Tension Force and Pulley Block System Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि रस्सी के ऊपरी आधे भाग में तनाव $T$ है। रस्सी का निचला आधा भाग ऊर्ध्वाधर है और $10 \; kg$ के द्रव्यमान को सहारा देता है,इसलिए निचले भाग में तनाव $T_{lower} = mg = 10 \times 10 = 100 \; N$ होगा।
मध्य-बिंदु पर जहाँ बल $F$ लगाया जाता है,बलों के संतुलन पर विचार करते हुए:
ऊपरी रस्सी में तनाव $T$ का क्षैतिज घटक लगाए गए बल $F$ को संतुलित करता है: $T \sin 45^{\circ} = F$.
ऊपरी रस्सी में तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक निचली रस्सी के तनाव को संतुलित करता है: $T \cos 45^{\circ} = T_{lower} = 100 \; N$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T \sin 45^{\circ}}{T \cos 45^{\circ}} = \frac{F}{100}$.
$\tan 45^{\circ} = \frac{F}{100}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें $1 = \frac{F}{100}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $F = 100 \; N$।

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = 8\; kg$ और $m_2 = 12\; kg$ हैं। यह निकाय एक हल्की अवितान्य डोरी द्वारा घर्षणरहित घिरनी पर जुड़ा है।
चूंकि $m_2 > m_1$,द्रव्यमान $m_2$ त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करेगा और $m_1$ समान त्वरण $a$ के साथ ऊपर की ओर गति करेगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए:
द्रव्यमान $m_1$ के लिए: $T - m_1 g = m_1 a$ --- $(i)$
द्रव्यमान $m_2$ के लिए: $m_2 g - T = m_2 a$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{12 - 8}{12 + 8} \right) \times 10 = \frac{4}{20} \times 10 = 2\; m/s^2$
अब,तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए $a$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$T = m_2(g - a) = 12(10 - 2) = 12 \times 8 = 96\; N$
अतः,त्वरण $2\; m/s^2$ है और तनाव $96\; N$ है।

(B) ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 25 \; kg$
व्यक्ति का द्रव्यमान,$M = 50 \; kg$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \; m/s^2$
ब्लॉक को उठाने के लिए आवश्यक बल,$F = mg = 25 \times 10 = 250 \; N$
व्यक्ति का भार,$W = Mg = 50 \times 10 = 500 \; N$
स्थिति $(a)$: जब व्यक्ति ब्लॉक को सीधे उठाता है,तो वह रस्सी को ऊपर की ओर खींचता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,रस्सी व्यक्ति को $F = 250 \; N$ के बल से नीचे की ओर खींचती है। फर्श पर लगने वाला कुल अधोगामी बल व्यक्ति के भार और रस्सी द्वारा लगाए गए प्रतिक्रिया बल का योग है।
फर्श पर लगने वाला बल $= W + F = 500 + 250 = 750 \; N$.
स्थिति $(b)$: जब व्यक्ति घिरनी (pulley) का उपयोग करके ब्लॉक को उठाता है,तो वह रस्सी को नीचे की ओर खींचता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,रस्सी व्यक्ति को $F = 250 \; N$ के बल से ऊपर की ओर खींचती है। फर्श पर लगने वाला कुल अधोगामी बल व्यक्ति के भार में से रस्सी द्वारा ऊपर की ओर लगाए गए प्रतिक्रिया बल को घटाने पर प्राप्त होता है।
फर्श पर लगने वाला बल $= W - F = 500 - 250 = 250 \; N$.
निष्कर्ष: चूंकि फर्श $700 \; N$ पर टूट जाता है,इसलिए व्यक्ति को ब्लॉक उठाने के लिए तरीका $(b)$ अपनाना चाहिए,क्योंकि फर्श पर लगने वाला बल $(250 \; N)$ $700 \; N$ की सीमा से कम है।

(D) एक घर्षणहीन घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली डोरी से जुड़े $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के निकाय के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$
यहाँ,$m_1 = 4 \, kg$ और $m_2 = 6 \, kg$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4}$
$a = \frac{2g}{10}$
$a = \frac{g}{5}$
अतः,निकाय का त्वरण $\frac{g}{5}$ है।

(A) मान लीजिए $a_{1}$ और $a_{2}$ क्रमशः गेंद (ऊपर की ओर) और छड़ (नीचे की ओर) के त्वरण हैं।
बाध्यता संबंध से,$2 a_{1} = a_{2} \dots (i)$
गेंद के लिए,गति का समीकरण है: $2T - \frac{9}{5}mg = \frac{9}{5}ma_{1} \dots (ii)$
छड़ के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma_{2} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ से $T = mg - ma_{2}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(mg - ma_{2}) - \frac{9}{5}mg = \frac{9}{5}ma_{1}$
$2mg - 2ma_{2} - 1.8mg = 1.8ma_{1}$
$0.2g - 2a_{2} = 1.8a_{1}$
समीकरण $(i)$ से $a_{2} = 2a_{1}$ का उपयोग करने पर:
$0.2g - 2(2a_{1}) = 1.8a_{1}$
$0.2g = 5.8a_{1} \implies a_{1} = \frac{0.2g}{5.8} = \frac{g}{29} \, m/s^2$ (ऊपर की ओर)
अतः $a_{2} = 2a_{1} = \frac{2g}{29} \, m/s^2$ (नीचे की ओर)
छड़ के सापेक्ष गेंद का आपेक्षिक त्वरण $a_{rel} = a_{1} + a_{2} = \frac{g}{29} + \frac{2g}{29} = \frac{3g}{29}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}a_{rel}t^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u=0$ और $s=1 \, m$:
$1 = 0 + \frac{1}{2} \left(\frac{3 \times 10}{29}\right) t^2$
$1 = \frac{15}{29} t^2 \implies t^2 = \frac{29}{15} \approx 1.933$
$t = \sqrt{1.933} \approx 1.39 \, s \approx 1.4 \, s$.

