Apparent weight and Pseudo Force Questions in Hindi

(D) लिफ्ट में स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक आभासी भार $R = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $a = 0$,इसलिए पाठ्यांक $R = mg = W$ होता है।
यदि लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है,तो लिफ्ट का त्वरण $a = g$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $R = m(g - g) = m(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $0$ होगा।

(B) छड़ का त्वरण $a = (F_1 - F_2) / M$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर अवस्था में,छड़ के अंदर के इलेक्ट्रॉन त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) $F_p = m a$ का अनुभव करते हैं,जो आवेश के पृथक्करण का कारण बनता है और एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न करता है।
$m$ द्रव्यमान और $-e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,विद्युत क्षेत्र के कारण बल $F_e = e E$ है।
स्थिर अवस्था में,इलेक्ट्रॉनों पर कुल बल शून्य होता है,इसलिए $e E = m a$।
$a = (F_1 - F_2) / M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e E = m (F_1 - F_2) / M$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $E = m (F_1 - F_2) / (M e)$।
छड़ के सिरों के बीच विभवांतर $V = E L = \frac{m (F_1 - F_2) L}{M e}$ है।

(A) माना लिफ्ट का ऊपर की ओर त्वरण $a$ है।
लिफ्ट के सापेक्ष वस्तु का त्वरण $a_{rel} = g_{eff} = g + a$ (नीचे की ओर) होगा।
लिफ्ट के सापेक्ष वस्तु का प्रारंभिक वेग $u$ है।
उड़ान का समय $t$ सूत्र $t = \frac{2u}{a_{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
$a_{rel} = g + a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{2u}{g + a}$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$t(g + a) = 2u$
$gt + at = 2u$
$at = 2u - gt$
$a = \frac{2u - gt}{t}$.

(A) जब कार हवा में होती है,तो वह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होती है।
इस स्थिति में,कार और ड्राइवर का त्वरण $a = g$ (नीचे की ओर) होता है।
यदि हम ड्राइवर के संदर्भ फ्रेम से गति का विश्लेषण करें,तो हम ऊपर की दिशा में कार्य करने वाला छद्म बल (pseudo force) $F_p = m g$ लगाते हैं।
ड्राइवर का वास्तविक वजन $W = m g$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
उनके अपने फ्रेम में ड्राइवर पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_p - W = m g - m g = 0$ है।
चूंकि ड्राइवर पर लगने वाला कुल बल शून्य है,इसलिए वे पूरी उड़ान के दौरान भारहीनता की स्थिति का अनुभव करते हैं।

(C) प्रेक्षक $B$ ब्लॉक पर खड़ा है,जिसका अर्थ है कि प्रेक्षक $B$ एक अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में है।
ब्लॉक के फ्रेम में,ब्लॉक स्वयं हमेशा स्थिर रहता है। इसलिए,प्रेक्षक $B$ के सापेक्ष ब्लॉक का वेग हमेशा शून्य होता है।
चूंकि वेग शून्य है,इसलिए प्रेक्षक $B$ के सापेक्ष ब्लॉक की गतिज ऊर्जा भी शून्य है $(K.E. = \frac{1}{2} m v_{rel}^2 = 0)$।
इस प्रकार,विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं क्योंकि वे जमीन के सापेक्ष गति का वर्णन करते हैं,न कि ब्लॉक के सापेक्ष। विकल्प $C$ सही है क्योंकि प्रेक्षक $B$ के निर्देश तंत्र में ब्लॉक स्थिर है।

(A) छद्म बल (pseudo force) एक काल्पनिक बल है जो केवल गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में दिखाई देता है।
पर्यवेक्षक $B$ जमीन पर है,जो एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम है।
जड़त्वीय फ्रेम में,छद्म बल का अस्तित्व नहीं होता है।
इसलिए,पर्यवेक्षक $B$ द्वारा देखे जाने पर छद्म बल द्वारा किया गया कार्य $0$ है।

(D) पर्यवेक्षक $A$ लिफ्ट के अंदर है,जो एक त्वरित संदर्भ फ्रेम है।
$A$ के संदर्भ फ्रेम में,ब्लॉक स्थिर है क्योंकि यह लिफ्ट के समान त्वरण के साथ गति करता है।
चूंकि ब्लॉक पर्यवेक्षक $A$ के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए इसका विस्थापन $d$ शून्य है $(d = 0)$।
कार्य की परिभाषा $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ है।
पर्यवेक्षक $A$ के लिए विस्थापन $d$ शून्य होने के कारण,ब्लॉक पर कार्य करने वाले किसी भी बल (गुरुत्वाकर्षण,अभिलंब प्रतिक्रिया,या छद्म बल) द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) छड़ को ट्रॉली के सापेक्ष संतुलन में रखने के लिए,हम ट्रॉली के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में बलों का विश्लेषण करते हैं।
मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $m$ और लंबाई $l$ है। ट्रॉली के फ्रेम में छड़ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल (pseudo force) $ma$ जो द्रव्यमान केंद्र पर क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करता है।
$3$. छड़ के सिरों पर अभिलंब प्रतिक्रियाएं $N_1$ और $N_2$,जो छड़ की सतह के लंबवत हैं।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,बलों के कारण लगने वाले टॉर्क को संतुलित होना चाहिए। द्रव्यमान केंद्र दोनों सिरों से $l/2$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः छद्म बल $ma$ के कारण टॉर्क $\tau_{pseudo} = (ma) \cdot (l/2) \sin \theta$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के कारण टॉर्क $\tau_{gravity} = (mg) \cdot (l/2) \cos \theta$ है।
छड़ के संतुलन में रहने के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$(ma) \cdot (l/2) \sin \theta = (mg) \cdot (l/2) \cos \theta$
दोनों पक्षों से $(l/2)$ को हटाने पर:
$ma \sin \theta = mg \cos \theta$
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = g \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = g \cot \theta$

