Variable Mass System and Rocket Problem Questions in Gujarati

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ (thrust force) $F = v_r \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_r$ એ બહાર ફેંકાતા વાયુનો સાપેક્ષ વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળ બહાર ફેંકવાનો દર છે.
અહીં આપેલ છે કે રોકેટ $1$ સેકન્ડમાં તેના દળ $m$ નો $1/60$ ભાગ બહાર ફેંકે છે,તેથી $\frac{dm}{dt} = \frac{m}{60} \times \frac{1}{1} = \frac{m}{60}$.
ધક્કાનું બળ $F = 2400 \times \frac{m}{60} = 40m$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = 40m$.
આમ,રોકેટનો પ્રવેગ $a = 40\,m/s^2$ મળે છે.

(C) પ્રથમ તબક્કા દરમિયાન $(t_1 = 60\,s)$:
પ્રવેગ $a = 10\,m/s^2$.
ઊંચાઈ $h_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (60)^2 = 18000\,m = 18\,km$.
વેગ $v_1 = at_1 = 10 \times 60 = 600\,m/s$.
બીજા તબક્કા દરમિયાન (મુક્ત પતન):
મહત્તમ વધારાની ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{600^2}{2 \times 10} = \frac{360000}{20} = 18000\,m = 18\,km$.
કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = h_1 + h_2 = 18\,km + 18\,km = 36\,km$.
કુલ ઉડ્ડયન સમય માટે:
આખી મુસાફરી માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = 0$ (જમીનથી સ્થાનાંતર):
$0 = v_1 t_2 - \frac{1}{2}g t_2^2$ (જ્યાં $t_2$ એ બળતણ પૂરું થયા પછીનો સમય છે).
$-18000 = 600 t_2 - 5 t_2^2 \implies t_2^2 - 120 t_2 - 3600 = 0$.
$t_2$ માટે ઉકેલતા: $t_2 = \frac{120 + \sqrt{14400 - 4(1)(-3600)}}{2} = \frac{120 + \sqrt{28800}}{2} = 60 + 60\sqrt{2}\,s$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 60 + 60 + 60\sqrt{2} = (120 + 60\sqrt{2})\,s$.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) $Assertion$ ખોટું છે કારણ કે રોકેટને આગળ વધવા માટે આસપાસની હવાની જરૂર હોતી નથી. વાસ્તવમાં,રોકેટ અવકાશના શૂન્યાવકાશમાં પણ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
રોકેટ તેના પોતાના બળતણના દહનથી ઉત્પન્ન થતા વાયુઓને ખૂબ જ ઊંચા વેગથી પાછળની તરફ ફેંકીને આગળ વધે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,રોકેટ વાયુઓ પર બળ લગાડે છે અને વાયુઓ રોકેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે,જે જરૂરી ધક્કો (thrust) પૂરો પાડે છે.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ એ રોકેટના પ્રણોદન (propulsion) ના સિદ્ધાંત માટે સાચું વિધાન છે.

(A) રોકેટનું દળ,$m = 20,000\; kg$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ,$a = 5.0\; m s^{-2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10\; m s^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,રોકેટ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ એ થ્રસ્ટ $(F)$ અને વજન $(mg)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ગતિનું સમીકરણ: $F - mg = ma$.
થ્રસ્ટ માટે સમીકરણ: $F = m(g + a)$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 20,000 \times (10 + 5) = 20,000 \times 15 = 3 \times 10^{5}\; N$.

(N/A) ના,રોકેટના ઉડ્ડયનને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ ગણી શકાય નહીં.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ એટલે એવી ગતિ કે જેમાં પદાર્થ પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જ લાગતું હોય,જ્યાં પદાર્થને શરૂઆતમાં વેગ આપીને મુક્ત કરવામાં આવે છે.
પરંતુ,રોકેટ તેના બળતણના દહનથી ઉત્પન્ન થતા સતત ધક્કા (thrust) દ્વારા ગતિ કરે છે.
રોકેટ તેના સમગ્ર ઉડ્ડયન દરમિયાન બાહ્ય બળ (ધક્કા) હેઠળ હોવાથી,તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરવાની શરતનું પાલન કરતું નથી.