(C) माना कि निकाय का त्वरण बाईं ओर $a$ है।
बर्फ के स्लैब पर रखे $4M$ द्रव्यमान के लिए,बाईं ओर लगने वाला खिंचाव बल $2Mg$ है और दाईं ओर लगने वाला तनाव बल $T$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $2Mg - T = 4Ma$ (समीकरण $1$)।
लटकते हुए $M$ द्रव्यमान के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला तनाव बल $T$ है और नीचे की ओर लगने वाला भार $Mg$ है। चूंकि निकाय बाईं ओर त्वरित हो रहा है,इसलिए $M$ द्रव्यमान ऊपर की ओर गति करेगा। न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T - Mg = Ma$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(2Mg - T) + (T - Mg) = 4Ma + Ma$।
$Mg = 5Ma$,जिससे हमें $a = \frac{g}{5}$ प्राप्त होता है।
$a$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $T = Mg + M(\frac{g}{5}) = Mg + \frac{Mg}{5} = \frac{6Mg}{5}$।
इस मान की तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{x}{5}Mg$ से करने पर,हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।

(B) एक घर्षणहीन घिरनी पर डोरी से जुड़े दो द्रव्यमानों $M_{1}$ और $M_{2}$ के निकाय का त्वरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{|M_{2} - M_{1}|}{M_{1} + M_{2}} g$
स्थिति $1$: दिया गया है $M_{2} = 2M_{1}$।
$a_{1} = \frac{|2M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 2M_{1}} g = \frac{M_{1}}{3M_{1}} g = \frac{g}{3}$
स्थिति $2$: दिया गया है $M_{2} = 3M_{1}$।
$a_{2} = \frac{|3M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 3M_{1}} g = \frac{2M_{1}}{4M_{1}} g = \frac{g}{2}$
अब,अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ की गणना करने पर:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{g/3}{g/2} = \frac{2}{3}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) नीचे की ओर गति करते समय बंदर का फ्री बॉडी डायग्राम ($F$.$B$.$D$):
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $mg - T = ma_1$
$500 - T = 50 \times 4 \Rightarrow T = 300\,N$.
ऊपर की ओर गति करते समय बंदर का फ्री बॉडी डायग्राम ($F$.$B$.$D$):
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $T - mg = ma_2$
$T - 500 = 50 \times 5 \Rightarrow T = 750\,N$.
रस्सी की तोड़ने की क्षमता $350\,N$ है।
चूंकि $750\,N > 350\,N$,इसलिए जब बंदर ऊपर चढ़ रहा होगा तो रस्सी टूट जाएगी।

(D) मान लीजिए $\lambda$ चेन का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है,इसलिए $\lambda = \frac{m}{L}$।
एक तरफ चेन का द्रव्यमान $m_1 = \lambda l$ है और दूसरी तरफ $m_2 = \lambda (L - l)$ है।
चेन पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = (m_2 - m_1)g = \lambda(L - l - l)g = \lambda(L - 2l)g$ है।
चेन का कुल द्रव्यमान $m = \lambda L$ है।
चेन का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{\lambda(L - 2l)g}{\lambda L} = \frac{(L - 2l)g}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि जब $l = \frac{L}{x}$ होता है तब $a = \frac{g}{2}$,इसलिए हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{g}{2} = \frac{(L - 2(\frac{L}{x}))g}{L}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{2}{x}$
$\frac{2}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$x = 4$।

(B) प्रारंभ में,निकाय संतुलन में है। द्रव्यमान $M$ के लिए,स्प्रिंग बल $F_s = Mg$ है। चूंकि घिरनी द्रव्यमानहीन है और डोरी निरंतर है,डोरी में तनाव $T$ स्प्रिंग बल के बराबर है,इसलिए $T = Mg$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए,बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ हैं। $m$ को जमीन से जोड़ने वाली डोरी को काटने के बाद,डोरी में तनाव $T = Mg$ हो जाता है।
$m$ पर कार्य करने वाला परिणामी बल ऊपर की ओर $T - mg = Mg - mg$ है। इसलिए,$m$ का त्वरण $a_m = (Mg - mg)/m = (M-m)g/m$ ऊपर की ओर है।
$M$ पर कार्य करने वाला स्प्रिंग बल $Mg$ और उसका भार $Mg$ एक-दूसरे को संतुलित करते हैं,इसलिए $M$ का त्वरण शून्य है।

