Block on Block System, psudo force and Constrained Motion In Friction Questions in Hindi

(A) ब्लॉक और स्लैब के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\text{max}} = \mu N = \mu m_1 g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_1 = 10 \,kg$ और $\mu = 0.40$ है।
$f_{\text{max}} = 0.40 \times 10 \times 10 = 40 \,N$.
यह घर्षण बल $40 \,kg$ के स्लैब पर लगाए गए बल की दिशा में कार्य करता है।
स्लैब का त्वरण इसी घर्षण बल के कारण उत्पन्न होता है।
स्लैब $(m_2 = 40 \,kg)$ के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर:
$F_{\text{friction}} = m_2 a_{\text{slab}}$
$40 \,N = 40 \,kg \times a_{\text{slab}}$
$a_{\text{slab}} = 1.0 \,m/s^2$.

(B) $1$. मान लीजिए कि दोनों ब्लॉक एक साथ समान त्वरण $a$ से चलते हैं। प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = 4 \,kg + 2 \,kg = 6 \,kg$ है।
$2$. लगाया गया बाहरी बल $F = 30 \,N$ है। सामान्य त्वरण $a = F / M = 30 / 6 = 5 \,m/s^2$ है।
$3$. यह जांचने के लिए कि क्या वे एक साथ चलते हैं,हम $2 \,kg$ ब्लॉक पर आवश्यक घर्षण बल $f$ की गणना करते हैं: $f = m \cdot a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$।
$4$. ब्लॉकों के बीच सीमांत घर्षण $f_L = \mu_s \cdot N = \mu_s \cdot (m \cdot g) = 0.8 \times 2 \times 10 = 16 \,N$ है।
$5$. चूंकि आवश्यक घर्षण बल $(10 \,N)$ सीमांत घर्षण $(16 \,N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक $5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ एक साथ चलेंगे।

(C) मान लीजिए कि ब्लॉक $A$ और $B$ से बनी प्रणाली का सामान्य त्वरण $a$ है।
कुल लगाया गया बल $F$ है और कुल द्रव्यमान $(M+m)$ है।
पूरी प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = (M+m)a$,जिससे $a = \frac{F}{M+m}$ प्राप्त होता है।
अब,$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक $B$ के फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें।
ब्लॉक $B$ को नीचे न फिसलने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,$f = mg$.
घर्षण बल $f = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ ब्लॉक $A$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया अभिलंब बल है।
अभिलंब बल $N$ ब्लॉक $B$ को त्वरण $a$ प्रदान करता है,इसलिए $N = ma$.
$a$ का मान रखने पर: $N = m \left( \frac{F}{M+m} \right)$.
अब,घर्षण बल को वजन के बराबर करने पर: $\mu N = mg$.
$\mu \left( m \frac{F}{M+m} \right) = mg$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{(M+m)g}{\mu}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि दोनों ब्लॉक एक साथ समान त्वरण $a$ से गति करते हैं। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 1 \,kg + 100 \,kg = 101 \,kg$ है। लगाया गया बाह्य बल $F = 10 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = Ma$,हमें $10 = 101 \times a$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{10}{101} \approx 0.099 \,m/s^2 \approx 0.1 \,m/s^2$।
$1 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल $f$ उसे त्वरण प्रदान करता है। अतः,$f = m \times a = 1 \,kg \times 0.1 \,m/s^2 = 0.1 \,N$।
अधिकतम सीमांत घर्षण $f_L = \mu N = 0.5 \times 1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 5 \,N$ है।
चूंकि आवश्यक घर्षण बल $(0.1 \,N)$,सीमांत घर्षण $(5 \,N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक एक साथ गति करेंगे और $1 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल $0.1 \,N$ होगा।

