Variable Mass System and Rocket Problem Questions in Gujarati

(D) આપેલ પ્રવેગ $a = 19.6 \,m/s^2 = 2g$ (જ્યાં $g = 9.8 \,m/s^2$).
તબક્કો $1$: $t_1 = 5 \,s$ માટે એન્જિન ચાલુ હોય ત્યારે ગતિ.
$t_1 = 5 \,s$ પર પ્રાપ્ત થયેલ વેગ $v = u + at_1 = 0 + (19.6)(5) = 98 \,m/s$ છે.
આ તબક્કા દરમિયાન પ્રાપ્ત થયેલ ઊંચાઈ $h_1 = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2 = 0 + \frac{1}{2}(19.6)(5)^2 = 245 \,m$ છે.
તબક્કો $2$: એન્જિન બંધ થયા પછી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ.
રોકેટ $u_2 = 98 \,m/s$ ના પ્રારંભિક વેગ અને $a_2 = -g = -9.8 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,અંતિમ વેગ $v_2 = 0$ થાય છે.
$v_2^2 = u_2^2 + 2a_2h_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $0 = (98)^2 + 2(-9.8)h_2$.
$19.6h_2 = 9604 \Rightarrow h_2 = 490 \,m$.
કુલ ઊંચાઈ $H = h_1 + h_2 = 245 + 490 = 735 \,m$.

(B) રોકેટ પર લાગતું બળ એ ચલ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટેના થ્રસ્ટ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$.
આપેલ છે:
દળ બહાર ફેંકવાનો દર,$\frac{dm}{dt} = 0.05\, kg/s$.
વાયુનો વેગ,$v_{rel} = 400\, m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 400\, m/s \times 0.05\, kg/s = 20\, N$.
તેથી,રોકેટ પર લાગતું પ્રવેગક બળ $20\, N$ છે.

(B) સિસ્ટમ પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F$ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$
અહીં,$v_{rel} = 500 \,m/s$ એ કારની સાપેક્ષે ગોળીનો વેગ છે.
એક ગોળીનું દળ $m_b = 10 \,g = 0.01 \,kg$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n = 10 \,bullets/s$ છે.
તેથી,દળ ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt} = n \times m_b = 10 \times 0.01 \,kg/s = 0.1 \,kg/s$ થાય.
આ કિંમતોને થ્રસ્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 500 \,m/s \times 0.1 \,kg/s = 50 \,N$.
આમ,સિસ્ટમ પર લાગતું સરેરાશ બળ $50 \,N$ છે.

(D) ધારો કે $u$ એ કારની સાપેક્ષે ગોળીનો વેગ છે.
દળ ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt}$ એ મશીનગન દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ફેંકવામાં આવતું દળ છે.
$\frac{dm}{dt} = \text{એક ગોળીનું દળ} \times \text{પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા}$
$\frac{dm}{dt} = 10 \,g \times 10 \,bullets/s = 100 \,g/s = 0.1 \,kg/s$.
કાર પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F = u \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = 500 \,m/s \times 0.1 \,kg/s = 50 \,N$.
કારનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ કારનું દળ છે.
$a = \frac{50 \,N}{2000 \,kg} = \frac{1}{40} \,m/s^2 = 0.025 \,m/s^2$.

(A) પાણીના ફુવારા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ બ્લોક સાથે અથડાતા પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = v \cdot \frac{dm}{dt}$
અહીં,$v = 5 \, m/s$ અને $\frac{dm}{dt} = 1 \, kg/s$ આપેલ છે.
$F = 5 \times 1 = 5 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m = 2 \, kg$ એ બ્લોકનું દળ છે.
$a = \frac{F}{m} = \frac{5}{2} = 2.5 \, m/s^2$.
તેથી,બ્લોકનો પ્રારંભિક પ્રવેગ $2.5 \, m/s^2$ છે.

