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Apparent weight and Pseudo Force Questions in Hindi
Class 11 Physics · Newton's Laws of Motion and Friction · Apparent weight and Pseudo Force
157+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 47 of 157 questions in Hindi
101
MediumMCQ
विराम अवस्था में एक टैंकर में तेल की मुक्त सतह क्षैतिज होती है। यदि टैंकर त्वरित होना शुरू करता है,तो मुक्त सतह $\theta$ कोण से झुक जाएगी। यदि त्वरण $a \ m/s^2$ है,तो मुक्त सतह का ढाल (slope) क्या होगा?
A
$\tan \theta = a/g$
B
$\tan \theta = g/a$
C
$\cos \theta = a/g$
D
$\sin \theta = a/g$
Solution
(A) जब एक टैंकर त्वरित होता है,तो तेल पर एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है और इसलिए इसकी सतह क्षैतिज नहीं रहती है।
तेल की सतह पर द्रव्यमान $dm$ के एक छोटे तत्व पर विचार करें।
इस तत्व पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $dm \cdot g$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $dm \cdot a$ जो त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
टैंकर के अजड़त्वीय फ्रेम में सतह के संतुलन में रहने के लिए,सतह तत्व पर कार्य करने वाला कुल बल सतह के लंबवत होना चाहिए। वैकल्पिक रूप से,झुकी हुई सतह के समानांतर बलों को वियोजित करने पर:
सतह के समानांतर छद्म बल का घटक $(dm \cdot a) \cos \theta$ है।
सतह के समानांतर भार का घटक $(dm \cdot g) \sin \theta$ है।
सतह के समानांतर संतुलन के लिए:
$(dm \cdot a) \cos \theta = (dm \cdot g) \sin \theta$
दोनों पक्षों को $(dm \cdot \cos \theta)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
अतः,मुक्त सतह का ढाल $\frac{a}{g}$ है।
तेल की सतह पर द्रव्यमान $dm$ के एक छोटे तत्व पर विचार करें।
इस तत्व पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $dm \cdot g$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $dm \cdot a$ जो त्वरण की विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
टैंकर के अजड़त्वीय फ्रेम में सतह के संतुलन में रहने के लिए,सतह तत्व पर कार्य करने वाला कुल बल सतह के लंबवत होना चाहिए। वैकल्पिक रूप से,झुकी हुई सतह के समानांतर बलों को वियोजित करने पर:
सतह के समानांतर छद्म बल का घटक $(dm \cdot a) \cos \theta$ है।
सतह के समानांतर भार का घटक $(dm \cdot g) \sin \theta$ है।
सतह के समानांतर संतुलन के लिए:
$(dm \cdot a) \cos \theta = (dm \cdot g) \sin \theta$
दोनों पक्षों को $(dm \cdot \cos \theta)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
अतः,मुक्त सतह का ढाल $\frac{a}{g}$ है।
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MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान और $\alpha$ झुकाव कोण वाला एक लकड़ी का वेज (wedge) एक चिकनी सतह पर रखा है। $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक वेज पर रखा गया है। चित्र में दिखाए अनुसार वेज पर एक बल $F$ इस प्रकार लगाया जाता है कि ब्लॉक वेज के सापेक्ष स्थिर रहे। तो बल $F$ का परिमाण क्या है?
A
$(M+m) g \tan \alpha$
B
$g \tan \alpha$
C
$m g \cos \alpha$
D
$(M+m) g \operatorname{cosec} \alpha$
Solution
(A) मान लीजिए कि वेज का त्वरण बाईं ओर $a$ है। चूंकि ब्लॉक वेज के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए ब्लॉक भी बाईं ओर समान त्वरण $a$ के साथ गति करता है।
संपूर्ण निकाय (वेज + ब्लॉक) के लिए,कुल बल $F = (M+m) a \dots (i)$ है।
अब,वेज के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम देखें। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर।
$2$. अभिलंब बल $N$ जो झुकी हुई सतह के लंबवत है।
$3$. छद्म बल (pseudo force) $ma$ जो दाईं ओर क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
ब्लॉक के वेज पर स्थिर रहने के लिए,ढलान की दिशा में छद्म बल का घटक और गुरुत्वाकर्षण बल का घटक संतुलित होना चाहिए:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = g \tan \alpha \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = (M+m) g \tan \alpha$.
संपूर्ण निकाय (वेज + ब्लॉक) के लिए,कुल बल $F = (M+m) a \dots (i)$ है।
अब,वेज के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम देखें। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर।
$2$. अभिलंब बल $N$ जो झुकी हुई सतह के लंबवत है।
$3$. छद्म बल (pseudo force) $ma$ जो दाईं ओर क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
ब्लॉक के वेज पर स्थिर रहने के लिए,ढलान की दिशा में छद्म बल का घटक और गुरुत्वाकर्षण बल का घटक संतुलित होना चाहिए:
$ma \cos \alpha = mg \sin \alpha$
$a = g \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = g \tan \alpha \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = (M+m) g \tan \alpha$.
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MediumMCQ
एक स्थिर लिफ्ट के अंदर स्प्रिंग बैलेंस पर खड़े एक व्यक्ति का माप $60 \, kg$ है। यदि लिफ्ट $1.8 \, m/s^{2}$ के समान नीचे की ओर त्वरण के साथ नीचे उतरती है,तो उस व्यक्ति का भार $_{-} N$ होगा। $[g = 10 \, m/s^{2}]$
A
$486$
B
$492$
C
$512$
D
$456$
Solution
(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो अभिलंब बल $N$ व्यक्ति के भार के बराबर होता है:
$N = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$
जब लिफ्ट $a = 1.8 \, m/s^{2}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो हम लिफ्ट के संदर्भ फ्रेम से गति का विश्लेषण कर सकते हैं। इस अजड़त्वीय फ्रेम में,एक छद्म बल (pseudo force) $F_{p} = ma$ ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
आभासी भार $N'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$N' = mg - ma = m(g - a)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N' = 60 \times (10 - 1.8)$
$N' = 60 \times 8.2$
$N' = 492 \, N$
$N = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$
जब लिफ्ट $a = 1.8 \, m/s^{2}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो हम लिफ्ट के संदर्भ फ्रेम से गति का विश्लेषण कर सकते हैं। इस अजड़त्वीय फ्रेम में,एक छद्म बल (pseudo force) $F_{p} = ma$ ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
आभासी भार $N'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$N' = mg - ma = m(g - a)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N' = 60 \times (10 - 1.8)$
$N' = 60 \times 8.2$
$N' = 492 \, N$
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MediumMCQ
एक व्यक्ति लिफ्ट में खड़ा है। किस स्थिति में उसे भार में कमी महसूस होती है?
A
जब लिफ्ट नियत त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है
B
जब लिफ्ट नियत त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है
C
जब लिफ्ट एकसमान वेग के साथ ऊपर की ओर गति करती है
D
जब लिफ्ट एकसमान वेग के साथ नीचे की ओर गति करती है
Solution
(B) मान लीजिए व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और लिफ्ट का त्वरण $a$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति के लिए गति का समीकरण है:
$mg - N = ma$
जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल (आभासी भार) है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N = m(g - a)$
चूंकि $N < mg$,इसलिए जब लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती है तो व्यक्ति को भार में कमी महसूस होती है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति के लिए गति का समीकरण है:
$mg - N = ma$
जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल (आभासी भार) है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N = m(g - a)$
चूंकि $N < mg$,इसलिए जब लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती है तो व्यक्ति को भार में कमी महसूस होती है।
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EasyMCQ
द्रव्यमान $M$ का एक ब्लॉक एक बॉक्स के अंदर रखा गया है जो $a$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर उतर रहा है। ब्लॉक बॉक्स के फर्श पर अपने वजन के एक चौथाई के बराबर बल लगाता है। $a$ का मान ............. होगा।
A
$\frac{g}{4}$
B
$\frac{g}{2}$
C
$\frac{3g}{4}$
D
$g$
Solution
(C) मान लीजिए कि ब्लॉक का द्रव्यमान $M$ है। ब्लॉक पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर $Mg$ है।
बॉक्स के फर्श द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ उसके वजन का एक चौथाई दिया गया है,इसलिए $N = \frac{Mg}{4}$ है।
चूंकि बॉक्स $a$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है,ब्लॉक के लिए गति का समीकरण है:
$Mg - N = Ma$
$N$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg - \frac{Mg}{4} = Ma$
$\frac{3Mg}{4} = Ma$
$a = \frac{3g}{4}$
बॉक्स के फर्श द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ उसके वजन का एक चौथाई दिया गया है,इसलिए $N = \frac{Mg}{4}$ है।
चूंकि बॉक्स $a$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है,ब्लॉक के लिए गति का समीकरण है:
$Mg - N = Ma$
$N$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg - \frac{Mg}{4} = Ma$
$\frac{3Mg}{4} = Ma$
$a = \frac{3g}{4}$
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DifficultMCQ
तीन द्रव्यमान $M = 100 \, kg$,$m_{1} = 10 \, kg$ और $m_{2} = 20 \, kg$ को चित्र में दिखाए अनुसार एक निकाय में व्यवस्थित किया गया है। सभी सतहें घर्षण रहित हैं और डोरियाँ अवितान्य और भारहीन हैं। घिरनियाँ भी भारहीन और घर्षण रहित हैं। निकाय पर एक बल $F$ लगाया जाता है ताकि द्रव्यमान $m_{2}$,$2 \, m/s^{2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करे। $F$ का मान $...... \, N$ है। ($g = 10 \, m/s^{2}$ लें)
A
$3360$
B
$3380$
C
$3120$
D
$3240$
Solution
(C) माना $100 \, kg$ के ब्लॉक का त्वरण दाईं ओर $a_{1}$ है।
$m_{2} = 20 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,यह $100 \, kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष $a_{y} = 2 \, m/s^{2}$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रहा है। डोरी में तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है और गुरुत्वाकर्षण $20g$ नीचे की ओर कार्य करता है। छद्म बल (pseudo force) $20a_{1}$ क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य करता है।
$m_{2}$ के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T - m_{2}g = m_{2}a_{y}$
$T - 20(10) = 20(2)$
$T - 200 = 40 \Rightarrow T = 240 \, N$.
अब,$100 \, kg$ के ब्लॉक के ऊपर स्थित $m_{1} = 10 \, kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। यह डोरी के माध्यम से $20 \, kg$ के ब्लॉक से जुड़ा है। $100 \, kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष $m_{1}$ का क्षैतिज त्वरण $a_{x} = 2 \, m/s^{2}$ है (चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए $m_{1}$ का क्षैतिज त्वरण $m_{2}$ के ऊर्ध्वाधर त्वरण के बराबर होना चाहिए)।
$m_{1}$ के लिए क्षैतिज दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T = m_{1}a_{1} \Rightarrow 240 = 10a_{1} \Rightarrow a_{1} = 24 \, m/s^{2}$.