(N/A) ના,$\vec{F} = m\vec{a}$ સૂત્ર દરેક સંજોગોમાં સાચું નથી.
ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ મૂળભૂત રીતે $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $\vec{p} = m\vec{v}$ એ રેખીય વેગમાન છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v}\frac{dm}{dt}$ મળે છે.
જો દળ $m$ અચળ હોય,તો $\frac{dm}{dt} = 0$ થાય,જેનાથી સમીકરણ $\vec{F} = m\vec{a}$ માં પરિણમે છે.
જોકે,જે કિસ્સાઓમાં દળ બદલાતું હોય (દા.ત. રોકેટ પ્રણોદન) અથવા સાપેક્ષવાદની ઝડપે જ્યાં દળ વેગ પર આધાર રાખે છે,ત્યાં $\vec{F} = m\vec{a}$ સૂત્ર લાગુ પડતું નથી.

(A) ધારો કે $t$ સમયે રોકેટનું દળ $M$ છે અને તેનો વેગ $v$ છે.
$\Delta t$ સમયગાળામાં,રોકેટ $u$ સાપેક્ષ ઝડપે $\Delta m$ દળનો ગેસ બહાર કાઢે છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં બહાર નીકળતા ગેસનો વેગ $(v - u)$ છે.
$\Delta t$ સમય પછી રોકેટનો વેગ $(v + \Delta v)$ થાય છે.
$t$ સમયે તંત્રની ગતિઊર્જા $(KE)_t = \frac{1}{2} M v^2$ છે.
$t + \Delta t$ સમયે,તંત્રની ગતિઊર્જા $(KE)_{t+\Delta t} = \frac{1}{2}(M - \Delta m)(v + \Delta v)^2 + \frac{1}{2} \Delta m(v - u)^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(KE)_{t+\Delta t} \approx \frac{1}{2} M v^2 + M v \Delta v - \Delta m v u + \frac{1}{2} \Delta m u^2$ મળે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,થ્રસ્ટ બળ $F = M \frac{dv}{dt} = u \frac{dm}{dt}$,તેથી $M \Delta v = \Delta m u$.
ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K = (KE)_{t+\Delta t} - (KE)_t$ ના સમીકરણમાં $M \Delta v = \Delta m u$ મૂકતા:
$\Delta K = (M \Delta v - \Delta m u) v + \frac{1}{2} \Delta m u^2$.
કારણ કે $M \Delta v = \Delta m u$,તેથી પ્રથમ પદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,$\Delta K = \frac{1}{2} \Delta m u^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,આંતરિક મિકેનિઝમ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,તેથી $\Delta W = \frac{1}{2} \Delta m u^2$.

(D) દળમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dM(t)}{dt} = bv^2$ આપેલ છે.
ચલ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ધૂળના એકત્રીકરણને કારણે અવકાશયાન પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F_{\text{thrust}} = -v \frac{dM(t)}{dt}$ છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બળ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે મંદન (deceleration) થાય છે.
$F = M(t)a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $M(t)a = -v \left( bv^2 \right)$ મળે છે.
તેથી,તાત્કાલિક પ્રવેગ $a = -\frac{bv^3}{M(t)}$ છે.

(C) બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
બળ માટેનું સૂત્ર $F = n \cdot m \cdot v$ છે,જ્યાં:
$n$ એ દર સેકન્ડે છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે $(4 \, s^{-1})$,
$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ એ ગોળીનો વેગ છે $(300 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
તેથી,બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ $24 \, N$ છે.

(D) રોકેટ પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F_{\text{thrust}} = \left(\frac{dm}{dt}\right) V_{\text{rel}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રોકેટ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{thrust}} - mg = ma$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 1000 \, \text{kg}$,$a = 20 \, \text{m s}^{-2}$,$V_{\text{rel}} = 500 \, \text{m s}^{-1}$,અને $g = 10 \, \text{m s}^{-2}$.
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - (1000 \times 10) = 1000 \times 20$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - 10000 = 20000$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 = 30000$
$\frac{dm}{dt} = \frac{30000}{500} = 60 \, \text{kg s}^{-1}$.