(A) यह प्रणाली एक घिरनी द्वारा जुड़ी दो भुजाओं से बनी है। एक तरफ $m_3 = 4 \, kg$ द्रव्यमान है। दूसरी तरफ $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए उस तरफ का कुल द्रव्यमान $M_{right} = m_1 + m_2 = 4 \, kg + 2 \, kg = 6 \, kg$ है।
प्रणाली पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ दोनों तरफ के भारों का अंतर है:
$F_{net} = (M_{right} \cdot g) - (m_3 \cdot g) = (6 \, kg \cdot 10 \, m/s^2) - (4 \, kg \cdot 10 \, m/s^2) = 60 \, N - 40 \, N = 20 \, N$.
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_1 + m_2 + m_3 = 4 \, kg + 2 \, kg + 4 \, kg = 10 \, kg$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{20 \, N}{10 \, kg} = 2 \, m/s^2$.
अतः, ब्लॉकों का त्वरण $2 \, m/s^2$ होगा।

(B) दिया गया है:
$F_1 = 20 \, N$ ($4 \, kg$ के ब्लॉक पर दाईं ओर लगने वाला बल)
$F_2 = 10 \, N$ ($2 \, kg$ के ब्लॉक पर बाईं ओर लगने वाला बल)
$m_1 = 2 \, kg$,$m_2 = 4 \, kg$
माना डोरी में तनाव $T$ है।
चूंकि $F_1 > F_2$,निकाय दाईं ओर त्वरित होता है।
निकाय पर कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 20 - 10 = 10 \, N$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 2 + 4 = 6 \, kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \, m/s^2$ है।
अब,$2 \, kg$ के ब्लॉक के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें:
इस पर कार्य करने वाले बल $T$ (दाईं ओर) और $F_2$ (बाईं ओर) हैं।
$T - F_2 = m_1 a$
$T - 10 = 2 \times \frac{5}{3}$
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{30 + 10}{3} = \frac{40}{3} \, N$.

(B) मान लीजिए कि ब्लॉक का कुल द्रव्यमान $m$ है। लगाया गया बल $F = 40 \, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{40}{m}$ है।
अब,ब्लॉक को दो समान हिस्सों में विभाजित मानिए,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $\frac{m}{2}$ है।
मान लीजिए $T$ ब्लॉक के मध्य में तनाव है। यह तनाव $T$ ब्लॉक के पिछले आधे हिस्से को खींचने वाले बल के रूप में कार्य करता है।
ब्लॉक के पिछले आधे हिस्से पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T = (\text{पिछले आधे हिस्से का द्रव्यमान}) \times a$
$T = \left(\frac{m}{2}\right) \times \left(\frac{40}{m}\right)$
$T = \frac{40}{2} = 20 \, N$.
अतः,ब्लॉक के मध्य में तनाव $20 \, N$ है।

(C) निकाय संतुलन में है,इसलिए त्वरण $a = 0$ है।
ब्लॉक $C$ के लिए (द्रव्यमान $m = 5 \ kg$): तनाव $T_1$ ब्लॉक $C$ के भार को सहारा देता है।
$T_1 = mg = 5 \times 10 = 50 \ N$.
ब्लॉक $B$ के लिए (द्रव्यमान $m = 5 \ kg$): तनाव $T_2$ ब्लॉक $B$ और ब्लॉक $C$ के भार को सहारा देता है।
$T_2 = (m + m)g = 10 \times 10 = 100 \ N$.
ब्लॉक $A$ के लिए (द्रव्यमान $m = 5 \ kg$): तनाव $T_3$ ब्लॉक $A$,$B$ और $C$ के भार को सहारा देता है।
$T_3 = (m + m + m)g = 15 \times 10 = 150 \ N$.
अतः,अनुपात है:
$\frac{T_3}{T_1} = \frac{150}{50} = 3$.

(C) दृढ़ आधार पर कुल तनाव $T$ प्रत्येक व्यक्ति द्वारा रस्सी पर लगाए गए तनाव का योग है।
व्यक्ति $A$ $(m_A = 60 \, kg)$ के लिए,जो $a_A = 2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर चढ़ रहा है:
$T_A - m_A g = m_A a_A$
$T_A = m_A(g + a_A) = 60(10 + 2) = 60 \times 12 = 720 \, N$
व्यक्ति $B$ $(m_B = 50 \, kg)$ के लिए,जो स्थिर वेग $(a_B = 0)$ के साथ नीचे उतर रहा है:
$T_B = m_B g = 50 \times 10 = 500 \, N$
व्यक्ति $C$ $(m_C = 40 \, kg)$ के लिए,जो $a_C = 1 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है:
$m_C g - T_C = m_C a_C$
$T_C = m_C(g - a_C) = 40(10 - 1) = 40 \times 9 = 360 \, N$
दृढ़ आधार पर कुल तनाव $T = T_A + T_B + T_C = 720 + 500 + 360 = 1580 \, N$ है।

