0.04} = \frac{0.2772}{0.04} = 6.93 \; s$.
$(c)$ યાંત્રિક ઊર્જા $E(t)$ એ $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ મુજબ ઘટે છે. $E(t) = E_0/2$ માટે:
$\frac{1}{2} = e^{-bt/m} \implies \ln(2) = \frac{bt}{m} \implies t = \frac{m \ln(2)}{b}$.
$t = \frac{0.2 \times 0.693}{0.04} = \frac{0.1386}{0.04} = 3.465 \; s \approx 3.46 \; s$.

(A) કારનું દળ,$m = 3000 \; kg$.
સસ્પેન્શન સિસ્ટમમાં સ્થાનાંતર,$x = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
કારના દળને ટેકો આપવા માટે $4$ સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે.
પુનઃસ્થાપક બળ માટેનું સમીકરણ $F = 4kx = mg$ છે.
આમ,એક પૈડા માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{4x} = \frac{3000 \times 9.8}{4 \times 0.15} = 49000 \; N/m = 4.9 \times 10^4 \; N/m$.
એક પૈડા માટે,દળ $M = 750 \; kg$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{750}{49000}} \approx 0.778 \; s$.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $50 \%$ ઘટે છે,તેથી $A = A_0 e^{-bt/2M} = 0.5 A_0$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(2) = \frac{bt}{2M}$.
$b = \frac{2M \ln(2)}{T} = \frac{2 \times 750 \times 0.693}{0.778} \approx 1336.5 \; kg/s$.

(N/A) વાસ્તવિકતામાં સંપૂર્ણપણે શુદ્ધ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ શક્ય નથી કારણ કે તેના માટે ઘર્ષણ,હવાનો અવરોધ અને સ્નિગ્ધતા જેવા તમામ ક્ષયકારી બળોની ગેરહાજરી હોવી જરૂરી છે.
કોઈપણ ભૌતિક તંત્રમાં,આ ક્ષયકારી બળો હંમેશા હાજર હોય છે,જે સમય જતાં દોલિત તંત્રની ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.
આના કારણે અવમંદન (damping) થાય છે,જેમાં દોલનનો કંપવિસ્તાર ક્રમશઃ ઘટે છે અને અંતે તંત્ર સ્થિર થઈ જાય છે.
તેથી,$SHM$ એ એક આદર્શ સ્થિતિ છે,જ્યારે વાસ્તવિક દુનિયાના તંત્રો અવમંદિત આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ યાંત્રિક તંત્ર પર દોલન દરમિયાન કોઈ અવરોધક કે આંતરિક ઘર્ષણ બળ લાગતું ન હોય,ત્યારે તેવા દોલનને શુદ્ધ સરળ આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે.
આવા દોલન એક આદર્શ પરિસ્થિતિ છે. વ્યવહારમાં તે મેળવવું અશક્ય છે કારણ કે કોઈપણ યાંત્રિક તંત્ર કોઈ માધ્યમમાં (જેમ કે હવા અથવા પ્રવાહી) દોલન કરે છે,જે અનિવાર્યપણે હવાના અવરોધ અથવા શ્યાનતા જેવા અવરોધક બળો ઉત્પન્ન કરે છે. આ ઉપરાંત,તંત્રના ઘટકોમાં આંતરિક ઘર્ષણ હંમેશા હાજર હોય છે. આ બળો ઉર્જાનો વ્યય કરે છે,જેના કારણે દોલનોનું અવમંદન (damping) થાય છે. તેથી,વ્યવહારમાં શુદ્ધ સરળ આવર્ત ગતિ શક્ય નથી.