(D) मान लीजिए कंटेनर का त्वरण $a_c = F/m$ है। कंटेनर के फ्रेम में,ब्लॉक बाईं ओर कार्य करने वाले छद्म-बल (pseudo-force) $F_p = ma_c = F$ का अनुभव करता है।
यह एक स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के समान है जो अपनी प्राकृतिक लंबाई से शुरू होती है और द्रव्यमान $m$ पर एक स्थिर बल $F$ लगाया जाता है। प्रभावी स्प्रिंग स्थिरांक $k$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m}$ है।
अधिकतम संपीड़न तक पहुँचने में लगा समय दोलन के आवर्तकाल का आधा है,$t = T/2 = \pi / \omega = \pi \sqrt{m/k}$।
इस समय के दौरान,क्षैतिज दिशा में प्रणाली (कंटेनर + ब्लॉक) के लिए आवेग समीकरण $\int F dt = \Delta P = (m+m)v_f - (m+m)v_i$ है।
चूंकि $v_i = 0$,हमारे पास $F \cdot t = 2mv_f$ है।
$t = \pi \sqrt{m/k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F \pi \sqrt{m/k} = 2mv_f$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_f = \frac{F \pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot \frac{1}{m} = \frac{\pi F}{2} \sqrt{\frac{1}{km}}$।

(B) प्रेक्षक ट्रॉली $A$ में है,जो $a$ त्वरण के साथ गति कर रही है। इसलिए,प्रेक्षक का निर्देश तंत्र $a_{frame} = a$ त्वरण वाला एक अजड़त्वीय (non-inertial) निर्देश तंत्र है।
इस निर्देश तंत्र में $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर कार्य करने वाले छद्म बल की गणना करने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
$F_{pseudo} = -m \cdot a_{frame}$
छद्म बल का परिमाण $|F_{pseudo}| = m \cdot |a_{frame}| = m \cdot a$ होता है।
अतः,$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाले छद्म बल का परिमाण $ma$ है।

(D) मान लीजिए कि वेज दाईं ओर $g$ त्वरण के साथ गति कर रहा है। वेज के फ्रेम में, ब्लॉक पर बाईं ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = mg$ कार्य करता है।
ढलान के अनुदिश बलों के घटक हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण का घटक: $mg \sin \alpha$ (ढलान के नीचे की ओर)।
$2$. छद्म बल का घटक: $mg \cos \alpha$ (ढलान के ऊपर की ओर)।
ढलान पर ब्लॉक का शुद्ध त्वरण $a$ है:
$a = g \cos \alpha - g \sin \alpha = g(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
ढलान की लंबाई $L = \frac{H}{\sin \alpha}$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर $(u = 0)$:
$\frac{H}{\sin \alpha} = \frac{1}{2} g(\cos \alpha - \sin \alpha) t^2$.
$t^2 = \frac{2H}{g \sin \alpha (\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{2H}{g (\sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha)}$.
$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ और $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$ का उपयोग करने पर:
$t^2 = \frac{4H}{g (\sin 2\alpha - (1 - \cos 2\alpha))} = \frac{4H}{g (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1)}$.
$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ के लिए, हर (denominator) $f(\alpha) = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1$ का मान $0$ से $(\sqrt{2}-1)$ तक बढ़ता है।
चूँकि हर बढ़ता है, इसलिए $t^2$ घटता है, और इस प्रकार समय $t$, $\alpha$ के साथ घटता है।

(D) लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W_{app} = m(g + a)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ व्यक्ति का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
इस प्रश्न में,लिफ्ट $4\ m/s$ के एकसमान वेग से गति कर रही है।
चूँकि वेग एकसमान है,इसलिए लिफ्ट का त्वरण $a = 0\ m/s^2$ होगा।
अतः,आभासी भार $W_{app} = m(g + 0) = mg$ होगा।
यहाँ $m = 80\ kg$ और $g = 10\ m/s^2$ लेने पर,हमें $W_{app} = 80 \times 10 = 800\ N$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,आभासी भार $800\ N$ है।