(C) પાણીના ફુવારા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ બ્લોક સાથે અથડાતા પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
અહીં,પાણીની ઝડપ $v = 10 \,m \,s^{-1}$ અને દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = 10 \times 1 = 10 \,N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = Ma$,જ્યાં $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $a$ તેનો પ્રવેગ છે.
$10 = 2 \times a$
$a = \frac{10}{2} = 5 \,m \,s^{-2}$
તેથી,બ્લોકનો પ્રારંભિક પ્રવેગ $5 \,m \,s^{-2}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = 0.5 \, kg s^{-1}$,બેલ્ટનો વેગ $v = 5 \, m s^{-1}$.
જ્યારે રેતી બેલ્ટ પર પડે છે,ત્યારે બેલ્ટે રેતીને બેલ્ટના વેગ જેટલી ગતિ આપવા માટે બળ લગાડવું પડે છે.
અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ થ્રસ્ટ ફોર્સ જેટલું હોય છે: $F = \frac{dm}{dt} \times v$.
$F = 0.5 \, kg s^{-1} \times 5 \, m s^{-1} = 2.5 \, N$.
બેલ્ટને અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી પાવર $P = F \times v$ છે.
$P = 2.5 \, N \times 5 \, m s^{-1} = 12.5 \, W$.

(B) બહાર નીકળતી હવાને કારણે ફુગ્ગા પર લાગતું સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ છે.
અહીં,કુલ દળ $m = 10\,g$ એ $t = 5\,s$ સમયમાં બહાર નીકળે છે.
તેથી,દળ ઘટવાનો દર $\frac{dm}{dt} = \frac{10\,g}{5\,s} = 2\,g/s$ છે.
બહાર નીકળતી હવાનો વેગ $v = 4.5\,cm/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 2\,g/s \times 4.5\,cm/s = 9\,g \cdot cm/s^2$.
કારણ કે $1\,dyne = 1\,g \cdot cm/s^2$,તેથી સરેરાશ બળ $9\,dyne$ થશે.

(C) નીચે તરફના પ્રવેગને રોકવા માટે,ગોળીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતું ઉપરની તરફનું બળ (થ્રસ્ટ ફોર્સ) સૈનિક અને બંદૂકના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $M$ એ સૈનિક અને બંદૂકનું કુલ દળ છે,અને $m$ એ એક ગોળીનું દળ છે.
ગોળીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{N}{\Delta t} \times m \times v$,જ્યાં $\frac{N}{\Delta t}$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે.
આ બળને સૈનિકના વજન સાથે સરખાવતા: $Mg = \frac{N}{\Delta t} \times m \times v$.
આપેલ છે: $\frac{N}{\Delta t} = 40 \,s^{-1}$,$m = 49 \,g = 0.049 \,kg$,$v = 500 \,m/s$,અને $g = 9.8 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $M \times 9.8 = 40 \times 0.049 \times 500$.
$M \times 9.8 = 40 \times 24.5 = 980$.
$M = \frac{980}{9.8} = 100 \,kg$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર (ગાડી + રેતી) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોય,તો રેતી જ્યારે શિરોલંબ નીચે પડે છે ત્યારે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ બદલાતો નથી.
ધારો કે ગાડીનું દળ $M$ છે અને રેતીનું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં,બંને $v$ વેગથી ગતિ કરી રહ્યા છે.
જ્યારે રેતી શિરોલંબ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનો સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v$ જ રહે છે કારણ કે રેતીના પડતી વખતે તેના પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
તેથી,રેતી ગાડીની જેમ જ સમાન દિશામાં અને સમાન સમક્ષિતિજ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
આમ,રેતી ગાડી સાથે ગતિ કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) રોકેટમાંથી બળતણ બહાર ફેંકાવાને કારણે રોકેટ પર લાગતું બળ ચલિત દળ (variable mass) સિસ્ટમના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$.
અહીં,બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 2 \, kg/s$ છે.
બહાર ફેંકાતા બળતણનો વેગ $v = 80 \, km/s = 80 \times 10^3 \, m/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (80 \times 10^3 \, m/s) \times (2 \, kg/s) = 1,60,000 \, N$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વાયુઓના ઉત્સર્જનને કારણે રોકેટ પર લાગતું બળ એ ચલ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટેના થ્રસ્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = v \cdot \frac{dm}{dt}$
આપેલ છે:
દળ ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt} = 0.05 \,kg/s$
વાયુઓનો વેગ $v = 400 \,m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 400 \,m/s \times 0.05 \,kg/s = 20 \,N$
તેથી,રોકેટ પર લાગતું પ્રવેગક બળ $20 \,N$ છે.