(N/A) અવમંદિત દોલનો: જે દોલનોમાં દોલકનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘટતો જાય,તેવા દોલનોને અવમંદિત દોલનો કહે છે.
હવામાં દોલન કરતા સાદા લોલકની ગતિ અંતે અટકી જાય છે કારણ કે હવાનો અવરોધ અને આધાર પરનું ઘર્ષણ લોલકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ અવરોધક બળોને કારણે દોલિત તંત્રની યાંત્રિક ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે,જેથી યાંત્રિક ઉર્જા ઘટે છે. સંબંધ $E = \frac{1}{2} k A^2$ મુજબ,કંપવિસ્તાર $A$ ક્રમશઃ ઘટે છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા સમજૂતી:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$m$ દળના બ્લોકને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડીને શિરોલંબ દિશામાં દોલન કરાવતા વિચારો. જો બ્લોકને નીચે ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો તે $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે શિરોલંબ સમતલમાં દોલન કરે છે.
વ્યવહારમાં,આસપાસનું માધ્યમ (દા.ત. હવા) બ્લોકની ગતિ પર અવમંદન બળ લગાડે છે,જેનાથી બ્લોક-સ્પ્રિંગ તંત્રની યાંત્રિક ઉર્જા ઘટે છે. આ ઉર્જાનો વ્યય આસપાસના માધ્યમ અને બ્લોકમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે થાય છે. અવમંદન બળ માધ્યમના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે; જો બ્લોકને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,તો અવમંદન ઘણું વધારે હોય છે અને ઉર્જાનો વ્યય ઝડપી થાય છે. અવમંદન બળ સામાન્ય રીતે બ્લોકના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) પ્રવાહી માધ્યમમાં દોલક પર લાગતું અવરોધક બળ દોલકના વેગ પર આધાર રાખે છે.
વ્યવહારમાં,ખૂબ મોટા વેગ ન હોય ત્યારે,અવરોધક બળ દોલકના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore F_{d} \propto -v$
$\therefore F_{d} = -bv$ ... $(1)$
જ્યાં $b$ એ ધન અચળાંક છે જેને અવમંદન અચળાંક કહે છે.
તે માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે સ્નિગ્ધતા) અને બ્લોકના કદ અને આકાર પર આધાર રાખે છે.
અવમંદન અચળાંકનો એકમ $N \cdot s/m$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-1}]$ છે.
જ્યારે દોલક મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતર ધરાવે છે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ $(F_{s})$ એ $F_{s} = -kx$ છે ... $(2)$
આમ,કોઈપણ સમયે $t$ પર દળ પર લાગતું કુલ બળ:
$F = F_{s} + F_{d}$
$\therefore F = -kx - bv$ ... $(3)$
જો $a(t)$ એ $t$ સમયે દળનો પ્રવેગ હોય,તો ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma(t)$.
સમીકરણ $(3)$ માં કિંમત મૂકતા:
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b \frac{dx}{dt}$
$\therefore m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ ... $(4)$
આ અવમંદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ છે.
સમીકરણ $(4)$ નો ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$x(t) = A e^{-\frac{bt}{2m}} \cos(\omega' t + \phi)$ ... $(5)$
જ્યાં $A e^{-\frac{bt}{2m}}$ એ સમય પર આધારિત કંપવિસ્તાર છે અને $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ એ અવમંદિત દોલકની કોણીય આવૃત્તિ છે.

(N/A) સરળ આવર્ત દોલક $(SHO)$ ની યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવમંદિત દોલક માટે,સમય $t$ પર કંપવિસ્તાર $A(t) = A e^{-\frac{b t}{2 m}}$ છે.
આ કંપવિસ્તારને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,સમય $t$ પર અવમંદિત દોલકની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E(t) = \frac{1}{2} k \left(A e^{-\frac{b t}{2 m}}\right)^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} e^{-\frac{b t}{m}}$.
આમ,યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહેતી નથી પરંતુ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
આ સમીકરણ નાના અવમંદન માટે સાચું છે જ્યાં $b \ll \sqrt{k m}$,જેનો અર્થ છે કે પરિમાણરહિત ગુણોત્તર $\frac{b}{\sqrt{k m}} \ll 1$ છે.
જો $b = 0$ હોય,તો આ સમીકરણ અવમંદન રહિત દોલકની ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ માં પરિણમે છે.