(A) कार मंदित हो रही है,इसलिए यह अपनी गति की विपरीत दिशा में त्वरण (मंदन) का अनुभव करती है।
प्रारंभिक वेग $u = 5\, m/s$,अंतिम वेग $v = \frac{5}{3}\, m/s$ और समय $t = 3\, s$ है।
त्वरण का परिमाण $a = \frac{|v - u|}{t} = \frac{|5/3 - 5|}{3} = \frac{|-10/3|}{3} = \frac{10}{9}\, m/s^2$ है।
कार के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में,गेंद क्षैतिज दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) $F_p = ma$ का अनुभव करती है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और छद्म बल $ma$ हैं।
नई संतुलन स्थिति में,$\tan \theta = \frac{F_p}{mg} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ होता है।
$g = 10\, m/s^2$ लेने पर,$\tan \theta = \frac{10/9}{10} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)$।

(D) ट्रक के सापेक्ष बॉक्स का कुल त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम ट्रक के अजड़त्वीय फ्रेम में बॉक्स पर लगने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ट्रक $a = 4 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ आगे बढ़ रहा है।
$2$. बॉक्स पर पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
$3$. घर्षण बल $f$ गति का विरोध करने के लिए आगे की दिशा में कार्य करता है,जहाँ $f = \mu N = \mu mg$ है।
$4$. ट्रक के सापेक्ष बॉक्स का त्वरण शून्य होने के लिए,छद्म बल को घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए:
$ma = \mu mg$
$a = \mu g$
$5$. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 0.4 \times 10$
$4 = 4$
चूंकि समीकरण के दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ कट जाता है,इसलिए सापेक्ष त्वरण शून्य होने की शर्त बॉक्स के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
अतः,$m$ के किसी भी मान के लिए बॉक्स ट्रक के सापेक्ष स्थिर रहेगा।

(B) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो आभासी भार $W_1 = m(g + a) = 608 \ N$ होता है ...$(1)$
जब लिफ्ट उसी त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $W_2 = m(g - a) = 368 \ N$ होता है ...$(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$m(g + a) + m(g - a) = 608 + 368$
$mg + ma + mg - ma = 976$
$2mg = 976$
$mg = \frac{976}{2} = 488 \ N$
अतः,व्यक्ति का सामान्य भार $488 \ N$ है।

(D) द्रव्यमान $M$ को वेज के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,हम वेज के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (non-inertial frame) में बलों का विश्लेषण करते हैं।
जब वेज $a$ त्वरण के साथ बाईं ओर गति करता है,तो द्रव्यमान $M$ पर दाईं ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = Ma$ कार्य करता है।
ढलान की दिशा में द्रव्यमान $M$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. छद्म बल का घटक $Ma \cos \theta$ जो ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin \theta$ जो ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है।
द्रव्यमान को वेज के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,इन दोनों बलों को संतुलित होना चाहिए:
$Ma \cos \theta = Mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$a = g \tan \theta$
अतः,वेज को बाईं ओर $a = g \tan \theta$ का त्वरण दिया जाना चाहिए।

(A) लिफ्ट $a = 2\,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है।
लिफ्ट के फ्रेम में,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a$ होगा।
$g = 10\,m/s^2$ लेने पर,$g_{eff} = 10 - 2 = 8\,m/s^2$ प्राप्त होता है।
एक घिरनी पर $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g_{eff}$ है।
दिए गए मान $m_1 = 2\,kg$,$m_2 = 4\,kg$,और $g_{eff} = 8\,m/s^2$ रखने पर:
$T = \frac{2 \times 2 \times 4}{2 + 4} \times 8 = \frac{16}{6} \times 8 = \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3}\,N$.

(B) स्प्रिंग स्केल पर रीडिंग व्यक्ति पर लिफ्ट के फर्श द्वारा लगाए गए अभिलंब बल $(N)$ को दर्शाती है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$N - mg = ma$,जहाँ $m$ व्यक्ति का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $a$ लिफ्ट का त्वरण है। अतः,$N = m(g + a)$। रीडिंग तब सबसे अधिक होती है जब ऊपर की ओर त्वरण $(a)$ धनात्मक और अधिकतम होता है। जब लिफ्ट बढ़ती हुई गति के साथ ऊपर की ओर चलती है,तो इसमें ऊपर की ओर धनात्मक त्वरण $(a > 0)$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप $N = m(g + a) > mg$ प्राप्त होता है। अन्य स्थितियों में,त्वरण या तो शून्य होता है या ऋणात्मक (नीचे की ओर),जिससे रीडिंग कम प्राप्त होती है।

(C) जब एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति पर ऊपर की दिशा में छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है,इसलिए $W = mg$ है।
व्यक्ति पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और छद्म बल $ma$ (ऊपर की ओर) हैं।
आभासी भार $W_{app}$ लिफ्ट के फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $mg - W_{app} = ma$।
इसलिए,$W_{app} = mg - ma$।
$W_{app} = mg(1 - \frac{a}{g})$।
चूंकि $W = mg$,इसलिए हमें $W_{app} = W(1 - \frac{a}{g})$ प्राप्त होता है।