(B) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ $F_{thrust} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક દળ $M_0 = 5700 \,kg$,દળ ઉત્સર્જનનો દર $\frac{dm}{dt} = 15 \,kg/s$,સાપેક્ષ ઝડપ $v = 12 \,km/s = 12000 \,m/s$,અને $g = 10 \,m/s^2$.
$t = 60 \,s$ ($1$ મિનિટ) પછી,રોકેટનું દળ $m = M_0 - \left( \frac{dm}{dt} \right) t = 5700 - (15 \times 60) = 5700 - 900 = 4800 \,kg$ થાય.
રોકેટ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_{thrust} - mg = v \left( \frac{dm}{dt} \right) - mg$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{v \left( \frac{dm}{dt} \right)}{m} - g$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{12000 \times 15}{4800} - 10$.
$a = \frac{180000}{4800} - 10 = 37.5 - 10 = 27.5 \,m/s^2$.

(B) બહાર નીકળતી હવાને કારણે ફુગ્ગા પર લાગતું સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $F = v \frac{dm}{dt}$ છે.
અહીં,હવાનો વેગ $v = 4 \,m/s$ છે.
હવાનું કુલ દળ $m = 2 \,g = 0.002 \,kg$ છે.
હવાને બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $dt = 2.5 \,s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 4 \times \left( \frac{0.002 \,kg}{2.5 \,s} \right)$
$F = 4 \times 0.0008 \,N$
$F = 0.0032 \,N$.
તેથી,ફુગ્ગા પર લાગતું સરેરાશ બળ $0.0032 \,N$ છે.

(D) રોકેટ એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ધક્કાનું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = v_{e} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{e}$ એ એક્ઝોસ્ટની ઝડપ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળ બહાર નીકળવાનો દર છે.
રોકેટના વજનને દૂર કરવા માટે,ધક્કો એ રોકેટ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $F = mg$.
આપેલ છે: રોકેટનું દળ $m = 6000 \,kg$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g \approx 10 \,m/s^2$,અને એક્ઝોસ્ટની ઝડપ $v_{e} = 1000 \,m/s$.
બળોને સરખાવતા: $v_{e} \left( \frac{dm}{dt} \right) = mg$.
કિંમતો મૂકતા: $1000 \times \left( \frac{dm}{dt} \right) = 6000 \times 10$.
$1000 \times \left( \frac{dm}{dt} \right) = 60000$.
$\frac{dm}{dt} = \frac{60000}{1000} = 60 \,kg/s$.
તેથી,દર સેકન્ડે બહાર કાઢવા પડતા ગેસનું પ્રમાણ $60 \,kg$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ સિસ્ટમમાં દળ ઉમેરવામાં આવે ત્યારે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ થ્રસ્ટ ફોર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = v \frac{dm}{dt}$.
અહીં,ટ્રેનનો વેગ $v = 10 \,m/s$ છે.
દળ ઉમેરવાનો દર $\frac{dm}{dt} = 5 \,kg/s$ છે.
વરસાદનું પાણી શિરોલંબ પડે છે (શૂન્ય આડું વેગ),તેથી એન્જિને આ ઉમેરાયેલા દળને ટ્રેનના વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે વધારાનું બળ પૂરું પાડવું પડે છે.
તેથી,$F = 10 \,m/s \times 5 \,kg/s = 50 \,N$.