(A) જ્યારે દળ ઉમેરવામાં આવે ત્યારે કન્વેયર બેલ્ટનો વેગ અચળ રાખવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = v \left( \frac{dm}{dt} \right)$ છે.
અહીં,બેલ્ટનો વેગ $v = 2 \, m/s$ છે અને કાંકરા પડવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 0.5 \, kg/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 2 \, m/s \times 0.5 \, kg/s = 1 \, N$.
તેથી,બેલ્ટને અચળ ઝડપે ગતિશીલ રાખવા માટે $1 \, N$ ના વધારાના બળની જરૂર પડે છે.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાબળ $F$ એ સૂત્ર $F = v_e \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_e$ એ બહાર ફેંકાતા વાયુઓનો વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણ વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
$v_e = 5 \times 10^4\, m/s$
$\frac{dm}{dt} = 40\, kg/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (5 \times 10^4\, m/s) \times (40\, kg/s)$
$F = 200 \times 10^4\, N$
$F = 2 \times 10^6\, N$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) રોકેટ જ્યારે ઉડાન ભરે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું થ્રસ્ટ બળ $(F)$ અને નીચેની તરફ લાગતું વજન $(mg)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = F - mg = ma$ થાય.
તેથી,જરૂરી થ્રસ્ટ $F = m(g + a)$ છે.
આપેલ છે: $m = 20 \times 10^3 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $a = 4 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 20 \times 10^3 \times (10 + 4) = 20 \times 10^3 \times 14 = 280 \times 10^3 \, N = 28 \times 10^4 \, N$.

(A) રોકેટ પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = u \left( \frac{dm}{dt} \right)$
જ્યાં $u$ એ એક્ઝોસ્ટ વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણના દહનનો દર છે.
આપેલ છે:
$F = 210 \, N$
$u = 300 \, m/s$
$\frac{dm}{dt}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{F}{u}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{210}{300} = 0.7 \, kg/s$
તેથી,બળતણના દહનનો દર $0.7 \, kg/s$ છે.

(B) રોકેટને $a$ જેટલા ઉર્ધ્વ પ્રવેગ સાથે ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી ધક્કો (thrust) $F$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $F = v_{ex} \cdot \frac{dm}{dt} = m(g + a)$.
અહીં,$m = 5000\, kg$ એ રોકેટનું દળ છે,$g = 10\, m/s^2$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$a = 20\, m/s^2$ એ જરૂરી ઉર્ધ્વ પ્રવેગ છે,અને $v_{ex} = 800\, m/s$ એ વાયુના બહાર નીકળવાનો વેગ છે.
દળના ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{m(g + a)}{v_{ex}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{5000 \times (10 + 20)}{800}$
$\frac{dm}{dt} = \frac{5000 \times 30}{800} = \frac{150000}{800} = 187.5\, kg/s$.
આમ,દર સેકન્ડે બહાર ફેંકાતા વાયુનો જથ્થો $187.5\, kg/s$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ સિસ્ટમમાં દળ ઉમેરવામાં આવતું હોય ત્યારે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ છે.
અહીં,વેગ $v = 20 \, m/s$ છે.
દળ ઉમેરવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min = \frac{50}{60} \, kg/s = \frac{5}{6} \, kg/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 20 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} = 16.66 \, N$.
તેથી,જરૂરી વધારાનું બળ $16.66 \, N$ છે.

(B) વાયુઓના ઉત્સર્જનને કારણે રોકેટ પર લાગતું બળ $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વાયુઓની ઝડપ $v_{rel} = 500\,m/s$ છે.
દળ ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt} = 50\,g/s = 50 \times 10^{-3}\,kg/s = 0.05\,kg/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 500 \times 0.05 = 25\,N.$
તેથી,રોકેટ પર લાગતું પ્રવેગક બળ $25\,N$ છે.

(C) ઉપરની તરફ ગતિ કરતા રોકેટ માટે બળનું સમીકરણ: $F_{thrust} - mg = ma$
તેથી,પ્રારંભિક ધક્કો: $F_{thrust} = m(g + a)$
આપેલ છે:
દળ $m = 3.5 \times 10^4 \ kg$
પ્રવેગ $a = 10 \ m/s^2$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g \approx 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times (10 + 10)$
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times 20$
$F_{thrust} = 70 \times 10^4 \ N = 7.0 \times 10^5 \ N$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તકતીનું વજન પથ્થરો દ્વારા તકતી પર લાગતા સરેરાશ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
જ્યારે પથ્થર તકતી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે આઘાતી બળ લગાડે છે.
ધારો કે પથ્થરો તકતી સાથે અથડાઈને સ્થિર થઈ જાય છે,તો દર સેકન્ડે $n$ પથ્થરો દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = n \cdot \Delta p = n \cdot m \cdot v$
અહીં $n = 40\,s^{-1}$,$m = 0.05\,kg$,અને $v = 6\,m/s$ આપેલ છે:
$F = 40 \times 0.05 \times 6 = 12\,N$
તકતી સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ તકતીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ:
$F = Mg$
$12 = M \times 10$
$M = \frac{12}{10} = 1.2\,kg$