अंत में,पूरे निकाय $(M + m_{1} + m_{2})$ को $a_{1}$ त्वरण के साथ गति करते हुए मानने पर:
$F = (M + m_{1} + m_{2})a_{1}$
$F = (100 + 10 + 20) \times 24$
$F = 130 \times 24 = 3120 \, N$.
$m_{2} = 20 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,यह $100 \, kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष $a_{y} = 2 \, m/s^{2}$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रहा है। डोरी में तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है और गुरुत्वाकर्षण $20g$ नीचे की ओर कार्य करता है। छद्म बल (pseudo force) $20a_{1}$ क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य करता है।
$m_{2}$ के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T - m_{2}g = m_{2}a_{y}$
$T - 20(10) = 20(2)$
$T - 200 = 40 \Rightarrow T = 240 \, N$.
अब,$100 \, kg$ के ब्लॉक के ऊपर स्थित $m_{1} = 10 \, kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। यह डोरी के माध्यम से $20 \, kg$ के ब्लॉक से जुड़ा है। $100 \, kg$ के ब्लॉक के सापेक्ष $m_{1}$ का क्षैतिज त्वरण $a_{x} = 2 \, m/s^{2}$ है (चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए $m_{1}$ का क्षैतिज त्वरण $m_{2}$ के ऊर्ध्वाधर त्वरण के बराबर होना चाहिए)।
$m_{1}$ के लिए क्षैतिज दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T = m_{1}a_{1} \Rightarrow 240 = 10a_{1} \Rightarrow a_{1} = 24 \, m/s^{2}$.
अंत में,पूरे निकाय $(M + m_{1} + m_{2})$ को $a_{1}$ त्वरण के साथ गति करते हुए मानने पर:
$F = (M + m_{1} + m_{2})a_{1}$
$F = (100 + 10 + 20) \times 24$
$F = 130 \times 24 = 3120 \, N$.
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DifficultMCQ
एक लड़की एक ट्रेन की खिड़की से एक सेब गिराती है,जो एक सीधी पटरी पर नियत दर से बढ़ती गति के साथ चल रही है। लड़की द्वारा देखे गए गिरते हुए सेब का प्रक्षेप पथ क्या होगा?
A
परवलयाकार और चलती ट्रेन की दिशा में
B
परवलयाकार और चलती ट्रेन की विपरीत दिशा में
C
एक झुकी हुई सीधी रेखा जो चलती ट्रेन की दिशा में इंगित करती है
D
एक झुकी हुई सीधी रेखा जो चलती ट्रेन की विपरीत दिशा में इंगित करती है
Solution
(D) जब सेब को छोड़ा जाता है,तो वह एक अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (त्वरित ट्रेन) में होता है।
इस फ्रेम में,सेब दो निरंतर त्वरणों का अनुभव करता है:
$1$. गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण,$a_2 = g$ (नीचे की ओर)।
$2$. छद्म-त्वरण (pseudo-acceleration),$a_1 = -a$ (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में,जहाँ $a$ ट्रेन का त्वरण है)।
चूंकि दोनों त्वरण स्थिर हैं और निश्चित दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_{\text{net}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ का परिमाण और दिशा भी स्थिर रहती है।
लड़की के सापेक्ष सेब का प्रारंभिक वेग शून्य होने के कारण,सेब परिणामी त्वरण सदिश की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगा।
इसलिए,लड़की द्वारा देखे गए गिरते हुए सेब का प्रक्षेप पथ चलती ट्रेन की दिशा के विपरीत एक झुकी हुई सीधी रेखा होगी।
इस फ्रेम में,सेब दो निरंतर त्वरणों का अनुभव करता है:
$1$. गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण,$a_2 = g$ (नीचे की ओर)।
$2$. छद्म-त्वरण (pseudo-acceleration),$a_1 = -a$ (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में,जहाँ $a$ ट्रेन का त्वरण है)।
चूंकि दोनों त्वरण स्थिर हैं और निश्चित दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_{\text{net}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ का परिमाण और दिशा भी स्थिर रहती है।
लड़की के सापेक्ष सेब का प्रारंभिक वेग शून्य होने के कारण,सेब परिणामी त्वरण सदिश की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगा।
इसलिए,लड़की द्वारा देखे गए गिरते हुए सेब का प्रक्षेप पथ चलती ट्रेन की दिशा के विपरीत एक झुकी हुई सीधी रेखा होगी।
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DifficultMCQ
एक तख्ता $a \hat{i}$ के निरंतर त्वरण के साथ क्षैतिज दिशा में गति कर रहा है। $l$ भुजा वाला एक समान खुरदरा घनाकार ब्लॉक तख्ते पर रखा है और तख्ते के सापेक्ष स्थिर है। मान लीजिए कि किसी क्षण पर ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र $(0, l/2)$ पर है। यदि $a = g/10$ है,तो उस क्षण पर तख्ते द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल किस बिंदु पर कार्य करता है?
A
$(0,0)$
B
$(-l/20, 0)$
C
$(-l/10, 0)$
D
$(l/10, 0)$
Solution
(B) तख्ते के फ्रेम में ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल छद्म बल $ma$ (द्रव्यमान केंद्र पर पीछे की ओर),भार $mg$ (द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर),स्थैतिक घर्षण $f$ (आधार पर) और अभिलंब बल $N$ (आधार पर केंद्र रेखा से $x$ दूरी पर) हैं।
ब्लॉक के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
छद्म बल $ma$ और भार $mg$ के कारण टॉर्क शून्य है क्योंकि उनकी क्रिया रेखा द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है।
घर्षण $f$ के कारण टॉर्क $\tau_f = f \cdot (l/2)$ है।
अभिलंब बल $N$ के कारण टॉर्क $\tau_N = N \cdot x$ है।
$\tau_N = \tau_f$ रखने पर,हमें $N \cdot x = f \cdot (l/2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $N = mg$ और $f = ma$,इसलिए $mg \cdot x = ma \cdot (l/2)$ है।
अतः,$x = (a/g) \cdot (l/2)$।
$a = g/10$ दिया गया है,इसलिए $x = (1/10) \cdot (l/2) = l/20$ प्राप्त होता है।
चूंकि छद्म बल धनात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है (ब्लॉक के फ्रेम के सापेक्ष यह पीछे की ओर कार्य करता है),इसलिए टॉर्क को संतुलित करने के लिए अभिलंब बल को ऋणात्मक $x$-दिशा में स्थानांतरित होना चाहिए। अतः,वह बिंदु $(-l/20, 0)$ है।
ब्लॉक के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
छद्म बल $ma$ और भार $mg$ के कारण टॉर्क शून्य है क्योंकि उनकी क्रिया रेखा द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है।
घर्षण $f$ के कारण टॉर्क $\tau_f = f \cdot (l/2)$ है।
अभिलंब बल $N$ के कारण टॉर्क $\tau_N = N \cdot x$ है।
$\tau_N = \tau_f$ रखने पर,हमें $N \cdot x = f \cdot (l/2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $N = mg$ और $f = ma$,इसलिए $mg \cdot x = ma \cdot (l/2)$ है।
अतः,$x = (a/g) \cdot (l/2)$।
$a = g/10$ दिया गया है,इसलिए $x = (1/10) \cdot (l/2) = l/20$ प्राप्त होता है।
चूंकि छद्म बल धनात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है (ब्लॉक के फ्रेम के सापेक्ष यह पीछे की ओर कार्य करता है),इसलिए टॉर्क को संतुलित करने के लिए अभिलंब बल को ऋणात्मक $x$-दिशा में स्थानांतरित होना चाहिए। अतः,वह बिंदु $(-l/20, 0)$ है।
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AdvancedMCQ
एक सरल लोलक एक ब्लॉक से जुड़ा है जो नीचे दिखाए गए अनुसार $\alpha$ झुकाव कोण वाले एक नत समतल $ABC$ पर बिना घर्षण के नीचे फिसल रहा है। जब ब्लॉक नीचे फिसल रहा होता है,तो लोलक इस तरह दोलन करता है कि अपनी माध्य स्थिति में डोरी की दिशा ........... होती है।
A
नत समतल $AC$ के लंबवत के साथ $\alpha$ कोण पर
B
नत समतल $AC$ के समानांतर
C
ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर
D
नत समतल $AC$ के लंबवत
Solution
(D) सही विकल्प $(d)$ है।
जब ब्लॉक $a = g \sin \alpha$ के त्वरण के साथ घर्षण रहित नत समतल पर नीचे फिसलता है,तो हम ब्लॉक के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में लोलक के गोलक की गति का विश्लेषण करते हैं।
$(i)$ ब्लॉक के फ्रेम में लोलक के गोलक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) और छद्म बल $ma = mg \sin \alpha$ (नत समतल के समानांतर ऊपर की ओर) हैं।
$(ii)$ गोलक द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण $g_{eff}$,गुरुत्वीय त्वरण $\vec{g}$ और छद्म त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
$(iii)$ लोलक की माध्य स्थिति इस प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff}$ की दिशा के अनुरूप होती है।
$(iv)$ गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को समतल के लंबवत $(mg \cos \alpha)$ और समतल के समानांतर $(mg \sin \alpha)$ घटकों में वियोजित करने पर,हम देखते हैं कि समानांतर घटक $mg \sin \alpha$ विपरीत दिशा में कार्य करने वाले छद्म बल $mg \sin \alpha$ द्वारा पूरी तरह से निरस्त हो जाता है।
$(v)$ इस प्रकार,प्रभावी बल का शेष एकमात्र घटक $mg \cos \alpha$ है,जो नत समतल $AC$ के लंबवत कार्य करता है। इसलिए,लोलक की डोरी अपनी माध्य स्थिति में नत समतल के लंबवत संरेखित हो जाती है।
जब ब्लॉक $a = g \sin \alpha$ के त्वरण के साथ घर्षण रहित नत समतल पर नीचे फिसलता है,तो हम ब्लॉक के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में लोलक के गोलक की गति का विश्लेषण करते हैं।
$(i)$ ब्लॉक के फ्रेम में लोलक के गोलक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) और छद्म बल $ma = mg \sin \alpha$ (नत समतल के समानांतर ऊपर की ओर) हैं।
$(ii)$ गोलक द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण $g_{eff}$,गुरुत्वीय त्वरण $\vec{g}$ और छद्म त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
$(iii)$ लोलक की माध्य स्थिति इस प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff}$ की दिशा के अनुरूप होती है।
$(iv)$ गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को समतल के लंबवत $(mg \cos \alpha)$ और समतल के समानांतर $(mg \sin \alpha)$ घटकों में वियोजित करने पर,हम देखते हैं कि समानांतर घटक $mg \sin \alpha$ विपरीत दिशा में कार्य करने वाले छद्म बल $mg \sin \alpha$ द्वारा पूरी तरह से निरस्त हो जाता है।
$(v)$ इस प्रकार,प्रभावी बल का शेष एकमात्र घटक $mg \cos \alpha$ है,जो नत समतल $AC$ के लंबवत कार्य करता है। इसलिए,लोलक की डोरी अपनी माध्य स्थिति में नत समतल के लंबवत संरेखित हो जाती है।
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MediumMCQ
एक आयताकार बॉक्स में पानी भरा है। इसे $a$ त्वरण के साथ दाईं ओर खींचा जा रहा है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प पानी की सतह का सही आकार दर्शाता है?