(D) $1$. निकाय का कुल द्रव्यमान $(A + B) = 2 \, kg + 8 \, kg = 10 \, kg$ है।
$2$. ब्लॉक $B$ और क्षैतिज फर्श के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N$ फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
$3$. अभिलंब बल $N = (m_A + m_B)g = 10 \, kg \times 10 \, ms^{-2} = 100 \, N$ है।
$4$. अतः, $f_{max} = 0.5 \times 100 \, N = 50 \, N$ प्राप्त होता है।
$5$. ब्लॉक $B$ पर लगाया गया क्षैतिज बल $F_{app} = 10 \, N$ है।
$6$. चूँकि $F_{app} < f_{max}$ $(10 \, N < 50 \, N)$, पूरा निकाय स्थिर रहेगा।
$7$. चूँकि निकाय स्थिर है और ब्लॉक $A$ पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए ब्लॉक $A$ और $B$ के बीच घर्षण बल शून्य होगा।

(A) ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ पर फिसलाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण बल $f_{max} = 12 \ N$ है।
ब्लॉक $A$ के ब्लॉक $B$ के साथ बिना फिसले गति करने के लिए,निकाय का अधिकतम त्वरण $a_{max}$ ब्लॉक $A$ पर लगने वाले अधिकतम घर्षण बल द्वारा निर्धारित होता है:
$f_{max} = m_A \cdot a_{max}$
$12 \ N = 4 \ kg \cdot a_{max}$
$a_{max} = 3 \ m \ s^{-2}$
अब,निकाय के दोनों ब्लॉकों $A$ और $B$ को एक साथ $a_{max}$ त्वरण से गति करते हुए मानें। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B = 4 \ kg + 6 \ kg = 10 \ kg$ है।
ब्लॉक $B$ पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम क्षैतिज बल $F_B$ है:
$F_B = M \cdot a_{max}$
$F_B = 10 \ kg \cdot 3 \ m \ s^{-2} = 30 \ N$.

(D) $1$. ब्लॉक $A$ और स्लैब $B$ के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल की गणना करें: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58 \ N$।
$2$. चूंकि लगाया गया बल $(100 \ N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(58 \ N)$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक $A$,स्लैब $B$ पर फिसलेगा।
$3$. जब फिसलन होती है,तो सतहों के बीच गतिज घर्षण बल कार्य करता है: $f_k = \mu_k N = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \ N$।
$4$. यह गतिज घर्षण बल $f_k$ स्लैब $B$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है (क्योंकि फर्श घर्षण रहित है)।
$5$. न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग स्लैब $B$ के लिए करने पर: $F_{net} = M_B a_B \Rightarrow f_k = M_B a_B$।
$6$. $39.2 = 30 \times a_B \Rightarrow a_B = \frac{39.2}{30} \approx 1.31 \ m \ s^{-2}$।

(C) दिया गया है:
ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान,$m_A = 100 \ kg$
ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान,$m_B = 300 \ kg$
$A$ और $B$ के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_1 = 0.35$
$B$ और सतह के बीच घर्षण गुणांक,$\mu_2 = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$
जब ब्लॉक $B$ को बल $P$ से खींचा जाता है,तो ब्लॉक $A$ दीवार से बंधी डोरी के कारण स्थिर रहता है। अतः,दोनों सतहों पर गतिज घर्षण बल कार्य करता है।
$1$. $A$ और $B$ के बीच घर्षण बल $(f_1)$:
$f_1 = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_A g$
$f_1 = 0.35 \times 100 \times 9.8 = 343 \ N$
$2$. $B$ और सतह के बीच घर्षण बल $(f_2)$:
सतह पर अभिलंब बल दोनों ब्लॉकों के कुल भार के बराबर होता है: $N_2 = (m_A + m_B)g$
$f_2 = \mu_2 N_2 = 0.5 \times (100 + 300) \times 9.8$
$f_2 = 0.5 \times 400 \times 9.8 = 1960 \ N$
$3$. ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए आवश्यक कुल बल $P$:
$P = f_1 + f_2$
$P = 343 + 1960 = 2303 \ N$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $2350 \ N$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) $10 \,kg$ और $40 \,kg$ के ब्लॉक के बीच स्थैतिक घर्षण बल इस प्रकार है:
$F_s = \mu_s R = 0.6 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 58.8 \,N$
यहाँ,लगाया गया बल $(F = 100 \,N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(58.8 \,N)$ से अधिक है,इसलिए $10 \,kg$ का ब्लॉक $40 \,kg$ के स्लैब के सापेक्ष गति करेगा।
इस सापेक्ष गति के कारण,$40 \,kg$ के स्लैब पर लगने वाला गतिज घर्षण बल है:
$f_k = \mu_k R = 0.4 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 39.2 \,N$
यह गतिज घर्षण बल $f_k$ ही $40 \,kg$ के स्लैब पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है।
इसलिए,$40 \,kg$ के स्लैब का त्वरण $a$ है:
$a = \frac{f_k}{m_{slab}} = \frac{39.2 \,N}{40 \,kg} = 0.98 \,ms^{-2}$