(D) जब $U$-ट्यूब को क्षैतिज रूप से $a$ त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो द्रव पर त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}}$,गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण $a$ (बाईं ओर) का सदिश योग है।
द्रव की मुक्त सतह प्रभावी गुरुत्वाकर्षण सदिश $g_{\text{eff}}$ के लंबवत हो जाती है।
मुक्त सतह क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाती है,वह $\tan \theta = \frac{a}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
$U$-ट्यूब की ज्यामिति से,द्रव की सतह का ढाल $\tan \theta = \frac{h}{L}$ भी होता है,जहाँ $h$ ऊँचाई का अंतर है और $L$ दो भुजाओं के बीच की क्षैतिज दूरी है।
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $\frac{a}{g} = \frac{h}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊँचाई का अंतर $h = \frac{aL}{g}$ है।

(C) लिफ्ट के संदर्भ फ्रेम में,सिक्का गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $(g_{eff})$ का अनुभव करता है। चूंकि लिफ्ट $a = 2\,ms^{-2}$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रही है,इसलिए सिक्के पर छद्म बल (pseudo force) नीचे की ओर कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = 10\,ms^{-2} + 2\,ms^{-2} = 12\,ms^{-2}$ है।
सिक्के के वापस हाथ में आने में लगा समय इस त्वरित फ्रेम में उड़ान का समय है,जो $t = \frac{2u}{g_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u = 20\,ms^{-1}$ लिफ्ट के सापेक्ष सिक्के का प्रारंभिक वेग है।
मान रखने पर: $t = \frac{2 \times 20\,ms^{-1}}{12\,ms^{-2}} = \frac{40}{12}\,s = \frac{10}{3}\,s$.

(C) जब प्लेट $P$ को हटा दिया जाता है,तो वेज $B$ और ब्लॉक $A$ दोनों गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरते हैं।
$A$ और $B$ दोनों नीचे की दिशा में गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर त्वरण का अनुभव करते हैं।
वेज $B$ के संदर्भ फ्रेम में ब्लॉक $A$ पर विचार करें।
चूंकि दोनों नीचे की ओर $g$ के त्वरण से गिर रहे हैं,इसलिए वेज $B$ के सापेक्ष ब्लॉक $A$ का छद्म-त्वरण (pseudo-acceleration) ऊपर की ओर $g$ होगा।
इसलिए,वेज $B$ के सापेक्ष ब्लॉक $A$ का प्रभावी त्वरण $g - g = 0$ है।
चूंकि ब्लॉक $A$ और वेज $B$ के बीच कोई सापेक्ष त्वरण नहीं है,इसलिए ब्लॉक $A$ वेज $B$ की सतह पर कोई दबाव नहीं डालता है।
अतः,वेज $B$ द्वारा ब्लॉक $A$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ शून्य है।

(A) कार मंदित हो रही है,इसलिए यह आगे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) का अनुभव करती है। मंदन $a$ वेग में परिवर्तन को समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5/3 - 5}{3} = \frac{-10/3}{3} = -\frac{10}{9} \, m/s^2$.
मंदन का परिमाण $|a| = \frac{10}{9} \, m/s^2$ है।
कार के फ्रेम में,गेंद आगे की दिशा में छद्म बल $F_p = ma$ और नीचे की दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ का अनुभव करती है।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{F_p}{mg} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,हमें $\tan \theta = \frac{10/9}{10} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{9} \right)$।

(D) ट्रक के सापेक्ष बक्से का त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम ट्रक के अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में बक्से पर कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ट्रक $a = 4 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ आगे बढ़ रहा है। इसलिए,बक्से पर पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
$2$. ट्रक के सापेक्ष गति का विरोध करने के लिए घर्षण बल $f$ आगे की दिशा में कार्य करता है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है।
$3$. बक्से को ट्रक के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,छद्म बल को घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए:
$ma = \mu mg$
$4$. दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए):
$a = \mu g$
$5$. दिए गए मानों को रखने पर:
$4 = 0.4 \times 10$
$4 = 4$
चूंकि समीकरण $a = \mu g$ द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है,इसलिए बक्से के ट्रक के सापेक्ष स्थिर रहने की शर्त $m$ के किसी भी मान के लिए पूरी होती है,बशर्ते कि स्थैतिक घर्षण छद्म बल को संतुलित करने के लिए पर्याप्त हो।

(D) माना स्प्रिंग $S_1$ में तनाव $T_1$ है और स्प्रिंग $S_2$ में तनाव $T_2$ है।
दिए गए पाठ्यांक $kg$ में हैं,इसलिए बल $T_1 = 60 \times g = 600\,N$ और $T_2 = 30 \times g = 300\,N$ हैं।
$m$ द्रव्यमान का ब्लॉक लिफ्ट के अंदर है जो $a = 10\,m/s^2$ के त्वरण से ऊपर की ओर जा रही है।
ब्लॉक $m$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T_1 - T_2 - mg = ma$
$600 - 300 = m(10 + 10)$
$300 = m(20)$
$m = \frac{300}{20} = 15\,kg$.