(C) इस निकाय में एक घिरनी है जिसके एक तरफ $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक है और दूसरी तरफ $2m + 3m = 5m$ का कुल द्रव्यमान है।
एटवुड मशीन के लिए,जिसमें $M_1$ और $M_2$ द्रव्यमान हों,त्वरण $a = \left( \frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2} \right) g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M_1 = 5m$ और $M_2 = m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \left( \frac{5m - m}{5m + m} \right) g$
$a = \left( \frac{4m}{6m} \right) g$
$a = \frac{2}{3} g$
अतः,$m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $\frac{2g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करेगा।

(B) रस्सी में तनाव $T$ लगाए गए बल $F$ के बराबर है,इसलिए $T = F = \frac{3}{2} mg$ है।
द्रव्यमान $m$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_{\text{net}} = ma$
यहाँ,ऊपर की ओर लगने वाला बल तनाव $T$ है और नीचे की ओर लगने वाला बल भार $mg$ है:
$T - mg = ma$
$T$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} mg - mg = ma$
$\frac{1}{2} mg = ma$
$a = \frac{g}{2}$

(B) रस्सी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
दृढ़ आधार से $l$ दूरी पर स्थित एक बिंदु पर विचार करें। इस बिंदु के नीचे रस्सी की लंबाई $(L-l)$ है।
रस्सी के इस निचले हिस्से का द्रव्यमान $m' = \mu \times (L-l) = \frac{M}{L}(L-l)$ है।
चूंकि रस्सी संतुलन में है,इसलिए $l$ दूरी पर तनाव $T$ को रस्सी के निचले हिस्से के वजन को संतुलित करना चाहिए।
निचले हिस्से के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर,$\sum F_y = m' a_y$। चूंकि निकाय स्थिर है,इसलिए $a_y = 0$ है।
अतः,$T - m'g = 0$,जिससे $T = m'g$ प्राप्त होता है।
$m'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{M}{L}(L-l)g$ प्राप्त होता है।

(C) माना डोरी में तनाव $T$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वस्तु की नीचे की ओर गति के लिए:
$mg - T = ma$
दिया गया है कि त्वरण $a = \frac{g}{6}$ है,इसलिए:
$mg - T = m(\frac{g}{6})$
$T = mg - \frac{mg}{6} = \frac{5mg}{6}$
तनाव बल $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है जबकि विस्थापन $x$ नीचे की ओर है। इसलिए,बल (तनाव) और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
डोरी द्वारा किया गया कार्य है:
$W = T \cdot x \cdot \cos(180^{\circ})$
$W = (\frac{5mg}{6}) \cdot x \cdot (-1)$
$W = -\frac{5mgx}{6}$

(D) इस प्रणाली में $M_0$ द्रव्यमान की एक ट्रॉली और घिरनी (pulley) के ऊपर से गुजरने वाली डोरी से जुड़े $M$ और $m$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक हैं। सभी सतहें चिकनी हैं।
यदि $F=0$ है,तो प्रणाली त्वरित नहीं हो रही है,लेकिन ब्लॉक $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है,जिससे वह गति करेगा। अतः,ब्लॉक स्थिर नहीं रह सकते।
यदि ट्रॉली $a = F / (M + m + M_0)$ त्वरण के साथ गति करती है,तो ट्रॉली के फ्रेम में ब्लॉकों पर एक छद्म बल (Pseudo force) कार्य करता है। ब्लॉकों को ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,उन पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित होना चाहिए। विशेष रूप से,ब्लॉक $m$ के लिए,छद्म बल $ma$ को तनाव $T$ को संतुलित करना चाहिए,और ब्लॉक $M$ के लिए,तनाव $T$ को छद्म बल $Ma$ को संतुलित करना चाहिए। इसके लिए $ma = T$ और $T = Ma$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $m=M$। यदि $M=m$ है,तो $F$ का एक अद्वितीय मान मौजूद है जो प्रणाली को ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर बनाता है। इसलिए,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(A) रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 600 \,N$ है।
बंदर का भार $W = mg = 40 \times 10 = 400 \,N$ है।
अधिकतम त्वरण $a$ के साथ ऊपर चढ़ते बंदर के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T_{max} - mg = ma$
$600 - 400 = 40a$
$200 = 40a$
$a = 5 \,m/s^2$
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$,दूरी $S = 10 \,m$,और $a = 5 \,m/s^2$ है:
$10 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$
$10 = 2.5 t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$
अतः,लिया गया समय $2 \,s$ है।

(C) डोरी में तनाव ज्ञात करने के लिए,हम कार के अजड़त्वीय फ्रेम में $m$ द्रव्यमान के बॉब पर कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
कार के फ्रेम में,बॉब नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और पीछे की ओर क्षैतिज छद्म बल (pseudo force) $ma$ का अनुभव करता है।
इस फ्रेम में गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = \sqrt{g^2+a^2}$ है।
डोरी की दिशा में कार्य करने वाले प्रभावी भार का घटक $m g_{eff} = m \sqrt{g^2+a^2}$ है।
चूंकि डोरी को लंबवत '$a$' त्वरण के साथ खींचा जा रहा है,इसलिए बॉब भी कार के सापेक्ष ऊपर की ओर '$a$' त्वरण का अनुभव करता है।
डोरी की दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T - m \sqrt{g^2+a^2} = ma$
अतः,डोरी में तनाव $T = m \sqrt{g^2+a^2} + ma$ है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + M/2 = 3M/2$ है।
दिया गया बल $F = 2Mg$ है,इसलिए पूरे निकाय का त्वरण $a = F / M_{total} = (2Mg) / (3M/2) = 4g/3$ होगा।
रस्सी द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल,रस्सी और ब्लॉक के संपर्क बिंदु पर तनाव $T$ है। यह बल $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक को त्वरित करने के लिए जिम्मेदार है।
ब्लॉक के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $T = M \times a$।
$a$ का मान रखने पर: $T = M \times (4g/3) = 4Mg/3$।