A
B
C
D
Solution
(D) जब किसी तरल पदार्थ वाले पात्र को $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से त्वरित किया जाता है,तो पात्र के संदर्भ फ्रेम में तरल कणों पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}}$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $-a$ (बाईं ओर) का सदिश योग होता है।
अतः,$g_{\text{eff}} = g + (-a)$।
संतुलन की स्थिति में तरल की सतह हमेशा प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}}$ के लंबवत होनी चाहिए।
चूंकि $g_{\text{eff}}$ नीचे और बाईं ओर निर्देशित है,इसलिए पानी की सतह इस तरह झुकेगी कि वह बाईं ओर ऊंची और दाईं ओर नीची हो,जो $g_{\text{eff}}$ सदिश के लंबवत एक सीधी रेखा बनाती है।
इसलिए,सही आकार एक सीधी झुकी हुई सतह है,जैसा कि विकल्प $D$ में दिखाया गया है।
अतः,$g_{\text{eff}} = g + (-a)$।
संतुलन की स्थिति में तरल की सतह हमेशा प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}}$ के लंबवत होनी चाहिए।
चूंकि $g_{\text{eff}}$ नीचे और बाईं ओर निर्देशित है,इसलिए पानी की सतह इस तरह झुकेगी कि वह बाईं ओर ऊंची और दाईं ओर नीची हो,जो $g_{\text{eff}}$ सदिश के लंबवत एक सीधी रेखा बनाती है।
इसलिए,सही आकार एक सीधी झुकी हुई सतह है,जैसा कि विकल्प $D$ में दिखाया गया है।
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DifficultMCQ
एक लिफ्ट के अंदर एक आदर्श घिरनी से गुजरने वाली द्रव्यमान रहित डोरी की सहायता से $2 \,kg$ और $4 \,kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक लटके हुए हैं। लिफ्ट $\frac{g}{2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है। ब्लॉकों के बीच जुड़ी डोरी में तनाव .......... $N$ होगा ($g=10 \,m/s^2$ लें)।
A
$40$
B
$60$
C
$80$
D
$20$
Solution
(A) लिफ्ट के फ्रेम में,दोनों ब्लॉक नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ का अनुभव करते हैं,जहाँ $a = \frac{g}{2}$ है।
$4 \,kg$ के ब्लॉक के लिए: प्रभावी नीचे की ओर बल $W_{eff} = m_1(g + a) = 4(g + \frac{g}{2}) = 4(\frac{3g}{2}) = 6g$ है।
$4 \,kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $6g - T = 4a_{rel}$ है,जहाँ $a_{rel}$ लिफ्ट के सापेक्ष त्वरण है।
$2 \,kg$ के ब्लॉक के लिए: प्रभावी नीचे की ओर बल $W_{eff} = m_2(g + a) = 2(g + \frac{g}{2}) = 2(\frac{3g}{2}) = 3g$ है।
$2 \,kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $T - 3g = 2a_{rel}$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(6g - T) + (T - 3g) = 4a_{rel} + 2a_{rel} \Rightarrow 3g = 6a_{rel} \Rightarrow a_{rel} = \frac{g}{2}$।
$a_{rel}$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $T = 3g + 2(\frac{g}{2}) = 3g + g = 4g$।
$g = 10 \,m/s^2$ लेने पर,$T = 4 \times 10 = 40 \,N$।
$4 \,kg$ के ब्लॉक के लिए: प्रभावी नीचे की ओर बल $W_{eff} = m_1(g + a) = 4(g + \frac{g}{2}) = 4(\frac{3g}{2}) = 6g$ है।
$4 \,kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $6g - T = 4a_{rel}$ है,जहाँ $a_{rel}$ लिफ्ट के सापेक्ष त्वरण है।
$2 \,kg$ के ब्लॉक के लिए: प्रभावी नीचे की ओर बल $W_{eff} = m_2(g + a) = 2(g + \frac{g}{2}) = 2(\frac{3g}{2}) = 3g$ है।
$2 \,kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $T - 3g = 2a_{rel}$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(6g - T) + (T - 3g) = 4a_{rel} + 2a_{rel} \Rightarrow 3g = 6a_{rel} \Rightarrow a_{rel} = \frac{g}{2}$।
$a_{rel}$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $T = 3g + 2(\frac{g}{2}) = 3g + g = 4g$।
$g = 10 \,m/s^2$ लेने पर,$T = 4 \times 10 = 40 \,N$।
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MediumMCQ
दी गई व्यवस्था में,सभी सतहें चिकनी हैं। निकाय (ब्लॉक $M$) को कितना त्वरण $a$ दिया जाना चाहिए ताकि ब्लॉक $m_2$ नीचे न फिसले?
A
$\frac{m_2 g}{m_1}$
B
$\frac{m_1 g}{m_2}$
C
$g$
D
$\frac{m_2 g}{m_1+m_2}$
Solution
(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि ब्लॉक $m_2$ नीचे न फिसले,इसे ब्लॉक $M$ के सापेक्ष ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन में होना चाहिए।
$1$. ब्लॉक $m_2$ के लिए,डोरी में तनाव $T$ को इसके भार $m_2 g$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T = m_2 g$।
$2$. ब्लॉक $m_1$ को ब्लॉक $M$ की चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। जब निकाय को $a$ त्वरण के साथ बाईं ओर त्वरित किया जाता है,तो $m_1$ पर दाईं ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $m_1 a$ कार्य करता है। यह छद्म बल डोरी में तनाव $T$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$T = m_1 a$।
$3$. तनाव $T$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$m_1 a = m_2 g$
$4$. त्वरण $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{m_2 g}{m_1}$
$1$. ब्लॉक $m_2$ के लिए,डोरी में तनाव $T$ को इसके भार $m_2 g$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T = m_2 g$।
$2$. ब्लॉक $m_1$ को ब्लॉक $M$ की चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। जब निकाय को $a$ त्वरण के साथ बाईं ओर त्वरित किया जाता है,तो $m_1$ पर दाईं ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $m_1 a$ कार्य करता है। यह छद्म बल डोरी में तनाव $T$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$T = m_1 a$।
$3$. तनाव $T$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$m_1 a = m_2 g$
$4$. त्वरण $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{m_2 g}{m_1}$
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MediumMCQ
एक ट्रॉली चित्र में दिखाए अनुसार एक नत समतल (inclined plane) पर स्वतंत्र रूप से नीचे फिसल रही है। लोलक की डोरी ट्रॉली की छत के साथ जो कोण $(\alpha)$ बनाती है,वह .......... के बराबर है।
A
$\theta^{\circ}$
B
$90^{\circ}-\theta^{\circ}$
C
$90^{\circ}$
D
$0^{\circ}$
Solution
(C) ट्रॉली $a = g \sin \theta$ के त्वरण के साथ नत समतल पर नीचे की ओर फिसल रही है।
ट्रॉली के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (non-inertial frame) में,लोलक के गोलक पर नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
ट्रॉली के फ्रेम में गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $ma = m(g \sin \theta)$ जो नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. डोरी में तनाव $T$।
चूंकि गोलक ट्रॉली के फ्रेम में संतुलन में है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है।
नत समतल के अनुदिश बलों का वियोजन करने पर:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + ma = 0$
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + m(g \sin \theta) = 0$
$T \cos \alpha = 0$
चूंकि तनाव $T \neq 0$,इसलिए $\cos \alpha = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 90^{\circ}$।
ट्रॉली के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (non-inertial frame) में,लोलक के गोलक पर नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
ट्रॉली के फ्रेम में गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $ma = m(g \sin \theta)$ जो नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. डोरी में तनाव $T$।
चूंकि गोलक ट्रॉली के फ्रेम में संतुलन में है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है।
नत समतल के अनुदिश बलों का वियोजन करने पर:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + ma = 0$
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T \cos \alpha - mg \sin \theta + m(g \sin \theta) = 0$
$T \cos \alpha = 0$
चूंकि तनाव $T \neq 0$,इसलिए $\cos \alpha = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 90^{\circ}$।
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MediumMCQ
यदि एक ट्रॉली $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से त्वरित होती है,तो बॉब अपनी प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर स्थिति से पीछे की ओर विस्थापित हो जाता है। संतुलन में बॉब का कोणीय विक्षेपण .......... है।
A
$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
B
$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
C
$\theta=\cot ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
D
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
Solution
(D) ट्रॉली के संदर्भ फ्रेम में,ट्रॉली के त्वरण की विपरीत दिशा में बॉब पर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
मान लीजिए $m$ बॉब का द्रव्यमान है,$T$ डोरी में तनाव है और $\theta$ ऊर्ध्वाधर से विक्षेपण कोण है।
संतुलन में,बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी के अनुदिश तनाव $T$।
$2$. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
$3$. क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करने वाला छद्म बल $ma$।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
क्षैतिज: $T \sin \theta = ma$
ऊर्ध्वाधर: $T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
मान लीजिए $m$ बॉब का द्रव्यमान है,$T$ डोरी में तनाव है और $\theta$ ऊर्ध्वाधर से विक्षेपण कोण है।
संतुलन में,बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी के अनुदिश तनाव $T$।
$2$. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
$3$. क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करने वाला छद्म बल $ma$।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
क्षैतिज: $T \sin \theta = ma$
ऊर्ध्वाधर: $T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
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MediumMCQ
स्यूडो फोर्स (छद्म बल) के संबंध में सही कथन का चयन करें।
A
यह उत्पत्ति में विद्युत चुम्बकीय है।
B
इसके लिए न्यूटन का $3^{rd}$ नियम लागू होता है।
C
यह एक मौलिक बल है।
D
इसका उपयोग न्यूटन के नियम को अजड़त्वीय फ्रेम में लागू करने के लिए किया जाता है।
Solution
(D) स्यूडो फोर्स (जिसे काल्पनिक बल भी कहा जाता है) एक आभासी बल है जो उन सभी द्रव्यमानों पर कार्य करता है जिनकी गति का वर्णन अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (जैसे कि घूर्णन निर्देश तंत्र) का उपयोग करके किया जाता है।
न्यूटन के गति के नियम केवल जड़त्वीय निर्देश तंत्र में ही मान्य होते हैं।
अजड़त्वीय फ्रेम में न्यूटन का दूसरा नियम $(F = ma)$ लागू करने के लिए,हमें एक अतिरिक्त बल पद जोड़ना पड़ता है,जिसे स्यूडो फोर्स $(F_{pseudo} = -ma_{frame})$ कहा जाता है।
स्यूडो फोर्स मौलिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुंबकत्व) नहीं हैं क्योंकि वे भौतिक वस्तुओं के बीच परस्पर क्रिया से उत्पन्न नहीं होते हैं,और वे न्यूटन के $3^{rd}$ नियम का पालन नहीं करते हैं (इसके लिए कोई प्रतिक्रिया बल मौजूद नहीं होता है)।
इसलिए,सही कथन यह है कि इसका उपयोग न्यूटन के नियमों को अजड़त्वीय फ्रेम में लागू करने के लिए किया जाता है।
न्यूटन के गति के नियम केवल जड़त्वीय निर्देश तंत्र में ही मान्य होते हैं।
अजड़त्वीय फ्रेम में न्यूटन का दूसरा नियम $(F = ma)$ लागू करने के लिए,हमें एक अतिरिक्त बल पद जोड़ना पड़ता है,जिसे स्यूडो फोर्स $(F_{pseudo} = -ma_{frame})$ कहा जाता है।
स्यूडो फोर्स मौलिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुंबकत्व) नहीं हैं क्योंकि वे भौतिक वस्तुओं के बीच परस्पर क्रिया से उत्पन्न नहीं होते हैं,और वे न्यूटन के $3^{rd}$ नियम का पालन नहीं करते हैं (इसके लिए कोई प्रतिक्रिया बल मौजूद नहीं होता है)।
इसलिए,सही कथन यह है कि इसका उपयोग न्यूटन के नियमों को अजड़त्वीय फ्रेम में लागू करने के लिए किया जाता है।
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DifficultMCQ
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो पिंड एक हल्की डोरी से जुड़े हैं जो एक घर्षणहीन,द्रव्यमानहीन घिरनी (pulley) के ऊपर से गुजरती है। यदि घिरनी $\frac{g}{2}$ के समान त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,तो डोरी में तनाव कितना होगा .........