(C) ચલ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ ઉપગ્રહ પર લાગતું બળ $F = \frac{d}{dt}(Mv)$ છે.
અવકાશ બળ-મુક્ત હોવાથી,ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F = 0$ છે.
વિકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $F = M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે દળ વધવાનો દર $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ છે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$M \frac{dv}{dt} = -\alpha v^2$.
તેથી,પ્રતિપ્રવેગ (અથવા પ્રવેગ) $a = -\frac{\alpha v^2}{M}$ મળે છે.

(B) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ (thrust force) $F$ એ સૂત્ર $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{rel}$ એ બહાર નીકળતા વાયુઓનો સાપેક્ષ વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણ વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = 500 \, m/s$
બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 1 \, kg/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 500 \times 1 = 500 \, N$.
તેથી,રોકેટ પર લાગતું પ્રારંભિક ઉર્ધ્વબળ $500 \, N$ છે.

(A) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાબળ $F$ એ સૂત્ર $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{rel}$ એ રોકેટની સાપેક્ષમાં બહાર નીકળતા વાયુઓનો વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળના વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
$v_{rel} = 3000 \, m/s$
$\frac{dm}{dt} = 4 \, kg/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 3000 \times 4 = 12000 \, N$.
તેથી,રોકેટ પર લાગતું ધક્કાબળ $12000 \, N$ છે.

(C) રોકેટની ગતિ રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
જેમ જેમ બળતણ બળે છે,તેમ ગરમ વાયુઓ ખૂબ જ ઊંચા વેગ સાથે રોકેટની નોઝલમાંથી નીચેની દિશામાં બહાર ફેંકાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ વાયુઓ રોકેટ પર ઉપરની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે.
આ ઉપરનું બળ રોકેટને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઉપર ઉઠાવવા માટે જરૂરી ધક્કો (thrust) પૂરો પાડે છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ અનુસાર,રોકેટમાંથી બહાર ફેંકાતા વાયુઓ રોકેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જેને થ્રસ્ટ (thrust) કહેવામાં આવે છે.
આ થ્રસ્ટ રોકેટને ઉપરની તરફ ધકેલે છે,જે તેને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવામાં સક્ષમ બનાવે છે.
તેથી,રોકેટની ઉપરની ગતિ માટેનું સાચું કારણ તેના દ્વારા બહાર ફેંકાયેલા વાયુઓ દ્વારા રોકેટ પર લાગતું બળ છે.

(B) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ (thrust force) $F_{thrust} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v_{rel} = 400 \, m/s$ અને $\frac{dm}{dt} = 5 \, kg/s$ આપેલ છે,તેથી ધક્કાનું બળ $F_{thrust} = 400 \times 5 = 2000 \, N$ થાય.
રોકેટ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_{thrust} - mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = F_{thrust} - mg$,તેથી $a = \frac{F_{thrust}}{m} - g$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{2000}{100} - 10 = 20 - 10 = 10 \, m/s^2$.

(D) પ્લેટ પર લાગતું બળ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F = \frac{dp}{dt} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$.
પ્લેટની સાપેક્ષમાં પાણીના જેટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ પ્લેટ સુધી પહોંચતા પાણીનું દળ $\frac{dm}{dt} = \rho A v_{rel}$ છે,જ્યાં $A$ એ જેટનો આડછેદ વિસ્તાર છે.
જેટ $v_2$ ઝડપે પ્રતિ સેકન્ડ $V$ કદનું પાણી બહાર કાઢતું હોવાથી,વિસ્તાર $A = \frac{V}{v_2}$ થાય.
તેથી,$\frac{dm}{dt} = \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2)$.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = (v_1 + v_2) \times \left[ \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2) \right]$.
તેથી,$F = \rho \left[ \frac{V}{v_2} \right] (v_1 + v_2)^2$.