(C) ધારો કે $F$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$F - Mg = Ma$
$F = M(a + g)$
ધારો કે ફુગ્ગામાંથી $x$ જેટલું દળ દૂર કરવામાં આવે છે. ફુગ્ગાનું નવું દળ $(M - x)$ થશે.
બીજા કિસ્સા માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$F - (M - x)g = (M - x)(3a)$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $F$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$M(a + g) - (M - x)g = (M - x)(3a)$
$Ma + Mg - Mg + xg = 3Ma - 3xa$
$Ma + xg = 3Ma - 3xa$
$xg + 3xa = 3Ma - Ma$
$x(g + 3a) = 2Ma$
$x = \frac{2Ma}{g + 3a}$

(D) કન્વેયર બેલ્ટને અચળ ઝડપ $v$ પર જાળવી રાખવા માટે જરૂરી પાવર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેલ્ટ અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,ઉમેરાતી રેતીના વેગમાનમાં ફેરફારને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે દળ જમા થવાનો દર $\frac{dm}{dt} = k\sqrt{v}$ છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = v(k\sqrt{v}) = kv^{3/2}$.
હવે,પાવરની ગણતરી કરતા: $P = F \cdot v = (kv^{3/2}) \cdot v = kv^{5/2}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $P^2 = k^2 v^5$ મળે છે.
તેથી,$P^2 \propto v^5$.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કા બળ $F = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $v_{rel} = 5 \ km/s = 5000 \ m/s$ અને $\frac{dm}{dt} = 10 \ kg/s$.
તેથી,$F = 5000 \times 10 = 50000 \ N$.
સમય $t$ પર રોકેટનું દળ $M(t) = M_0 - (\frac{dm}{dt})t$ છે.
$t = 50 \ s$ સમયે,$M(50) = 1500 - (10 \times 50) = 1500 - 500 = 1000 \ kg$.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{M(t)} = \frac{50000}{1000} = 50 \ m/s^2$ મળે છે.

(D) રોકેટની ગતિ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. જેમ બળતણ બળે છે,તેમ રોકેટ ગરમ વાયુઓને ઊંચી ઝડપે નીચેની દિશામાં બહાર ફેંકે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,વાયુઓ રોકેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જે જરૂરી ધક્કો (thrust) પૂરો પાડે છે. સિસ્ટમ (રોકેટ + બળતણ) પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(D) અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ તંત્રના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેતીને બેલ્ટ પર શિરોલંબ રીતે નાખવામાં આવતી હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય છે.
જેમ રેતી બેલ્ટ પર પડે છે,તેમ તેને બેલ્ટની ઝડપ સાથે મેળવવા માટે $0$ થી $V$ સુધીના સમક્ષિતિજ વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવી પડે છે.
બેલ્ટ પર દળ ઉમેરવાનો દર $dm/dt = M$ છે.
જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = v \cdot (dm/dt)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$F = V \cdot M = MV \text{ N}$ મળે છે.

(C) ગેસ દ્વારા ફટાકડા પર લાગતું બળ એ ગેસના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
ગેસનો દળનો દર,$\frac{dm}{dt} = 25 \text{ g/s} = 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$.
ગેસનો વેગ,$v = 400 \text{ m/s}$.
બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$F = v \times \frac{dm}{dt}$
$F = 400 \text{ m/s} \times 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
$F = 400 \times 0.025 \text{ N}$
$F = 10 \text{ N}$.

(D) ગોળીઓ દ્વારા રાઈફલ પર લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
રાઈફલનું દળ $M = 20 \,kg$
દર સેકન્ડે ગોળીઓની સંખ્યા $n = 4$
દરેક ગોળીનું દળ $m = 35 \times 10^{-3} \,kg$
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 400 \,ms^{-1}$
રાઈફલને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ ગોળીઓ દ્વારા લાગતા રિકોઈલ બળ જેટલું હોય છે.
રિકોઈલ બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = n \times (m \times v)$
$F = 4 \times (35 \times 10^{-3} \,kg) \times (400 \,ms^{-1})$
$F = 4 \times 35 \times 0.4$
$F = 140 \times 0.4 = 56 \,N$
રાઈફલને પાછળની તરફ ખસતી અટકાવવા માટે,ગોળીઓની ગતિની દિશામાં $56 \,N$ નું બાહ્ય બળ લગાડવું આવશ્યક છે.