(D) माना कि ऊपरी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और निचले ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 4 \,kg$ है। ब्लॉकों के बीच घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$ है।
सबसे पहले,दोनों ब्लॉकों के बीच सीमांत घर्षण बल $f_L$ की गणना करें:
$f_L = \mu N = \mu m_1 g = 0.5 \times 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10 \,N$.
अब,$2 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। इस पर $2 \,N$ का क्षैतिज बल लगाया गया है। चूंकि लगाया गया बल $(2 \,N)$,सीमांत घर्षण $(10 \,N)$ से कम है,इसलिए $2 \,kg$ का ब्लॉक $4 \,kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष नहीं फिसलेगा।
इस स्थिर संतुलन की स्थिति में,$2 \,kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल $f$,लगाए गए बाहरी बल को संतुलित करेगा ताकि वह $4 \,kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष स्थिर रहे।
अतः,$f = 2 \,N$.

(C) चूंकि ब्लॉक एक साथ गति करते हैं और उनके बीच कोई सापेक्ष फिसलन नहीं है,इसलिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M+m}$ है।
ऊपरी $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ उसे निचले ब्लॉक के साथ गति करने के लिए आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। अतः,$f = ma = m \left( \frac{F}{M+m} \right) = \frac{mF}{M+m}$।
विराम अवस्था से $t$ समय में ब्लॉकों द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{F}{M+m} \right) t^2$ है।
ऊपरी ब्लॉक पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \times s = \left( \frac{mF}{M+m} \right) \times \left( \frac{1}{2} \frac{F t^2}{M+m} \right) = \frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$ है।
नोट: निचले ब्लॉक पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य परिमाण में समान लेकिन विपरीत दिशा $(-W)$ में होता है,इसलिए निकाय पर घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है। प्रश्न ब्लॉकों पर घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछता है (जो ऊपरी ब्लॉक के लिए है),जो $\frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$ है।

(B) दोनों ब्लॉकों के एक साथ गति करने के लिए,ब्लॉक $m_2$ को $m_1$ के समान त्वरण $a$ के साथ गति करनी चाहिए। $m_2$ को त्वरित करने वाला एकमात्र बल $m_1$ और $m_2$ के बीच कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण बल $f$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max} = \mu N = \mu m_2 g$ है।
ब्लॉक $m_2$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$f_{\max} = m_2 a \implies \mu m_2 g = m_2 a \implies a = \mu g$.
अब,दोनों ब्लॉकों के निकाय $(m_1 + m_2)$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) a$.
$a$ का मान रखने पर:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) \mu g = \mu(m_1 + m_2) g$.

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 8 \text{ ton} + 2 \text{ ton} = 10 \text{ ton} = 10000 \text{ kg}$ है।
ब्रेकिंग बल $F = 25000 \text{ N}$ है।
ट्रक का मंदन $a = F / M = 25000 / 10000 = 2.5 \text{ m/s}^2$ है।
$m = 2000 \text{ kg}$ द्रव्यमान का ब्लॉक गति की दिशा में $F_p = m \times a = 2000 \times 2.5 = 5000 \text{ N}$ का छद्म बल (pseudo force) अनुभव करता है।
उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu \times m \times g = 0.3 \times 2000 \times 10 = 6000 \text{ N}$ है।
चूंकि ब्लॉक को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल $(5000 \text{ N})$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(6000 \text{ N})$ से कम है, इसलिए ब्लॉक नहीं फिसलेगा।
अतः, ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल छद्म बल के बराबर होगा, जो कि $5000 \text{ N}$ है।