(A) एक चिकनी स्थिर घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली हल्की डोरी से जुड़े $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के निकाय के लिए,त्वरण $a$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2}$
दिया गया है कि त्वरण $a = g / 8$,इसलिए:
$\frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2} = \frac{g}{8}$
मान लीजिए $m_1 > m_2$,तो हमें प्राप्त होता है:
$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{8}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$8(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$
$8m_1 - 8m_2 = m_1 + m_2$
$7m_1 = 9m_2$
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात है:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{7}$

(D) माना कि निकाय का कुल द्रव्यमान $M = M_1 + M_2 + M_3 = 4 \ kg + 6 \ kg + 10 \ kg = 20 \ kg$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला कुल बल $W = Mg = 20 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 200 \ N$ है।
निकाय $a = 2 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर: $T_1 - Mg = Ma$.
मान रखने पर: $T_1 - 200 = 20 \times 2$.
$T_1 - 200 = 40$.
$T_1 = 240 \ N$.

(A) $m_1$ और $m_2$ $(m_2 > m_1)$ द्रव्यमान वाले एटवुड मशीन के लिए,त्वरण $a$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
दिया गया है कि $a = \frac{g}{\sqrt{2}}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{\sqrt{2}} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = \sqrt{2} m_2 - \sqrt{2} m_1$
$m_1 + \sqrt{2} m_1 = \sqrt{2} m_2 - m_2$
$m_1(1 + \sqrt{2}) = m_2(\sqrt{2} - 1)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$

(B) $\text{वस्तु और जंजीर से बनी प्रणाली संतुलन में है।}$
$\text{शाखा पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल,वस्तु के भार और जंजीर के भार का योग है।}$
$\text{वस्तु का भार},W_b = 200 \,N$.
$\text{जंजीर का भार},W_c = m \times g = 10 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 100 \,N$.
$\text{चूंकि प्रणाली संतुलन में है,इसलिए जंजीर में उस बिंदु पर तनाव } T \text{ जहां वह शाखा से जुड़ी है,कुल भार को संतुलित करता है।}$
$T = W_b + W_c = 200 \,N + 100 \,N = 300 \,N$.
$\text{अतः,शाखा जंजीर को } 300 \,N \text{ के बल से खींचती है।}$

(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली एटवुड मशीन (जहाँ $m_2 > m_1$) के लिए,निकाय का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$.
दिया गया है कि त्वरण $a = \frac{g}{8}$ है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं: $\frac{g}{8} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$.
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{8} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $m_1 + m_2 = 8(m_2 - m_1)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $m_1 + m_2 = 8m_2 - 8m_1$.
$m_1$ और $m_2$ को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $m_1 + 8m_1 = 8m_2 - m_2$.
इसे सरल करने पर: $9m_1 = 7m_2$.
अतः,अनुपात $\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{7}$ है।

(B) मान लीजिए कि डोरी द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। डोरी के प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $a$ है। जब कणों के बीच की दूरी $2x$ होती है,तो केंद्र $P$ से प्रत्येक कण की क्षैतिज दूरी $x$ होती है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{x}{a}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$।
डोरी के मध्य-बिंदु के ऊर्ध्वाधर संतुलन पर विचार करने पर: $2T \sin \theta = F$,इसलिए $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$।
प्रत्येक कण पर लगने वाला क्षैतिज बल $T \cos \theta = ma$ है,जहाँ $a$ कण का त्वरण है।
$T$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $ma = \left( \frac{F}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{F}{2} \cot \theta$।
चूंकि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2-x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$,
हमें $ma = \frac{F}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ प्राप्त होता है,
जिससे त्वरण $a = \frac{F}{2m} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ मिलता है।

(C) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
ऊर्ध्वाधर लटके हुए $6 \ kg$ द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण: $6g - T = 6a \quad \dots(i)$
घर्षण रहित मेज पर रखे $4 \ kg$ द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण: $T = 4a \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$6g - T + T = 6a + 4a$
$6g = 10a$
$g = 10 \ ms^{-2}$ रखने पर:
$6 \times 10 = 10a$
$60 = 10a$
$a = 6 \ ms^{-2}$
अतः,$6 \ kg$ द्रव्यमान का त्वरण $6 \ ms^{-2}$ है।

(D) निकाय $m$ और $2m$ द्रव्यमान के दो ब्लॉकों से बना है जो घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली डोरी से जुड़े हैं। निकाय का त्वरण $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a = \frac{(2m - m)g}{2m + m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$.
तार में तनाव $T$ को $m$ द्रव्यमान के लिए गति के समीकरण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: $T - mg = ma$,इसलिए $T = m(g + a)$.
$a = \frac{g}{3}$ रखने पर,हमें $T = m(g + \frac{g}{3}) = m(\frac{4g}{3}) = \frac{4mg}{3}$ प्राप्त होता है।
प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\text{Stress} = \frac{T}{A} = \frac{4mg}{3A}$.