(C) રોકેટ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પર કાર્ય કરે છે.
જેમ જેમ બળતણ બળે છે,તેમ રોકેટ ગરમ વાયુઓને પાછળની દિશામાં ખૂબ ઊંચા વેગથી બહાર ફેંકે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ વાયુઓ રોકેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જે રોકેટને આગળ વધવા માટે જરૂરી ધક્કો (thrust) આપે છે.
બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં તંત્રનું કુલ વેગમાન (રોકેટ + વાયુઓ) અચળ રહેતું હોવાથી,રોકેટ બહાર ફેંકાતા વાયુઓના વેગમાન જેટલું જ વેગમાન આગળની દિશામાં પ્રાપ્ત કરે છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ $(COCM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v'$
$(5 \times 10^3) \times 1.2 = (5 \times 10^3 + 10^3) \times v'$
$6 \times 10^3 = 6 \times 10^3 \times v'$
$v' = 1 \ m/s$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_i)$:
$KE_i = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times (1.2)^2 = 0.5 \times 5000 \times 1.44 = 3600 \ J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE_f)$:
$KE_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v'^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^3) \times (1)^2 = 3000 \ J$
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta KE)$:
$\Delta KE = KE_i - KE_f = 3600 - 3000 = 600 \ J$

(A) જ્યારે ગતિશીલ સિસ્ટમમાં દળ ઉમેરવામાં આવે ત્યારે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ થ્રસ્ટ ફોર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v \frac{dm}{dt}$.
આપેલ છે:
વેગ $v = 20 \, m/s$.
દળ ઉમેરવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min = \frac{50}{60} \, kg/s = \frac{5}{6} \, kg/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 20 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} = 16.66 \, N$.
તેથી,જરૂરી બળ $16.66 \, N$ છે.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ $F$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $F = v \left( \frac{dm}{dt} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ વાયુનો વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણના વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
વાયુનો વેગ $v = 5 \times 10^4 \ m/s$
બળતણના વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 40 \ kg/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (5 \times 10^4 \ m/s) \times (40 \ kg/s)$
$F = 200 \times 10^4 \ N$
$F = 2 \times 10^6 \ N$
આમ,રોકેટ પર લાગતું બળ $2 \times 10^6 \ N$ છે.

(C) કન્વેયર બેલ્ટની ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ અચળ હોવાથી,બળ $F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)$ દ્વારા મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = v \frac{dm}{dt} + m \frac{dv}{dt}$.
અહીં વેગ $v$ અચળ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે દળ જમા થવાનો દર $\frac{dm}{dt} = M \ kg/s$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = v \cdot M + m \cdot 0 = Mv$.
તેથી,કન્વેયર બેલ્ટને $v \ m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી બળ $Mv \ N$ છે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર બરફના ટુકડાનું દળ $m(t) = m_0 - \mu t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી,ટુકડાનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે,વેગ $v$ અચળ રહે છે કારણ કે સમક્ષિતિજ દિશામાં ટુકડા પર કોઈ બળ લાગતું નથી $(F = \frac{dp}{dt} = 0)$.
જ્યારે $m(t) = 0$ થાય ત્યારે ટુકડો સંપૂર્ણપણે ઓગળી જાય છે,જે $T = \frac{m_0}{\mu}$ સમયે થાય છે.
કાપેલું અંતર $d$ એ વેગ અને સમયનો ગુણાકાર છે: $d = v \times T$.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = v \times \frac{m_0}{\mu} = \frac{m_0v}{\mu}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સાંકળની લંબાઈ $L = 2 \ m$ અને દળ $M = 1 \ kg$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = M/L = 0.5 \ kg/m$ છે.
$t$ સમયે,ઉપરના છેડા દ્વારા કાપેલું અંતર $y = \frac{1}{2}gt^2$ છે. $g = 10 \ m/s^2$ અને $t = 1/\sqrt{5} \ s$ લેતા,$y = \frac{1}{2} \times 10 \times (1/\sqrt{5})^2 = 5 \times (1/5) = 1 \ m$.
જમીન પરની સાંકળની લંબાઈ $y = 1 \ m$ છે. હવામાં બાકી રહેલી સાંકળની લંબાઈ $L - y = 2 - 1 = 1 \ m$ છે.
જમીન પરના ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_1 = 0 \ m$ ઊંચાઈ પર છે.
હવામાં રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_2 = y + \frac{L-y}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \ m$ ઊંચાઈ પર છે.
જમીન પરના ભાગનું દળ $m_1 = \lambda y = 0.5 \times 1 = 0.5 \ kg$ છે.
હવામાં રહેલા ભાગનું દળ $m_2 = \lambda(L-y) = 0.5 \times 1 = 0.5 \ kg$ છે.
આખી સાંકળના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $H_{cm} = \frac{m_1 h_1 + m_2 h_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.5 \times 0 + 0.5 \times 1.5}{0.5 + 0.5} = 0.75 \ m$ મળે છે.