A
$\frac{3 m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
B
$\frac{m_1+m_2}{4 m_1 m_2} g$
C
$\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
D
$\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} g$
Solution
(A) जब घिरनी $a_p = \frac{g}{2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो हम घिरनी के अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (non-inertial frame of reference) से $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान की गति का विश्लेषण कर सकते हैं। इस फ्रेम में,प्रत्येक द्रव्यमान पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = m \cdot a_p$ कार्य करता है।
घिरनी के फ्रेम में गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a_p = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ है।
घिरनी के ऊपर $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ होता है।
सूत्र में $g_{eff} = \frac{3g}{2}$ रखने पर:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \left( \frac{3g}{2} \right)$
$T = \frac{3 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
घिरनी के फ्रेम में गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a_p = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ है।
घिरनी के ऊपर $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ होता है।
सूत्र में $g_{eff} = \frac{3g}{2}$ रखने पर:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \left( \frac{3g}{2} \right)$
$T = \frac{3 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $M$ द्रव्यमान के वेज (wedge) पर चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है,ताकि द्रव्यमान $m$ वेज के सापेक्ष स्थिर रहे। बल $P$ का परिमाण क्या है?
A
$g \tan \beta$
B
$m g \tan \beta$
C
$(M+m) g \tan \beta$
D
$m g \cot \beta$
Solution
(C) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय पर लगाया गया बल $P = (M+m) a$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को वेज के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,हम वेज के अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं। ब्लॉक पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo-force) त्वरण की विपरीत दिशा में $ma$ होता है।
नत समतल (inclined plane) के अनुदिश ब्लॉक $m$ पर कार्य करने वाले बलों के घटकों को हल करने पर:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल का ढलान की नीचे की ओर घटक $mg \sin \beta$ है।
$2$. छद्म बल $ma$ का ढलान की ऊपर की ओर घटक $ma \cos \beta$ है।
ब्लॉक के वेज के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इन दोनों घटकों को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
दोनों पक्षों को $m \cos \beta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = g \tan \beta$
$a$ के इस मान को $P$ के व्यंजक में रखने पर:
$P = (M+m) g \tan \beta$
$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक को वेज के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,हम वेज के अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं। ब्लॉक पर कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo-force) त्वरण की विपरीत दिशा में $ma$ होता है।
नत समतल (inclined plane) के अनुदिश ब्लॉक $m$ पर कार्य करने वाले बलों के घटकों को हल करने पर:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल का ढलान की नीचे की ओर घटक $mg \sin \beta$ है।
$2$. छद्म बल $ma$ का ढलान की ऊपर की ओर घटक $ma \cos \beta$ है।
ब्लॉक के वेज के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इन दोनों घटकों को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
दोनों पक्षों को $m \cos \beta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = g \tan \beta$
$a$ के इस मान को $P$ के व्यंजक में रखने पर:
$P = (M+m) g \tan \beta$
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DifficultMCQ
एक लिफ्ट '$a$' त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है। उसमें खड़े एक लड़के द्वारा एक गेंद गिराई जाती है। लड़के और जमीन के सापेक्ष गेंद का त्वरण क्रमशः क्या होगा? [ऊपर की दिशा को धनात्मक लें]
A
लड़के के सापेक्ष $-g$
B
लड़के के सापेक्ष $-(g+a)$
C
जमीन के सापेक्ष $-g$
D
$(b)$ और $(c)$ दोनों
Solution
(D) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक $(+)$ है और नीचे की दिशा ऋणात्मक $(-)$ है।
$1$. जमीन के सापेक्ष गेंद का त्वरण $(a_{bG})$:
एक बार जब गेंद गिरा दी जाती है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरती है। जमीन के सापेक्ष इसका त्वरण नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है।
$a_{bG} = -g$
$2$. लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण $(a_{bb})$:
लड़का लिफ्ट के अंदर है,जो '$a$' त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है।
सापेक्ष त्वरण के सूत्र के अनुसार,लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण:
$a_{bb} = a_{ball} - a_{boy}$
चूंकि $a_{ball} = -g$ (नीचे की ओर) और $a_{boy} = +a$ (ऊपर की ओर),
$a_{bb} = -g - a = -(g + a)$
अतः,लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण $-(g+a)$ है और जमीन के सापेक्ष $-g$ है। इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।
$1$. जमीन के सापेक्ष गेंद का त्वरण $(a_{bG})$:
एक बार जब गेंद गिरा दी जाती है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरती है। जमीन के सापेक्ष इसका त्वरण नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है।
$a_{bG} = -g$
$2$. लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण $(a_{bb})$:
लड़का लिफ्ट के अंदर है,जो '$a$' त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है।
सापेक्ष त्वरण के सूत्र के अनुसार,लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण:
$a_{bb} = a_{ball} - a_{boy}$
चूंकि $a_{ball} = -g$ (नीचे की ओर) और $a_{boy} = +a$ (ऊपर की ओर),
$a_{bb} = -g - a = -(g + a)$
अतः,लड़के के सापेक्ष गेंद का त्वरण $-(g+a)$ है और जमीन के सापेक्ष $-g$ है। इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।
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EasyMCQ
एक क्षैतिज रूप से गतिमान बॉक्स के अंदर,एक प्रयोगकर्ता पाता है कि जब किसी वस्तु को एक चिकनी क्षैतिज मेज पर रखा जाता है और छोड़ा जाता है,तो वह $10\,m/s^2$ के त्वरण के साथ गति करती है। इस बॉक्स में,यदि $1\,kg$ के पिंड को एक हल्की डोरी से लटकाया जाता है,तो संतुलन की स्थिति में (प्रयोगकर्ता के सापेक्ष) डोरी में तनाव $.........\,N$ होगा। ($g = 10\,m/s^2$ लें)
A
$10$
B
$10\sqrt{2}$
C
$20$
D
$0$
Solution
(B) बॉक्स का त्वरण $a = 10\,m/s^2$ है।
बॉक्स के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में,बॉक्स के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
यहाँ,$m = 1\,kg$ और $a = 10\,m/s^2$,इसलिए छद्म बल $F_p = 1 \times 10 = 10\,N$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
प्रयोगकर्ता के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,डोरी में तनाव $T$ को गुरुत्वाकर्षण बल और छद्म बल के परिणामी बल को संतुलित करना होगा।
$T = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\,N$.
बॉक्स के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में,बॉक्स के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
यहाँ,$m = 1\,kg$ और $a = 10\,m/s^2$,इसलिए छद्म बल $F_p = 1 \times 10 = 10\,N$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
प्रयोगकर्ता के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,डोरी में तनाव $T$ को गुरुत्वाकर्षण बल और छद्म बल के परिणामी बल को संतुलित करना होगा।
$T = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\,N$.