(B) छद्म बल (Pseudo force) एक काल्पनिक बल है जो तब कार्य करता है जब किसी वस्तु को अजड़त्वीय (त्वरित) संदर्भ फ्रेम से देखा जाता है।
फ्रेम $S_1$ का त्वरण $\vec{a}_{S_1} = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ है,जो इसे एक अजड़त्वीय फ्रेम बनाता है।
त्वरित फ्रेम में $m$ द्रव्यमान की वस्तु पर कार्य करने वाला छद्म बल $\vec{F}_p = -m \vec{a}_{frame}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 2 \, kg$ और $\vec{a}_{S_1} = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए छद्म बल:
$\vec{F}_p = -2 \times (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = -10 \hat{i} - 20 \hat{j} \, N$.
अतः,छद्म बल $-10 \hat{i} - 20 \hat{j} \, N$ है और यह $S_1$ फ्रेम के त्वरण के कारण है।

(D) $S_2$ फ्रेम एक नियत वेग $(5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s)$ से गति कर रहा है,जिसका अर्थ है कि इसका त्वरण शून्य है। अतः,$S_2$ एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
जड़त्वीय फ्रेम में,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F = ma$ होता है।
वस्तु $S_1$ फ्रेम में विराम अवस्था में है,जिसका त्वरण $a = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ है।
चूंकि वस्तु $S_1$ के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए जड़त्वीय प्रेक्षक के सापेक्ष इसका त्वरण $S_1$ के त्वरण के समान होगा।
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ और त्वरण $a = 5 \hat{i} + 10 \hat{j} \, m/s^2$ है,इसलिए कुल बल:
$F = 2 \times (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = 10 \hat{i} + 20 \hat{j} \, N$ होगा।

(A) जब कोई लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो $m$ द्रव्यमान की वस्तु का आभासी भार $W$ सूत्र $W = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5\, kg$
लिफ्ट का त्वरण $a = 0.25\, m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 5(10 + 0.25)$
$W = 5(10.25)$
$W = 51.25\, N$
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $51.25\, N$ है।

(B) ट्रॉली के निर्देश तंत्र पर विचार करें। ट्रॉली $a = g \sin \theta$ त्वरण के साथ नत समतल पर नीचे की ओर त्वरित हो रही है।
ट्रॉली के अंदर $m$ द्रव्यमान के गोलक पर बलों का विश्लेषण करने के लिए,हम नत समतल के ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = mg \sin \theta$ लगाते हैं।
गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $mg \sin \theta$ जो नत समतल के समानांतर ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. डोरी में तनाव $T$।
ट्रॉली के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,गोलक पर कुल बल शून्य है।
डोरी के लंबवत दिशा में बलों को वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \alpha = \frac{a \cos \theta}{g - a \sin \theta}$.
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\tan \alpha = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g - g \sin^2 \theta} = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g \cos^2 \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\alpha = \theta$।

(A) $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के मुक्त रूप से गिरने के लिए,इसे वेज के साथ संपर्क खोना होगा,जिसका अर्थ है कि वेज द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ शून्य होना चाहिए।
वेज के संदर्भ फ्रेम पर विचार करें। ब्लॉक पर वेज के त्वरण $a$ की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है।
आनत सतह के लंबवत ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों में गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos \theta$ अंदर की ओर और छद्म बल का घटक $ma \sin \theta$ बाहर की ओर कार्य करता है।
ब्लॉक के संपर्क खोने के लिए,अभिलंब बल $N$ शून्य होना चाहिए:
$N = mg \cos \theta - ma \sin \theta = 0$
$mg \cos \theta = ma \sin \theta$
$a = g \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$a = g \cot \theta$

(A) निकाय $a = 2\,m/s^2$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रहा है। हम वेज (wedge) के फ्रेम में छद्म-बल (pseudo-force) दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे।
लटकते हुए $5\,kg$ के ब्लॉक के लिए:
बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर),भार $mg = 5 \times 10 = 50\,N$ (नीचे की ओर),और छद्म-बल $ma = 5 \times 2 = 10\,N$ (नीचे की ओर) हैं।
गति का समीकरण: $T - 50 - 10 = 0 \implies T = 60\,N$.
स्प्रिंग बैलेंस डोरी में तनाव को मापता है,जो $60\,N$ है।

(D) लोलक की डोरी का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम ट्रॉली के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में बॉब पर लगने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. बॉब पर लगने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,और ट्रॉली के त्वरण की विपरीत दिशा में लगने वाला छद्म बल $ma_0$ हैं।
$2$. बलों को डोरी के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित करें।
$3$. प्रभावी त्वरण सदिश $\vec{g}_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण $\vec{g}$ और छद्म त्वरण $-\vec{a}_0$ का सदिश योग है। डोरी $\vec{g}_{eff}$ की दिशा में संरेखित हो जाती है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \cos \alpha$ (नत समतल के लंबवत) और $mg \sin \alpha$ (नत समतल के समानांतर) हैं।
$5$. छद्म बल $ma_0$ नत समतल के समानांतर,ढलान की नीचे की दिशा में कार्य करता है।
$6$. डोरी के समानांतर बलों को संतुलित करने पर:
$mg \cos \alpha \sin \theta = (mg \sin \alpha + ma_0) \cos \theta$
$7$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\tan \theta = \frac{ma_0 + mg \sin \alpha}{mg \cos \alpha} = \frac{a_0 + g \sin \alpha}{g \cos \alpha}$
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a_0 + g \sin \alpha}{g \cos \alpha} \right)$।