(C) બહાર નીકળતા ગેસ દ્વારા લાગતું ઉર્ધ્વ ધક્કા બળ $F_T = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{rel} = 980\, m/s$ એ બહાર નીકળવાની ઝડપ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળ બહાર નીકળવાનો દર છે.
રોકેટ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_T - mg = ma$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $980 \cdot \frac{dm}{dt} - 4000 \times 9.8 = 4000 \times 19.6$.
$980 \cdot \frac{dm}{dt} = 4000 \times 19.6 + 4000 \times 9.8$.
$980 \cdot \frac{dm}{dt} = 4000 \times (19.6 + 9.8) = 4000 \times 29.4$.
$\frac{dm}{dt} = \frac{4000 \times 29.4}{980} = 4000 \times 0.03 = 120\, kg/s$.
તેથી,ગેસ $120\, kg/s$ ના દરે બહાર કાઢવો જોઈએ.

(B) રેલ કાર અને રેતીને એક જ તંત્ર તરીકે ગણો. આ તંત્ર પર આડા દિશામાં લાગતા બાહ્ય બળો શૂન્ય છે કારણ કે ટ્રેક ઘર્ષણરહિત છે અને રેતી ઊભી દિશામાં નીચે પડી રહી છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહેવું જોઈએ.
તંત્રનું વેગમાન $P = Mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ કાર અને રેતીનું કુલ દળ છે,અને $v$ એ કારનો વેગ છે.
જેમ જેમ રેતી ઊભી દિશામાં બહાર નીકળે છે,તેમ તે કારની સાપેક્ષમાં કોઈ આડું વેગમાન ધરાવતી નથી. રેતી સીધી નીચે પડતી હોવાથી,તેનો આડો વેગ ઘટક તે ક્ષણે કારના આડા વેગ જેટલો જ રહે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,કારના આડા વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,રેલ કારની ઝડપ $v_0$ જ રહે છે.

(A) $1\ \text{મિનિટ}$ $(= 60\ s)$ માં રોકેટ દ્વારા કાપેલું અંતર, જેમાં પરિણામી પ્રવેગ ઉપરની તરફ $10\ m/s^2$ છે, તે $h_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times 60^2 = 18000\ m = 18\ km$ છે।
$1\ \text{મિનિટ}$ ના અંતે રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલો વેગ $v = u + at = 0 + 10 \times 60 = 600\ m/s$ છે।
બળતણ પૂરું થયા પછી, રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે। પ્રવેગ $-g = -10\ m/s^2$ છે। જ્યારે તેનો અંતિમ વેગ $0$ થાય ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2$ પ્રાપ્ત કરે છે। $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = (600)^2 - 2 \times 10 \times h_2$, જે $h_2 = \frac{360000}{20} = 18000\ m = 18\ km$ આપે છે।
જમીનથી પ્રાપ્ત કરેલી કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $h = h_1 + h_2 = 18\ km + 18\ km = 36\ km$ છે।
બળતણ પૂરું થયા પછી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે, આપણે $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં $v = 0$, $u = 600\ m/s$, અને $a = -10\ m/s^2$ છે। આમ, $0 = 600 - 10t$, જે $t = 60\ s = 1\ \text{મિનિટ}$ આપે છે।