(D) બળતણ બહાર ફેંકવાને કારણે રોકેટ પર લાગતું બળ થ્રસ્ટના સૂત્ર $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg/s$ છે.
બહાર ફેંકાયેલા બળતણનો વેગ $v = 60 \,km/s = 60000 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 60000 \,m/s \times 1 \,kg/s = 60000 \,N$.
તેથી, રોકેટ પર લાગતું બળ $60000 \,N$ છે.

(A) ચલ દળ ધરાવતા રોકેટ માટે ગતિનું સમીકરણ $F_{\text{ext}} + v_{\text{rel}} \frac{dm}{dt} = m \frac{dv}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે રોકેટ $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{dv}{dt} = a$.
કોઈપણ બાહ્ય બળ ન હોવાથી $(F_{\text{ext}} = 0)$,સમીકરણ $v_{\text{rel}} \frac{dm}{dt} = m a$ બને છે.
અહીં,$v_{\text{rel}} = v$ (રોકેટની સાપેક્ષે વાયુઓનો વેગ).
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dm}{m} = \frac{a}{v} dt$ મળે છે.
સમય $t=0$ પર પ્રારંભિક દળ $m_0$ થી સમય $t$ પર દળ $m$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{m_0}^{m} \frac{dm}{m} = \int_{0}^{t} \frac{a}{v} dt$.
$\ln \left( \frac{m}{m_0} \right) = \frac{a t}{v}$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $m = m_0 e^{-\frac{at}{v}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $F_B$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
જ્યારે $m$ દળનો ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $mg - F_B = ma$,જેનો અર્થ છે કે $F_B = m(g - a)$.
ધારો કે દૂર કરવામાં આવતું દળ $m'$ છે,તેથી ફુગ્ગાનું નવું દળ $(m - m')$ થશે.
જ્યારે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $F_B - (m - m')g = (m - m')a$.
સમીકરણમાં $F_B = m(g - a)$ મૂકતા: $m(g - a) - (m - m')g = (m - m')a$.
$mg - ma - mg + m'g = ma - m'a$.
$m'g + m'a = 2ma$.
$m'(g + a) = 2ma$.
તેથી,$m' = \frac{2ma}{g+a}$.

(B) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$M = 2 \,kg$
પાણીના પ્રવાહનો દર,$\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$
પાણીના ફુવારાનો વેગ,$v = 5 \,ms^{-1}$
પાણીના ફુવારા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 5 \,ms^{-1} \times 1 \,kg \,s^{-1} = 5 \,N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{M} = \frac{5 \,N}{2 \,kg} = 2.5 \,ms^{-2}$

(D) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $M = 4 \ kg$,પાણીનો વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$,અને દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = 2 \ kg \ s^{-1}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પાણીના જેટ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = v \cdot \left(\frac{dm}{dt}\right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F = 10 \times 2 = 20 \ N$
હવે,બ્લોક માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા $(F = Ma)$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{20 \ N}{4 \ kg} = 5 \ m \ s^{-2}$
તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $5 \ m \ s^{-2}$ છે.