(A) माना $m_1 = 0.8 \text{ kg}$ और $m_2 = 0.2 \text{ kg}$ है। त्वरण $a = 5 \text{ m/s}^2$ है। घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$ है।
$0.2 \text{ kg}$ के ब्लॉक के लिए, तनाव बल $T$ इसे घिरनी की ओर खींचता है, और $0.8 \text{ kg}$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f_2$ इस गति का विरोध करता है। $0.2 \text{ kg}$ के ब्लॉक पर अभिलंब बल $N_2 = m_2 g = 0.2 \times 10 = 2 \text{ N}$ है।
$m_2$ के लिए गति का समीकरण: $T - \mu N_2 = m_2 a \implies T - 0.1 \times 2 = 0.2 \times 5 \implies T - 0.2 = 1.0 \implies T = 1.2 \text{ N}$।
$0.8 \text{ kg}$ के ब्लॉक के लिए, लगाया गया बल $F$ दाईं ओर कार्य करता है। तनाव बल $T$ बाईं ओर कार्य करता है। मेज द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f_1$ और $0.2 \text{ kg}$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया घर्षण बल $f_2$ भी बाईं ओर कार्य करते हैं। मेज द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N_1 = (m_1 + m_2)g = (0.8 + 0.2) \times 10 = 10 \text{ N}$ है।
$m_1$ के लिए गति का समीकरण: $F - T - \mu N_1 - \mu N_2 = m_1 a \implies F - 1.2 - 0.1 \times 10 - 0.1 \times 2 = 0.8 \times 5 \implies F - 1.2 - 1 - 0.2 = 4 \implies F - 2.4 = 4 \implies F = 6.4 \text{ N}$।

(A) माना $m_A = 3 \ kg$ और $m_B = 7 \ kg$ है। लगाया गया बल $F = 50 \ N$ ब्लॉक $B$ पर कार्य करता है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या निकाय गति करता है। ब्लॉक $B$ और फर्श के बीच अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, floor} = \mu_{floor} (m_A + m_B) g$ है।
$f_{max, floor} = 0.55 \times (3 + 7) \times 10 = 0.55 \times 100 = 55 \ N$.
चूँकि लगाया गया बल $F = 50 \ N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max, floor} = 55 \ N$ से कम है,इसलिए निकाय स्थिर रहेगा।
चूँकि ब्लॉक $B$ गति नहीं करता है और ब्लॉक $A$ पर उसे ब्लॉक $B$ के सापेक्ष खिसकाने के लिए कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए संतुलन बनाए रखने के लिए $A$ और $B$ के बीच स्थैतिक घर्षण बल शून्य होना चाहिए।
अतः,$A$ और $B$ के बीच घर्षण बल $0 \ N$ है।

(B) मान लीजिए $N_{1}$ दो ब्लॉकों के बीच अभिलंब बल है और $N_{2}$ निचले ब्लॉक और मेज के बीच अभिलंब बल है।
$m_{1}$ द्रव्यमान के ऊपरी ब्लॉक के लिए,अभिलंब बल $N_{1} = m_{1}g$ है।
$m_{2}$ द्रव्यमान के निचले ब्लॉक के लिए,कुल नीचे की ओर बल $N_{2} = m_{2}g + N_{1} = (m_{1} + m_{2})g$ है।
ऊपरी ब्लॉक पर क्षैतिज बल $F$ निचले ब्लॉक पर घर्षण बल $f_{1}$ उत्पन्न करता है,जहाँ $f_{1} \leq \mu_{1}N_{1} = \mu_{1}m_{1}g$ है।
निचले ब्लॉक के कभी न हिलने के लिए,मेज से लगने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल,ऊपरी ब्लॉक द्वारा निचले ब्लॉक पर लगाए गए अधिकतम घर्षण बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\mu_{2}N_{2} \geq \mu_{1}N_{1}$।
मान रखने पर,$\mu_{2}(m_{1} + m_{2})g \geq \mu_{1}m_{1}g$।
दोनों पक्षों को $\mu_{2}m_{1}g$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} \geq \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \leq 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$।
अधिकतम संभव मान $1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$ है।