(A) દળ જમા થવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 20 \ kg/s$ છે.
કન્વેયર બેલ્ટનો વેગ $v = 10 \ m/min = \frac{10}{60} \ m/s = \frac{1}{6} \ m/s$ છે.
અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,બેલ્ટ પર લાગુ કરવામાં આવતું બળ $F$ એ જમા થતી રેતીને વેગમાન પૂરું પાડવું જોઈએ.
બળનું સૂત્ર $F = v \frac{dm}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = (\frac{1}{6} \ m/s) \times (20 \ kg/s) = \frac{20}{6} \ N = \frac{10}{3} \ N$.

(C) કોઈપણ સમયે રોકેટનો વેગ ત્સિઓલકોવ્સ્કી રોકેટ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = v_e \ln \left( \frac{m_0}{m} \right)$.
અહીં,$v_e$ એ રોકેટની સાપેક્ષે ઉત્સર્જિત વાયુનો વેગ છે,$m_0$ એ પ્રારંભિક દળ છે,અને $m$ એ અંતિમ દળ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ દળ $m = \frac{m_0}{2}$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$v = v_e \ln \left( \frac{m_0}{m_0/2} \right)$
$v = v_e \ln(2)$
કારણ કે $\ln(2) \approx 0.693$,તેથી રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલો વેગ $v \approx 0.69 \ v_e$ થશે.

(B) દોરડાને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ એ ગતિમાં આવતા દોરડાના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
જેમ દોરડું ખેંચાય છે,તેમ ઢગલાનો સ્થિર ભાગ $v$ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.
$dt$ સમયમાં ખેંચાયેલા દોરડાનું દળ $dm = \lambda dx$ છે,જ્યાં $dx = v dt$ છે.
તેથી,$dm = \lambda v dt$.
જરૂરી બળ $F$ એ થ્રસ્ટ ફોર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v_{rel} \frac{dm}{dt}$.
અહીં,$v_{rel} = v$ (જે ઝડપે દોરડું સ્થિર સ્થિતિમાંથી ખેંચાઈ રહ્યું છે).
કિંમતો મૂકતા: $F = v \cdot \frac{\lambda v dt}{dt} = \lambda v^2$.

(B) ટ્રોલી-પાણીની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,સમક્ષિતિજ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $M_0 = 4000\, kg$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 40\, m/s$ છે.
દળ ઘટવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 8\, kg/s$ છે.
$t = 50\, s$ સમય પછી,ગુમાવેલ પાણીનું દળ $\Delta m = (8\, kg/s) \times (50\, s) = 400\, kg$ થાય.
ટ્રોલીનું અંતિમ દળ $M = M_0 - \Delta m = 4000 - 400 = 3600\, kg$ છે.
પાણી શિરોલંબ દિશામાં નીચે પડે છે,તેથી તે પોતાની સાથે કોઈ સમક્ષિતિજ વેગમાન લઈ જતું નથી. આમ,ટ્રોલીનો સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.
$P_{initial} = P_{final} \implies M_0 v_0 = M v$
$4000 \times 40 = 3600 \times v$
$v = \frac{160000}{3600} = \frac{1600}{36} = \frac{400}{9} \approx 44.44\, m/s$.

(D) સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{2\,kg}{2\,m} = 1\,kg/m$ છે.
સાંકળને $v = 2\,m/s$ ની અચળ ઝડપે ખેંચવામાં આવતી હોવાથી,ગતિમાં આવતા દળનો દર $\frac{dm}{dt} = \lambda v$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dm}{dt} = 1\,kg/m \times 2\,m/s = 2\,kg/s$ મળે.
સાંકળને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = v \frac{dm}{dt} = v(\lambda v) = \lambda v^2$ છે.
$F = 1\,kg/m \times (2\,m/s)^2 = 4\,N$ મળે.
આપવામાં આવતો પાવર $P = F \cdot v = 4\,N \times 2\,m/s = 8\,W$ થાય.