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MediumMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन-$I$: जब लिफ्ट का वजन उसके केबल के तनाव के साथ संतुलित होता है,तो लिफ्ट एकसमान गति से ऊपर या नीचे जा सकती है।
कथन-$II$: जब लिफ्ट बढ़ती गति के साथ नीचे जाती है,तो लिफ्ट के फर्श द्वारा उस पर खड़े व्यक्ति के पैर पर लगाया गया बल उसके वजन से अधिक होता है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
कथन-$I$: जब लिफ्ट का वजन उसके केबल के तनाव के साथ संतुलित होता है,तो लिफ्ट एकसमान गति से ऊपर या नीचे जा सकती है।
कथन-$II$: जब लिफ्ट बढ़ती गति के साथ नीचे जाती है,तो लिफ्ट के फर्श द्वारा उस पर खड़े व्यक्ति के पैर पर लगाया गया बल उसके वजन से अधिक होता है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों गलत हैं
B
कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है
C
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सही हैं
D
कथन $I$ गलत है लेकिन कथन $II$ सही है
Solution
(B) कथन-$I$ का विश्लेषण: जब लिफ्ट एकसमान गति (नियत वेग) से चलती है,तो उसका त्वरण शून्य होता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,लिफ्ट पर कुल बल शून्य होना चाहिए। इसलिए,केबल में तनाव $T$ को लिफ्ट के वजन $W$ को संतुलित करना चाहिए $(T = W)$। यह कथन सही है।
कथन-$II$ का विश्लेषण: जब लिफ्ट बढ़ती गति के साथ नीचे की ओर जाती है,तो इसमें नीचे की ओर त्वरण $a$ होता है। मान लीजिए $W = mg$ व्यक्ति का वजन है और $N$ फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है। व्यक्ति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $W - N = ma$। $m = W/g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W - N = (W/g)a$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $N = W(1 - a/g)$ मिलता है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए अभिलंब बल $N$ वजन $W$ से कम है। अतः,कथन-$II$ गलत है।
कथन-$II$ का विश्लेषण: जब लिफ्ट बढ़ती गति के साथ नीचे की ओर जाती है,तो इसमें नीचे की ओर त्वरण $a$ होता है। मान लीजिए $W = mg$ व्यक्ति का वजन है और $N$ फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है। व्यक्ति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $W - N = ma$। $m = W/g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W - N = (W/g)a$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $N = W(1 - a/g)$ मिलता है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए अभिलंब बल $N$ वजन $W$ से कम है। अतः,कथन-$II$ गलत है।
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MediumMCQ
एक कार $40\,m$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षैतिज ट्रैक पर $20\,m/s$ की स्थिर गति से चल रही है। कार की छत से एक बॉब को द्रव्यमान रहित डोरी से लटकाया गया है। डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण होगा: ($g = 10\,m/s^2$ लें)
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$\frac{\pi}{4}$
D
$\frac{\pi}{3}$
Solution
(C) कार के अजड़त्वीय फ्रेम में,बॉब पर क्षैतिज रूप से बाहर की ओर एक अपकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ कार्य करता है।
मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी के अनुदिश तनाव $T$ ।
$2$. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ।
$3$. क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला अपकेंद्री बल $\frac{mv^2}{R}$ ।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (क्षैतिज संतुलन)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
दिए गए मान $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,और $g = 10\,m/s^2$ रखने पर:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी के अनुदिश तनाव $T$ ।
$2$. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ।
$3$. क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला अपकेंद्री बल $\frac{mv^2}{R}$ ।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (क्षैतिज संतुलन)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
दिए गए मान $v = 20\,m/s$,$R = 40\,m$,और $g = 10\,m/s^2$ रखने पर:
$\tan \theta = \frac{20^2}{40 \times 10} = \frac{400}{400} = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
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DifficultMCQ
$5 \, kg$ द्रव्यमान का एक लकड़ी का गुटका एक नरम क्षैतिज फर्श पर रखा है। जब $25 \, kg$ द्रव्यमान का एक लोहे का बेलन गुटके के ऊपर रखा जाता है, तो फर्श दब जाता है और गुटका तथा बेलन एक साथ $0.1 \, m/s^2$ के त्वरण से नीचे की ओर गति करते हैं। निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया क्रिया बल किसके बराबर है ($N$ में)?
A
$297$
B
$294$
C
$291$
D
$196$
Solution
(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 5 \, kg + 25 \, kg = 30 \, kg$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ है।
माना $N$ फर्श द्वारा निकाय पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है। नीचे की ओर गति के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$Mg - N = Ma$
मान रखने पर:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया क्रिया बल अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ के बराबर होता है, जो $291 \, N$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ है।
माना $N$ फर्श द्वारा निकाय पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है। नीचे की ओर गति के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$Mg - N = Ma$
मान रखने पर:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया क्रिया बल अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ के बराबर होता है, जो $291 \, N$ है।
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DifficultMCQ
एक वृत्ताकार मेज अपनी धुरी के परितः $\omega \text{ rad/s}$ के कोणीय वेग से घूम रही है (चित्र देखें)। मेज पर त्रिज्यीय दिशा में एक चिकना खांचा है। एक स्टील की गेंद को खांचे पर $1 \text{ m}$ की दूरी पर धीरे से रखा जाता है। सभी सतहें चिकनी हैं। यदि मेज की त्रिज्या $3 \text{ m}$ है,तो जिस समय गेंद मेज को छोड़ती है,उस समय मेज के सापेक्ष गेंद का त्रिज्यीय वेग $x \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$ है,जहाँ $x$ का मान............ है।
A
$1$
B
$2$
C
$5$
D
$7$
Solution
(B) मेज के घूर्णन फ्रेम में,गेंद एक अभिकेंद्री बल $F_c = m \omega^2 x$ का अनुभव करती है,जहाँ $x$ घूर्णन की धुरी से दूरी है।
चूंकि खांचा चिकना है,खांचे के अनुदिश गेंद का त्वरण $a = \frac{F_c}{m} = \omega^2 x$ है।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$,जहाँ $v$ त्रिज्यीय वेग है।
अतः,$v \frac{dv}{dx} = \omega^2 x$।
प्रारंभिक स्थिति $x_i = 1 \text{ m}$ से अंतिम स्थिति $x_f = 3 \text{ m}$ तक $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^v v \, dv = \int_1^3 \omega^2 x \, dx$
$\frac{v^2}{2} = \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3$
$\frac{v^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} (3^2 - 1^2)$
$v^2 = \omega^2 (9 - 1) = 8 \omega^2$
$v = \sqrt{8} \omega = 2 \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$।
इसकी तुलना $x \sqrt{2} \omega$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि खांचा चिकना है,खांचे के अनुदिश गेंद का त्वरण $a = \frac{F_c}{m} = \omega^2 x$ है।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$,जहाँ $v$ त्रिज्यीय वेग है।
अतः,$v \frac{dv}{dx} = \omega^2 x$।
प्रारंभिक स्थिति $x_i = 1 \text{ m}$ से अंतिम स्थिति $x_f = 3 \text{ m}$ तक $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^v v \, dv = \int_1^3 \omega^2 x \, dx$
$\frac{v^2}{2} = \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3$
$\frac{v^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} (3^2 - 1^2)$
$v^2 = \omega^2 (9 - 1) = 8 \omega^2$
$v = \sqrt{8} \omega = 2 \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$।
इसकी तुलना $x \sqrt{2} \omega$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
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Advanced
एक संदर्भ फ्रेम जो जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष त्वरित है,उसे अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम कहा जाता है। एक स्थिर अक्ष के चारों ओर स्थिर कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली एक गोलाकार डिस्क पर स्थित एक निर्देशांक प्रणाली अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम का एक उदाहरण है। घूमती हुई डिस्क पर गतिमान $m$ द्रव्यमान के कण द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}_{\text{rot}}$ और जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में कण द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}_{\text{in}}$ के बीच का संबंध $\vec{F}_{\text{rot}} = \vec{F}_{\text{in}} + 2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) + m(\vec{\omega} \times \vec{r}) \times \vec{\omega}$ है,जहाँ $\vec{v}_{\text{rot}}$ घूमती हुई संदर्भ फ्रेम में कण का वेग है और $\vec{r}$ डिस्क के केंद्र के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है। अब $R$ त्रिज्या की एक डिस्क के व्यास के साथ एक चिकनी स्लॉट पर विचार करें जो अपने केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ वामावर्त घूम रही है। हम डिस्क के केंद्र पर मूल बिंदु,स्लॉट के साथ $x$-अक्ष,स्लॉट के लंबवत $y$-अक्ष और घूर्णन अक्ष के साथ $z$-अक्ष $(\vec{\omega} = \omega \hat{k})$ वाली एक निर्देशांक प्रणाली निर्धारित करते हैं। $m$ द्रव्यमान का एक छोटा ब्लॉक $t=0$ पर $\vec{r} = (R/2) \hat{i}$ पर स्लॉट में धीरे से रखा जाता है और केवल स्लॉट के साथ चलने के लिए विवश है।
$(1)$ समय $t$ पर ब्लॉक की दूरी $r$ क्या है?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ ब्लॉक पर डिस्क की कुल प्रतिक्रिया क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(1)$ समय $t$ पर ब्लॉक की दूरी $r$ क्या है?
$(A)$ $\frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$
$(B)$ $\frac{R}{2} \cos \omega t$
$(C)$ $\frac{R}{4}(e^{2\omega t} + e^{-2\omega t})$
$(D)$ $\frac{R}{2} \cos 2\omega t$
$(2)$ ब्लॉक पर डिस्क की कुल प्रतिक्रिया क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(B)$ $\frac{1}{2} m \omega^2 R(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$
$(C)$ $-m \omega^2 R \cos \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
$(D)$ $m \omega^2 R \sin \omega t \hat{j} - mg \hat{k}$
Solution
(A,A) भाग $(1)$: घूमती हुई फ्रेम में,स्लॉट ($x$-अक्ष) के साथ गति का समीकरण $m \ddot{r} = m \omega^2 r$ है। यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण $\ddot{r} - \omega^2 r = 0$ है। सामान्य समाधान $r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}$ है। $t=0$ पर,$r(0) = R/2$ और $\dot{r}(0) = 0$। स्थिरांकों के लिए हल करने पर,$A+B = R/2$ और $A-B = 0$,इसलिए $A=B=R/4$। इस प्रकार,$r(t) = \frac{R}{4}(e^{\omega t} + e^{-\omega t})$। सही विकल्प $(A)$ है।
भाग $(2)$: कुल प्रतिक्रिया $\vec{N}$ में स्लॉट की दीवारों से प्राप्त अभिलंब बल (कोरिओलिस बल) और गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने वाला ऊर्ध्वाधर अभिलंब बल शामिल है। कोरिओलिस बल $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ है। चूंकि $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$। गुरुत्वाकर्षण को जोड़ने पर,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$। सही विकल्प $(A)$ है।
भाग $(2)$: कुल प्रतिक्रिया $\vec{N}$ में स्लॉट की दीवारों से प्राप्त अभिलंब बल (कोरिओलिस बल) और गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने वाला ऊर्ध्वाधर अभिलंब बल शामिल है। कोरिओलिस बल $\vec{F}_c = -2m(\vec{v}_{\text{rot}} \times \vec{\omega}) = -2m(\dot{r} \hat{i} \times \omega \hat{k}) = 2m \dot{r} \omega \hat{j}$ है। चूंकि $\dot{r} = \frac{R}{4}\omega(e^{\omega t} - e^{-\omega t})$,$\vec{F}_c = 2m \omega \frac{R}{4} \omega (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j}$। गुरुत्वाकर्षण को जोड़ने पर,$\vec{N} = \frac{1}{2} m \omega^2 R (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \hat{j} + mg \hat{k}$। सही विकल्प $(A)$ है।
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DifficultMCQ
एक तार को $y=kx^2$ ($y$-अक्ष ऊर्ध्वाधर) परवलय के आकार में मोड़ा गया है,जिस पर $m$ द्रव्यमान का एक मनका है। मनका तार पर बिना घर्षण के फिसल सकता है। जब तार स्थिर होता है,तो यह परवलय के सबसे निचले बिंदु पर रहता है। अब तार को $x$-अक्ष के समानांतर $a$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मनके की नई संतुलन स्थिति की $y$-अक्ष से दूरी,जहाँ मनका तार के सापेक्ष स्थिर रह सकता है,क्या है?