(N/A) અવમંદિત દોલનો એવા દોલનો છે જેમાં ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધ જેવા વિસર્પી બળોની હાજરીને કારણે દોલન કરતી સિસ્ટમનો કંપવિસ્તાર સમય જતાં ઘટે છે.
આદર્શ સિસ્ટમમાં,દોલક અચળ કંપવિસ્તાર સાથે અનંતકાળ સુધી દોલન કરવાનું ચાલુ રાખે છે. જો કે,વાસ્તવિક દુનિયાની સિસ્ટમોમાં,ઉર્જા ગરમી અથવા અવાજ તરીકે આસપાસના વાતાવરણમાં વ્યય થાય છે.
અવમંદિત હાર્મોનિક દોલક માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$b$ એ અવમંદન અચળાંક છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આ વિસર્પી બળોના પરિણામે,સિસ્ટમની યાંત્રિક ઉર્જા ધીમે ધીમે ઘટે છે,જે અંતે ગતિના અટકવા તરફ દોરી જાય છે.

(A) જ્યારે દોલક માધ્યમમાં ઓછા વેગથી ગતિ કરતું હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું અવમંદન બળ $F_d$ એ દોલકના વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F_d = -bv$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
તેથી,અવમંદન બળ દોલકના વેગ પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે.

(N/A) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવમંદિત દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને તે $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે,$b$ એ અવમંદન અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $t$ એ સમય છે.
અવમંદિત દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.

(A) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - (b/2m)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_0$ એ કુદરતી આવૃત્તિ છે,$b$ એ ડેમ્પિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ દળ છે.
જ્યારે ડેમ્પિંગ ખૂબ જ ભારે (ઓવરડેમ્પ્ડ) હોય,ત્યારે $(b/2m)^2$ પદ $\omega_0^2$ કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું બને છે.
ભારે ડેમ્પિંગના કિસ્સામાં,સિસ્ટમ બિલકુલ દોલન કરતી નથી; તે સંતુલન સ્થિતિને ઓળંગ્યા વિના પાછી ફરે છે.
તેથી,દોલનની આવૃત્તિ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(A) અવમંદિત હાર્મોનિક દોલક માટે,કોઈપણ સમય $t$ પર કંપવિસ્તાર $A$ નું સમીકરણ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે,$b$ એ અવમંદન અચળાંક છે,$m$ એ દોલકનું દળ છે અને $t$ એ વીતેલો સમય છે.
આપેલ સમય $t = 2m$ ને પ્રમાણિત અવમંદન સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = A_0 e^{-b(2m)/2m}$
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$2m$ પદો ઉડી જાય છે:
$A = A_0 e^{-b}$
જોકે,આપેલા વિકલ્પો જોતા,પ્રશ્ન એવા સામાન્ય સ્વરૂપ વિશે પૂછે છે જ્યાં ઘાતાંકમાં $t$ ની જગ્યાએ $2m$ હોય. પ્રમાણિત સૂત્ર $A = A_0 e^{-bt/2m}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ એ અવમંદિત કંપવિસ્તારના સૂત્રનું સાચું નિરૂપણ છે.

(N/A) પ્રાકૃતિક દોલન: જ્યારે કોઈ દોલકને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સહેજ વિચલિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે. કોઈપણ પ્રકારના અવરોધક બળની ગેરહાજરીમાં તેના દ્વારા કરવામાં આવતા દોલનોને પ્રાકૃતિક દોલનો કહેવામાં આવે છે.
પ્રાકૃતિક દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{0}$ છે અને આવૃત્તિ $f_{0}$ છે.
મુક્ત દોલન: જ્યારે કોઈ તંત્રને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે. આ દોલનોને મુક્ત દોલનો કહેવામાં આવે છે.
મુક્ત દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે.
પ્રણોદિત (બાહ્ય) દોલનો: કોઈ બાહ્ય આવર્તક બળની અસર હેઠળ તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવતા દોલનોને પ્રણોદિત દોલનો કહેવામાં આવે છે.
પ્રણોદિત દોલનની કોણીય આવૃત્તિને $\omega_{d}$ કહેવામાં આવે છે. તે બાહ્ય બળની કોણીય આવૃત્તિ છે.
વ્યવહારમાં દોલનો હંમેશા કોઈ માધ્યમમાં થાય છે,તેથી તંત્ર પર હંમેશા કોઈ પ્રકારનું અવમંદન બળ કાર્યરત હોય છે અને અંતે સમય જતાં દોલનો બંધ થઈ જાય છે. તેથી દોલનોને જાળવી રાખવા માટે બાહ્ય આવર્તક બળની જરૂર પડે છે.
ઉદાહરણ: જ્યારે બગીચામાં હિંચકા પર બેઠેલું બાળક સમયાંતરે તેના પગ જમીન પર પછાડે છે.