(D) माना निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 5 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 1 \text{ kg} = 9 \text{ kg}$ है।
नेट प्रेरक बल भार में अंतर के बराबर है: $F_{\text{net}} = (5g) - (3g + 1g) = 5g - 4g = g$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{\text{net}} = Ma$,इसलिए $g = 9a$,जिससे $a = \frac{g}{9}$ प्राप्त होता है।
अब,ब्लॉक $B$ ($1 \text{ kg}$ द्रव्यमान) का मुक्त पिंड आरेख $(FBD)$ देखें। इस पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(1g)$ नीचे की ओर और तनाव $T_2$ ऊपर की ओर है। चूंकि निकाय इस प्रकार त्वरित होता है कि ब्लॉक $B$ ऊपर की ओर गति करता है,इसलिए:
$T_2 - 1g = 1a$
$T_2 = g + a = g + \frac{g}{9} = \frac{10g}{9}$.
अतः,ब्लॉक $A$ और $B$ को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $\frac{10g}{9}$ है।

(B) एटवुड मशीन में,डोरी में तनाव $T$ का मान $T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$ होता है। स्प्रिंग में विस्तार $x$,तनाव $T$ के समानुपाती होता है $(x = T/k)$।
स्थिति $1$: $m_1 = 2 \ kg, m_2 = 2 \ kg$। तनाव $T_1 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times g}{2 + 2} = 2g$।
स्थिति $2$: $m_1 = 3 \ kg, m_2 = 2 \ kg$। तनाव $T_2 = \frac{2 \times 3 \times 2 \times g}{3 + 2} = 2.4g$।
स्थिति $3$: $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg$। तनाव $T_3 = \frac{2 \times 1 \times 2 \times g}{1 + 2} = 1.33g$।
तनावों की तुलना करने पर,हमें $T_2 > T_1 > T_3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \propto T$,इसलिए विस्तार भी उसी क्रम में होंगे: $x_2 > x_1 > x_3$।

(D) मान लीजिए कि डोरियों में तनाव $T$ है। चूँकि घिरनियाँ घर्षणहीन और द्रव्यमानहीन हैं,डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान $M$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = Mg$ है।
केंद्रीय द्रव्यमान $\sqrt{2}M$ को संतुलन में रहने के लिए,तनाव बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों को इसके भार को संतुलित करना चाहिए।
दोनों डोरियों में से प्रत्येक में तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \theta$ है।
अतः,कुल ऊर्ध्व बल $2T \cos \theta$ है।
इसे केंद्रीय द्रव्यमान के भार के बराबर रखने पर:
$2T \cos \theta = (\sqrt{2}M)g$
चूँकि $T = Mg$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(Mg) \cos \theta = \sqrt{2}Mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(B) यह निकाय दो ब्लॉकों $A$ और $B$ से बना है जो एक डोरी से जुड़े हैं। चूंकि मेज घर्षणहीन है और निकाय $a = 2 \,ms^{-2}$ के त्वरण से गति कर रहा है, इसलिए हम ब्लॉक $A$ की गति का अलग से विश्लेषण कर सकते हैं।
ब्लॉक $A$ डोरी में उत्पन्न तनाव $T$ द्वारा खींचा जा रहा है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, ब्लॉक $A$ पर कार्य करने वाला बल है:
$T = M_A \times a$
दिया गया है:
$M_A = 20 \,kg$
$a = 2 \,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$T = 20 \,kg \times 2 \,ms^{-2} = 40 \,N$
अतः, डोरी में तनाव $40 \,N$ है।

(B) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और निकाय का त्वरण $a$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए (ऊपर की ओर गति कर रहा है): $T - mg = ma$ --- $(1)$
द्रव्यमान $\frac{3}{2}m$ के लिए (नीचे की ओर गति कर रहा है): $\frac{3}{2}mg - T = \frac{3}{2}ma$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(T - mg) + (\frac{3}{2}mg - T) = ma + \frac{3}{2}ma$
$\frac{1}{2}mg = \frac{5}{2}ma$
$a = \frac{g}{5}$
अतः,द्रव्यमान $m$,$\frac{g}{5}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर जाएगा।

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
$(M+m)$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (नीचे की ओर गति कर रहा है):
$(M+m)g - T = (M+m)a$ --- $(1)$
$M$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (ऊपर की ओर गति कर रहा है):
$T - Mg = Ma$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(M+m)g - Mg = (M+m+M)a$
$mg = (2M+m)a$
$a = \frac{mg}{2M+m}$