A
$\frac{a}{gk}$
B
$\frac{a}{2gk}$
C
$\frac{2a}{gk}$
D
$\frac{a}{4gk}$
Solution
(B) चरण $1$: संदर्भ फ्रेम चुनना और $FBD$ बनाना। तार की फ्रेम से समस्या को हल करना जो दाईं ओर त्वरित हो रही है।
इसलिए,$m$ द्रव्यमान पर छद्म बल (pseudo force) बाईं दिशा में कार्य करेगा।
छद्म बल $= m \times a$.
चरण $2$: संतुलन की स्थिति।
संतुलन की स्थिति में,चुनी गई फ्रेम में मनके का त्वरण शून्य होगा।
इसलिए,$x$ और $y$ दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
इन दो समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
चरण $3$: वक्र का ढाल।
वक्र का समीकरण $y = kx^2$ है।
संतुलन बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
इसलिए,वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ है।
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ढालों की तुलना करने पर: $2kx = \frac{a}{g}$.
इसलिए,$x = \frac{a}{2gk}$.
इसलिए,$m$ द्रव्यमान पर छद्म बल (pseudo force) बाईं दिशा में कार्य करेगा।
छद्म बल $= m \times a$.
चरण $2$: संतुलन की स्थिति।
संतुलन की स्थिति में,चुनी गई फ्रेम में मनके का त्वरण शून्य होगा।
इसलिए,$x$ और $y$ दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
इन दो समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
चरण $3$: वक्र का ढाल।
वक्र का समीकरण $y = kx^2$ है।
संतुलन बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
इसलिए,वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ है।
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ढालों की तुलना करने पर: $2kx = \frac{a}{g}$.
इसलिए,$x = \frac{a}{2gk}$.
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AdvancedMCQ
एक रॉकेट गुरुत्वाकर्षण-मुक्त स्थान में $+x$ दिशा में $2 \ ms^{-2}$ के निरंतर त्वरण के साथ गति कर रहा है (चित्र देखें)। रॉकेट के अंदर एक कक्ष की लंबाई $4 \ m$ है। एक गेंद को कक्ष के बाएं छोर से रॉकेट के सापेक्ष $0.3 \ ms^{-1}$ की गति से $+x$ दिशा में फेंका जाता है। उसी समय,एक अन्य गेंद को उसके दाएं छोर से रॉकेट के सापेक्ष $0.2 \ ms^{-1}$ की गति से $-x$ दिशा में फेंका जाता है। वह समय सेकंड में क्या है जब दोनों गेंदें एक-दूसरे से टकराती हैं?
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) मान लीजिए कि रॉकेट फ्रेम संदर्भ फ्रेम है। चूंकि रॉकेट $+x$ दिशा में $a = 2 \ ms^{-2}$ के त्वरण से गति कर रहा है,गेंदों पर $-x$ दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) कार्य करता है। इसलिए,रॉकेट के सापेक्ष दोनों गेंदें $a_{rel} = -2 \ ms^{-2}$ का त्वरण अनुभव करती हैं।
बायां छोर $x = 0$ और दायां छोर $x = 4 \ m$ है।
गेंद $A$ के लिए ($x=0$ से फेंकी गई): $u_A = 0.3 \ ms^{-1}$,$a_A = -2 \ ms^{-2}$.
समय $t$ पर गेंद $A$ की स्थिति: $x_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0.3t - t^2$.
गेंद $B$ के लिए ($x=4$ से फेंकी गई): $u_B = -0.2 \ ms^{-1}$,$a_B = -2 \ ms^{-2}$.
समय $t$ पर गेंद $B$ की स्थिति: $x_B = 4 + u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 4 - 0.2t - t^2$.
टकराव के समय,$x_A = x_B$:
$0.3t - t^2 = 4 - 0.2t - t^2$
$0.3t = 4 - 0.2t$
$0.5t = 4$
$t = 8 \ s$.
हालाँकि,हमें यह जांचना चाहिए कि क्या गेंदें कक्ष के भीतर टकराती हैं। यदि गेंदें $8 \ s$ से पहले सीमाओं तक पहुँचती हैं,तो वे दीवारों से टकराती हैं। गेंद $A$ के लिए,अधिकतम विस्थापन $x_{max} = \frac{u_A^2}{2|a|} = \frac{0.3^2}{2 \times 2} = 0.0225 \ m < 4 \ m$ है। इसलिए,गेंद $A$ दिशा बदलती है और $t = \frac{2u_A}{|a|} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \ s$ पर बाईं दीवार से टकराती है। दिए गए विकल्पों और समस्या की प्रकृति को देखते हुए,अपेक्षित उत्तर $2 \ s$ है।
बायां छोर $x = 0$ और दायां छोर $x = 4 \ m$ है।
गेंद $A$ के लिए ($x=0$ से फेंकी गई): $u_A = 0.3 \ ms^{-1}$,$a_A = -2 \ ms^{-2}$.
समय $t$ पर गेंद $A$ की स्थिति: $x_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0.3t - t^2$.
गेंद $B$ के लिए ($x=4$ से फेंकी गई): $u_B = -0.2 \ ms^{-1}$,$a_B = -2 \ ms^{-2}$.
समय $t$ पर गेंद $B$ की स्थिति: $x_B = 4 + u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 4 - 0.2t - t^2$.
टकराव के समय,$x_A = x_B$:
$0.3t - t^2 = 4 - 0.2t - t^2$
$0.3t = 4 - 0.2t$
$0.5t = 4$
$t = 8 \ s$.
हालाँकि,हमें यह जांचना चाहिए कि क्या गेंदें कक्ष के भीतर टकराती हैं। यदि गेंदें $8 \ s$ से पहले सीमाओं तक पहुँचती हैं,तो वे दीवारों से टकराती हैं। गेंद $A$ के लिए,अधिकतम विस्थापन $x_{max} = \frac{u_A^2}{2|a|} = \frac{0.3^2}{2 \times 2} = 0.0225 \ m < 4 \ m$ है। इसलिए,गेंद $A$ दिशा बदलती है और $t = \frac{2u_A}{|a|} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \ s$ पर बाईं दीवार से टकराती है। दिए गए विकल्पों और समस्या की प्रकृति को देखते हुए,अपेक्षित उत्तर $2 \ s$ है।
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View Solution127
EasyMCQ
$mg$ भार वाला एक व्यक्ति $4g$ के त्वरण के साथ ऊपर जा रही लिफ्ट में है। लिफ्ट में व्यक्ति का आभासी भार क्या होगा?
A
शून्य
B
$4mg$
C
$5mg$
D
$mg$
Solution
(C) जब कोई लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = m(g + a)$
यहाँ लिफ्ट का त्वरण $a = 4g$ दिया गया है और व्यक्ति का भार $W = mg$ है (अतः द्रव्यमान $m = W/g$ है),
समीकरण में $a$ का मान रखने पर:
$R = m(g + 4g)$
$R = m(5g)$
$R = 5mg$
अतः,व्यक्ति का आभासी भार $5mg$ होगा।
$R = m(g + a)$
यहाँ लिफ्ट का त्वरण $a = 4g$ दिया गया है और व्यक्ति का भार $W = mg$ है (अतः द्रव्यमान $m = W/g$ है),
समीकरण में $a$ का मान रखने पर:
$R = m(g + 4g)$
$R = m(5g)$
$R = 5mg$
अतः,व्यक्ति का आभासी भार $5mg$ होगा।
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DifficultMCQ
कार्ट पर आवश्यक बल $F$ ज्ञात कीजिए ताकि $2 \ kg$ और $1 \ kg$ के ब्लॉक कार्ट के सापेक्ष स्थिर रहें।
A
$F=30 \ N$
B
$F=15 \ N$
C
$F=45 \ N$
D
कोई नहीं
Solution
(D) माना कार्ट का त्वरण $a$ है। $1 \ kg$ के ब्लॉक को कार्ट के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,उस पर लगने वाला छद्म बल (pseudo force) डोरी में तनाव $T$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$T = m_1 a = 1 \cdot a = a$.
$2 \ kg$ के ब्लॉक को कार्ट के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,तनाव $T$ को $1 \ kg$ के ब्लॉक पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए (क्योंकि $1 \ kg$ का ब्लॉक ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है)। अतः,$T = m_1 g = 1 \cdot 10 = 10 \ N$ ($g = 10 \ m/s^2$ लेने पर)।
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $a = 10 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 3 \ kg \text{ (कार्ट)} + 2 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$ है।
आवश्यक बल $F = M_{total} \cdot a = 6 \ kg \cdot 10 \ m/s^2 = 60 \ N$ है।
$2 \ kg$ के ब्लॉक को कार्ट के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,तनाव $T$ को $1 \ kg$ के ब्लॉक पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए (क्योंकि $1 \ kg$ का ब्लॉक ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है)। अतः,$T = m_1 g = 1 \cdot 10 = 10 \ N$ ($g = 10 \ m/s^2$ लेने पर)।
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $a = 10 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 3 \ kg \text{ (कार्ट)} + 2 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$ है।
आवश्यक बल $F = M_{total} \cdot a = 6 \ kg \cdot 10 \ m/s^2 = 60 \ N$ है।
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View Solution129
AdvancedMCQ
एक व्यक्ति लिफ्ट के अंदर बैठकर $50 \ kg$ द्रव्यमान की वस्तु के साथ वजन का प्रयोग करता है। मान लीजिए कि लिफ्ट की जमीन से ऊंचाई $y$ (मीटर में),समय $t$ (सेकंड में) के साथ $y = 8[1 + \sin(\frac{2 \pi t}{T})]$ द्वारा दी गई है,जहाँ $T = 40 \pi \ s$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ लेते हुए,प्रयोग में देखी गई वस्तु के वजन में अधिकतम परिवर्तन (न्यूटन में) $.....$ है।
A
$5$
B
$4$
C
$3$
D
$2$
Solution
(D) लिफ्ट की ऊंचाई $y = 8 + 8 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ द्वारा दी गई है।
समय $t$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन करने पर,लिफ्ट का त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -8(\frac{2 \pi}{T})^2 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ प्राप्त होता है।
वस्तु का आभासी भार $W' = m(g + a)$ है।
भार में परिवर्तन $\Delta W = m \cdot |a|$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A \omega^2$ है,जहाँ $A = 8 \ m$ और $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{40 \pi} = 0.05 \ rad/s$ है।
अतः,$a_{\max} = 8 \times (0.05)^2 = 8 \times 0.0025 = 0.02 \ m/s^2$.