(N/A) તંત્રમાં દોલનો જાળવી રાખવા માટે,બાહ્ય આવર્તક બળ લાગુ કરવામાં આવે છે,જે નીચે મુજબ છે:
$F(t) = F_{0} \cos \omega_{d} t$
જ્યાં $F_{0}$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega_{d}$ એ ડ્રાઇવિંગ ફોર્સની કોણીય આવૃત્તિ છે.
દોલક પર ત્રણ બળો કાર્ય કરે છે:
$(1)$ પુનઃસ્થાપક બળ: $F_{r} = -k x(t)$
$(2)$ અવરોધક (ડેમ્પિંગ) બળ: $F_{s} = -b v(t) = -b \frac{dx}{dt}$
$(3)$ બાહ્ય આવર્તક બળ: $F_{d} = F_{0} \cos \omega_{d} t$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = ma(t) = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ છે.
તેથી,$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{r} + F_{s} + F_{d}$
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx - b \frac{dx}{dt} + F_{0} \cos \omega_{d} t$
પદોને ગોઠવતા,આપણને બળપૂર્વકના દોલનનું વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_{0} \cos \omega_{d} t$
દળ $m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = \frac{F_{0}}{m} \cos \omega_{d} t$

(N/A) નાના અવમંદન માટે,બળપ્રેરિત દોલકનો કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_d^2)^2 + (\omega_d b)^2}}$.
જ્યારે ડ્રાઇવિંગ આવૃત્તિ $\omega_d$ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega$ થી ઘણી દૂર હોય,જેથી $\omega_d b << m|\omega^2 - \omega_d^2|$ થાય,ત્યારે છેદમાં $(\omega_d b)^2$ પદને અવગણી શકાય છે.
આમ,કંપવિસ્તારનું સૂત્ર $A \approx \frac{F_0}{m|\omega^2 - \omega_d^2|}$ બને છે.
આ સ્થિતિમાં,કંપવિસ્તાર મુખ્યત્વે અવમંદન અચળાંક $b$ ને બદલે તંત્રની જડત્વ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક પર આધાર રાખે છે. જેમ $\omega_d$ એ $\omega$ થી દૂર જાય છે,તેમ કંપવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.
જ્યારે $\omega_d = \omega$ હોય,ત્યારે કંપવિસ્તાર માત્ર અવમંદન પદ દ્વારા મર્યાદિત રહે છે,$A = \frac{F_0}{\omega_d b}$. જો $b = 0$ હોય,તો અનુનાદ સમયે કંપવિસ્તાર અનંત બને છે. જેમ અવમંદન $b$ વધે છે,તેમ મહત્તમ કંપવિસ્તાર ઘટે છે અને તે થોડું સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(N/A) બળપ્રેરિત દોલકનો કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \frac{F_{0}}{\left[m^{2}(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + (\omega b)^{2}\right]^{1/2}}$
જ્યાં $F_{0}$ એ ડ્રાઇવિંગ બળનો કંપવિસ્તાર છે,$m$ એ દળ છે,$\omega_{0}$ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ છે,$\omega$ એ ડ્રાઇવિંગ આવૃત્તિ છે અને $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
જ્યારે ડ્રાઇવિંગ આવૃત્તિ $\omega$ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $\omega_{0}$ ની ખૂબ નજીક હોય,ત્યારે પદ $m^{2}(\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2}$ એ $(\omega b)^{2}$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું બની જાય છે.
આ સ્થિતિમાં,કંપવિસ્તાર આશરે $A \approx \frac{F_{0}}{\omega b}$ જેટલો થાય છે.
અવમંદન અચળાંક $b$ શૂન્ય ન હોવાથી,કંપવિસ્તાર સીમિત રહે છે અને અનંત સુધી પહોંચતો નથી.
અનુનાદ: જ્યારે બાહ્ય બળની ડ્રાઇવિંગ આવૃત્તિ દોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિની નજીક હોય ત્યારે દોલનનો કંપવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,આ ઘટનાને અનુનાદ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સામાન્ય દોરી પર લટકાવેલા વિવિધ લંબાઈના પાંચ સાદા લોલકોનો સેટ ધ્યાનમાં લો.
લોલક-$1$ અને $4$ સમાન લંબાઈના છે અને બાકીના લોલકોની લંબાઈ અલગ-અલગ છે. ધારો કે આપણે લોલક-$1$ ને ગતિમાં લાવીએ છીએ. આ લોલકમાંથી ઉર્જા જોડાણ કરતી દોરી દ્વારા અન્ય લોલકોમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે અને તેઓ દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે.
લોલક-$2$,$3$ અને $5$ શરૂઆતમાં તેમની પોતાની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ અને અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે,પરંતુ આ ગતિ ધીમે ધીમે અવમંદિત (damped) થાય છે અને ટકી શકતી નથી. તેમની દોલન આવૃત્તિઓ ધીમે ધીમે બદલાય છે અને અંતે તેઓ લોલક-$1$ ની આવૃત્તિ (ચાલક બળની આવૃત્તિ) સાથે દોલન કરે છે,પરંતુ અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે.
લોલક-$4$ આ અન્ય લોલકોથી વિપરીત વર્તે છે. તેની લંબાઈ લોલક-$1$ જેટલી જ હોવાથી,તેની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ પણ સમાન હોય છે. તે લોલક-$1$ ની સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે અને તેનો કંપવિસ્તાર ધીમે ધીમે વધે છે અને ખૂબ મોટો થઈ જાય છે. આ ઘટનાને અનુનાદ (resonance) કહેવાય છે.
સામાન્ય રીતે,એક તંત્રને ઘણી પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ હોઈ શકે છે,ઉદાહરણ તરીકે,કંપન કરતી દોરીઓ,હવાનો સ્તંભ વગેરે.