(B) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो रस्सी में उत्पन्न तनाव $T = M(g + a)$ होता है।
प्रतिबल $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\sigma = \frac{T}{A}$,जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अधिकतम सुरक्षित प्रतिबल $S$ दिया गया है,इसलिए $S = \frac{M(g + a)}{\frac{\pi d^2}{4}}$ होगा।
व्यास $d$ के लिए हल करने पर,$d^2 = \frac{4 M(g + a)}{\pi S}$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम व्यास $d = [\frac{4 M(g + a)}{\pi S}]^{\frac{1}{2}}$ है।

(A) कण एक चिकनी क्षैतिज मेज पर एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है।
इस गति में,कण पर वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वृत्तीय गति में किसी पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल उस गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर होना चाहिए।
अभिकेंद्र बल $F_c$ का सूत्र $F_c = \frac{m v^{2}}{l}$ है।
चूंकि तनाव $T$ ही वह एकमात्र बल है जो यह अभिकेंद्र बल प्रदान कर रहा है,इसलिए हमारे पास है:
नेट बल (केंद्र की ओर निर्देशित) $= T = \frac{m v^{2}}{l}$।
अतः,कण पर केंद्र की ओर निर्देशित नेट बल $T$ है।

(B) निकाय का त्वरण $a$,$a = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) g$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = 3 \ m$,$u = 0$,और $t = 3 \ s$ है:
$3 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (3)^2$
$3 = \frac{1}{2} \times a \times 9$
$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ ms^{-2}$.
अब,$a$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$\frac{2}{3} = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \times 10$
$\frac{2}{30} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$\frac{1}{15} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 15m_1 - 15m_2$
$16m_2 = 14m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

(A) दिया गया है:
वस्तु का द्रव्यमान,$m = 200 \, kg$
रस्सी का ब्रेकिंग बल,$T = 50 \, kg\text{-wt} = 50 \times 10 \, N = 500 \, N$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, ms^{-2}$
जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ नीचे उतारा जाता है,तो गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$
मान रखने पर:
$(200 \times 10) - 500 = 200a$
$2000 - 500 = 200a$
$1500 = 200a$
$a = \frac{1500}{200} = 7.5 \, ms^{-2}$
अतः,अधिकतम त्वरण $7.5 \, ms^{-2}$ है।

(C) माना डोरी में तनाव $T$ है।
क्लैंप पर लगने वाला अधिकतम ऊर्ध्वाधर बल $T \sin 30^{\circ} = 40 \,N$ है।
$\sin 30^{\circ} = 1/2$ का मान रखने पर:
$T \cdot (1/2) = 40$
$T = 80 \,N$
अब,$m = 5 \,kg$ द्रव्यमान वाले बंदर के लिए मुक्त पिंड आरेख $\text{(FBD)}$ पर विचार करें जो $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ रहा है।
बंदर पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार: $T - mg = ma$
$a = (T - mg) / m$
$T = 80 \,N$,$m = 5 \,kg$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ का मान रखने पर:
$a = (80 - 5 \times 10) / 5$
$a = (80 - 50) / 5$
$a = 30 / 5 = 6 \,ms^{-2}$
अतः,अधिकतम त्वरण $6 \,ms^{-2}$ है।

(C) माना भार $W_1 = 2 \,N$ और $W_2 = 3 \,N$ हैं। द्रव्यमान $m_1 = W_1/g$ और $m_2 = W_2/g$ हैं।
घिरनी $a = g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित है।
घिरनी के फ्रेम में, प्रत्येक द्रव्यमान पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
अतः, प्रत्येक द्रव्यमान के लिए प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g = 2g$ हो जाता है।
प्रभावी भार $W_1' = m_1(2g) = 2W_1 = 4 \,N$ और $W_2' = m_2(2g) = 2W_2 = 6 \,N$ हैं।
घिरनी पर डोरी में तनाव $T = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2} g_{eff}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रभावी भार प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{2 W_1' W_2'}{W_1' + W_2'} = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} = \frac{48}{10} = 4.8 \,N$.

(D) मान लीजिए कि नगण्य द्रव्यमान वाला एक तार छत से लटका हुआ है। तार के निचले सिरे पर $F$ बल लगाया गया है।
चूंकि तार द्रव्यमानहीन है,इसलिए संतुलन में रहने के लिए तार के किसी भी खंड पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
यदि हम तार का कोई भी अनुप्रस्थ काट लें और उस काट के नीचे के तार के हिस्से पर विचार करें,तो इस हिस्से पर केवल दो बल कार्य कर रहे हैं: अनुप्रस्थ काट पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला तनाव $T$ और सिरे पर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $F$।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर,$T - F = ma$। चूंकि तार का द्रव्यमान $m$ शून्य है,इसलिए $T - F = 0$,जिससे $T = F$ प्राप्त होता है।
अतः,तार के किसी भी अनुप्रस्थ काट पर तनाव $F$ होता है।