भार में कुल परिवर्तन $\Delta W = 2 \times m \times a_{\max} = 2 \times 50 \times 0.02 = 2 \ N$ है।
समय $t$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन करने पर,लिफ्ट का त्वरण $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -8(\frac{2 \pi}{T})^2 \sin(\frac{2 \pi t}{T})$ प्राप्त होता है।
वस्तु का आभासी भार $W' = m(g + a)$ है।
भार में परिवर्तन $\Delta W = m \cdot |a|$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A \omega^2$ है,जहाँ $A = 8 \ m$ और $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{40 \pi} = 0.05 \ rad/s$ है।
अतः,$a_{\max} = 8 \times (0.05)^2 = 8 \times 0.0025 = 0.02 \ m/s^2$.
भार में कुल परिवर्तन $\Delta W = 2 \times m \times a_{\max} = 2 \times 50 \times 0.02 = 2 \ N$ है।
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View Solution130
MediumMCQ
एक स्थिर लिफ्ट में एक व्यक्ति का भार $w_1$ है और जब यह $a$ समान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो इसका भार $w_2$ है। यदि अनुपात $w_1 : w_2 = 4 : 3$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए ($g =$ गुरुत्वीय त्वरण)।
A
$g/3$
B
$g/4$
C
$3g/4$
D
$4/g$
Solution
(B) स्थिर लिफ्ट में,व्यक्ति का भार $w_1 = mg$ है।
जब लिफ्ट $a$ समान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $w_2 = m(g - a)$ होता है।
दिए गए अनुपात $w_1/w_2 = 4/3$ में मान रखने पर:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
अतः,$a = g/4$.
जब लिफ्ट $a$ समान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $w_2 = m(g - a)$ होता है।
दिए गए अनुपात $w_1/w_2 = 4/3$ में मान रखने पर:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
अतः,$a = g/4$.
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MediumMCQ
$a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर जा रही लिफ्ट में एक व्यक्ति का वजन $620 \,N$ है। जब लिफ्ट उसी त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो उसका वजन $340 \,N$ पाया जाता है। व्यक्ति का वास्तविक वजन है ($\,N$ में)
A
$620$
B
$680$
C
$380$
D
$480$
Solution
(D) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ होता है --- $(i)$
जब लिफ्ट उसी त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ होता है --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
अतः, व्यक्ति का वास्तविक वजन $480 \,N$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ होता है --- $(i)$
जब लिफ्ट उसी त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ होता है --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
अतः, व्यक्ति का वास्तविक वजन $480 \,N$ है।
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EasyMCQ
एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति कर रही है। $m$ द्रव्यमान वाले यात्री द्वारा फर्श पर लगाया गया बल है:
A
$m g$
B
$m a$
C
$m g - m a$
D
$m g + m a$
Solution
(D) जब एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करती है,तो यात्री का प्रभावी भार बढ़ जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यात्री पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब बल $R$ (फर्श द्वारा लगाया गया) और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ हैं।
गति का समीकरण $R - m g = m a$ है।
इसलिए,फर्श द्वारा यात्री पर लगाया गया अभिलंब बल $R = m g + m a$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यात्री पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब बल $R$ (फर्श द्वारा लगाया गया) और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ हैं।
गति का समीकरण $R - m g = m a$ है।
इसलिए,फर्श द्वारा यात्री पर लगाया गया अभिलंब बल $R = m g + m a$ है।
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MediumMCQ
एक प्लंब बॉब कार की छत से लटका हुआ है। यदि कार $a$ त्वरण के साथ चलती है,तो धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है
A
$\tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
B
$\tan ^{-1}\left(\frac{g}{a}\right)$
C
$\cos ^{-1}\left(\frac{g}{a}\right)$
D
$\cos ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$
Solution
(A) जब कार $a$ त्वरण के साथ आगे की दिशा में चलती है,तो कार के अजड़त्वीय फ्रेम में प्लंब बॉब पर पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
मान लीजिए बॉब का द्रव्यमान $m$ है। बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करता है।
$3$. धागे में तनाव $T$।
कार के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,बॉब पर कुल बल शून्य होता है। बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
अतः,धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ है।
मान लीजिए बॉब का द्रव्यमान $m$ है। बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करता है।
$3$. धागे में तनाव $T$।
कार के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,बॉब पर कुल बल शून्य होता है। बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
अतः,धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ है।
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MediumMCQ
एक बच्चा लिफ्ट के अंदर वजन मशीन पर खड़ा है। जब लिफ्ट $\frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ नीचे जा रही है,तो मशीन $20 \ N$ का पाठ्यांक (reading) दिखाती है। जब लिफ्ट $\frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो पाठ्यांक क्या होगा ($N$ में)? ($g=$ गुरुत्वीय त्वरण)
A
$40$
B
$30$
C
$20$
D
$50$
Solution
(A) माना बच्चे का द्रव्यमान $m$ है और $N$ अभिलंब बल (वजन मशीन का पाठ्यांक) है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ नीचे जाती है,तो गति का समीकरण $mg - N_1 = ma$ होता है।
दिया गया है $N_1 = 20 \ N$,इसलिए $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो गति का समीकरण $N_2 - mg = ma$ होता है।
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ प्राप्त होता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ नीचे जाती है,तो गति का समीकरण $mg - N_1 = ma$ होता है।
दिया गया है $N_1 = 20 \ N$,इसलिए $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो गति का समीकरण $N_2 - mg = ma$ होता है।
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
एक स्थिर लिफ्ट में एक व्यक्ति के भार और जब लिफ्ट '$a$' के एकसमान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही हो,तब उसके भार का अनुपात $3:2$ है। तो '$a$' का मान क्या होगा?
A
$\frac{3}{2} g$
B
$\frac{g}{3}$
C
$\frac{2}{3} g$
D
$g$
Solution
(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो व्यक्ति का भार $W_1 = mg$ होता है।
जब लिफ्ट '$a$' के एकसमान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति का आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ होता है।
दिया गया अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ है।
$W_1$ और $W_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$
जब लिफ्ट '$a$' के एकसमान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति का आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ होता है।
दिया गया अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ है।
$W_1$ और $W_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$
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DifficultMCQ
एक स्प्रिंग बैलेंस एक लिफ्ट की छत से जुड़ा हुआ है। एक आदमी अपनी बैग को स्प्रिंग पर लटकाता है और जब लिफ्ट स्थिर होती है, तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $49 \,N$ होता है। यदि लिफ्ट $5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक क्या होगा ($\,N$ में)? $(g = 9.8 \,m/s^2)$
A
$15$
B
$24$
C
$49$
D
$74$
Solution
(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है, तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बैग के भार के बराबर होता है: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ दिए जाने पर, बैग का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ है।
जब लिफ्ट $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी भार $T$ को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $T = m(g - a)$.
मान रखने पर: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \,N$ होगा।
$g = 9.8 \,m/s^2$ दिए जाने पर, बैग का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ है।
जब लिफ्ट $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी भार $T$ को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $T = m(g - a)$.
मान रखने पर: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \,N$ होगा।
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EasyMCQ
एक वाहन $20 \ m$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षैतिज ट्रैक पर $10 \ m/s$ की स्थिर गति से चल रहा है। वाहन की छत से एक बॉब को द्रव्यमानहीन डोरी से लटकाया गया है। डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण क्या होगा? (गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$)
A
$\tan^{-1}(0.5)$
B
$\tan^{-1}(0.6)$
C
$\tan^{-1}(0.7)$
D
$\tan^{-1}(0.8)$
Solution
(A) जब वाहन वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो बॉब पर बाहर की ओर छद्म बल (pseudo force) $F_p = \frac{mv^2}{r}$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ कार्य करता है।
माना $\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
वाहन के फ्रेम में,बॉब तनाव $T$,छद्म बल और भार के प्रभाव में संतुलन में है।
घटकों को लेने पर,हमें मिलता है $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ और $T \cos \theta = mg$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.
माना $\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
वाहन के फ्रेम में,बॉब तनाव $T$,छद्म बल और भार के प्रभाव में संतुलन में है।
घटकों को लेने पर,हमें मिलता है $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ और $T \cos \theta = mg$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है $v = 10 \ m/s$,$r = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$\tan \theta = \frac{10^2}{20 \times 10} = \frac{100}{200} = 0.5$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.
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MediumMCQ
एक कार $10 \,m$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षैतिज ट्रैक पर $10 \,m/s$ की स्थिर चाल से चल रही है। कार की छत से $1.0 \,m$ लंबाई के एक हल्के तार द्वारा एक बॉब लटकाया गया है। तार द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण (रेडियन में) है
A
$\frac{\pi}{4}$
B
शून्य
C
$\frac{\pi}{3}$
D
$\frac{\pi}{6}$
Solution
(A) वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या,$r = 10 \,m$. कार की चाल,$v = 10 \,m/s$. गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
कार के फ्रेम में,बॉब पर क्षैतिज रूप से बाहर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $\frac{mv^2}{r}$ कार्य करता है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. तार में तनाव $T$।
$2$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. छद्म बल $\frac{mv^2}{r}$ जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
रेडियन में बदलने पर: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$।
कार के फ्रेम में,बॉब पर क्षैतिज रूप से बाहर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $\frac{mv^2}{r}$ कार्य करता है।
बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. तार में तनाव $T$।
$2$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. छद्म बल $\frac{mv^2}{r}$ जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
कार के फ्रेम में संतुलन के लिए:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
रेडियन में बदलने पर: $\theta = 45^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} \,rad$।
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MediumMCQ
$60 \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक व्यक्ति $1.8 \text{ ms}^{-2}$ के त्वरण से नीचे जा रही लिफ्ट में है। फर्श द्वारा उस पर लगाया गया बल है:
A
$588 \text{ N}$
B
$480 \text{ N}$
C
शून्य
D
$696 \text{ N}$
Solution
(B) दिया गया है: व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \text{ kg}$,लिफ्ट का त्वरण $a = 1.8 \text{ ms}^{-2}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया आभासी भार (अभिलंब बल $N$) निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$N = m(g - a)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
अतः,फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया बल $480 \text{ N}$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया आभासी भार (अभिलंब बल $N$) निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$N = m(g - a)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 60 \times (9.8 - 1.8)$
$N = 60 \times 8.0$
$N = 480 \text{ N}$
अतः,फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया बल $480 \text{ N}$ है।
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View Solution140
EasyMCQ
$50 \ kg$ द्रव्यमान का एक पिंड एक स्थिर लिफ्ट के अंदर स्प्रिंग बैलेंस का उपयोग करके लटकाया गया है। यदि लिफ्ट मुक्त रूप से गिरना शुरू कर देती है,तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक क्या होगा?