(C) जब तरल युक्त एक पात्र को क्षैतिज त्वरण $a$ के अधीन किया जाता है,तो तरल की मुक्त सतह क्षैतिज के साथ $\tan \theta = \frac{a}{g}$ का कोण $\theta$ बनाती है।
इस प्रश्न में,पात्र दाईं ओर गति कर रहा है और इसे दाईं ओर एक स्थिर मंदन दिया जाता है। दाईं ओर मंदन,बाईं ओर त्वरण के बराबर है।
इसलिए,प्रभावी त्वरण $a$ बाईं ओर निर्देशित है।
तरल कणों पर दाईं ओर कार्य करने वाले इस छद्म बल (pseudo-force) के कारण,तरल का स्तर दाईं ओर बढ़ जाता है और बाईं ओर गिर जाता है।
इसके परिणामस्वरूप तरल सतह दाईं ओर ऊपर की ओर ढलान वाली होती है,जैसा कि आरेख $(iii)$ में दिखाया गया है।

(B) मान लीजिए ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $m$ है और कार्ट का त्वरण $a$ है।
जब कार्ट $a$ त्वरण के साथ गति करता है,तो ब्लॉक $A$ पर कार्ट के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
यह छद्म बल अभिलंब बल $N$ के रूप में कार्य करता है जो ब्लॉक को कार्ट की ऊर्ध्वाधर सतह पर दबाता है,इसलिए $N = ma$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu ma$ है।
ब्लॉक $A$ को नीचे गिरने से रोकने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले घर्षण बल को नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$f \geq mg$,जिसका अर्थ है कि $\mu ma \geq mg$ है।
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $a \geq g/\mu$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आवश्यक न्यूनतम त्वरण $a_{\min} = g/\mu$ है।

(B) गेंद को वापस फर्श पर आने में लगे समय को ज्ञात करने के लिए,हम लिफ्ट के सापेक्ष गति का विश्लेषण करते हैं।
मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है।
लिफ्ट का त्वरण $a_e = +2\,m/s^2$ है।
जमीन के सापेक्ष गेंद का त्वरण $a_b = -g = -10\,m/s^2$ है।
लिफ्ट के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष त्वरण $a_r = a_b - a_e = -10 - 2 = -12\,m/s^2$ है।
फर्श के सापेक्ष गेंद के प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times 0.5 = 2\,m/s$ है।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण $s = u_y t + \frac{1}{2} a_r t^2$ का उपयोग करते हुए,गेंद के वापस फर्श पर आने के लिए लिफ्ट के सापेक्ष विस्थापन $s = 0$ होना चाहिए।
$0 = 2t + \frac{1}{2}(-12)t^2$
$0 = 2t - 6t^2$
$6t^2 = 2t$
चूंकि $t \neq 0$,इसलिए $t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\,s$ प्राप्त होता है।

(B) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और लिफ्ट का त्वरण $a$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो आभासी भार $W_{up} = m(g + a) = 608 \ N$ होता है $...(i)$
जब लिफ्ट समान त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $W_{down} = m(g - a) = 368 \ N$ होता है $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$m(g + a) + m(g - a) = 608 + 368$
$2mg = 976$
$mg = 488 \ N$
अतः,व्यक्ति का सामान्य भार $488 \ N$ है।

(D) जब बस दाईं ओर मुड़ती है,तो बस के वेग की दिशा में परिवर्तन के कारण बस के अंदर के यात्री और वस्तुएं बाईं ओर लगने वाले छद्म बल (अपकेंद्री बल) का अनुभव करते हैं।
चूंकि गेंद विराम अवस्था में है और बस दाईं ओर मुड़ती है,इसलिए बस के संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष गेंद बाईं ओर चलती हुई प्रतीत होती है।

(C) सिक्के द्वारा फर्श तक पहुँचने में लिया गया समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} gt^2$ द्वारा दिया जाता है (चूंकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है)।
अतः,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
स्थिर लिफ्ट में,प्रभावी त्वरण $g$ है,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
जब लिफ्ट $a$ के निरंतर त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो सिक्के द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $g' = g + a$ होता है।
इसलिए,$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g+a}}$.
चूंकि $g' = g + a > g$,इसलिए $t_2$ के व्यंजक में हर $t_1$ की तुलना में बड़ा है।
अतः,$t_2 < t_1$ होता है।

(A) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और लिफ्ट का नियत त्वरण $a$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो आभासी भार $W_1 = m(g + a)$ होता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे आती है,तो आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ होता है।
आभासी भार का अनुपात $W_1 / W_2 = 2 / 1$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{m(g + a)}{m(g - a)} = \frac{2}{1}$
$g + a = 2(g - a)$
$g + a = 2g - 2a$
$3a = g$
$a = g / 3 = 10 / 3 \approx 3.33 \, m/s^2$.