(B) निकाय का सामान्य त्वरण इस प्रकार है:
$a = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) g = \left( \frac{1.5 - 0.5}{1.5 + 0.5} \right) g = \frac{1}{2} g = 5 \ m/s^2$.
जब ब्लॉक $A$ को $80 \ cm$ $(0.8 \ m)$ की ऊंचाई से छोड़ा जाता है,तो यह $a = 5 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है। जब ब्लॉक $A$ जमीन से टकराता है,तो ब्लॉकों का वेग $v$,$v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दिया जाता है:
$v^2 = 0 + 2(5)(0.8) = 8 \ (m/s)^2$.
इस क्षण पर,ब्लॉक $B$ जमीन से $80 \ cm$ की ऊंचाई पर है और इसका ऊपर की ओर वेग $v = \sqrt{8} \ m/s$ है।
ब्लॉक $A$ के जमीन से टकराने के बाद,डोरी ढीली हो जाती है और ब्लॉक $B$ गुरुत्वाकर्षण के तहत $g = 10 \ m/s^2$ के मंदन के साथ गति करता है।
ब्लॉक $B$ द्वारा तय की गई अतिरिक्त ऊंचाई $h$ ज्ञात करने के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_f^2 = v^2 - 2gh$
$0 = 8 - 2(10)h$
$h = \frac{8}{20} = 0.4 \ m = 40 \ cm$.
ब्लॉक $B$ द्वारा जमीन से प्राप्त अधिकतम ऊंचाई प्रारंभिक ऊंचाई और अतिरिक्त ऊंचाई का योग है:
$H_{max} = 80 \ cm + 40 \ cm = 120 \ cm$.

(B) मान लीजिए $M = 10 \ kg$ क्षैतिज सतह पर द्रव्यमान है और $m$ लटकते हुए ब्लॉक का द्रव्यमान है।
चूंकि सिस्टम को विरामावस्था से मुक्त किया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
लटकते हुए ब्लॉक द्वारा तय की गई दूरी $s = 2 \ m$ है और समय $t = 2 \ s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$2 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (2)^2$
$2 = 2a \Rightarrow a = 1 \ ms^{-2}$.
अब,सिस्टम पर न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
लटकते हुए ब्लॉक के लिए: $mg - T = ma$
सतह पर स्थित ब्लॉक के लिए: $T = Ma$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $mg = (M + m)a$
$m(g - a) = Ma$
$m(10 - 1) = 10 \times 1$
$9m = 10 \Rightarrow m = \frac{10}{9} \ kg \approx 1.11 \ kg$.
लटकते हुए ब्लॉक का भार $W = mg = \frac{10}{9} \times 10 = \frac{100}{9} \ N \approx 11.11 \ N$ है।

(B) मान लीजिए कि खींचे जाने पर डोरी क्षैतिज सतह के साथ एक त्रिभुज बनाती है। डोरी के प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $a$ है। मान लीजिए कि मध्य बिंदु से प्रत्येक कण की क्षैतिज दूरी $x$ है। मध्य बिंदु $P$ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो डोरी क्षैतिज सतह के साथ बनाती है। तब $\cos \theta = \frac{x}{a}$ और $\sin \theta = \frac{y}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ है।
मध्य बिंदु $P$ के लिए,ऊर्ध्वाधर बल संतुलन $2T \sin \theta = F$ है,इसलिए $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले प्रत्येक कण के लिए,क्षैतिज बल $T \cos \theta = ma_{p}$ है,जहाँ $a_{p}$ कण का त्वरण है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $a_{p} = \frac{T \cos \theta}{m} = \frac{F \cos \theta}{2m \sin \theta} = \frac{F}{2m} \cot \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2 - x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$,इसलिए त्वरण $a_{p} = \frac{F}{2m} \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \text{ kg}$,स्प्रिंग नियतांक $K = 8 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$।
निचली घिरनी के फ्री बॉडी डायग्राम से,$4 \text{ kg}$ द्रव्यमान को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $T = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ है।
निचली घिरनी डोरी के दो भागों द्वारा समर्थित है,जिनमें से प्रत्येक में तनाव $T$ है। अतः,निचली घिरनी द्वारा ऊपरी घिरनी पर लगाया गया बल $2T = 2 \times 40 = 80 \text{ N}$ है।
ऊपरी घिरनी स्प्रिंग और जमीन से जुड़ी डोरी द्वारा समर्थित है। ऊपरी घिरनी पर कुल अधोगामी बल जमीन से जुड़ी डोरी का तनाव $(2T)$ और निचली घिरनी द्वारा लगाया गया बल $(2T)$ का योग है।
इसलिए,स्प्रिंग में कुल बल $F = 2T + 2T = 4T = 4 \times 40 = 160 \text{ N}$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,स्प्रिंग में विस्तार $x = \frac{F}{K} = \frac{160}{8 \times 10^3} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
ब्लॉक $1$ का द्रव्यमान, $m_1 = 0.36 \,kg$
ब्लॉक $2$ का द्रव्यमान, $m_2 = 0.72 \,kg$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$
समय, $t = 1 \,s$
निकाय का त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \,m/s^2$
डोरी में तनाव $T$:
$T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \,N$
$t = 1 \,s$ में ब्लॉक $m_1$ का विस्थापन $s$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \,m$
ब्लॉक $m_1$ पर डोरी द्वारा किया गया कार्य:
$W = T \times s \times \cos(0^\circ) = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \,J$