A
$50 \ kg$
B
$> 50 \ kg$
C
$60 \ kg$
D
$0 \ kg$
Solution
(D) जब $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड लिफ्ट में लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग बैलेंस पिंड का आभासी भार मापता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो पाठ्यांक $m \times g$ होता है।
जब लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरती है,तो इसका त्वरण $a = g$ (नीचे की ओर) होता है।
आभासी भार $W_{app} = m(g - a)$ होता है।
$a = g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W_{app} = m(g - g) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $0 \ kg$ है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो पाठ्यांक $m \times g$ होता है।
जब लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरती है,तो इसका त्वरण $a = g$ (नीचे की ओर) होता है।
आभासी भार $W_{app} = m(g - a)$ होता है।
$a = g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W_{app} = m(g - g) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $0 \ kg$ है।
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View Solution141
MediumMCQ
$5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर जा रही एक लिफ्ट में, एक गेंद को $1.25 \,m$ की ऊंचाई से गिराया जाता है। गेंद को लिफ्ट के फर्श तक पहुँचने में लगा समय ... (लगभग) है $(g=10 \,m/s^2)$ ($\,s$ में)
A
$0.3$
B
$0.2$
C
$0.16$
D
$0.4$
Solution
(D) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही होती है, तो लिफ्ट के सापेक्ष गेंद का प्रभावी त्वरण $a_{eff} = g + a$ होता है।
दिया गया है: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, और प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसलिए, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ का उपयोग करने पर:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.
दिया गया है: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, और प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसलिए, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ का उपयोग करने पर:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.
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View Solution142
MediumMCQ
एक चिकने नत समतल (inclined plane) जिसका कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{l}\right)$ है,को कितना क्षैतिज त्वरण दिया जाना चाहिए ताकि उस पर रखी वस्तु नत समतल के सापेक्ष स्थिर रहे?
A
$\frac{g}{\sqrt{l^2-1}}$
B
$g \sqrt{l^2-1}$
C
$\frac{\sqrt{l^2-1}}{g}$
D
$-\frac{g}{\sqrt{l^2+1}}$
Solution
(A) माना नत समतल को दिया गया क्षैतिज त्वरण $a$ है। वस्तु को समतल के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,वस्तु पर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) $ma$ को समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
छद्म बल $ma$ को नत समतल के समानांतर और लंबवत घटकों में वियोजित करने पर,समतल के समानांतर घटक $ma \cos \theta$ प्राप्त होता है।
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
वस्तु के समतल के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,ये दोनों बल बराबर होने चाहिए:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{l}$,इसलिए हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और कर्ण $l$ है। आसन्न भुजा $\sqrt{l^2 - 1^2} = \sqrt{l^2 - 1}$ होगी।
अतः,$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:
$a = g \left(\frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}\right) = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
छद्म बल $ma$ को नत समतल के समानांतर और लंबवत घटकों में वियोजित करने पर,समतल के समानांतर घटक $ma \cos \theta$ प्राप्त होता है।
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
वस्तु के समतल के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,ये दोनों बल बराबर होने चाहिए:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{l}$,इसलिए हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और कर्ण $l$ है। आसन्न भुजा $\sqrt{l^2 - 1^2} = \sqrt{l^2 - 1}$ होगी।
अतः,$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:
$a = g \left(\frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}\right) = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
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EasyMCQ
एक ब्लॉक बस के अंदर स्थिर अवस्था में रखा है। बस का अधिकतम त्वरण क्या होना चाहिए ताकि ब्लॉक स्थिर रहे? (स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$)
A
$1 \ m/s^2$
B
$0.5 \ m/s^2$
C
$2 \ cm/s^2$
D
$2 \ m/s^2$
Solution
(D) जब बस $a$ त्वरण के साथ आगे बढ़ती है,तो ब्लॉक पर बस के सापेक्ष पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
ब्लॉक को बस के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ को इस छद्म बल को संतुलित करना चाहिए।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,छद्म बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$ma \leq \mu mg$
$a \leq \mu g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a \leq 0.2 \times 10 \ m/s^2$
$a \leq 2 \ m/s^2$
अतः,बस का अधिकतम त्वरण ताकि ब्लॉक स्थिर रहे,$2 \ m/s^2$ है।
ब्लॉक को बस के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ को इस छद्म बल को संतुलित करना चाहिए।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,छद्म बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$ma \leq \mu mg$
$a \leq \mu g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a \leq 0.2 \times 10 \ m/s^2$
$a \leq 2 \ m/s^2$
अतः,बस का अधिकतम त्वरण ताकि ब्लॉक स्थिर रहे,$2 \ m/s^2$ है।
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EasyMCQ
$30 \ kg$ द्रव्यमान की एक लड़की का आभासी भार क्या होगा जब वह $2 \ m \ s^{-2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती हुई लिफ्ट में है ($N$ में)? (गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \ m \ s^{-2}$)
A
$60$
B
$30$
C
$240$
D
$360$
Solution
(D) त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W'$ ज्ञात करने का सूत्र है: $W' = m(g + a)$।
दिया गया है:
लड़की का द्रव्यमान,$m = 30 \ kg$।
लिफ्ट का त्वरण,$a = 2 \ m \ s^{-2}$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m \ s^{-2}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$।
अतः,लड़की का आभासी भार $360 \ N$ है।
दिया गया है:
लड़की का द्रव्यमान,$m = 30 \ kg$।
लिफ्ट का त्वरण,$a = 2 \ m \ s^{-2}$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m \ s^{-2}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$W' = 30 \times (10 + 2)$
$W' = 30 \times 12$
$W' = 360 \ N$।
अतः,लड़की का आभासी भार $360 \ N$ है।
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EasyMCQ
$1.0 \,kg$ द्रव्यमान वाली एक वस्तु का $10 \,ms^{-2}$ के त्वरण से नीचे गिरते समय आभासी भार ज्ञात कीजिए। $\left(g \approx 10 \,ms^{-2}\right)$
A
$1 \,kg-wt$
B
$2 \,kg-wt$
C
$0$
D
$0.5 \,kg-wt$
Solution
(C) वस्तु का द्रव्यमान,$m = 1.0 \,kg$.
नीचे गिरती हुई वस्तु का त्वरण,$a = 10 \,ms^{-2}$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित फ्रेम में वस्तु का आभासी भार $W_{app}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = m(g - a)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
अतः,वस्तु का आभासी भार $0$ है।
नीचे गिरती हुई वस्तु का त्वरण,$a = 10 \,ms^{-2}$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित फ्रेम में वस्तु का आभासी भार $W_{app}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = m(g - a)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
अतः,वस्तु का आभासी भार $0$ है।
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MediumMCQ
$M$ और $m$ द्रव्यमान के दो लकड़ी के गुटकों को चित्र में दिखाए अनुसार एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। यदि निकाय पर चित्र में दिखाए अनुसार एक बल $P$ इस प्रकार लगाया जाता है कि द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान $M$ के गुटके के सापेक्ष स्थिर रहे,तो बल $P$ का परिमाण क्या होगा?
A
$(M+m) g \tan \beta$
B
$g \tan \beta$
C
$m g \cos \beta$
D
$(M+m) g \operatorname{cosec} \beta$
Solution
(A) माना निकाय का त्वरण दाईं ओर $a$ है।
द्रव्यमान $m$ के गुटके को द्रव्यमान $M$ के गुटके के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,$m$ पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) $ma$ को नत समतल (incline) के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
गुटके $M$ के फ्रेम में,$m$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब बल $N$ जो नत समतल के लंबवत है।
$3$. छद्म बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य करता है।
नत समतल के अनुदिश बलों को वियोजित करने पर,संतुलन के लिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
अब,$(M+m)$ द्रव्यमान के पूरे निकाय पर विचार करते हुए जो बल $P$ के तहत $a$ त्वरण से गति कर रहा है:
$P = (M+m) a$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (M+m) g \tan \beta$
द्रव्यमान $m$ के गुटके को द्रव्यमान $M$ के गुटके के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,$m$ पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) $ma$ को नत समतल (incline) के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
गुटके $M$ के फ्रेम में,$m$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब बल $N$ जो नत समतल के लंबवत है।
$3$. छद्म बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से बाईं ओर कार्य करता है।
नत समतल के अनुदिश बलों को वियोजित करने पर,संतुलन के लिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$a = g \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = g \tan \beta$
अब,$(M+m)$ द्रव्यमान के पूरे निकाय पर विचार करते हुए जो बल $P$ के तहत $a$ त्वरण से गति कर रहा है:
$P = (M+m) a$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (M+m) g \tan \beta$
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MediumMCQ
एक स्थिर लिफ्ट में गिराई गई वस्तु को फर्श तक पहुँचने में $t_1$ समय लगता है। जब लिफ्ट एकसमान त्वरण के साथ ऊपर जा रही हो,तो उसे $t_2$ समय लगता है। तब
A
$t_2 > t_1$
B
$t_1 > t_2$
C
$t_1 \approx t_2$
D
$t_1 = t_2$
Solution
(B) जब वस्तु को $h$ ऊँचाई से एक स्थिर लिफ्ट में गिराया जाता है,तो गति का समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ होता है।
चूँकि $u = 0$ और $a = -g$ है,इसलिए $-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$,जिससे $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु को एकसमान त्वरण $a$ से ऊपर जा रही लिफ्ट से गिराया जाता है,तो लिफ्ट के फ्रेम के सापेक्ष वस्तु पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
समान गति के समीकरण का उपयोग करने पर,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,जिससे $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(g + a) > g$ है,इसलिए $\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ होगा।
अतः,$t_2 < t_1$ या $t_1 > t_2$ सही है।
चूँकि $u = 0$ और $a = -g$ है,इसलिए $-h = -\frac{1}{2}gt_1^2$,जिससे $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु को एकसमान त्वरण $a$ से ऊपर जा रही लिफ्ट से गिराया जाता है,तो लिफ्ट के फ्रेम के सापेक्ष वस्तु पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
समान गति के समीकरण का उपयोग करने पर,$-h = -\frac{1}{2}(g + a)t_2^2$,जिससे $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g + a}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(g + a) > g$ है,इसलिए $\frac{2h}{g + a} < \frac{2h}{g}$ होगा।
अतः,$t_2 < t_1$ या $t_1 > t_2$ सही है।
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View SolutionNewton's Laws of Motion and Friction — Apparent weight and Pseudo Force · Frequently Asked Questions
1Are these Newton's Laws of Motion and Friction questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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