(D) बोल्ट को फर्श तक पहुँचने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए,हम लिफ्ट के सापेक्ष गति का विश्लेषण करते हैं।
$1$. लिफ्ट का त्वरण $a_e = 1.2\,m/s^2$ (ऊपर की ओर) है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण के कारण बोल्ट का त्वरण $g = 9.8\,m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
$3$. लिफ्ट के सापेक्ष बोल्ट का सापेक्ष त्वरण $a_r = a_{bolt} - a_e = (-9.8) - (1.2) = -11\,m/s^2$ है। इसका परिमाण $11\,m/s^2$ नीचे की ओर है।
$4$. लिफ्ट के सापेक्ष बोल्ट का प्रारंभिक वेग $u_r = 0$ है क्योंकि बोल्ट छत के सापेक्ष स्थिर था।
$5$. लिफ्ट के सापेक्ष बोल्ट द्वारा तय की जाने वाली दूरी $s_r = 2.7\,m$ है।
$6$. गति के समीकरण $s_r = u_r t + \frac{1}{2} a_r t^2$ का उपयोग करते हुए:
$2.7 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 11 \times t^2$
$2.7 = 5.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{2.7}{5.5} = \frac{5.4}{11}$
$t = \sqrt{\frac{5.4}{11}}\,s$।

(B) त्वरित तख्ते के संदर्भ फ्रेम में ब्लॉकों पर विचार करें। तख्ते के त्वरण की विपरीत दिशा में प्रत्येक ब्लॉक पर एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = m \cdot a$ कार्य करता है।
ब्लॉक $m_1$ के लिए,कार्य करने वाले बल छद्म बल $m_1 a$ (बाईं ओर) और घर्षण बल $f_1 = \mu m_1 g$ (दाईं ओर) हैं।
तख्ते के सापेक्ष ब्लॉक $m_1$ का शुद्ध त्वरण $a_{net,1} = a - \mu g$ है।
इसी प्रकार,ब्लॉक $m_2$ के लिए,तख्ते के सापेक्ष शुद्ध त्वरण $a_{net,2} = a - \mu g$ है।
चूंकि दोनों ब्लॉक तख्ते के सापेक्ष समान शुद्ध त्वरण का अनुभव करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के सापेक्ष गति नहीं करते हैं।
अतः,स्प्रिंग सभी स्थितियों में अपनी प्राकृतिक लंबाई में रहती है,और इसका विस्तार $x = 0$ है।

(D) माना बंदर का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक पलड़े द्वारा बंदर पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ के बराबर होता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो बंदर के लिए गति का समीकरण $N - mg = ma$ होता है।
अतः,$N = m(g + a)$।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $N = mg$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित होती है,तो $N = m(g - a)$।
जब लिफ्ट मुक्त रूप से गिरती है,तो $a = g$,इसलिए $N = m(g - g) = 0$।
इन स्थितियों की तुलना करने पर,पाठ्यांक $N$ तब अधिकतम होता है जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही होती है।

(B) जब लिफ्ट एकसमान गति (ऊपर या नीचे) से चलती है,तो उसका त्वरण $a = 0$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वजन मशीन द्वारा दर्ज किया गया आभासी वजन $W = m(g + a)$ होता है।
चूंकि लिफ्ट एकसमान गति से चल रही है,इसलिए $a = 0$ है,अतः दोनों स्थितियों में आभासी वजन $W = mg$ होगा।
ऊपर जाते समय वजन $(W_1)$ = $60 \times g$।
नीचे आते समय वजन $(W_2)$ = $60 \times g$।
अनुपात $W_1 / W_2 = (60g) / (60g) = 1$।

(A) मान लीजिए द्रव्यमान $m$ है और लिफ्ट का ऊपर की ओर त्वरण $a$ है।
द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल स्प्रिंग में तनाव $R$ (जो स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग है) जो ऊपर की ओर कार्य करता है और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:
$R - mg = ma$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = m(g + a)$
चूंकि $a > 0$ है,इसलिए रीडिंग $R$ वास्तविक वजन $mg$ से अधिक है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस अपनी रीडिंग में वृद्धि दिखाएगा।

(B) जब ट्रक $a$ त्वरण के साथ दाईं ओर त्वरित होता है,तो ट्रक के फ्रेम में बॉब पर विपरीत दिशा में (अर्थात बाईं ओर) एक छद्म बल (pseudo force) $F_{\text{pseudo}} = ma$ कार्य करता है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
ट्रक के फ्रेम में बॉब की संतुलन स्थिति में,बॉब पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और बाईं ओर कार्य करने वाला छद्म बल $ma$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$.
चूंकि छद्म बल बाईं ओर कार्य करता है,इसलिए लोलक बाईं ओर झुक जाएगा।