(A) બંદૂકને પાછળ ધકેલાતી અટકાવવા માટે જરૂરી બળ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
બળ $F$ માટેનું સૂત્ર $F = n \cdot m \cdot v$ છે,જ્યાં:
$n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે $(n = 5)$,
$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે $(m = 50 \, g = 0.05 \, kg)$,
$v$ એ ગોળીનો વેગ છે $(v = 300 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 5 \times 0.05 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 5 \times 15 = 75 \, N$.
આમ,બંદૂકને પાછળ ધકેલાતી અટકાવવા માટે વ્યક્તિએ $75 \, N$ જેટલું બળ લગાડવું પડશે.

(B) રોકેટના વજનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ધક્કો (thrust) બળ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રોકેટ એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ધક્કો બળ $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ એક્ઝોસ્ટ ઝડપ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળ બહાર ફેંકવાનો દર છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $mg = v \frac{dm}{dt}$.
દળ બહાર ફેંકવાના દર માટે સૂત્ર: $\frac{dm}{dt} = \frac{mg}{v}$.
અહીં $m = 600\; kg$,$g = 10\; m/s^2$,અને $v = 1000\; m/s$ આપેલ છે:
$\frac{dm}{dt} = \frac{600 \times 10}{1000} = \frac{6000}{1000} = 6\; kg/s$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,રોકેટ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = m \cdot a$ છે.
રોકેટ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફનો ધક્કો $(T)$ અને નીચેની તરફનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W = mg)$ છે.
તેથી,$T - mg = ma$.
ધક્કા માટે સૂત્ર: $T = m(g + a)$.
આપેલ છે: $m = 3.5 \times 10^4 \,kg$,$a = 10 \,m/s^2$,અને $g = 10 \,m/s^2$ લેતા.
$T = (3.5 \times 10^4) \times (10 + 10) \,N$.
$T = (3.5 \times 10^4) \times 20 \,N$.
$T = 70 \times 10^4 \,N = 7.0 \times 10^5 \,N$.

(C) રોકેટ પર બહાર નીકળતા વાયુઓ દ્વારા લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F_{\text{thrust}} = v_{\text{rel}} \cdot \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,રોકેટ પરનું કુલ બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{thrust}} - mg = ma$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$\frac{dm}{dt} = 10\,g/s = 0.01\,kg/s$,$a = 5\,m/s^2$,અને $g = 10\,m/s^2$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) - (0.1)(10) = (0.1)(5)$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) - 1 = 0.5$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) = 1.5$.
$v_{\text{rel}} = \frac{1.5}{0.01} = 150\,m/s$.

(C) પગલું $1$: પાવર્ડ ફ્લાઇટ દરમિયાન પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $(S_1)$ ની ગણતરી કરો.
આપેલ પ્રવેગ $a = 20\, m/s^2$,સમય $t = 5\, s$,અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$.
$S_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250\, m$.
પગલું $2$: પાવર્ડ ફ્લાઇટના અંતે વેગ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
$v = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100\, m/s$.
પગલું $3$: એન્જિન બંધ થયા પછી પ્રાપ્ત થયેલી વધારાની ઊંચાઈ $(S_2)$ ની ગણતરી કરો.
આ સમયે,રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ છે ($g = 10\, m/s^2$ નીચેની તરફ). મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $0\, m/s$ છે.
$v_f^2 = v^2 - 2gS_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $0 = 100^2 - 2 \times 10 \times S_2$.
$S_2 = \frac{10000}{20} = 500\, m$.
પગલું $4$: કુલ ઊંચાઈ $H = S_1 + S_2 = 250 + 500 = 750\, m$.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કા બળ (thrust force) $F = v_{rel} \cdot \frac{dM}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $v_{rel} = 5 \ km/s = 5000 \ m/s$,$\frac{dM}{dt} = 10 \ kg/s$.
$F = 5000 \times 10 = 50000 \ N$.
સમય $t$ પર રોકેટનું દળ $M(t) = M_0 - (\frac{dM}{dt})t$ છે.
$t = 50 \ s$ સમયે,$M(50) = 1500 - (10 \times 50) = 1500 - 500 = 1000 \ kg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = M(t) \cdot a$.
$a = \frac{F}{M(t)} = \frac{50000}{1000} = 50 \ ms^{-2}$.