(N/A) જ્યારે બાહ્ય આવર્તક બળની આવૃત્તિ તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,ત્યારે અનુનાદ થાય છે,જેના પરિણામે દોલનોના કંપવિસ્તારમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
અનુનાદના ઉદાહરણો:
$(1)$ લટકતા પુલ પર કૂચ કરતા સૈનિકોને તેમના ડગલાં તોડવાની (તાલ તોડવાની) સલાહ આપવામાં આવે છે. જો તેમના કૂચ કરવાની આવૃત્તિ પુલની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય,તો અનુનાદ થાય છે,જેના કારણે પુલના કંપનોનો કંપવિસ્તાર ખૂબ વધી જાય છે,જે પુલને તોડી શકે છે.
$(2)$ પુલની ડિઝાઇન કરતી વખતે,એન્જિનિયરો એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે પુલની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ પવનના ઝાપટાં દ્વારા લાગતા બાહ્ય બળની આવૃત્તિ સાથે મેળ ન ખાય. જો આ આવૃત્તિઓ સમાન થઈ જાય,તો પરિણામી અનુનાદ માળખાકીય નિષ્ફળતાનું કારણ બની શકે છે.
$(3)$ ભૂકંપ દરમિયાન,અલગ-અલગ ઊંચાઈની ઇમારતો ભૂકંપના મોજાં સામે અલગ રીતે પ્રતિભાવ આપે છે. મધ્યમ ઊંચાઈના માળખાં ઘણીવાર નુકસાન માટે વધુ સંવેદનશીલ હોય છે કારણ કે તેમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ ભૂકંપના મોજાંની આવૃત્તિઓની નજીક હોય છે,જેના કારણે અનુનાદ થાય છે,જ્યારે નીચી અને ખૂબ ઊંચી ઇમારતોની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ ભૂકંપના મોજાંની આવૃત્તિઓ કરતા ઘણી અલગ હોય છે.