(A) આપેલ છે, પરિણામી ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a = 10 \,m/s^2$, સમય $t = 1 \,min = 60 \,s$, અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
પાવર્ડ તબક્કા દરમિયાન પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $(h_1)$:
$h_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 \times 60 + \frac{1}{2} \times 10 \times (60)^2 = 18000 \,m = 18 \,km$.
પાવર્ડ તબક્કાના અંતે વેગ $(v)$:
$v = u + at = 0 + 10 \times 60 = 600 \,m/s$.
બળતણ પૂરું થયા પછી, રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે $(a = -g = -9.8 \,m/s^2)$ જ્યાં સુધી તેનો વેગ શૂન્ય ન થાય.
અનપાવર્ડ તબક્કા દરમિયાન પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $(h_2)$:
$v_f^2 - v^2 = 2ah_2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v_f = 0$:
$0 - (600)^2 = 2(-9.8)h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{360000}{19.6} \approx 18367.3 \,m \approx 18.4 \,km$.
કુલ મહત્તમ ઊંચાઈ $H = h_1 + h_2 = 18 \,km + 18.4 \,km = 36.4 \,km$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર રોકેટનો વેગ ત્સિઓલકોવ્સ્કી રોકેટ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) - gt$.
અહીં ગુરુત્વાકર્ષણ બળોને અવગણવામાં આવ્યા છે,તેથી $g = 0$,અને સમીકરણ $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$ બને છે.
અહીં,$u = 5 \ km/s$ એ રોકેટની સાપેક્ષમાં વાયુઓનો બહાર નીકળવાનો વેગ છે.
પ્રારંભિક દળ $m_0$ છે અને અંતિમ દળ $m = \frac{1}{20}m_0$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_0}{m} = 20$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = 5 \ln(20) \ km/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પગલું $1$: પાવર્ડ ફ્લાઇટના અંતે $(t = 5 \,s)$ વેગ અને ઊંચાઈની ગણતરી કરો.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, પ્રવેગ $a = 20 \,m/s^2$, અને સમય $t = 5 \,s$.
$t = 5 \,s$ પર વેગ $V_{max} = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100 \,m/s$ છે.
$t = 5 \,s$ પર પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \,m$ છે.
પગલું $2$: જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય ત્યારે અંતિમ ઝડપની ગણતરી કરો.
$t = 5 \,s$ પછી, રોકેટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે $(g = 10 \,m/s^2)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, મહત્તમ ઊંચાઈ પર કુલ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે, અથવા આપણે $V^2 = u^2 + 2aS$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં, રોકેટ $S = 250 \,m$ ની ઊંચાઈથી $V_{max} = 100 \,m/s$ ના પ્રારંભિક ઉપરના વેગ સાથે શરૂ થાય છે.
જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે અંતિમ વેગ $V$ એ $V^2 = V_{max}^2 + 2gS$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V^2 = (100)^2 + 2 \times 10 \times 250$.
$V^2 = 10000 + 5000 = 15000$.
$V = \sqrt{15000} = \sqrt{2500 \times 6} = 50 \sqrt{6} \,m/s$.

(D) $1$. $t = 20 \ s$ સમયે રોકેટની ઊંચાઈની ગણતરી કરો: $h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200 \ m$.
$2$. $t = 20 \ s$ સમયે રોકેટના વેગની ગણતરી કરો: $v = a t = 1 \times 20 = 20 \ m \ s^{-1}$.
$3$. ટુકડો અલગ થાય છે અને તે $200 \ m$ ની ઊંચાઈથી $20 \ m \ s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ઉપરની તરફ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે.
$4$. ટુકડા માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ વાપરતા,જ્યાં $s = -200 \ m$ (નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર),$u = 20 \ m \ s^{-1}$,અને $a = -g = -10 \ m \ s^{-2}$:
$-200 = 20 t - 5 t^2$
$5 t^2 - 20 t - 200 = 0$
$t^2 - 4 t - 40 = 0$.
$5$. દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધો:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{176}}{2} = 2 \pm 6.63$.
$6$. સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t \approx 8.63 \ s$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m$ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_i = \frac{1}{2}mv^2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mv$ છે.
બળતણ બળી ગયા પછી,અંતિમ દળ $m' = \frac{m}{2}$ અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_f = 16 \times (K.E.)_i = 16 \times \frac{1}{2}mv^2 = 8mv^2$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v'$ છે. તો $(K.E.)_f = \frac{1}{2}m'v'^2 = \frac{1}{2}(\frac{m}{2})v'^2 = \frac{1}{4}mv'^2$.
$(K.E.)_f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{4}mv'^2 = 8mv^2 \Rightarrow v'^2 = 32v^2 \Rightarrow v' = \sqrt{32}v = 4\sqrt{2}v$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = m'v' = (\frac{m}{2})(4\sqrt{2}v) = 2\sqrt{2}mv$ છે.
વેગમાનમાં થતો વધારો $\frac{p_f}{p_i} = \frac{2\sqrt{2}mv}{mv} = 2\sqrt{2}$ ગણો છે.