(B) આપેલ છે: રોકેટનું દળ $m = 2 \times 10^4\,kg$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $a = 5\,m\,s^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m\,s^{-2}$.
રોકેટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ રોકેટ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
રોકેટ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફનો થ્રસ્ટ $T$ અને નીચેની તરફનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તેથી,ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = ma$.
થ્રસ્ટ $T$ માટે સૂત્ર: $T = m(a + g)$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (2 \times 10^4\,kg) \times (5\,m\,s^{-2} + 10\,m\,s^{-2})$.
$T = (2 \times 10^4) \times (15) = 30 \times 10^4\,N$.
$T = 3 \times 10^5\,N$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક દળ $m_0 = 6000 \ kg$,દળ બહાર ફેંકવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 16 \ kg/s$,સાપેક્ષ વેગ $V_{rel} = 11 \ km/s = 11000 \ m/s$.
વિતેલો સમય $\Delta t = 1 \ min = 60 \ s$.
$60 \ s$ પછી રોકેટનું દળ $m = m_0 - (\frac{dm}{dt}) \Delta t$ થશે.
$m = 6000 - (16 \times 60) = 6000 - 960 = 5040 \ kg$.
રોકેટ પર લાગતું ધક્કા બળ $F = V_{rel} \frac{dm}{dt}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{V_{rel}}{m} \frac{dm}{dt}$.
$a = \frac{11000 \times 16}{5040} = \frac{176000}{5040} \approx 34.92 \ m/s^2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પ્રવેગ $35 \ m/s^2$ મળે છે.

(B) કન્વેયર બેલ્ટ પર રેતી પડવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 2\,kg/s$ આપેલ છે.
કન્વેયર બેલ્ટની અચળ ઝડપ $v = 3\,m/s$ છે.
અચળ ઝડપ જાળવી રાખવા માટે,આવતી રેતીને બેલ્ટની ઝડપ સુધી લાવવા માટે જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $F = 3\,m/s \times 2\,kg/s = 6\,N$.
તેથી,બેલ્ટને અચળ ઝડપે ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી બળ $6\,N$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{d}{dt}(Mv)$.
ઉપગ્રહ બળ-મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતો હોવાથી,બાહ્ય બળ $F = 0$ છે.
તેથી,$\frac{d}{dt}(Mv) = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા: $M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$.
આપણને દળ એકત્રિત થવાનો દર $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$M a + \alpha v^2 = 0$.
$M a = -\alpha v^2$.
$a = -\frac{\alpha v^2}{M}$.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ રોકેટની સાપેક્ષમાં બહાર ફેંકાતા બળતણનો વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણ વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 1\; kg/s$
બહાર ફેંકાતા બળતણનો વેગ $v = 60\; km/s = 60 \times 10^3\; m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (60 \times 10^3\; m/s) \times (1\; kg/s)$
$F = 60000\; N$
તેથી,રોકેટ પર લાગતું બળ $60000\; N$ છે.

(A) ઉપગ્રહ બળ-મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરી રહ્યો છે,તેથી તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ધૂળના એકત્રીકરણને કારણે ઉદ્ભવતું અવરોધક બળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{d p}{d t} = \frac{d}{d t}(Mv)$.
ઉપગ્રહ $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે અને $\frac{d M}{d t} = \alpha v$ ના દરે દળ એકત્રિત કરે છે,તેથી અવરોધક બળ $F = -v \frac{d M}{d t}$ થાય.
દળના ફેરફારનો દર મૂકતા: $F = -v (\alpha v) = -\alpha v^{2}$.
$F = Ma$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Ma = -\alpha v^{2}$ મળે.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{-\alpha v^{2}}{M}$ થાય.

(D) ચલિત દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ થ્રસ્ટ ફોર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$.
આપેલ છે:
વેગ $v = 20 \, m/s$.
દળ ઉમેરવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min$.
સૌ પ્રથમ,દળ ઉમેરવાના દરને $kg/s$ માં ફેરવો:
$\frac{dm}{dt} = \frac{50 \, kg}{60 \, s} = \frac{5}{6} \, kg/s$.
હવે,બળની ગણતરી કરો:
$F = 20 \, m/s \times \frac{5}{6} \, kg/s = \frac{100}{6} \, N$.
$F = 16.66 \, N$.