(N/A) दिया गया है: व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 70 \; kg$,गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \; m s^{-2}$।
$(a)$ जब लिफ्ट एकसमान चाल से ऊपर की ओर गति करती है,तो त्वरण $a = 0$ होता है। गति का समीकरण $R - mg = ma$ है। चूंकि $a = 0$,इसलिए $R = mg = 70 \times 10 = 700 \; N$। मशीन पर रीडिंग $700/10 = 70 \; kg$ होगी।
$(b)$ जब लिफ्ट $a = 5 \; m s^{-2}$ के त्वरण से नीचे की ओर गति करती है,तो गति का समीकरण $mg - R = ma$ है,अतः $R = m(g - a) = 70(10 - 5) = 70 \times 5 = 350 \; N$। मशीन पर रीडिंग $350/10 = 35 \; kg$ होगी।
$(c)$ जब लिफ्ट $a = 5 \; m s^{-2}$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति करती है,तो गति का समीकरण $R - mg = ma$ है,अतः $R = m(g + a) = 70(10 + 5) = 70 \times 15 = 1050 \; N$। मशीन पर रीडिंग $1050/10 = 105 \; kg$ होगी।
$(d)$ जब लिफ्ट मुक्त रूप से गिरती है,तो $a = g$ होता है। गति का समीकरण $R = m(g - g) = 0 \; N$ है। मशीन पर रीडिंग $0 \; kg$ होगी। व्यक्ति भारहीनता की स्थिति का अनुभव करेगा।

(N/A) भारहीनता वह स्थिति है जिसमें किसी पिंड का आभासी भार शून्य हो जाता है। यह तब होता है जब कोई पिंड मुक्त रूप से गिर रहा हो (free fall),जिसका अर्थ है कि उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य कर रहा है और किसी सतह से कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल (normal reaction force) नहीं लग रहा है।
उदाहरण:
$(i)$ मुक्त रूप से गिरती लिफ्ट: जब कोई लिफ्ट गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है,तो उसका त्वरण $a = g$ होता है। लिफ्ट के अंदर $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का आभासी भार $W = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है। $a = g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W = m(g - g) = 0$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,व्यक्ति भारहीनता का अनुभव करता है।
$(ii)$ उपग्रह: कक्षा में घूमता हुआ उपग्रह पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त पतन की स्थिति में होता है। इसकी कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्री त्वरण गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है $(a_c = g')$। चूंकि उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु पृथ्वी के केंद्र की ओर समान दर से त्वरित हो रही है,इसलिए वस्तुओं और उपग्रह के फर्श के बीच कोई अभिलंब बल नहीं होता है,जिससे भारहीनता की स्थिति उत्पन्न होती है।

(A) दिया गया है:
व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 50 \, kg$
लिफ्ट का त्वरण,$a = 9 \, m/s^2$ (नीचे की ओर)
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का आभासी भार $R$ इस प्रकार दिया जाता है:
$R = m(g - a)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$R = 50 \times (10 - 9)$
$R = 50 \times 1 = 50 \, N$
वजन मापने वाली मशीन का पाठ्यांक आमतौर पर किलोग्राम में मापा जाता है,जो आभासी द्रव्यमान $m_{app} = R/g$ को दर्शाता है।
$m_{app} = \frac{50 \, N}{10 \, m/s^2} = 5 \, kg$
अतः,वजन मापने वाली मशीन का पाठ्यांक $5 \, kg$ होगा।

(C) मान लीजिए कि संदर्भ फ्रेम लिफ्ट है। चूंकि लिफ्ट $a = 2 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,इसलिए सिक्के पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
लिफ्ट के फ्रेम में सिक्के का प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \, m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
लिफ्ट के सापेक्ष सिक्के का प्रारंभिक वेग $u = 20 \, m/s$ (ऊपर की ओर) है।
सिक्का वापस हाथ में तब आता है जब लिफ्ट के सापेक्ष उसका विस्थापन $s = 0$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = 20t - \frac{1}{2}(12)t^2$
$0 = 20t - 6t^2$
$6t^2 = 20t$
$t = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, s$.

(A) जब कोई व्यक्ति ऊर्ध्वाधर तल में घूमने वाले जायंट व्हील में बैठता है,तो उसका आभासी भार लगातार बदलता रहता है।
उच्चतम बिंदु पर,आभासी भार $W_{app} = m(g - a)$ होता है,जो वास्तविक भार से कम होता है।
निम्नतम बिंदु पर,आभासी भार $W_{app} = m(g + a)$ होता है,जो वास्तविक भार से अधिक होता है।
सीट द्वारा शरीर पर लगाए गए अभिलंब बल में यह तीव्र उतार-चढ़ाव रक्त परिसंचरण और कान के आंतरिक भाग में स्थित संतुलन प्रणाली को प्रभावित करता है,जिससे चक्कर आने का अनुभव होता है।